8.2. Równanie rzędu pierwszego o rozdzielonych zmiennych
Definicja
Równanie róŜniczkowe rzędu pierwszego, które moŜna zapisać w postaci
)
(
)
(
y
h
x
g
dx
dy
=
lub
)
(
)
(
x
g
dx
dy
y
h
=
nazywamy równaniem o
rozdzielonych zmiennych.
Praktyczna reguła
Równanie o rozdzielonych zmiennych wygodnie zapisać w postaci
dx
x
g
dy
y
h
)
(
)
(
=
.
Twierdzenie
JeŜeli funkcje h , g są ciągłe, to rozwiązanie ogólne równania
dx
x
g
dy
y
h
)
(
)
(
=
o
rozdzielonych zmiennych ma postać
∫
∫
=
dx
x
g
dy
y
h
)
(
)
(
.
Przykład 1.
RozwiąŜ równanie
:
xy
y
x
dx
dy
+
+
+
=
1
. Wyznacz tę całkę szczególną, której wykres
przechodzi przez punkt A = (0, - 3).
Równanie to zapisujemy następująco:
)
1
)(
1
(
y
x
dx
dy
+
+
=
,
dx
x
y
dy
)
1
(
1
+
=
+
. Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych.
Zgodnie z podanym twierdzeniem całkujemy „obustronnie” dane równanie:
dx
x
y
dy
)
1
(
1
+
=
+
∫
∫
Otrzymujemy:
c
x
x
y
+
+
=
+
2
5
,
0
1
ln
,
R
c
∈
.
Stąd mamy rozwiązanie ogólne y(x) = c
⋅⋅⋅⋅
2
5
,
0 x
x
e
+
−
1 , c
∈
R.
Skoro całka szczególna ma przechodzić przez punkt A = (0, - 3), więc musi być spełniony
warunek -3 = c
⋅⋅⋅⋅
0
e
−
1. Stąd c = -2.
Poszukiwana całka ma postać: y(x) = -2
⋅⋅⋅⋅
2
5
,
0 x
x
e
+
−
1
