1

Teoretyczne podstawy wyceny 

opcji metodą Blacka-Scholsa

Andrzej Kasprzak

25.04.06

2/20

Plan:

Motywacja

Co to za Opcja?

Cena opcji

Teoretyczne wyprowadzenie 

sprawiedliwej ceny opcji

– model B&S

Dlaczego 

cena sprawiedliwa

jest 

niesprawiedliwa?

3/20

Motywacja

1)

Próba zrozumienia otaczającego nas 
świata (finansowego)

2)

$$$

3)

Roczny wolumen w 2004 (sztuki):

4/20

Co to za Opcja?

Opcja=Zakład

Opcje kupna, sprzedaży; wystawcy i 
kupujący.

Prawo kupna (sprzedaży) 
określonego instrumentu 
finansowego po określonej cenie w 
określonym momencie czasu.

5/20

Cena opcji

Nabywca opcji za prawo zakupu 
(sprzedaży) danego instrumentu po 
określonej cenie w przyszłości płaci 
wystawcy pewną kwotę – tzw. premię 
opcyjną.

6/20

Zasadnicze pytanie:

JAKA POWINNA BYĆ CENA 

OPCJI, ABY TEN ZAKŁAD BYŁ 
SPRAWIEDLIWY?

7/20

Odpowiedź: 
Scholes&Black(&Merton) 

1973 – „The Pricing of Options and Corporate Liabilities”
1997 – Nagroda Nobla (Scholes&Merton)

8/20

Wyprowadzenie teoretyczne

Założenia (idealny rynek):

1)

Ciągły w czasie obrót instrumentami finansowymi

2)

Stała, wolna od ryzyka stopa procentowa r

3)

Brak kosztów transakcyjnych i podatków

4)

Nie ma możliwości arbitrażu

5)

Brak dywidend z instrumentu bazowego w 
badanym okresie

6)

Logarytm stopy zwrotu z instrumentu 
bazowego ma rozkład normalny

9/20

Wyprowadzenie c.d

Oznaczenia:

-

S: kurs instrumentu bazowego w momencie 
wykonania (nieznany)

-

S

0

: obecny kurs instrumentu bazowego (znany)

-

T:okres ważności opcji

-

X=ln(S/S

0

): zmienna losowa o rozkładzie normalnym 

ze średnią T i wariancją 

2

T.

-

C(S

0

,T): cena opcji

-

K- kurs wykonania opcji

10/20

Wyprowadzenie c.d.

Zysk kupującego opcję kupna:

Max(S-K,0)

Cena sprawiedliwa powinna być taka, 

żeby obu stronom było wszystko jedno, 
czy zawrzeć taką transakcję, czy nie. 

11/20

Wyprowadzenie c.d.

Stąd:

C(S

0

,T)=e

-rT

E(max(S-K,0))

Tzn. cena opcji powinna być wartością 

bieżącą (PV) wartości oczekiwanej 
zysku.

12/20

Wyprowadzenie c.d.

Dalej to już czysta statystyka 

matematyczna (której nie będę tutaj 
przedstawiał ;)

Ostatecznie wynik jest następujący:

13/20

Wyprowadzenie c.d

gdzie 

a N oznacza dystrybuantę 

standardowego rozkładu normalnego 
N(0,1)

14/20

Komentarz

Powyższe wyprowadzenie – znacznie uproszczone.

Prawdziwa analiza oparta na koncepcji porfela 
pozbawionego ryzyka połączona z procesem 
błądzenia przypadkowego prowadzi do cząstkowego 
równania różniczkowego B&S opisującego ewolucję 
wartości V opcji:

=

15/20

Komentarz c.d.

Do pełnego rozwiązania potrzebujemy warunki 
brzegowe (dla opcji kupna):

dla

16/20

Dlaczego ta cena jest niewłaściwa?

-założenia dość silne, choć część można modyfiować 
(np. uwzględnić wypłacane dywidendy, koszty 
transakcyjne i podatki)

-najważniejsze założenie obliczeniowe  (o rozkładzie 
normalnym) nie jest spełnione

17/20

18/20

Black- MIT, Goldman Sachs co.

Scholes – sektor instrumentów 

pochodnych w Salomon Brothers

Obaj stracili duuużo pieniędzy...

19/20

Czy to jest ważne?

Krótki okres – zachowania ludzi mogą 
kształtować ceny zgodne z wyceną B&S

Długi okres – raczej nie (choć wtedy 
odstępstwa od rozkładu normalnego są 
mniejsze)

Najbardziej istotne – prognozowanie 
zachowania instrumentu bazowego

20/20

Dziękuję za uwagę.