Czwórniki RC i RL

Czwórnikiem  nazywamy  układ  mający  cztery  zaciski,  a 
dokładnie dwie pary uporządkowanych zacisków. Jedna z tych 
par stanowi wejście, a druga wyjście czwórnika.

We

Wy

I

1

I

2

I

1

’

I

2

’

1

2

1’

2’

U

1

U

2

Klasyfikacja czwórników

Czwórniki moŜna podzielić na:

1. liniowe i nieliniowe

2. symetryczne i niesymetryczne

3. odwracalne i nieodwracalne

4. pasywne i aktywne

Czwórnik  liniowy  występuje  wtedy,  gdy  wszystkie  elementy 
wchodzące  w  jego  skład  są liniowe.  JeŜeli  czwórnik  zawiera 
chociaŜ

jeden  element  nieliniowy  wówczas  jest  on 

czwórnikiem nieliniowym.

Czwórnik  jest  symetryczny  jeŜeli  po  zamianie  miejscami 
wejścia  z  wyjściem  nie  zmieni  się rozpływ  prądów  i  rozkład 
napięć w  obwodzie  dołączonym  do  wejścia  i  wyjścia 
czwórnika.

Czwórnik  odwracalny:  jeŜeli  do  zacisków  wejściowych 
doprowadzone  zostanie  idealne  źródło  napięcia  E,  które 
wywoła  przepływ  prądu  I  w  zwartym  obwodzie  wyjściowym, 
to  po  przeniesieniu  tego  źródła  do  wyjścia,  w  zwartym 
obwodzie wejściowym teŜ popłynie prąd I.

Czwórnik jest pasywny, jeŜeli całkowita energia pobrana przez 
elementy  czwórnika  po  dołączeniu  do  jego  zacisków  źródła 
energii,  jest  nieujemna,  tzn.  dodatnia  lub  równa  zeru.  Składa 
się zazwyczaj z rezystorów, cewek i kondensatorów.

Czwórnik,  który  nie  spełnia  warunków  podanych  w  definicji 
czwórnika pasywnego, jest nazywany czwórnikiem aktywnym. 
Charakteryzuje  się on  tym,  Ŝe  w  jego  schemacie  zastępczym 
występuje źródło sterowane lub niesterowane.

We

Wy

R

L

C

Równania czwórników

1. Postać impedancyjna:

U

1 

= Z

11

I

1 

+ Z

12

I

2

U

2 

= Z

21

I

1

+ Z

22

I

2

2. Postać łańcuchowa:

U

1

= A U

2

+ B I

2

I

2

= C U

2

+ D I

2

3. Postać hybrydowa:

U

1

= h

11

I

1

+ h

12

U

2

I 2 = h

21

I

1

+ h

22

U

2

Stany pracy czwórnika

WyróŜnia się trzy stany pracy czwórnika. Są to:

1. Stan jałowy

2. Stan zwarcia

3. Stan obciąŜenia

Stan jałowy

I

1

I

2

I

1

’

I

2

’

1

2

1’

2’

U

1

U

2

W stanie jałowym I

2 

= 0

Równania mają postać:

U

1o

= A U

2o

I

1o

= C U

2o

Stąd:

A = U

1o 

/ U

2o

Parametr  A stanowi  przekładnię napięciową czwórnika  w  stanie 
jałowym.

Stan zwarcia

I

1

I

2

I

1

’

I

2

’

1

2

1’

2’

U

1

U

2

U

2

= 0

Równania mają postać:

U

1z

= B I

2z

I 1z = D I 

2z

D = I

1z

/ I

2z

Parametr  D jest  przekładnią prądową czwórnika  w  stanie 
zwarcia.

Stan obciąŜenia

I

1

I

2

I

1

’

I

2

’

1

2

1’

2’

U

1

U

2

Z

o

W stanie obciąŜenia równania wyglądają następująco:

U

1

= A U

2

+ B I

2

I

1

= C U

2

+ D I

2

Schematy zastępcze czwórników

U

1

U

1

U

2

U

2

I

1

I

2

I

1

I

2

I’

Z

1

Z

2

Z

Y

1

Y

2

Y

U’

Typu T

Typu Π

Stany nieustalone

Warunki początkowe

Stanem  początkowym  obwodu  nazywa  się stan,  w  którym 
wszystkie  napięcia  i  prądy  w  obwodzie  są równe  zeru. 
Warunki początkowe są wtedy zerowe.

Komutacją nazywa się zmiany stanu w obwodzie zachodzące 
w  pewnej  określonej  chwili,  spowodowane  np.  włączaniem 
lub odłączaniem dodatkowej gałęzi do obwodu.

Z  takim  zjawiskiem  związane  są dwa  prawa  zwane  prawami 
komutacji.

Pierwsze  prawo  komutacji mówi,  Ŝe  prąd  w  obwodzie  z 
indukcyjnością nie  moŜe  zmienić się „skokiem” i  w  chwili 
tuŜ przed  komutacją ma  taką samą wartość jak  w  chwili  tuŜ
po  komutacji.  Pierwsze  prawo  komutacji  nazywane  jest  teŜ
zasadą ciągłości prądu i strumienia magnetycznego w cewce.

Zgodnie  z  drugim  prawem  komutacji

napięcie  na 

kondensatorze nie moŜe zmienić się „skokiem” i w chwili tuŜ
przed  komutacją ma  taką samą wartość jak  w  chwili  tuŜ po 
komutacji.  Prawo  to  jest  takŜe  nazywane  zasadą ciągłości 
napięcia i ładunku na pojemności.

Stan nieustalony w dwójniku RL

Włączenie napięcia stałego

u

i

u 

R

u 

L

W

R

L

Przebiegi

i

t

i

U

R

u, u 

R

, u 

L

t

u 

R

U

u 

L

Prąd w funkcji czasu:

Napięcie na cewce i rezystorze w funkcji czasu:

Sposoby określania stałej czasowej

i

t

U

R

τ

1. Metoda graficzna:

2.  Stała  czasowa  jest  to  czas,  po  którym  prąd  w  cewce 
osiągnie wartość 0,63 i 

ust.

(63% i 

ust.

). Przyjmuje się, Ŝe 

prąd ustalony będzie po czasie równym 4τ÷5τ.

3. Ze wzoru:

τ

= L / R [s]

0,63 i 

ust.

Zwarcie obwodu RL przy warunku początkowym 
niezerowym

u

i

u 

R

u 

L

R

L

W

Przebiegi

i

t

U

R

u, u 

R

, u 

L

t

u 

R

U

u 

L

-U

u 

R

u 

L

Sposoby określania stałej czasowej

1. Metoda graficzna:

i

t

U

R

τ

0,37 i 

ust.

2.  Stała  czasowa  jest  to  czas,  po  którym  prąd  w  cewce 
osiągnie wartość 0,37 i 

ust.

(37% i 

ust.

). Przyjmuje się, Ŝe 

prąd ustalony będzie po czasie równym 4τ÷5τ.

3. Ze wzoru:

τ

= L / R [s]

Stan nieustalony w dwójniku RC

Włączenie napięcia stałego

u

i

u 

R

u 

C

W

R

C

Przebiegi

i

t

i

U

R

u, u 

R

, u 

C

t

u 

C

U

u 

R

Sposoby określania stałej czasowej

1. Metoda graficzna:

u, u 

R

, u 

C

t

u 

C

U

u 

R

0,63 u 

ust.

2.  Stała  czasowa  jest  to  czas,  po  którym  napięcie  na 
kondensatorze  osiągnie  wartość 0,63  u 

ust.

(63%  u 

ust.

). 

Przyjmuje  się,  Ŝe  napięcie  ustalone  będzie  po  czasie 
równym 4τ÷5τ.

3. Ze wzoru:

τ

= RC [s]

Zwarcie obwodu RL przy warunku początkowym 
niezerowym

u

i

u 

R

R

u 

C

C

W

Przebiegi

t

i

U

R

u, u 

R

, u 

C

t

U

-U

u 

C

u 

R

t

Sposoby określania stałej czasowej

1. Metoda graficzna:

u, u 

R

, u 

C

t

U

-U

u 

C

u 

R

0,37 u 

ust.

2.  Stała  czasowa  jest  to  czas,  po  którym  napięcie  na 
kondensatorze  osiągnie  wartość 0,37  u 

ust.

(37%  u 

ust.

). 

Przyjmuje  się,  Ŝe  napięcie  ustalone  będzie  po  czasie 
równym 4τ÷5τ.

Przebiegi w czwórnikach RC

Układ róŜniczkujący

R

C

U 

1

U 

2

R

C

U 

1

U 

2

Układ całkujący

Wymuszenie prostokątne jednego znaku

u 

C

u 

R

u 

C

u 

R

RóŜniczkujący

Całkujący

u, u 

R

, u 

C

u, u 

R

, u 

C

t

t

U

U

-U

-U

Wymuszenie prostokątne zmiennego znaku

RóŜniczkujący

u 

C

u 

R

u, u 

R

, u 

C

t

U

-U

-2U

Całkujący

u 

C

u 

R

u, u 

R

, u 

C

t

U

-U

-2U

Filtry częstotliwościowe

Filtr dolnoprzepustowy RC

Zadanie tego filtru polega na:

•

przenoszeniu, bez tłumienia, składowych widma 
sygnału wejściowego leŜących w dolnej jego 
części

•

tłumieniu składowych widma sygnału 
wejściowego leŜących w górnej jego części

R

C

U 

we

U 

wy

I 

we

f

|k

u

|

|k

u

|

log

1

-20

-3

0

-40

0,01

0,1

0,707

0,1f 

g

f 

g

100f 

g

10f 

g

Charakterystyka amplitudowa

f

φ

arg(k

u

)= φ

0

-

π

/

4

-3

0

-90

o

-45

o

0,1f 

g

f 

g

100f 

g

10f 

g

-

π

/

2

Charakterystyka fazowa

Filtr  dolnoprzepustowy  jest  czwórnikiem  całkującym  i 
wprowadza  ujemne  przesunięcie  fazowe,  które  dla  f

g

wynosi –45

o

.

Filtr górnoprzepustowy RC

Zadanie tego filtru polega na:

•

przenoszeniu, bez tłumienia, składowych widma 
sygnału wejściowego leŜących w górnej jego 
części

•

tłumieniu składowych widma sygnału 
wejściowego leŜących w dolnej jego części

R

C

U 

we

U 

wy

I 

we

Charakterystyka amplitudowa

f

|k

u

|

|k

u

|

log

1

-20

-3

0

-40

0,01

0,1

0,707

0,1f 

d

f 

d

100f 

d

10f 

d

Charakterystyka fazowa

f

φ

arg(k

u

)= φ

0

-

π

/

4

-3

0

-90

o

-45

o

0,1f 

d

f 

d

100f 

d

10f 

d

-

π

/

2

Filtr  górnoprzepustowy  RC  wprowadza  przesunięcie 
fazowe +45

o

.

Filtr środkowoprzepustowy

Zadanie tego filtru polega na:

•

przenoszeniu, bez tłumienia, składowych widma 
sygnału wejściowego leŜących w paśmie 
przenoszenia

•

tłumieniu składowych widma sygnału 
wejściowego leŜących poza tym pasmem

U 

we

U 

wy

R

R

C

C

Filtr  środkowoprzepustowy  nie  wprowadza  przesunięcia 
fazowego.

Filtr środkowozaporowy

Zadanie tego filtru polega na:

•

tłumieniu składowych widma sygnału 
wejściowego leŜących w paśmie zaporowym

•

przenoszenie składowych części widma leŜących 
poza tym pasmem

R

R

R/2

C

C

2C

U 

we

U 

wy