Egzamin dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka
Zadanie 1
i
X - liczba wojen w i-tej karcie
permutacja 52
i
X =1 wtedy na i i 26+i to samo:
13 – wybór figury
2
4
- wybór kolorów
2- wybór który ma która
50! – permutacja pozostałych kart
(
)
!
52
!
50
2
2
4
13
1
⋅
=
=
i
X
P
(
)
17
26
52
51
12
13
26
!
52
!
50
2
6
13
26
...
26
1
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
+
+
=
X
X
E
ODP
Zadanie 2
Y
W
λ
X
W
W
=
Γ
≅
=
+
1
3
2
)
,
2
(
(
)
∫ ∫
∫
∞
∞
−
−
−
−
>
=
−
=
=
≤
=
≤
0 0
0
2
2
0
1
)
(
tx
tx
λ
x
λ
x
λ
y
λ
t
dx
e
xe
λ
dydx
xe
λ
e
λ
tX
Y
P
t
X
Y
P
∫
∞
+
−
=
+
−
=
−
=
0
2
2
)
(
2
2
1
)
(
1
1
t
λ
λ
λ
dx
xe
λ
x
t
λ
λ
2
2
2
2
2
2
2
t
λ
t
λ
λ
λ
+
+
=
2
2
1
2
t
t
+
+
=
0
1
2
2
=
−
+
t
t
2
2
8
)
1
(
4
4
=
∆
=
−
−
=
∆
0
2
2
2
2
1
<
−
−
=
t
odpada
1
2
2
2
2
2
2
−
=
+
−
=
=
t
med
Zadanie 3
(
)
2
2
ˆ
2
ˆ
θ
θ
θ
θ
E
+
−
(
)
2
2
2
2
2
2
256
)
1
(
16
16
2
)
16
(
1
)
(
)
(
ˆ
θ
θ
θ
θ
a
a
b
n
b
k
a
E
θ
E
+
−
+
⋅
+
+
=
+
+
=
)
16
(
16
1
ˆ
θ
a
b
θ
E
+
+
=
=
+
+
+
−
+
+
−
+
+
=
2
2
2
2
2
2
16
32
2
)
16
(
256
16
16
32
)
(
θ
b
θ
θ
a
b
θ
θ
θ
θ
a
a
θ
R
2
2
2
2
2
)
16
(
16
2
)
16
(
16
32
1
16
32
)
16
(
240
+
+
+
−
+
+
+
+
+
−
+
=
b
a
b
a
b
a
θ
b
b
θ
→
=
−
−
+
=
+
+
+
−
−
→
=
+
+
−
+
=
+
+
+
+
−
0
32
2
16
32
0
256
32
512
32
240
0
)
16
(
)
16
(
2
16
32
0
)
16
(
)
16
(
)
16
(
32
240
2
2
2
2
a
ab
a
b
b
b
b
b
a
a
b
b
b
100
1
36
1
12
)
2
(
,
100
1
20
2
2
,
2
4
,
4
16
2
16
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
=
→
=
−
=
=
=
→
−
=
=
−
=
=
→
=
=
→
R
np
R
R
a
a
b
b
ab
b
Zadanie 4
(
)
(
)
(
)
(
)
n
m
n
m
m
S
S
E
S
S
E
S
var
var
var
+
=
(
) (
)
n
n
n
m
n
m
S
S
X
X
E
S
S
E
=
+
+
+
+
...
1
(
)
(
)
n
n
i
n
i
S
S
X
E
m
n
S
X
mE
=
−
+
)
(
(
)
(
)
n
n
m
n
n
i
S
n
m
S
S
E
n
S
S
X
E
=
→
=
2
var
σ
m
S
m
=
(
)
2
2
2
2
var
var
σ
n
n
m
X
S
n
m
S
S
E
σ
m
n
X
n
m
+
=
+
=
4
48
4
47
6
)
(
1
2
2
2
2
2
2
2
E
n
m
n
m
σ
n
m
m
σ
n
m
m
σ
σ
n
m
σ
m
X
=
−
=
−
=
−
=
−
=
Zadanie 5
(
) (
)
( )
(
)
=
=
=
X
Y
E
X
E
X
Y
X
EE
Y
X
E
2
2
2
2
2
2
( )
(
)
(
)
(
)
2
2
2
1
,
1
);
(
var
)
,
cov(
p
pX
N
σ
p
EX
x
X
Y
X
EY
N
X
Y
Y
−
≅
−
−
+
≅
(
)
(
) (
)
(
)
1
2
3
1
1
1
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
+
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
p
p
p
EX
p
EX
p
X
p
p
X
E
(
)
1
1
2
)
,
cov(
1
2
)
(
1
2
)
var(
2
2
2
2
2
2
2
+
=
−
+
=
+
−
+
=
−
+
=
p
p
p
EXEY
Y
X
p
XY
E
p
XY
Zadanie 6
(
)
(
)
d
µ
Y
r
X
r
P
d
Y
r
X
r
µ
d
Y
r
X
r
P
<
−
−
+
=
+
−
+
<
<
−
−
+
)
1
(
)
1
(
)
1
(
≅
≅
9
4
,
,
4
1
,
µ
N
Y
µ
N
X
−
+
≅
−
−
+
+
−
=
4
4 8
4
4 7
6
9
4
9
8
36
25
2
2
2
9
4
)
1
(
4
1
;
0
)
1
(
r
r
r
r
N
µ
Y
r
X
r
min
)
(
16
32
25
6
96
,
1
95
,
0
36
16
32
25
2
2
→
=
+
−
=
→
=
+
−
<
r
f
r
r
d
r
r
d
X
P
64
,
0
50
32
0
...
2
32
50
6
96
,
1
min
=
=
→
=
−
=
′
r
r
f
784
,
0
16
64
,
0
32
64
,
0
25
6
96
,
1
2
=
+
⋅
−
⋅
=
d
Zadanie 7
(
) (
)
(
)
n
n
n
X
X
f
θ
f
θ
X
X
f
X
X
θ
f
,...,
)
(
,...,
,...,
1
1
1
=
(
)
(
)
(
)
∫
∫
∏
∞
∞
−
+
=
=
=
0
0
1
1
1
)
(
,...,
,...,
θ
d
e
λ
x
θ
θ
d
θ
f
θ
X
X
f
X
X
f
λθ
θ
i
n
n
n
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
∏
∏
∏
∏
∞
+
+
−
+
=
+
=
+
=
=
=
∏
0
1
ln
ln
!
ln
1
n
i
i
i
x
λ
θ
n
i
x
λ
n
x
λ
x
λ
β
n
α
e
θ
X
λ
i
(
)
(
)
(
)
(
)
!
ln
,...,
1
1
1
n
X
λ
λ
X
e
λ
X
θ
X
X
θ
f
n
i
i
λθ
θ
i
n
n
+
−
+
∏
∏
∏
+
=
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∫
∫
∏
∏
∏
∏
∞
∞
+
−
+
+
+
−
+
=
+
=
+
=
=
+
=
+
=
∏
0
0
ln
1
1
1
1
ln
2
!
ln
!
ln
i
X
λ
θ
n
n
i
n
i
θ
i
λθ
n
X
λ
β
n
α
e
θ
n
X
λ
n
X
λ
X
e
θ
ODP
i
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
∑
∏
∏
∏
+
+
=
+
+
=
+
+
+
=
+
+
i
i
n
i
n
i
X
λ
n
X
λ
n
X
λ
n
n
X
λ
ln
1
ln
1
ln
)!
1
(
!
ln
2
1
Zadanie 8
Jako suma
2
var
,
1
,
)
1
(
2
=
=
=
Y
EY
Y
χ
Z CTG
)
1
,
0
(
2
)
(
2
N
n
n
n
χ
→
−
Z tego:
Y
n
n
N
n
χ
=
→
)
2
,
(
)
(
2
P(Y<t)=0,1
1
,
0
2
=
−
<
n
n
t
Y
P
N
28
,
1
2
−
=
−
n
n
t
n
n
t
+
−
=
2
28
,
1
Z tego:
n
n
n
χ
+
−
→
2
28
,
1
)
(
2
1
,
0
81
,
1
2
28
,
1
2
28
,
1
lim
−
=
−
=
−
+
−
=
n
n
n
n
g
Zadanie 9
(
)
(
)
∏
∏
∏
=
→
>
=
−
−
i
θ
i
θ
i
X
STAT
θ
θ
X
θ
X
θ
L
1
2
1
10
1
1
10
2
1
2
(
) (
)
∑
∏
>
=
>
t
X
P
t
X
P
i
i
ln
ln
0
0
(
)
(
)
[ ]
∫
−∞
∈
=
=
=
<
=
<
−
t
t
e
t
e
θ
θ
t
i
i
t
e
x
x
θ
e
X
P
t
X
P
0
0
1
)
0
;
(
ln
)
(
θ
wykl
X
X
≅
−
=
∫
∫
−
−
≅
−
−
=
−
→
Γ
=
=
=
=
−
<
=
>
−
t
t
χ
t
x
t
e
t
t
x
dx
e
x
t
Y
P
t
Y
P
ln
0
ln
0
)
20
(
2
9
10
9
0
0
26
,
8
ln
2
)
10
(
2
1
2
!
9
1
)
ln
(
)
ln
(
4
4 8
4
4 7
6
∫
∫
∫
→
≥
=
=
=
=
=
−
−
13
,
4
0
13
,
4
0
26
,
8
0
2
9
9
10
99
,
0
)
20
(
2
!
9
1
!
9
θ
θ
x
x
θ
χ
t
x
dx
e
x
e
x
θ
moc
55
,
4
26
,
8
566
,
37
≥
→
≤
→
θ
θ
Zadanie 10
( )
∑
=
>
9
1
)
(
6
i
i
P
i
P
8
3
1
)
1
(
=
P
1 przejdzie od 2 do 10
7
3
1
3
2
)
2
(
=
P
6
3
1
3
2
)
3
(
=
P
....
3
1
3
2
)
8
(
=
P
3
2
)
9
(
=
P
∈
=
=
−
−
]
9
;
2
[
3
1
3
2
1
3
1
)
(
1
10
8
i
i
i
P
i
81
80
1
3
1
3
1
3
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
2
3
1
3
2
2
3
4
5
6
7
2
8
=
+
+
+
+
+
+
+
+
=
ODP
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2002.10.12 prawdopodobie stwo i statystyka
2002 01 12 prawdopodobie stwo i statystykaid 21637
2002.01.12 prawdopodobie stwo i statystyka
2002 01 12 prawdopodobie stwo i statystykaid 21637
2002 06 15 prawdopodobie stwo i statystykaid 21643
2004 10 11 prawdopodobie stwo i statystykaid 25166
1998 10 03 prawdopodobie stwo i statystykaid 18585
1996 10 26 prawdopodobie stwo i statystykaid 18572
2010.10.04 prawdopodobie stwo i statystyka
2001.10.13 prawdopodobie stwo i statystyka
2008.10.06 prawdopodobie stwo i statystyka
2007.10.08 prawdopodobie stwo i statystyka
2006.10.09 prawdopodobie stwo i statystyka
2004.10.11 prawdopodobie stwo i statystyka
2009.10.05 prawdopodobie stwo i statystyka
1999 10 23 prawdopodobie stwo i statystykaid 18598
więcej podobnych podstron