eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyoski 

www.etrapez.pl

 

Tel. 603 088 274 

Wzory na całki potrójne: 

OBLICZANIE CAŁKI POTRÓJNEJ 

Jeśli obszar D jest obszarem: 

 

 

 

 

 

 

Przejście na współrzędne sferyczne: 

 

 

 

 

Jakobian: 

 

 

Przejście na współrzędne walcowe: 

 

 

 

 

Jakobian:

 

 

 

 





, ,

V

f x y z dxdydz



 

 

 

 

,

,

a

x

b

k x

y

h x

x y

z

x y





  



 





 



sin

cos

sin

sin

cos

x

r

y

r

z

r















 



 



2

sin

r



cos

sin

x

r

y

r

z

z









 



 



r

 

eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyoski 

www.etrapez.pl

 

Tel. 603 088 274 

OBLICZANIE OBJĘTOŚCI PRZY POMOCY CAŁKI POTRÓJNEJ 

 

 

ZASTOSOWANIA FIZYCZNE CAŁKI POTRÓJNEJ 

Jeżeli                   oznacza gęstośd bryły przestrzennej V, wtedy:  

Masa M tej bryły: 

 

Moment statyczny względem płaszczyzny xOy: 

 

Moment statyczny względem płaszczyzny yOz: 

 

Moment statyczny względem płaszczyzny zOx: 

 

 

Współrzędne środka ciężkości: 

 

 

Moment bezwładności względem płaszczyzny xOy: 

 

Moment bezwładności względem płaszczyzny yOz: 

 

Moment bezwładności względem płaszczyzny zOx: 

 

 

 

V

V

dxdydz









, ,

x y z







, ,

V

M

x y z dxdydz











, ,

xy

V

M

z

x y z dxdydz











, ,

yz

V

M

x

x y z dxdydz







,

,

yz

xy

zx

M

M

M

M

M

M

















, ,

zx

V

M

y

x y z dxdydz











2

, ,

xy

V

I

z

x y z dxdydz











2

, ,

yz

V

I

x

x y z dxdydz











2

, ,

zx

V

I

y

x y z dxdydz







 

eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyoski 

www.etrapez.pl

 

Tel. 603 088 274 

 

Moment bezwładności względem osi X: 

 

Moment bezwładności względem osi Y: 

 

Moment bezwładności względem osi Z: 

 

 

Moment bezwładności względem początku układu współrzędnych: 

 

 

 

 









2

2

, ,

x

V

I

y

z

x y z dxdydz

















2

2

, ,

y

V

I

z

x

x y z dxdydz

















2

2

, ,

z

V

I

x

y

x y z dxdydz

















2

2

2

0

, ,

V

I

x

y

z

x y z dxdydz









