1
WSTĘP
DO FIZYKI
JADRA
ATOMOWEGO
IV ROK FIZYKI - semestr zimowy
Janusz Braziewicz - Zakład Fizyki Medycznej IF AŚ
A O
Wykład –4-6
1
WSTĘP
DO FIZYKI
JADRA
ATOMOWEGO
IV ROK FIZYKI - semestr zimowy
Janusz Braziewicz - Zakład Fizyki Medycznej IF AŚ
A O
Wykład –4-6
2
Modele jądra atomowego
Oczekujemy wyjaśnienia:
• stałej gęstości materii jądrowej
• stałej energii wiązania
• własności jąder takich, jak spin, momenty
elektromagnetyczne i ich związek z Z i N
• rozmieszczenia stabilnych izotopów na wykresie n=f(Z)
• występowania liczb magicznych
• prawidłowości występujących w stabilności izobarów
względem rozpadu
β
• systematyczności zmian energii rozpadu
α ze zmianą Z i N
• rozszczepienia jąder
3
Modele jądrowe
cząstek niezależnych
powłokowy
gazu Fermiego
silnego sprzężenia
powłokowy z oddziaływaniem
resztkowym
clusterowy
kroplowy
zunifikowany
skorelowanych par
4
Model
kroplowy
jądra
wyjaśnia takie własności jądra:
• masa jądra
• energia wiązania
analogia do kropli cieczy:
• stała gęstość materii
• stała energia wiązania na nukleon
e
e
e
e
e
e
n
n
p
p
e
e
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Kropla nieściśliwej cieczy
utrzymywana w równowadze
przez krótkozasięgowe siły
mające własność wysycania się.
Energia wiązania kropli:
B = B
1
+ B
2
+ B
3
+ B
4
+ B
5
5
B = B
1
+ B
2
+ B
3
+ B
4
+ B
5
-
energia objętościowa
B
1
= a
v
A
B =
B
1
+
B
2
+ B
3
+ B
4
+ B
5
-
energia powierzchniowa
B
2
= -a
s
A
2/3
B =
B
1
+ B
2
+
B
3
+ B
4
+ B
5
-
energia kulombowska
B
3
= -a
c
Z
2
A
-1/3
B =
B
1
+ B
2
+ B
3
+
B
4
+ B
5
-
energia asymetrii
B
4
= -a
A (
Z-A/2)
2
A
-1
B =
B
1
+ B
2
+ B
3
+ B
4
+
B
5
-
energia pairingu
+
δ parzyste Z i N
B
5
= 0 nieparzyste Z lub N
-
δ nieparzyste Z i N
δ≈a
δ
A
-1/2
A
a
A
r
R
R
V
V
o
jadra
=
=
=
=
3
/
1
3
3
4
π
/
2
3
/
1
2
4
A
a
A
r
R
R
S
S
o
jadra
=
=
=
=
π
3
/
1
2
3
/
1
2
5
3
−
−
=
=
=
=
=
A
Z
a
eZ
q
A
r
R
R
q
V
C
o
jadra
ie
kilombowsk
A
A
Z
a
V
A
jadra
asymetrii
2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
−
6
półempiryczny wzór na energię wiązania:
(
)
1/2
2
3
/
1
2
3
/
2
2
,
−
−
±
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
−
−
=
A
a
A
A
Z
a
A
Z
a
A
a
A
a
A
Z
B
a
c
s
v
δ
ponieważ
(
)
(
)
2
/
,
c
B
m
Z
A
Zm
A
Z
m
n
H
−
−
+
=
(
)
(
)
1/2
2
3
/
1
2
3
/
2
2
,
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
+
+
−
−
+
=
A
a
A
A
Z
a
A
Z
a
A
a
A
a
m
Z
A
Zm
A
Z
m
a
c
s
v
n
H
δ
μ
formuła masowa Weizsäckera
7
Stałe
a
v
= 17.011mu = 15.85 MeV/c
2
a
c
= 0.767mu = 0.71 MeV/c
2
a
s
= 19.691mu = 18.34 MeV/c
2
a
a
= 99.692mu = 92.86 MeV/c
2
a
δ
= 12.3mu = 11.46 MeV/c
2
Formuła opisuje
średnie zachowanie
dla A>30 z dokładnością ~1%.
F o r m u ła ła tw o tłu m a c z y
r o z s z c z e p ie n ie j ą d r a .
8
Model kroplowy traktuje jądro jako całość
nic nie mówiąc o poszczególnych
nukleonach.
Wyjaśnił tylko:
• energię wiązania
• masę jądra.
9
Zależność masy w ciągu izobarów
A-nieparzyste
Istnieje tylko jeden izobar o minimalnej
wartości masy – to izobar stabilny
10
Zależność masy w ciągu izobarów
A-parzyste
Istnieje więcej niż jeden izobar o
minimalnej wartości masy – to izobary
stabilne
11
Szukanie minimum
dla dowolnego jądra
o liczbach Z i A
to
(
)
0
,
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=const
A
Z
A
Z
m
(
)
0
2
/
2
2
1
0
3
/
1
0
=
−
+
+
−
−
−
A
A
Z
a
A
a
Z
m
m
A
C
n
p
3
/
2
3
/
1
0
015
.
0
98
.
1
2
A
A
a
A
a
a
m
m
A
Z
A
C
A
n
p
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
−
=
−
12
Granice możliwości uzyskiwania energii
• oderwanie od jądra cząstki
α
(
) (
) ( )
[
]
0
4
,
2
4
,
2
,
2
>
−
−
−
−
=
c
m
A
Z
m
A
Z
m
E
α
13
• proces rozszczepienia
Granice możliwości uzyskiwania energii
(
)
(
)
[
]
0
2
/
,
2
/
2
,
2
>
−
=
c
A
Z
m
A
Z
m
E
f
(
)
(
)
(
)
amu
A
Z
A
A
Z
a
A
a
c
E
C
S
f
3
/
1
2
3
/
2
3
/
2
3
/
1
2
3
/
2
3
/
2
2
284
.
0
12
.
5
2
1
2
1
/
−
−
+
−
=
−
+
−
=
zachodzi dla A od ~90
14
Jądro - gaz Fermiego
• nukleony (cząstki o spinie 1/2) znajdują się w studni
potencjału
• w stanie podstawowym jądra zajęte są wszystkie stany
dozwolone przez zakaz Pauliego i pomimo silnych
oddziaływań pomiędzy nukleonami cząstka nie może
zmieniać swego stanu ruchu
• nukleony nie mogą ulegać zderzeniom
→ jądro
atomowe można w przybliżeniu traktować jako układ
cząstek niezależnych
Dla dowolnie wybranego nukleonu można określić jego
stany własne
rozwiązując równanie Schrödingera
w średnim potencjale jądra, na który składają się
oddziaływania wszystkich innych nukleonów
15
Postać średniego potencjału jądra
nie jest z góry znana
założenia:
• określony przez same nukleony
• winien być zgodny z warunkiem, że jądro ma stosunkowo
ostro określony brzeg
• prostokątny sferycznie symetryczny potencjał V(r)
o wartości -V
o
dla r<R
o wartości V
o
= 0 dla r
≥R
Ψ
Ψ
=
H
E
ˆ
gdzie
∑
∑
≠
+
∇
=
j
i
ij
i
i
u
m
H
2
1
2
ˆ
2
2
η
16
ponieważ cząstki nie oddziaływują ze sobą, to:
• wyznaczamy możliwe stany dla jednej z nich
• obsadzamy możliwe stany zgodnie z zakazem Pauliego
Niezależne od czasu
równanie Schrödingera
dla cząstki w prostokątnej studni potencjału
Ψ
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Ψ
∂
+
∂
Ψ
∂
+
∂
Ψ
∂
−
=
ΔΨ
−
E
z
y
x
m
m
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
η
η
( )
( ) ( ) ( )
z
Z
y
Y
x
X
r
+
+
=
Ψ
z
y
x
E
E
E
E
+
+
=
układ swobodnych cząstek o spinie 1/2 zamkniętych
nieprzenikalną ścianą - model gazu Fermiego
0
=
ij
u
17
jego jednowymiarowa forma:
( )
x
X
E
x
X
m
x
=
∂
∂
−
2
2
2
2
η
to równanie postaci
( )
x
X
k
x
X
2
2
2
−
=
∂
∂
2mE
k
η
1
=
i ma rozwiązanie
(
)
(
)
x
k
i
x
k
B
x
k
i
x
k
A
e
B
e
A
X
x
ik
x
ik
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
sin
cos
sin
cos
−
+
+
=
+
=
−
Wybór stałych A i B oraz wybór jednego z rozwiązań
wynika z warunków brzegowych.
( )
( )
r
k
r
ρ
ρ
⋅
=
Ψ
i
Ce
18
Jeśli zamiast potencjału sferycznie symetrycznego wprowadzę
potencjał w formie kostki o boku a
, to warunki
brzegowe są wówczas następujące:
X(x)=Y(y)=Z(z)=0 dla x=y=z=±a/2
Rozwiązaniami są funkcje mające
zera na granicach potencjału i z
warunków brzegowych wynikają
unormowane rozwiązania postaci
,...
7
,
5
,
3
,
1
,
=
=
x
x
a
k
x
λ
πλ
λ
+
+
+
x
k
a
X
x
λ
λ
cos
2
1
=
+
x
k
a
X
x
λ
λ
sin
2
i
=
−
-
+
-
,...
6
,
4
,
2
,
0
,
=
=
x
x
a
k
x
λ
πλ
λ
-
-
-
19
( )
,...
3
,
2
,
1
,
0
,
2
1
2
2
2
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
x
x
x
a
m
k
m
E
x
x
λ
πλ
λ
λ
η
η
możliwe wartości energii cząstki:
dla rozwiązania trójwymiarowego zachodzi więc:
(
)
2
2
2
2
2
1
z
y
x
z
y
x
a
m
E
E
E
E
λ
λ
λ
π
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
+
+
=
η
związany z tą energią pęd:
(
)
2
2
2
2
2
2
z
y
x
a
mE
p
λ
λ
λ
π
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
=
η
20
weźmy teraz prostokątny układ
współrzędnych
λ
x
,
λ
y
,
λ
z
.
Ponieważ
λ przybiera wartości
całkowite - współrzędne tworzą
przestrzenna siec punktów.
η
π
π
λ
ap
ak =
=
ponieważ
Objętość przestrzeni zdefiniowana przez te
współrzędne jest proporcjonalna do
iloczynu objętości przestrzeni położeń a
3
i
objętości przestrzeni pędów p
3
, wyrażonej
w jednostkach h
3
,
3
3
3
~
~
p
a
λ
Ω
21
Przestrzeń położeń i pędów nosi nazwę
przestrzeni fazowej
Liczba możliwych stanów dn, czyli liczba możliwych
punktów siatki leżących w warstwie kulistej
ρ, ρ+dρ,
gdzie , przy dostatecznej gęstości
punktów jest równa objętości warstwy
2
2
2
2
z
y
x
λ
λ
λ
ρ
+
+
=
ρ
πρ
d
d
2
4
=
Ω
ρ
πρ
d
d
dn
2
2
1
8
1
=
Ω
=
Czynnik 1/8 uwzględnia fakt, że punkty o dodatnich
wartościach
λ leżą tylko w 1/8 kuli, więc
τ
πτ
π
τ
=
=
=
3
3
2
2
3
2
,
4
2
a
dp
p
dp
p
dn
h
η
22
• ponieważ cząstka porusza się swobodnie w obrębie
prostokątnej studni potencjału, równanie podaje liczbę
możliwych stanów cząstki zamkniętej w objętości a
3
,
przypadających na przedział pędu dp.
• równanie jest równoważne stwierdzeniu, że w objętości
przestrzeni fazowej równej h
3
znajduje się tylko jeden
stan.
(
)
dE
E
C
dE
E
m
dn
τ
τ
π
1
1
3
2
2
/
3
2
=
=
−
η
p
2
=2mE, p
2
dp=(2m
3
E)
1/2
dE
τ
πτ
π
τ
=
=
=
3
3
2
2
3
2
,
4
2
a
dp
p
dp
p
dn
h
η
23
• w studni znajduje się pewna liczba cząstek o spinie 1/2
• w każdym stanie można umieścić tylko dwie cząstki
• poczynając od najniższego stanu obsadzamy coraz to
wyższe
• załóżmy, że nie ma cząstek wzbudzonych
(
układ ma temperaturę T=0 K)
liczba cząstek na przedział energii ~E
1/2
• gdy jedna z dwu cząstek ma w najwyższym z zajętych
stanów energię E
F
to liczba cząstek w studni potencjału
wynosi
• gdzie energia Fermiego
(
)
(
)
2
/
3
1
3
2
2
/
3
0
1
0
3
8
2
2
F
E
E
E
m
dE
E
C
dE
dE
dn
n
F
F
⋅
=
=
=
−
∫
∫
τ
π
τ
η
3
/
2
2
3
/
4
3
/
2
3
2
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
τ
π
n
m
E
F
η
24
W przypadku jądra znana jest liczba cząstek i objętość
jaką zajmują
znajomość r
o
wystarcza do określenia wartości E
F
.
V
o
~40 MeV
E
F
~30 MeV
25
Ponieważ mamy dwa rodzaje cząstek w jądrze -
• odpychająca siła kulombowska między protonami
powoduje zmniejszenie ich energii wiązania w studni
potencjału
• jądro to układ dwóch niezależnych od siebie gazów
Fermiego, znajdujących się w odmiennych warunkach
energetycznych
26
Przebieg potencjału i stany
energetyczne w modelu gazu
Fermiego dla protonów i
neutronów
Porównanie energii wiązania w
symetrycznym i niesymetrycznym gazie
Fermiego
Nadmiar neutronów w większości trwałych jąder jest więc
spowodowany tym, że w stanie równowagi w studni
potencjału dla neutronów można zmieścić więcej cząstek, niż
w studni potencjału dla protonów, która jest płytsza o wartość
energii kulombowskiej.
27
Wpływ ładunku protonu na wartość energii wiązania jądra
Całkowita energia E
T
gazu Fermiego
∫
∫
=
=
=
F
F
E
F
E
T
E
C
dE
E
C
dE
dE
dn
E
E
0
2
/
5
1
0
2
/
3
1
5
4
2
τ
τ
3
/
2
2
3
/
4
3
/
2
3
2
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
τ
π
n
m
E
F
η
3
/
2
3
/
5
3
3
/
2
3
/
5
2
−
−
=
=
A
n
C
n
C
E
T
τ
A
r
3
0
3
4
π
τ
=
28
Jeśli protony byłyby bez
ładunku
i dla każdej części
wstawilibyśmy n=A/2 i
otrzymalibyśmy
3
/
2
3
/
5
3
2
1
2
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
A
A
C
E
T
Ponieważ protony mają ładunek,
to dla lewej części mamy n=Z a
dla prawej n=N i otrzymamy
(
)
3
/
5
3
/
5
3
/
2
3
Z
N
A
C
E
T
+
=
−
29
z różnicy otrzymamy
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
=
Δ
−
3
/
5
3
/
5
3
/
5
3
/
2
3
2
1
2
A
Z
N
A
C
E
(
)
N
Z
T
Z
−
=
2
1
A
T
A
T
A
T
A
A
C
E
Z
Z
Z
2
3
/
5
3
/
5
3
/
5
3
/
2
3
~
2
1
2
2
1
2
1
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
Δ
−
Stosując rozwinięcie dwumianowe piszemy
i rozwijamy jak
(
)
3
/
5
3
/
5
3
/
5
/
2
1
2
2
A
T
A
T
A
z
z
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
(
)
p
x
−
1
30
Promieniotwórczość
Jądra nietrwałe
•
jądra w stanie podstawowym, które w wyniku
emisji cząstek mogą zmieniać się
spontanicznie w jądra innego rodzaju
• jądra wzbudzone, które w wyniku
oddziaływań elektromagnetycznych mogą
przejść do stanu podstawowego
31
Procesy rozpadu jąder
He
Y
X
A
Z
A
Z
4
2
4
2
+
⎯→
⎯
−
−
α
e
A
Z
A
Z
e
Y
X
~
1
ν
β
+
+
⎯→
⎯
−
+
−
e
A
Z
A
Z
e
Y
X
ν
β
+
+
⎯→
⎯
+
−
+
1
e
A
Z
WE
A
Z
Y
e
X
ν
+
⎯→
⎯
+
−
−
1
γ
γ
+
⎯
⎯ →
⎯
X
X
A
Z
rozpad
A
Z
*
określone
prawdopodobieństwo przejścia
(rozpadu)
λ=|C|
2
,
gdzie amplituda przejścia
C=<
Ψ
f
⏐V⏐Ψ
i
>,
zawiera stałe uniwersalne
i zależy od funkcji falowych
jąder, które z kolei zależą od
stalych charakteryzujacych
silne i slabe oddziaływania
prawdopodobieństwo rozpadu
λ stanu nietrwałego jest
wielkością rzeczywiście stala
32
definicje
•
stała rozpadu
dN
=-
λ
N
dt
•
N - liczba nietrwałych jąder w chwili t=0
• prawdopodobieństwo rozpadu pojedynczego jądra
w jednostce czasu
(1/sek)
• dN - liczba jąder, które uległy rozpadowi w czasie
dt
33
• aktywność
⏐dN/dt⏐=λN≡A
Jednostki
•1 kiur = 1Ci = 3.7*10
10
rozpadów/s
•1 bekerel = 1Bq = 1 rozpad/s = 0.27*10
-10
Ci
34
∫
∫
=
−
=
t
t
N
N
dt
N
dN
o
0
λ
t
N
N
o
λ
−
=
ln
t
o
e
N
t
N
λ
−
=
)
(
N
(t
)
t
lnN(t)
t
o
o
t
o
N
A
e
A
A
λ
λ
≡
=
−
,
λ=tg∠
35
• czas połowicznego zaniku
T
1/2
=ln2/
λ
• średni czas życia
τ=1/λ
36
• krzywa wzrostu
t=0
M-N
o
P-0
t=t
M-N
P- N
o
-N=N’
(
)
t
o
e
N
t
N
λ
−
−
=
1
)
(
'
N
’(
t)
t
N
o
37
Rozpad sukcesywny
1
2
3
λ
1
λ
2
1
1
1
N
dt
dN
λ
−
=
2
2
1
1
2
N
N
dt
dN
λ
λ
−
=
2
2
3
N
dt
dN
λ
=
t
e
N
N
1
01
1
λ
−
=
(
)
t
t
t
e
N
e
e
N
N
2
2
1
02
01
1
2
1
2
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
+
−
−
=
(
)
03
02
1
2
2
1
2
1
01
3
2
1
2
1
1
N
e
N
e
e
N
N
t
t
t
+
−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
+
=
−
−
−
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
38
Rozpad sukcesywny
1
2
3
λ
1
λ
2
1
1
1
N
dt
dN
λ
−
=
2
2
1
1
2
N
N
dt
dN
λ
λ
−
=
2
2
3
N
dt
dN
λ
=
t
e
N
N
1
01
1
λ
−
=
(
)
t
t
e
e
N
N
2
1
01
1
2
1
2
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
−
+
=
−
−
t
t
e
e
N
N
1
2
1
2
2
1
2
1
01
3
1
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
jeśli dla t=0 N
1
=N
01
i N
02
=N
03
=0
39
Mieszanina substancji radioaktywnych powiązanych genetycznie i
pozostawionych na przeciąg pewnego czasu
1
2
3
λ
1
λ
2
• przypadek I
0
,
1
1
2
≈
>>
λ
λ
λ
A
1
- aktywność substancji macierzystej
const
N
e
N
N
dt
dN
A
t
=
≅
=
=
=
−
01
1
01
1
1
1
1
1
1
λ
λ
λ
λ
małe
~1
40
A
2
- aktywność substancji pochodnej
(
)
(
)
t
t
t
e
N
e
e
N
N
A
2
2
1
1
01
1
01
1
2
1
2
2
2
2
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
−
≅
−
−
=
=
A
2
początkowo narasta, lecz po kilku nT
2
i
0
2
2
≅
− nT
e
λ
1
01
1
2
A
N
A
=
≅
λ
Aktywność sumaryczna
1
2
1
2
2
A
A
A
A
nT
t
⎯
⎯ →
⎯
+
=
>
Ze względu na małą wartość
λ
1
aktywności są tu w przybliżeniu stałe
w czasie i dlatego w takim przypadku mówimy o
promieniotwórczej równowadze wiekowej
41
• przypadek II
0
,
1
1
2
≈
>>
λ
λ
λ
A
1
- aktywność substancji macierzystej
t
e
N
N
dt
dN
A
1
01
1
1
1
1
1
λ
λ
λ
−
=
=
=
A
2
- aktywność substancji pochodnej
(
)
t
t
e
e
N
N
A
2
1
01
1
2
1
2
2
2
2
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
−
=
=
co po kilku czasach połowicznego zaniku substancji 2 daje
t
e
N
N
A
1
01
1
2
1
2
2
2
2
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
=
=
42
Aktywność substancji pochodnej zmienia się w czasie z tą samą stałą
rozpadu co aktywność substancji macierzystej. Po tym czasie stosunek
aktywności substancji pochodnej i macierzystej wynosi
1
2
2
1
2
λ
λ
λ
−
=
A
A
Aktywność sumaryczna
t
nT
t
e
N
A
A
A
1
2
01
1
1
2
2
2
1
1
λ
λ
λ
λ
λ
−
>
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
⎯
⎯ →
⎯
+
=
Po czasie równym nT
2
wszystkie aktywności zmieniają się w czasie ze
stałą rozpadu substancji macierzystej. Ten przypadek nazywamy
przejściową równowagą promieniotwórczą
.
43
• przypadek III
1
2
λ
λ
<
A
1
- aktywność substancji macierzystej
t
e
N
N
dt
dN
A
1
01
1
1
1
1
1
λ
λ
λ
−
=
=
=
A
2
- aktywność substancji pochodnej
(
)
t
t
e
e
N
N
A
2
1
01
1
2
1
2
2
2
2
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
−
−
=
=
44
Po kilku czasach nT
1
0
1
1
≅
− nT
e
λ
01
2
1
2
1
2
1
2
,
0
N
e
A
A
t
λ
λ
λ
λ
λ
−
−
=
=
2
2
1
1
A
A
A
A
nT
t
⎯
⎯ →
⎯
+
=
>
Aktywność sumaryczna
45
• szeregi promieniotwórcze
A=4n+s
,
gdzie n jest liczbą całkowitą, a s=0,1,2,3
A
szereg
jądro t
1/2
wyjściowe
4n
torowy
232
Th
1.4 10
10
y
4n+1
neptunowy
237
Np
2.14 10
6
y
4n+2
uranowy
238
U
4.47 10
9
y
4n+3
aktynowy
235
U
7.04 10
8
y
46
47
• sztuczna promieniotwórczość
• jądra wytworzone w wyniku reakcji jądrowych
• podlegają tym samym prawom statystycznym
( )
gpdz
t
e
Mg
Na
n
Al
e
15
,
,
2
/
1
~
24
12
24
11
27
13
=
+
+
→
−
ν
α
( )
y
t
e
N
C
p
n
N
e
5568
,
,
2
/
1
~
14
7
14
6
14
7
=
+
+
→
−
ν
(
)
min
39
.
20
,
,
2
/
1
11
5
11
6
14
7
=
+
+
→
+
t
e
B
C
p
N
e
ν
α
(
)
min
965
.
9
,
,
2
/
1
13
6
13
7
16
8
=
+
+
→
+
t
e
C
N
p
O
e
ν
α
( )
min
07
.
2
,
,
2
/
1
15
7
15
8
14
7
=
+
+
→
+
t
e
N
O
n
d
N
e
ν
( )
min
77
.
109
,
,
2
/
1
18
8
18
9
16
8
=
+
+
→
+
t
e
O
F
n
p
O
e
ν
(
)
min
77
.
109
,
,
2
/
1
18
8
18
9
20
10
=
+
+
→
+
t
e
O
F
d
Ne
e
ν
α
dla
PET
datowanie
48
Rozpad
α
He
Y
X
A
Z
A
Z
4
2
4
2
+
⎯→
⎯
−
−
α
stosunki energetyczne
Q=M
X
- (M
Y
+m
α
) > 0
Q=E
Y
+E
α
49
Teoria rozpadu
α
He
Y
X
A
Z
A
Z
4
2
4
2
+
⎯→
⎯
−
−
α
• tożsamość cząstek
α z jądrami helu wykazał
Rutherford w 1908
• energię cząstek określano za pomocą ich zasięgu
w powietrzu (do ~1930 roku) później zaczęto
stosować w tym celu spektrografy magnetyczne
• cząstka
α o energii 5.3 MeV (
210
Po)
ma w powietrzu zasięg 3.84 cm
• obecnie dokładny pomiar energii cząstek mierzy
się za pomocą detektorów półprzewodnikowych
50
Czynniki od jakich zależy
prawdopodobieństwo rozpadu
α
teoria rozpadu na gruncie mechaniki kwantowej podana
przez G. Gamow’a
podczas łączenia cząstki
α z jądrem
V(r)=Z
1
Z
2
e
2
/r
gdy r=R
1
+R
2
=R
zaczynają działać siły jądrowe to
V
C
= Z
1
Z
2
e
2
/R
• cząstka
α w jądrze zostaje związana w jądrze
• p i n znajdują się w prawdziwych stanach
związanych o ujemnej energii
• cztery nukleony łącząc się w cząstkę
α w jądrze znajdują się
w kwazistacjonarnym, metatrwałym stanie o dodatniej
energii - za to odpowiedzialna jest duża energia wiązania
α
51
Prawdopodobieństwo
λ emisji cząstki α to iloczyn
• prawdopodobieństwa
λ
o
utworzenia cząstki
α
• prawdopodobieństwa
T
α
przeniknięcia bariery
potencjału przez cząstkę
α
λ =
λ
o
T
α
T
α
=
liczba skutecznych prób przenikania
______________________________
liczba wszystkich prób przenikania
współczynnik przenikania (transmisji)
52
T
α
=
liczba skutecznych prób przenikania
______________________________
liczba wszystkich prób przenikania
współczynnik przenikania (transmisji)
strumień cząstek wychodzących poza barierą - j
a
strumień cząstek dobiegających do bariery - j
e
_________________________________________
≡
Strumień (cm
-2
s
-1
)
j = |u|
2
v
prędkość cząstek
gęstość prawdopodobieństwa położenia cząstki opisanej
funkcją falową u(r) jest określona przez |u|
2
=u
*
u
53
e
e
a
a
e
e
a
a
e
a
k
u
k
u
k
mv
p
v
u
v
u
j
j
T
2
2
2
2
=
=
=
=
=
=
η
α
Rozwiązując równanie Schrodingera w
obszarach cząstki 1, 2 i 3
otrzymujemy rozwiązania
(
)
r
ik
o
r
k
r
k
r
ik
r
ik
e
u
E
V
m
k
e
e
u
mE
k
e
e
u
3
,
2
,
2
1
1
3
3
,
2
2
2
2
1
1
1
1
2
1
,
2
1
,
α
β
α
β
α
=
−
=
+
=
=
+
=
−
−
η
η
części rzeczywiste
na rysunku b)
k
2
=ik
2
’,0
54
Z warunku ciągłości na brzegach
u
1
= u
2
, u
1
’
= u
2
’
dla r=0
u
2
= u
3
, u
2
’
= u
3
’
dla r=d
i wstawieniu rozwiązań otrzymamy 4 równania
określające 5 amplitud
α
1
,
β
1
,
α
2
,
β
2
,
α
3
co pozwoli wyznaczyć stosunki dowolnych dwu
2
1
3
2
1
2
3
α
α
α
α
α
=
=
T
(
)
d
k
o
o
o
e
V
V
E
V
T
'
2
2
2
2
2
2
4
−
−
−
=
α
(
)
1
'
2
2
2
2
2
2
1
3
sinh
2
1
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
+
=
=
d
k
V
E
V
V
T
o
o
o
α
α
α
dla grubej bariery
dk
2
’>>1
Ponieważ k
e
=k
1
=k
3
=k
a
55
(
)
(
)
[
]
d
E
V
m
T
o
−
−
≈
2
/
2
exp
η
α
(
)
d
k
o
o
o
e
V
V
E
V
T
'
2
2
2
2
2
2
4
−
−
−
=
α
ten czynnik decyduje
o wartości
(
)
( )
[
]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
=
∫
D
dr
E
r
V
m
T
0
2
/
2
exp
η
α
dla bariery o dowolnej postaci V(r)
to jest ~1
56
dla bariery V(r) postaci kulombowskiej
dr
E
r
e
Z
Z
m
G
gdzie
e
T
R
R
G
∫
−
=
≈
−
'
2
2
1
2
2
,
η
α
( )
( )
(
)
C
V
E
R
R
x
x
x
x
arc
x
gdzie
x
e
Z
Z
E
m
G
/
'
/
;
1
cos
/
2
2
2
2
1
=
≡
−
−
=
=
γ
γ
η
G - czynnik Gamowa
• maleje ze wzrostem energii
• czasy połowicznego zaniku są tym
mniejsze im większa jest energia cząstek
t
1/2
~1/
λ~1/T~e
G
, ln t
1/2
~G~E
α
-1/2
przedstawiając całkę w postaci skończonej
57
lnT
1/2
= A+B 1/(E
α
)
1/2
związek między stałą rozpadu i energią rozpadu E
α
dla
pierwiastków należących do tego samego szeregu
α promieniotwórczego
A - stała w obrębie
szeregu
B - stała dla wszystkich
szeregów
58
Przykład:
235
U
→
231
Th+
4
He, E
α
=4.2 MeV
v
α
=4*10
9
cm/s w jądrze o średnicy ~10
-12
cm
~10
21
zderzeń/s
j
a
~10
-38
, j
e
~(1-10
-38
)
→ 1 na 10
38
zderzeń z barierą
daje wyjście z jądra
Czas potrzebny na jeden rozpad
10
38
zderzeń/rozpad / 10
21
zderzeń/s ~ 10
17
sek
j
e
j
a
59
λ =
λ
o
T
α
?
dominujące
λ
o
–iloczyn
(1)
prawdopodobieństwa utworzenia cząstki
α we
wnętrzu jądra
(2) prawdopodobieństwa napotkania przez tę cząstkę
brzegu potencjału
Przyczynek (1) zależy od konfiguracji nukleonów w jądrze
i może być oszacowany za pomocą rachunków modelowych.
Przyczynek (2) określony głównie przez energię kinetyczną
cząstki i przez promień jądra.
60
Znając
z odpowiednią dokładnością postać potencjału
jądrowego (z obserwacji rozproszeń)
oraz wartość T
α
(wynikającą z rachunków)
można wyznaczyć wartość
λ
o
na podstawie pomiaru
czasu połowicznego zaniku
i
porównać ją z przewidywaniami poszczególnych
modeli jądrowych.
λ =
λ
o
T
α
61
Oddziaływanie cząstek
α z materią
• przechodząc przez środowisko oddziałują poprzez
pole elektrostatyczne z elektronami atomów -
wyrywają je z powłok jonizując atomy
• oddziałują więc nieelastycznie z elektronami
atomów tracąc stopniowo swoją energię
ośrodek
det
I
o
I
x
I/I
o
x
1
1/2
<R>
R
max
x
o
e
I
I
μ
−
=
62
Jeśli przez -dE/dx oznaczę stratę energii na
jednostkę drogi, to z teorii mamy związek
gdzie:
v - prędkość cząstki
Z
1
- liczba atomowa cząstki
n - liczba atomów absorbenta w jednostce objętości
Z
2
- liczba atomowa tarczy
I - średni potencjał jonizacji absorbenta
I
v
m
nZ
v
m
Z
e
dx
dE
e
e
2
2
2
2
4
2
ln
4
1
π
=
−
( )
eV
Z
Z
I
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
3
/
2
9
.
1
1
1
.
9
63
Przykładowe wartości I
powietrze - 80.5 eV
wodór - 15.6
aluminium - 150
ołów - 705
po przecałkowaniu otrzymamy
R=mZ
-2
F(v
o
)
I
v
m
nZ
v
m
Z
e
dx
dE
e
e
2
2
2
2
4
2
ln
4
1
π
=
−
m - masa cząstki
Z - liczba atomowa cząstki
F(v
o
) - dla danego absorbenta funkcja zależna tylko
od prędkości cząstki
zasięg R
64
dla E
α
- 8 MeV
R (cm)
powietrze 7.8
aluminium
0.0041
miedź
0.0018
złoto
0.0014
65
Rozpad
β
β
-
: n
→ p + e
-
+
ν
e
β
+
: p
→ n + e
+
+
ν
e
WE
: p + e
-
→ n + ν
e
~
może zachodzić dla n
swobodnego
z t
1/2
10.6 min
• rozpad
β zachodzi między izobarami – zmienia się
tylko stan ładunkowy jądra
• zachodzi tylko wówczas, gdy istnieje sąsiednie jądro
o mniejszej masie
66
Zależność masy w ciągu izobarów
A-nieparzyste
Istnieje tylko jeden izobar o minimalnej
wartości masy – to izobar stabilny
67
Zależność masy w ciągu izobarów
A-parzyste
Istnieje tylko więcej niż jeden izobar o
minimalnej wartości masy – to izobary
stabilny
68
Szukanie minimum
dla dowolnego jądra
o liczbach z i A
to
(
)
0
,
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=const
A
Z
A
Z
m
(
)
0
2
/
2
2
1
0
3
/
1
0
=
−
+
+
−
−
−
A
A
Z
a
A
a
Z
m
m
A
C
n
p
3
/
2
3
/
1
0
015
.
0
98
.
1
2
A
A
a
A
a
a
m
m
A
Z
A
C
A
n
p
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
−
=
−
69
Stosunki energetyczne w rozpadzie
β
e
A
Z
A
Z
e
Y
X
~
1
ν
β
+
+
⎯→
⎯
−
+
−
M(Z,A)=M(Z+1,A)+Q
Q=T
Y
+T
β
+T
ν
= M
X
- M
Y
e
A
Z
A
Z
e
Y
X
ν
β
+
+
⎯→
⎯
+
−
+
1
M(Z,A)=M(Z-1,A)+2m
e
+Q
Q=T
Y
+T
β
+T
ν
= M
X
– M
Y
–2m
e
e
A
Z
WE
A
Z
Y
e
X
ν
+
⎯→
⎯
+
−
−
1
M(Z,A)=M(Z-1,A)+Q
Q=T
Y
+ T
ν
= M
X
- M
Y
Warunek zajścia rozpadu – Q>0
70
e
A
Z
A
Z
e
Y
X
~
1
ν
β
+
+
⎯→
⎯
−
+
−
Q>0
→ M
X
> M
Y
e
A
Z
A
Z
e
Y
X
ν
β
+
+
⎯→
⎯
+
−
+
1
Q>0
→ M
X
> M
Y
+ 2m
e
dla 0<_[M(Z,A)-M(Z-1,A)]<_2m
e
• możliwy tylko WE
dla [M(Z,A)-M(Z-1,A)]>_2m
e
• możliwy WE
• możliwy
β
+
71
Informacje modelu kroplowego
o rozpadzie
β
dla izobarów (A=const) zachodzi
M(Z,A)=C
o
+ C
1
Z + C
2
Z
2
72
• stabilny izobar leżący
najniżej tej paraboli
dla A nieparzystych
dla A parzystego
• mamy jądra parzysto-parzyste (niżej)
i nieparzysto-nieparzyste (wyżej)
• między izobarami na tej samej
paraboli nie może być przejść, gdyż
ich Z różni się o 2
73
0
)
,
(
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=const
A
Z
A
Z
m
3
/
2
3
/
2
0
1
3
/
1
0
015
.
0
98
.
1
2
0
2
2
2
A
A
a
A
a
a
m
m
A
Z
A
A
Z
a
A
a
Z
m
m
A
c
A
H
n
o
A
c
n
H
+
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
+
−
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
+
−
−
−
74
Neutrino
• ciągłe widmo rozpadu
β
• energia emitowanych cząstek zawarta w
przedziale 0 - E
max
• rozpad nie spełniał
prawa zachowania energii
• rozpad zachodzi między izobarami (A=const)
więc spiny jąder winny zmieniać się o liczbę
całkowitą, a elektron ma spin ½
• rozpad nie spełniał
prawa zachowania spinu
75
Pauli –
niezachwiane przekonanie
o słuszności praw zachowania
•
propozycja istnienia nowej cząstki
•
przejmuje część energii rozpadu
•
ma spin połówkowy
•
nie ma ładunku
•
słabo oddziałuje z materią
•
posiada swoją antycząstkę
76
Doświadczalne potwierdzenie istnienia neutrina
(pośrednie – przez pomiar jądra odrzutu)
37
Ar + e
-
→
37
Cl +
ν
e
+ 0.8 MeV
to wynik
różnicy mas
jądro winno doznać odrzutu
by były spełnione zasady
zachowania energii i pędu
• Ar w postaci gazowej w miejscu zakreskowanym
• elektrony Augera rejestrowane w detektorze 1
• atomy Cl, które doznały odrzutu poruszają się w kierunku
detektora 3 – przebiegają odcinek 6 cm i są następnie
przyspieszane przez siatkę 2
• wielkością mierzoną jest opóźnienie czasowe między sygnałem
detektora 1 i 3
77
wynik doświadczenia
+
linia przerywana – to
krzywa teoretyczna w
przypadku energii
odrzutu atomów Cl
równej 9.6 eV jaka
wynika z wartości pędu
neutrina
odpowiadającego
różnicy mas
37
Ar i
37
Cl
78
Doświadczalne potwierdzenie istnienia neutrina
(bezpośrednie – doświadczenie Cowansa i Reinesa)
tu wykorzystano silny
strumień neutrin z
reaktora jądrowego
Proces
ν+ p → e
+
+ n
obserwowano w
scyntylatorze zawierającym
H z domieszką Cd
W celu jednoznacznej
identyfikacji należy
zarejestrować:
• impulsy od kwantów anihilacji
• promieniowanie wysyłane
przez Cd
79
Znając strumień antyneutrin oraz wydajność scyntylatora
można wyznaczyć przekrój czynny reakcji
dla antyneutrin emitowanych podczas rozszczepienia jąder
otrzymuje się wartość
7*10
-43
cm
2
= 7*10
-19
barna
80
Teoria rozpadu
β
(
Enrico Fermi
)
• rozpad
β to wynik oddziaływania między obiektami
fizycznymi całkowicie nieznanego fizyce klasycznej
• nowe oddziaływanie występuje obok grawitacyjnego,
elektromagnetycznego i silnego
• ponieważ procesy rozpadu
β mają znacznie mniejsze
prawdopodobieństwo przejścia niż procesy rządzone
przez siły jądrowe czy elektromagnetyczne,
mówimy w tym przypadku o
oddziaływaniach słabych
81
Teoria rozpadu
β
(
Enrico Fermi
)
• musi dobrze opisywać przebieg widma emitowanych
elektronów –
mierzonego np. przy pomocy spektrometru magnetycznego lub detektora
półprzewodnikowego
Stwierdza się
wyraźną różnicę
kształtu widma
82
Prawdopodobieństwo emisji elektronu z pędem p, p+dp
( )
o
dE
dn
i
H
f
dp
p
N
2
2
η
π
=
i
H
f
- operator przejścia między stanami i i f
fi
i
f
H
d
H
i
H
f
≡
Ψ
Ψ
=
∫
τ
*
- z góry nieznany, gdyż zawiera operator Hamiltona
opisujący oddziaływania słabe
o
dE
dn
- gęstość możliwych stanów końcowych
83
eksperymenty pokazują, że kształt widma jest głównie
określony przez czynnik dn/dE, natomiast element
macierzowy zależy co najwyżej bardzo słabo (lub w
ogóle nie zależy) od energii.
Jak długo
jest stały – tak długo kształt
jest określony przez czynnik statystyczny.
( )
o
dE
dn
i
H
f
dp
p
N
2
2
η
π
=
fi
i
f
H
d
H
i
H
f
≡
Ψ
Ψ
=
∫
τ
*
84
eksperymenty pokazują, że kształt widma jest głównie
określony przez czynnik dn/dE, natomiast element
macierzowy zależy co najwyżej bardzo słabo (lub w
ogóle nie zależy) od energii.
Jak długo
jest stały – tak długo kształt
jest określony przez czynnik statystyczny.
( )
o
dE
dn
i
H
f
dp
p
N
2
2
η
π
=
fi
i
f
H
d
H
i
H
f
≡
Ψ
Ψ
=
∫
τ
*
85
zakładając, że wszystkie rozkłady energii między
elektronem i neutrino są równie prawdopodobne
otrzymuje się widmo pędów cząstek
β
( )
(
) (
)
e
e
o
fi
e
e
dE
Z
E
F
E
E
p
H
c
dE
E
N
,
2
1
2
2
2
5
7
3
−
=
η
π
E
o
=E
e
+E
ν
- maksymalna energia w widmie
F(E,Z) – czynnik uwzględniający oddziaływanie
kulombowskie cząstek z jądrem
Korzystając z wyprowadzonej zależności na liczbę
możliwych stanów w określonej objętości przestrzeni
fazowej i ...
86
( )
(
)
(
)
e
o
if
e
e
E
E
c
H
p
Z
E
F
E
N
−
=
5
7
3
2
2
2
,
η
π
Istnieje pewna grupa rozpadów
β, dla
których lewa strona jest linią prostą
na wykresie
Curie
(lub Fermiego)
( )
(
)
2
,
p
Z
E
F
E
N
e
e
e
E
Szczególnie prosto jest z
takiego wykresu odczytać
maksymalną energię E
o
elektronów lub pozytonów
87
Oddziaływanie cząstek
β z materią
• przechodząc przez środowisko oddziałują poprzez
pole elektrostatyczne z elektronami atomów -
wyrywają je z powłok jonizując atomy
• oddziałują więc nieelastycznie z elektronami
atomów tracąc stopniowo swoją energię
• elastyczne zderzenia z jądrami lub elektronami
• nieelastyczne zderzenia, w których elektron traci część
swojej energii na promieniowanie elektromagnetyczne,
tzw.
promieniowanie hamowania
88
Wprowadzamy przekroje czynne na poszczególne
procesy
I
E
Z
b
cm
c
m
e
lecz
I
E
Z
c
m
e
jonizacja
e
e
jonizacja
2
ln
2
1
10
4
,
2
ln
8
4
2
2
24
2
2
2
4
2
2
2
2
β
σ
π
β
π
σ
=
=
≈
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
−
Z – liczba atomowa absorbenta
I – średni potencjał jonizacji
[b/atom]
89
o
elektr
elast
o
jadr
elast
dla
Z
dla
Z
45
,
2
90
,
4
1
4
2
4
2
>
≅
>
≅
−
−
ϑ
β
σ
ϑ
β
σ
[b/atom]
4
2
137
1
3
8
β
π
σ
Z
hamow
nieelast
≅
−
[b/atom]
dla elektronów o energii 0.1 MeV
σ
j
σ
e-j
σ
e-e
σ
n
powietrze
1700 150
230
1.3
Pb
13700 20000 2600 170
90
Absorpcja elektronów
dE/dx – zależy od energii elektronów i rodzaju absorbenta
• dla wysokich energii
3
/
1
2
/
137
Z
c
m
E
e
>>
E
L
dx
dE
1
−
=
( )
radiacyjna
dlugosc
L
e
E
x
E
L
x
o
−
=
−
,
/
• elektrony wysokich energii wytwarzają w materii
pęki promieniowania hamowania, z których
powstają pary e
+
e
-
91
I/I
o
x
1
1/2
<R>
R
max
Dla monoenergetycznych elektronów otrzymamy
mamy empiryczne wzory określające zależności
zasięg-energia, np.
MeV
E
MeV
dla
E
R
MeV
E
dla
E
R
E
20
3
,
106
.
0
53
.
0
3
,
412
.
0
ln
0954
.
0
256
.
1
≤
≤
−
=
≤
=
−
dl
a
A
l
I(x)=I
o
e
-
μx
μ - współczynnik
absorpcji
92
Przemiana
γ
- to przejście ze stanu wzbudzonego
do podstawowego
Q
γ
=E
i
- E
f
= h
ν
60
27
Co
β
-
γ - 1.17 MeV
γ - 1.33 MeV
60
28
Ni
T=5.3 lat
203
80
Hg
β
-
γ - 0.28 MeV
203
81
Tl
T=47 dni
2
2
2
2
2
2
0
,
c
M
E
c
M
E
T
p
p
T
E
E
j
j
j
j
j
≈
=
+
=
+
=
γ
γ
γ
93
Oddziaływanie promieniowania
γ z materią
podstawowe procesy
• zjawisko fotoelektryczne
• zjawisko Comptona
• zjawisko tworzenia par
I(x)=I
o
e
-
μx
94
Zjawisko fotoelektryczne
związany elektron
( )
ω
ω
ω
σ
η
η
η
wzrostem
ze
maleje
k
wzrostem
ze
rosnie
h
Z
c
k
h
f
,
0
.
1
5
.
3
~
,
6
.
4
0
.
4
~
−
−
=
E
e
=h
ν - E
b
wzór definiuje również
dolną energię kwantu
95
Zjawisko Comptona
elektron swobodny
h
ν
θ
ϕ
ω
θ
ϕ
ω
ω
ω
ω
sin
sin
0
cos
cos
'
'
'
p
c
p
c
c
E
−
=
+
=
+
=
η
η
η
η
η
(
)
[
]
(
)
(
)
ϕ
α
ϕ
α
ω
ω
α
ϕ
α
ω
ω
cos
1
1
cos
1
,
cos
1
1
/
2
'
−
+
−
=
=
−
+
=
η
η
η
η
E
c
m
e
θ
ϕ
E
e
h
ν’
96
krawędź Comptonowska
elektron swobodny
ϕ=180
ο
h
ν
h
ν’
θ=0
ο
E
97
Zjawisko
tworzenia par
e-
e+
e-
e-
pn
p
n n
n
p
p
p
n n
ν
h
ν>2m
e
c
2
tworzenie pary
•
zachodzi w obecności jądra, gdy h
ν>2m
e
c
2
• zachodzi w obecności elektronu, gdy h
ν>4m
e
c
2
2
2 c
m
E
e
e
−
=
ω
η
( )
ω
σ
η
f
Z
p
1720
2
≅
27
2
183
ln
9
28
3
/
1
−
=
Z
f
•
dla dużych energii
98
Całkowity współczynnik absorpcji promieniowania
γ
(
)
p
c
f
p
c
f
t
Z
μ
μ
μ
μ
σ
σ
σ
σ
+
+
=
+
+
=