Caªki trygonometryczne - podstawienie uniwersalne

Ostatnia zmiana: 12/12/2010

Caªki typu

Z

R (sin x, cos x) dx

sprowadzi¢ mo»na do caªki funkcji wymiernej np. za pomoc¡ tzw.

podstawienia uniwersalnego:

tg

x

2

= t ⇒ x = 2 arctan t

dx =

2dt

1 + t

2

sin x =

2t

1 + t

2

cos x =

1 − t

2

1 + t

2

1. Oblicz caªki:

a.

Z

dx

sin x

b.

Z

dx

cos x

c.

Z

dx

4 + 3 sin x

d.

Z

dx

2 + cos x

e.

Z

2 + sin x

(1 + cos x) sin x

dx

f.

Z

dx

1 + sin x

g.

Z

dx

5 + 4 cos x

h.

Z

dx

1 − sin x

i.

Z

sin x

1 − sin x

dx

j.

Z

sin x − cos x

(1 − cos x)

2

dx

k.

Z

dx

sin x + 1 + cos x

l.

Z

dx

sin 2x

1

Odpowiedzi.

1.

a. ln






tg

x

2






+ C

b. ln







1 + tg (x/2)

1 − tg (x/2)







+ C

c.

2

√

7

arctan

3 + 4 tg (x/2)

√

7

+ C

d.

2

√

3

arctan

tg (x/2)

√

3

+ C

e. ln






tg

x

2






+

1

2

tg

2

x

2

+ tg

x

2

+ C

f.

−2

1 + tg(x/2)

+ C

g.

2

3

arctan

tg

x
2

3

+ C

h.

2

1 − tg

x
2

+ C

i.

2

1 − tg

x
2

− x + C

j. −

1

2 tg

2 x

2

+

1

6 tg

3 x

2

−

1

2 tg

x

2

+ C

2