1

Wybrane rozkłady zmiennej losowej skokowej

1

Wybrane rozkłady zmiennej losowej skoko-

wej

(1) Rozkład dwupunktowy (zero-jedynkowy)

(2) Rozkład dwumianowy

(3) Rozkład Poissona

(Ad.1) Rozkład dwupunktowy

Zmienne losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli może przyjmować jedynie

dwie wartości, oznaczmy je jako x

1

oraz x

2

, z prawdopodobieństwami

P (X = x

1

) = p

P (X = x

2

) = q,

gdzie p + q = 1.

W przypadku szczególnym, gdy x

1

= 1, x

2

= 0, mówimy, że ZL X ma rozkład

zero-jedynkowy z prawdopodobieństwem sukcesu p. Funkcja rozkładu ZL

X zero-jedynkowej określona jest następująco

x

i

0

1

P (X = x

i

)

q

p

Dystrybuanta ma postać

x

(−∞, 0]

(0, 1]

(1, ∞)

F (x)

0

q

1

Wartość oczekiwana i warjancja ZL X zero-jedynkowej są równe

E(X) = p,

D

2

(X) = pq.

Przykład Obserwujemy kobietę na Oddziale Położniczym. Urodzeniu

chłopca przyporządkowujemy liczbę 1, a urodzeniu dziewczynki zero. W tym

doświadczeniu mamy doczynienia ze ZL zero-jedynkową z prawdopodobień-

stwem p równym 0, 5. Oznacza to, że P (X = 1) = 0, 5, P (X = 0) = 0, 5,

E(X) = 0, 5, D

2

(X) = 0, 25.

Magdalena Górajska, CMF 1

1

Wybrane rozkłady zmiennej losowej skokowej

(Ad.2) Rozkład dwumianowy

Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p, jeśli jej

funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem:

P (X = k) =

 

n

k

!

p

k

(1 − p)

n−k

dla k = 0, 1, 2, ..., n,

gdzie p jest tzw. prawdopodobieństwem sukcesu.

W rozkładzie dwumianowym:

E(X) = np,

D

2

(X) = np(1 − p).

W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakładamy, że ekspery-

ment losowy polega na wykonaniu doświadczeń Bernoulliego.

Doświadczenia Bernoulliego to ciąg n identycznych doświadczeń losowych,

spełniających warunki:

1. Są możliwe dwa wyniki sukces i porażka każdego doświadczenia.

2. Prawdopodobieństwo sukcesu, oznaczane jest symbolem p, jest ono w

każdym doświadczeniu stałe.

3. Doświadczenia są niezależne.

Przykład Eksperyment polega na trzykrotnym strzale do bramki, przez

strzelca, który trafia z prawdopodobieństwem 0, 8. Zdefiniujmy ZL X jako

liczbę celnych strzałów. Wówczas X = {0, 1, 2, 3}. Eksperyment spełnia wa-

runki schematu Bernoulliego, zatem P (X = 0) = 0, 008, P (X = 1) = 0, 096,

P (X = 2) = 0, 384, P (X = 3) = 0, 512. Wartość oczekiwana jest równa

E(X) = 0, 24, a wariancja D

2

(X) = 3 · 0, 8 · 0, 2 = 0, 48.

(Ad.3) Rozkład Poissona

Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, jeśli jej

funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem:

P (X = k) =

λ

k

k!

e

−λ

; dla k = 0, 1, 2, ..., n.

Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym rozkładu dwumianowego, tzn.

jeśli w rozkładzie dwumianowym liczba prób n jest duża i prawdopodo-

bieństwo sukcesu p jest małe takie, że np = const, to prawdopodobieństwo

Magdalena Górajska, CMF 2

2

Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej

P (X = k) w rozkładzie dwumianowym można wyznaczać z powyższego wzo-

ru, przyjmując λ = np. W rozkładzie Poissona

E(X) = λ,

D

2

(X) = λ.

Przykład Pewne przedsiębiorstwo importuje banany. Uzgodniono, że w par-

tii towaru nie powinno się znaleźć więcej niż 0, 1% bananów nieodpowiadają-

cym nomom jakości. Pobrano próbę licząca 500 bananów. Stosując właściwy

rozkład obliczyć:

a) prawdopodobieństwo, że w losowo pobranej próbie bananów liczącej 500

sztuk, znajdziemy jednego banana nieodpowiadającego normie jakości,

b) prawdopodobieństwo, że w losowo pobranej próbie, będą co najwyżej dwa

banany zepsute,

c) obliczyć parametry rozkładu owoców wadliwych tzn. wartość oczekiwaną

i wariancję.

Rozwiązanie:

Ad. a) n = 500,

p = 0, 001, zatem λ = n · p = 500 · 0, 001 = 0, 5. Ze wzoru

P (X = k) =

λ

k

k!

e

−λ

,

dla λ = 0, 5 i k = 1 otrzymujemy

P (X = 1) =

(0, 5)

1

1!

e

−0,5

≈ 0, 3.

Prawdopodobieństwo tego, że w próbie 500 bananów będzie jeden zepsuty

wynosi 0, 3.

Ad. b) P (X ¬ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2),

P (X = 0) =

(0,5)

0

0!

e

−0,5

≈ 0, 606,

P (X = 1) =

(0,5)

1

1!

e

−0,5

≈ 0, 303,

P (X =

2) =

(0,5)

2

2!

e

−0,5

≈ 0, 076, stąd P (X ¬ 2) = 0, 985. Prawdopodobieństwo

tego, że w próbie 500 bananów znajdziemy co najwyżej dwa banany nie

odpowiadające normom jakości wynosi 0, 985.

Ad. c)E(X) = λ,

D

2

(X) = λ, zatem E(X) = 0, 5,

D

2

(X) = 0, 5.

2

Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej

(1) Rozkład jednostajny

Magdalena Górajska, CMF 3

2

Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej

(2) Rozkład normalny

(3) Rozkład chi-kwadrat

(4) Rozkład Studenta

(Ad.1) Rozkład jednostajny

Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [a, b], jeśli jej funkcja

gęstości określona jest wzorem

f (x) =







1

b−a

dla x ∈ [a, b]

0

dla x /

∈ [a, b]

Wartość oczekiwana i wariancja rozkładu jednostajnego wyrażają się nastę-

pującymi wzorami:

EX =

a+b

2

,

V arX =

(b−a)

2

12

.

Przykład Czas oczekiwania na wydrukowanie książki przez Wydawnictwo

PŁ jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym w przedziale [8 miesięcy,

20 miesięcy].

(Ad.2) Rozkład normalny

Rozkład normalny zwany też rozkładem Gaussa jest jednym z najważniej-

szych rozkładów prawdopodobieństwa. Zmienna losowa ciągła X ma rozkład

normalny z parametrami µ i σ, jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem:

f (x) =

1

σ

√

2π

e

−

(x−µ)2

2σ2

dla x ∈ (−∞, ∞),

gdzie µ i σ są dowolnymi parametrami liczbowymi, takimi że µ ∈ R, a σ > 0.

W rozkładzie normalnym:

E(X) = µ,

D

2

(X) = σ

2

.

Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ, to ozna-

czamy go symbolem N (µ; σ) (w skrócie piszemy X ∼ N (µ; σ)).

Krzywa rozkładu normalnego zmiennej losowej X ∼ N (µ, σ)

Magdalena Górajska, CMF 4

2

Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej

Własności funkcji gęstości rozkładu normalnego

• Funkcja gęstości przyjmuje wartości nieujemne, a całkowite pole pod

krzywą gęstości jest równe 1.

• Wartość oczekiwana E(X) = µ określa wartość przeciętną zmiennej X.

• Krzywa gęstości zmiennej losowej normalnej X jest symetryczna wzglę-

dem prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt x = µ. Stąd pola

pod krzywą na lewo i na prawo od punktu µ są równe

1
2

.

• Krzywa gęstości rozkładu normalnego osiąga maksimum równe

1

σ

√

2π

dla x = µ.

• Finkcja gestości f (x) ma punkty przegięcia dla x = µ−σ oraz x = µ+σ.

Przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu normalnego

REGUŁA TRZECH SIGM

P (µ − σ < X < µ + σ) = 0, 683

Magdalena Górajska, CMF 5

2

Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej

P (µ − 2σ < X < µ + 2σ) = 0, 955

P (µ − 3σ < X < µ + 3σ) = 0, 997

Rozkład normalny standaryzowany

Zmienna losowa U ma rozkład normalny standaryzowany, gdy µ = 0 i σ = 1,

wówczas jej funkcja gęstości wyraża się wzorem:

f (u) =

1

√

2π

e

−

u2

2

dla u ∈ (−∞, ∞).

W rozkładzie normalnym standaryzowanym:

E(U ) = 0,

D

2

(U ) = 1.

Jeśli zmienna losowa U ma rozkład normalny standaryzowany, to oznaczamy

go w skrócie symbolem N (0; 1). Jego dystrybuantę oznaczamy literą Φ i

wyraża się ona wzorem Φ(u) = P (U < u) =

1

√

2π

R

u

−∞

e

−

t2

2

dt.

Zobrazowanie wartości dystrybuanty Φ(u)

Rozkład gestości prawdopodobieństwa i dystrybuanta ZL o rozkładzie

normalnym standaryzowanym

W odniesieniu do dystrybuanty rozkładu N (0; 1) prawdziwe są następu-

jąca równość:

Magdalena Górajska, CMF 6

2

Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej

1)

P (U < u) = Φ(u),

2)

P (U ­ u) = 1 − P (U < u) = 1 − Φ(u),

3)

P (a < U < b) = Φ(b) − Φ(a),

4)

Φ(−u) = 1 − Φ(u),

Reguła trzech sigm dla rozkładu normalnego standaryzowanego

P (−1 < X < 1) = 0, 683

P (−2 < X < 2) = 0, 955

P (−3 < X < 3) = 0, 997

W celu znalezienia P (U < u) = Φ(u) korzysta się z tablic statystycznych,

które zawierają obliczone prawdopodobieństwa dla różnych u.

Tablica wartości dystrybuanty Φ(u)

Standaryzacja dowolnego rozkładu normalnego

Jeśli zmienna losowa X ∼ N (µ, σ) jest o wartościach parametrów innych

niż 0 i 1, wówczas obliczanie odpowiednich prawdopodobieństw z wykorzy-

staniem dostępnych tablic statystycznych wymaga zastosowania tzw. twier-

dzenia o standaryzacji.

X ∼ N (µ, σ)

−→

U =

X − µ

σ

−→

U ∼ N (0, 1)

Magdalena Górajska, CMF 7

2

Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej

Przykład Niech X ∼ N (10, 2), wówczas U =

X−10

2

i U ∼ N (0, 1).

(Ad.3) Rozkład chi-kwadrat

Zmienna losowa X ma rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody,

jeśli jest sumą kwadratów k niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie

normalnym standaryzowanym.

X =

k

X

i=1

U

2

i

,

gdzie U

1

, U

2

, ..., U

k

są niezależnymi zmiennymi losowymi oraz U

i

∼ N (0; 1).

W rozkładzie chi-kwadrat:

E(X) = k,

D

2

(X) = 2k.

Przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu chi-kwadrat

Magdalena Górajska, CMF 8

2

Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej

(Ad.4) Rozkład t-studenta

Zmienna losowa t ma rozkład t-sudenta o k stopniach swobody, jeśli jest

opisana wzorem

t =

U

√

X

√

k,

gdzie U ∼ N (0, 1), a X ma rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody oraz

U i X są niezależnymi zmiennymi losowymi.

Rozkład ten po raz pierwszy wyprowadził William Gosset pod pseudoni-

mem Student. Zmienna losowa jest tu oznaczana wyjątkowo małą literą t

(od ostatniej litery nazwiska autora). W rozkładzie Studenta:

E(t) = 0,

D

2

(t) =

k

k − 2

,

o ile k > 2.

Przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu t-studenta

Magdalena Górajska, CMF 9