Analiza 2
Z
7
1. Obliczyć w punktach osobliwych residuum funkcji
a)
f(z) =
2
2
)
1
(
−
z
z
,
b) f(z) =
1
1
2
+
+
z
z
,
c) f(z) =
z
z cos
1
2
d)
f(z) =
)
4
)(
1
(
2
2
−
−
z
z
z
,
e) f(z) =
)
1
(
2
2
+
z
z
e
z
.
2.
Obliczyć res
∞
f(z), jeżeli
a)
f(z) =
)
1
(
3
2
+
z
z
z
,
b) f(z) =
)
1
(
2
2
+
z
z
e
z
,
c) f(z) = (z – 3)
2
e
1/z
.
3. Obliczyć residua
a) res
0
3
cos
1
z
z
−
,
b) res
1
N
n
z
e
n
z
∈
−
,
)
1
(
,
c) res
0
(
6
)
2
z
z
+
.
4. Obliczyć
∫
K
dz
z
f )
(
, jeżeli K = K(0;2) jest okręgiem dodatnio skierowanym względem
wnętrza oraz
a)
f(z) =
)
1
(
2
2
+
z
z
e
z
, b) f(z) = z
4
cos
z
1
, c) f(z) =
1
4
3
−
z
z
, d) f(z) =
2
)
1
)(
3
(
z
z
z
−
+
.
5. Obliczyć całki niewłaściwe
a)
dx
x
x
∫
+ ∞
∞
−
+
1
2
cos
2
, b)
dx
x
x
∫
+ ∞
∞
−
+
4
cos
2
2
, c)
dx
x
x
x
∫
+ ∞
∞
−
+
−
2
2
sin
2
, d)
dx
x
x
x
∫
+ ∞
∞
−
+
−
2
2
cos
2
.
6.
Wiadomo, że
.
2
π
=
∫
+ ∞
∞
−
−
dx
e
x
Obliczyć
∫
+ ∞
∞
−
−
xdx
e
x
2
cos
2
, całkując funkcję f(z) =
2
z
e
−
po skier.dodatnio względem wnętrza brzegu prostokąta o wierzchołkach: z
1
= -R,
z
2
= R, z
3
= R + j, z
4
= -R + j, R > 1 ( a następnie przechodząc do granicy przy R
)
+ ∞
→
.
Odp.
1. a) 2, b) (1-j)/2, -(1-j)/2, c) 0, (-1)
k+1
/(
π
/2 + k
π
)
2
dla k = ...-2,-1,0,+1,+2,...
d) -1/6, -1/6, 1/6, 1/6, e) 1, je
j
/2, -je
-j
/2.
2. a) 0,
b) sin1-1, c) -37/6.
3. a)
2
1
,
b)
,
)!
1
(
−
n
e
c) 12.
4. a) 2
π
j/(1-sin1),
b) 0,
c) 2
π
j, d) 3
π
j/8.
5. a)
π
e
-2
,
b)
π
(1+e
-4
)/4,
c) (
π
sin1)/e, d) (
π
cos1)/e.
6.
e
π
.