Funkcj¦ f(x) nazywamy funkcj¡ ci¡gª¡ w punkcie x
0
∈ D
f
, gdy istnieje granica lim
x→x
0
f (x)
i jest ona
równa warto±ci fukcji w tym punkcie: lim
x→x
0
f (x) = f (x
0
)
.
Suma, iloczyn i iloraz dwóch funkcji ci¡gªych w punkcie x
0
jest funkcj¡ ci¡gª¡ w tym punkcie.
Je±li funkcja jest ci¡gªa dla wszystkich punktów nale»¡cych do pewnego przedziaªu mówimy, »e funkcja
jest ci¡gªa w tym przedziale.
Funkcje ci¡gªe w swych dziedzinach: wielomiany, funkcje pot¦gowe, wykªadnicze, logarytmiczne, try-
gonometryczne, cyklometryczne.
Zadanie 4.
a. f(x) =
x
2
−25
x+5
x 6= −5
−10
x = −5
Rozwa»ana funkcja, jako zªo»enie funkcji ci¡gªych, jest funkcj¡ ci¡gª¡ dla ka»dego x 6= −5. Punkt w
którym mo»e by¢ nieci¡gªa to x = −5, aby to sprawdzi¢ nale»y znale¹¢ granic¦ lim
x→−5
f (x)
:
lim
x→−5
f (x) = lim
x→−5
x
2
− 25
x + 5
= lim
x→−5
(x − 5)(x + 5)
x + 5
= lim
x→−5
(x − 5) = −10 = f (−5)
Granica dla x = −5 istnieje i jest równa warto±ci funkcji dla x = −5 zatem funkcja jest ci¡gªa
tak»e i w tym punkcie.
b. f(x) =
x−2
x
2
−4
x 6= −2 x 6= 2
1
x = −2 x = 2
lim
x→−2
f (x) = lim
x→−2
x − 2
x
2
− 4
= lim
x→−2
x − 2
(x − 2)(x + 2)
= lim
x→−2
1
x + 2
Granice jednostronne:
lim
x→−2
−
1
x + 2
=
1
0
−
= −∞
lim
x→−2
+
1
x + 2
=
1
0
+
= ∞
Otrzymujemy granice niewªa±ciwe, zatem w tym punkcie funkcja nie mo»e by¢ funkcj¡ ciagª¡.
lim
x→2
f (x) = lim
x→2
x − 2
x
2
− 4
= lim
x→2
x − 2
(x − 2)(x + 2)
= lim
x→2
1
x + 2
=
1
4
6= f (2) = 1
Granica dla x = 2 istnieje, ale jest ró»na od warto±ci funkcji (f(2) = 1), zatem funkcja jest nieci¡gªa
w tym punkcie.
c. f(x) =
x
x − 3
=
−x
x−3
x
x−3
< 0
x
x−3
x
x−3
0
=
−x
x−3
x ∈ (0, 3)
x
x−3
x ∈ (−∞, 0i ∪ (3, +∞)
Funkcja mo»e byc nieci¡gªa dla x = 0 i w tym punkcie nale»y policzy¢ granic¦. Poniewa» w za-
le»no±ci od tego z której strony argumenty zbli»aj¡ si¦ do zera, funkcja przybiera ró»ne postaci
nale»y wyznaczy¢ granice jednostronne.
d. f(x) =
x
2
−x
|1−x|
x 6= 1
1
x = 1
1