Narysować wykresy momentów i sił tnących w belce jak na rysunku. 

 

Określamy stopień statycznej niewyznaczalności: 

n

s

 = r - 3 - p = 5 - 3 - 0 = 2 

Przyjmujemy schemat podstawowy: 

 

Zakładamy do obliczeń, że niewiadome są równe 1. Rysujemy wykresy momentów zginających od 
obciążeń jednostkowych: 

 

Następnie rysujemy wykres od obciążenia zewnętrznego (oddzielnie od siły skupionej i oddzielnie od 
obciążenia ciągłego): 

 

Dla układu z dwiema niewiadomymi układ równań kanonicznych przyjmuje postać: 

 

  

 

 

   

  

 

 

   

  

    

 

  

 

 

   

  

 

 

   

  

    

Wykorzystując wzór Maxwella-Mohra,  a dokładnie jego część uwzględniającą zginanie 
spowodowane oddziaływaniami od obciążeń statycznych, obliczamy wartości przemieszczeń: 

 

  

   

 

 

 

 

  

   

2l

2l

l

q

3ql

X

1

X

2

X  = 1

1

2l

X  = 1

2

X  = 1

M

1

M

2

1

1

3ql

q

3ql

2

1/8q(2l) = 1/2ql

2

2

M

P

Zamiast całkowania analitycznego z wykorzystaniem równań opisujących momenty wykorzystane 
zostanie całkowanie graficzne polegające na przemnażaniu pola wykresu z momentu M

j

 przez rzędną 

z wykresu momentu M

i

 odczytaną w punkcie, gdzie znajduje się środek ciężkości figury z wykresu M

j

. 

Obliczenie przemieszczenia 



11 

- przemnażamy pole z wykresu M

1 

przez rzędne z tego samego 

wykresu: 

 

 

  

 

 

  

 

 
 

             

 
 

            

  

 

 

 

  

 

Ponieważ oba pola są identyczne, a co za tym idzie obie rzędne także, wystarczy przemnożyć jedno 
pole  przez  rzędną  a  następnie  wszystko  pomnożyć  razy  dwa.  Każdy  trójkąt  traktowany  jest  jako 
oddzielne pole, ze względu na to, że momenty opisane są różnymi funkcjami na obu prętach. 

Obliczenie przemieszczenia 



21 

- przemnażamy pole z wykresu M

1 

przez rzędne z wykresu M

2

: 

 

 

  

 

 

  

 

 
 

                 

 
 

             

 
 

       

  

 

 

 

  

 

Obliczenie przemieszczenia 



12 

- przemnażamy pole z wykresu M

2 

przez rzędne z wykresu M

1

: 

 

 

  

 

 

  

           

 
 

       

 
 

            

 
 

        

  

 

 

 

  

 

 

 

M

1

M

1

2l

2l

2/3*2l

2/3*2l

M

2

1

1

M

1

2l

1

2/3*1

M

2

1

1

M

1

2l

2/3*2l

1/2*2l

Obliczenie przemieszczenia 



22 

- przemnażamy pole z wykresu M

2 

przez rzędne z tego samego 

wykresu: 

 

 

  

 

 

  

               

 
 

            

 
 

       

 
 

 

  

 

Obliczenie  przemieszczenia 



1P 

-  przemnażamy  pole  z  wykresu  M

P 

przez  rzędne  z  wykresu  M

1

  (w 

obliczeniach pomijamy pole trójkątne na przewieszeniu, ze względu na zerowe rzędne momentu na 
wykresie M

1

): 

 

 

  

 

 

  

 

 
 

 

 
 

  

 

        

 
 

       

 
 

     

 

         

 
 

          

 
 

  

 

  

 

Obliczenie przemieszczenia 



2P 

- przemnażamy pole z wykresu M

P 

przez rzędne z wykresu M

2

 (w 

obliczeniach pomijamy pole trójkątne na przewieszeniu, ze względu na zerowe rzędne momentu na 
wykresie M

2

): 

 

 

  

 

 

  

 

 
 

 

 
 

  

 

        

 
 

      

 
 

     

 

         

 
 

         

 
 

  

 

  

 

 

 

M

2

1

1

M

2

1

1

1

2/3*1

3ql

M

P

1/2ql

2

M

1

2l

1/3*2l

1/2*2l

3ql

M

P

1/2ql

2

M

2

1

1

1/3*1

1/2*1

Rozwiązanie układu równań pozwala na obliczenie wartości X

1

 i X

2

: 

  

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

 

  

 

 

 

 
 

  

 

  

    

  

 

 

 

  

 

 

 

 
 

 
  

 

 

 

 
 

  

 

  

    

rozwiązaniem jest: 

 

 

 

 
 

    

 

 

   

 
 

  

 

 

Przemnażamy wykres M

1

 przez obliczoną wartość X

1

 otrzymując: 

 

Przemnażamy wykres M

2

 przez obliczoną wartość X

2

 otrzymując: 

 

Dodajemy wykres od obciążeń zewnętrznych M

P

: 

 

Sumując wartości momentów z każdego z trzech wykresów w węzłach podporowych otrzymujemy: 

- pierwszy węzeł M = 2/7ql

2

 (na górze) 

- drugi węzeł M = 4/7ql

2

 (na dole) 

- trzeci węzeł M = 3ql

2

 (na górze) 

- czwarty węzeł M = 0 

Na lewym i na prawym węźle brak jest obciążenia ciągłego, więc wykres momentów rysujemy linią 
prostą łącząc wartości w 1 i 2 węźle (pręt lewy) oraz wartości w 3 i 4 węźle (pręt prawy). 

Na pręcie środkowym jest obciążenie ciągłe, zatem musimy najpierw narysować wykres sił tnących, 
aby określić kształt wykresu momentów. 

 

 

X  = 3/7ql

1

M  X

1

1

6/7ql

2

X  = -2/7ql

2

M  X

2

2

2/7ql

2

3ql

2

M

P

 

Wartości sił tnących w węzłach określa się sumując momenty (jeżeli leżą po przeciwnej stronie), lub 
odejmując  momenty  (jeżeli  leżą  po  tej  samej  stronie  wykresu),  a  następnie  dzieląc  przez  długość 
pręta na którym wyliczamy wartości sił tnących. 

Jeżeli na pręcie występuje obciążenie ciągłe (tak jak na pręcie środkowym), to dodatkowo należy w 
obliczeniach uwzględnić siły jakie pojawią się od obciążenia ciągłego: 

 

gdzie  pierwsza  para  sił  powstaje  od  momentów  obciążających  węzły  pręta  środkowego,  zaś  druga 
para sił powstaje od wypadkowej z obciążenia ciągłego. 

 

 

M

4/7ql

2

2/7ql

2

3ql

2

2/7ql +4/7ql

2

2

2l

3/7ql

3/7ql

3ql 

2

l

3ql

3ql

M

4/7ql

2

2/7ql

2

3ql

2

4/7ql +3ql

2

2

2l

25/14ql

2ql 

2

25/14ql

W = 2ql

ql

ql

11/14ql

39/14ql

Suma obu sił w węźle daje wartość siły tnącej, zaś wykres będzie wyglądać następująco: 

 

Zaś ostateczny wykres momentów  przyjmie  postać  jak poniżej. Ponieważ na pręcie  środkowym siła 
tnąca  nie  przechodzi  przez  zero,  oznacza  to  że  na  tym  pręcie  nie  występuje  ekstremum  lokalne 
momentu. 

 

 

T

3ql

2

3/7ql

3ql

11/14ql

39/14ql

M

4/7ql

2

2/7ql

2

3ql

2