Przestrzenie wektorowe

mgr Zofia Makara

11 stycznia 2004

1

Przestrzenie wektorowe (liniowe)

Definicja 1 Przestrzenią wektorową, zwaną również przestrzenią liniową
nad ciałem (K, +, ·) nazywamy strukturę algebraiczną (V, K, ◦, ∗), która speł-
nia następujące warunki:

1. (V, ◦) jest grupą przemienną (abelową);

2.

∀

a∈K

∀

x,y∈V

a ∗ (x ◦ y) = (a ∗ x) ◦ (a ∗ y);

3.

∀

a,b∈K

∀

x∈V

(a + b) ∗ c = (a ∗ x) ◦ (b ∗ x);

4.

∀

a,b∈K

∀

x∈V

a ∗ (b ∗ x) = (a · b) ∗ x;

5.

∀

x∈V

1 ∗ x = x

Na podstawie definicji przestrzeni wektorowej można zauważyć następujące
własności:
Własność 1

∀

x∈V

0 ∗ x = Θ.

Własność 2

∀

a∈K

a ∗ Θ = Θ.

Własność 3

∀

a∈K

∀

x∈V

((a ∗ x = Θ) ⇒ ((a = 0) ∨ (x = Θ))).

gdzie zero - 0 ∈ K, zaś zero - Θ ∈ V
W celu uproszczenia zapisu w dalszej części działania ◦, oraz ∗ również będą
oznaczane jako + oraz ·.
Skalarami nazywa się elementy zbioru K, zaś elementy zbioru V - wektorami.

1

2

Zadania

1. Niech V będzie zbiorem liczb rzeczywistych dodatnich. Dla określo-

nych działań ◦ i ∗ zbadać, czy dana (V, R, ◦, ∗) jest przestrzenią wek-
torową:

(a)

∀

x,y∈V

(x ◦ y) = xy;

∀

a∈R

∀

x∈V

(a ∗ x) = x

a

;

(b)

∀

x,y∈V

(x ◦ y) = x + y;

∀

a∈R

∀

x∈V

(a ∗ x) = a · x;

(c)

∀

x,y∈V

(x ◦ y) = x

2

− xy + y

2

;

∀

a∈R

∀

x∈V

(a ∗ x) = ax

2

+ a

2

x;

2. Niech dana będzie przestrzeń (R

2

, R, ◦, ∗), gdzie:

(a)

∀

x=(x

1

,x

2

),y=(y

1

,y

2

)∈R

2

(x ◦ y) = (x

1

+ x

2

, y

1

+ y

2

);

∀

a∈R

∀

x=(x

1

,x

2

)∈R

2

(a ∗ x) = (a · x

1

, x

2

);

(b)

∀

x=(x

1

,x

2

),y=(y

1

,y

2

)∈R

2

(x ◦ y) = (x

1

+ x

2

, y

1

+ y

2

);

∀

a∈R

∀

x=(x

1

,x

2

)∈R

2

(a ∗ x) = (a · x

1

, a · x

2

);

3. Wykazać, że (C, I, +, ·) jest przestrzenią wektorową, gdzie L - jest

zbiorem funkcji ciągłych określonych na przedziale I ⊂ R,

L(I) = {f :3 x → f (x) ∈ R, f f unkcja ciga}

Uwzględniając działania:
dodawanie funkcji:

+ : C(I) × C(I) 3 (f, g) → (f + g) ∈ C(I)

(f + g)(x) = f (x) + g(x), dla kadego x ∈ I

mnożenie funkcji przez skalar

· : R × C(I) 3 (λ, g) → (λ · f ) ∈ C(I)

(λ · f )(x) = λ · f (x), dla kadego x ∈ I

2

4. Wykazać, że dana struktura jest przestrzenią liniową:

(a) (R

2

, R, +, ·);

(b) (R

3

, R, +, ·);

(c) (R

n

, R, +, ·);

5. Wykazać, że (F, R, +, ·) jest przestrzenią wektorową, gdzie F - jest

zbiorem funkcji:

(a) F - funkcji liniowych F = {f : R 3 x →= f (x) = ax};

(b) F - funkcji afinicznych F = {f : R 3 x →= f (x) = ax+b, b ∈ R};

6. Wykazać, że zbiór wielomianów zmiennej x ∈ R - R[x] wraz z działa-

niami dodawania i wielomianów i mnożenia ich przez skalar jest prze-
strzenią liniową.

3