Elipsoida obrotowa jako powierzchnia odniesienia
Elipsoida obrotowa jest powierzchnią, którą można opisać analitycznie i określić w
przybliżeniu kształt Ziemi. Dlaczego stosujemy elipsoidę obrotową jako
powierzchnię aproksymującą bryłę Ziemi oraz parametry elipsoidy GRS’80 podane
zostały w poprzednich wykładach.
Wzajemne relacje pomiędzy geoidą (powierzchnią odniesienia niwelacji) a
elipsoidą podane są na rysunku.
Powierzchnie odniesienia: geoida i elipsoida
Kształt i rozmiar elipsoidy określone są za pomocą
a – duża półoś
b – mała półoś
a
b
Określamy parametry pochodne
1. Spłaszczenie
f
a
b
a
f
2. Pierwszy i drugi mimośród e
2
i e’
2
2
2
2
2
a
b
a
e
2
2
2
2
'
b
b
a
e
Dla przypomnienia elipsoida GRS’80 ma następujące parametry
1
257
,
298
f
m
a
137
378
6
A więc w przybliżeniu
300
1
f
km
b
a
21
Można wykazać następujące związki:
2
1 e
b
a
2
1 e
a
b
2
1
1
1
e
a
b
f
1
'
1
1
2
2
e
e
2
2
2
1
'
e
e
e
2
2
2
'
1
'
e
e
e
2
2
2
f
f
e
stąd
f
e
2
2
Równanie elipsoidy obrotowej ma postać
1
z
2
2
2
2
2
b
a
y
x
Wprowadzając oznaczenia
2
2
2
'
1 e
b
a
lub
2
1
1 e
z
Otrzymamy równanie w następującej postaci:
2
2
2
2
a
z
y
x
Przekroje normalne elipsoidy obrotowej i jej krzywizny
1. Promień krzywizny południka
M
Promień krzywizny południka
M
dB
dp
B
M
sin
1
albo też
3
2
2
2
sin
1
1
B
e
e
a
M
2. Promień krzywizny pierwszego wertykału
Promień równoleżnika
B
N
y
x
p
cos
2
2
oraz ponieważ
B
e
B
a
p
2
2
sin
1
cos
otrzymamy
B
e
a
N
2
2
sin
1
3. Średni promień krzywizny
Korzystając z twierdzenia Eulera
N
A
M
A
R
A
2
2
1
sin
cos
gdzie
A
R
- promień krzywizny przekroju normalnego w azymucie A
Możemy napisać wzór na średni promień krzywizny
2
0
2
2
sin
cos
2
dA
A
M
A
N
MN
R
S
Zaś po rozwiązaniu otrzymamy
MN
R
S
Szerokość geocentryczna i zredukowana
Szerokość geodezyjna, geocentryczna i zredukowana
p
2
tan
lub
B
e tan
1
tan
2
Szerokość geocentryczna pozwala na określenie współrzędnych prostokątnych
punktów leżących na powierzchni elipsoidy
sin
sin
sin
cos
cos
L
L
r
z
y
x
r
gdzie
2
2
2
z
y
x
r
lub
2
2
2
cos
1
1
e
e
a
r
Wzór na tan
można przekształcić i otrzymamy wtedy
B
e
B
2
sin
2
2
dla
45
B
otrzymamy wartość maksymalną
'
6
.
11
45
max
B
B
Szerokość zredukowana
B
p
a
tan
tan
2
2
B
e
B
2
sin
4
1
2
Maksymalna wartość tej różnicy wynosi
'
8
,
5
45
max
B
B
Linia geodezyjna na powierzchni elipsoidy obrotowej
Linia geodezyjna (geodetyka) – najkrótsza odległość pomiędzy dwoma
punktami na elipsoidzie
Wzajemne położenie linii geodezyjnej i przekrojów normalnych
Dla odległości S = 50km rozbieżność przekrojów normalnych
"
2
,
0
"
'
1
1
Równanie linii geodezyjnej (równanie Clairauta)
c
A
B
N
sin
cos
gdzie
A
a
c
sin
cos
Linię geodezyjną i przekroje normalne charakteryzują następujące wzory
1
1
2
2
2
2
1
1
2
sin
cos
12
'
B
a
s
e
a
B
a
s
e
s
s
4
4
5
4
cos
360
'
Na których podstawie można wyliczyć:
S=
100 km
200 km
0,028”
1
1
'
s
s
'
50 km
0,007”
0,112”
11
10
2
10
10
9
8
10
2