Mechanika dla studentów I roku
Zestaw 4: dynamika, cz. 2.
1.
Dynamika – ruch jednowymiarowy.
Z wysoko ci h = 250 m spada ciało o masie m = 3 kg i zarywa si w ziemi . Przyjmuj c, e opór
ziemi jest stały i wynosi F = 3·10
9
dyn obliczy , jak gł boko zaryło si to ciało oraz jaki był czas
ruchu tego ciała w ziemi.
2.
Dynamika – ruch jednowymiarowy.
Parowóz o masie m = 50 ton porusza si po poziomym torze ze stał szybko ci v = 4 m/s.
Po zamkni ciu dopływu pary, parowóz był jeszcze w ruchu przez czas t = 80 s. Obliczy
opór ruchu parowozu oraz drog s, jak przeb dzie parowóz od chwili zamkni cia
dopływu pary do chwili całkowitego zatrzymania si .
3.
Dynamika – ruch jednowymiarowy.
Poci g jedzie z szybko ci 54 km/h. Po zamkni ciu dopływu pary i uruchomieniu
hamulców, poci g porusza si ze stałym opó nieniem o warto ci a = 0,5 m/s
2
. Po ilu
sekundach poci g zatrzyma si i jak przebiegnie drog do chwili zatrzymania si .
4. Dynamika – zderzenia jednowymiarowe
a) Dwie gliniane bryłki o masach m
1
i m
2
, biegn ce ku sobie wzdłu linii prostej z
szybko ciami v
1
i v
2
, zderzaj si niespr
y cie (po zderzeniu powstaje jedna
bryłka). Znale ilo wydzielonego ciepła Q.
b) Dwie kule o masach m
1
i m
2
, biegn ce wzdłu linii prostej w tym samym kierunku
z szybko ciami v
1
i v
2
, zderzaj si całkowicie spr y cie (po zderzeniu powstaje
układ dwóch rozdzielonych kul i spełniona jest zasada zachowania energii
mechanicznej). Obliczy szybko ci ko cowe tych kul po zderzeniu.
5. Dynamika – zderzenia dwuwymiarowe
Dwie gliniane bryłki o masach m
1
i m
2
, biegn ku sobie z szybko ciami odpowiednio v
1
i
v
2
, przy czym wektory pr dko ci tych kul tworz przed zderzeniem k t . Bryłki zderzaj
si niespr y cie (po zderzeniu powstaje jedna bryłka). Znale ilo wydzielonego ciepła
Q.
6. Dynamika – zderzenia dwuwymiarowe
Dwie kule o jednakowych masach biegn ku sobie z szybko ciami odpowiednio v
1
i v
2
,
przy czym wektory pr dko ci tych kul tworz przed zderzeniem k t . Wiadomo, e po
całkowicie spr
ystym zderzeniu, szybko ci obu kul wynosz u
1
i u
2
. Znale k t
mi dzy wektorami u
1
i u
2
.
7. Dynamika – całkowanie numeryczne jednowymiarowego równania Newtona.
Samochód o masie m porusza si po linii prostej i jest hamowany sił o warto ci F(v) =
kv
2
. Jak drog s przeb dzie ten samochód, zanim jego szybko spadnie od warto ci v
0
=
72 km/h do warto ci v
0
/2? Zadanie nale y rozwi za poprzez numeryczne scałkowanie
równania Newtona. Rachunki przeprowadzi dla t = 0.5 s, t = 0.1 s oraz t = 0.02 s.
Przyj k/m = 0.01 [1/m]. Wykonać wykresy v(t) i x(t).
8. Dynamika – całkowanie numeryczne jednowymiarowego równania Newtona.
Znale zale no poło enia, pr dko ci i przyspieszenia od czasu dla cz stki o masie m,
puszczonej swobodnie nad ziemi (z pr dko ci pocz tkow v
0
= 0), uwzgl dniaj c opór
powietrza jako sił proporcjonaln do pr dko ci: F(v) = -kv. Ruch cz stki odbywa si w
obecno ci stałego i skierowanego pionowo w dół przyspieszenia ziemskiego o warto ci g
= 9,80 m/s
2
. Zadanie nale y rozwi za poprzez numeryczne scałkowanie równania
Newtona. Rachunki przeprowadzi dla t = 0.5 s, t = 0.1 s oraz t = 0.02 s. Przyj k/m
= 1,00 [1/s]. Wykonać wykresy v(t) i x(t).
9. Dynamika – całkowanie numeryczne jednowymiarowego równania Newtona.
Rozwa y oscylator anharmoniczny, dla którego równanie Newtona ma posta :
3
( )
( )
.
mx t
F x
x
α
=
= −
a) Dane s warto ci: = 5 dyn/cm
3
, m = 5 g, x(0) = 2 cm i v(0) = 0. Przyj przedział
całkowania numerycznego t = 0,1 s i obliczy v(t) i x(t) dla 0 t T, gdzie T jest
okresem ruchu (nale y go wyznaczy ).
b)
Narysować wykresy x(t) i v(t) dla 0 ≤ t ≤ T.
c)
Powtórzy obliczenia i wyznaczenie T dla t = 0,02 s.
10.
Dynamika – ruch jednowymiarowy z siłą zależną od czasu.
Wyznaczy zale no poło enia, pr dko ci i przyspieszenia cz stki o masie m,
poruszaj cej si wzdłu osi OX, pod wpływem siły F(t) = F
0
cos( t) + F
1
, gdzie F
0
, F
1
i w
s dodatnimi stałymi o odpowiednim wymiarze. Dane s warunki pocz tkowe: (i) v(0) = 0
i x(0) = 0 oraz (ii) v(t
0
) = v
0
i x(t
0
) = x
0
.
11.
Dynamika – ruch jednowymiarowy z siłą zależną od czasu.
Wyznaczy zale no poło enia, pr dko ci i przyspieszenia cz stki o masie m,
poruszaj cej si wzdłu osi OX, pod wpływem siły F(t) = F
0
sin( t) + F
1
, gdzie F
0
, F
1
i w
s dodatnimi stałymi o odpowiednim wymiarze. Dane s warunki pocz tkowe: (i) v(0) = 0
i x(0) = 0 oraz (ii) v(t
0
) = v
0
i x(t
0
) = x
0
.
12. Dynamika – ruch jednowymiarowy z siłą zależną od czasu.
Wyznaczy zale no poło enia, pr dko ci i przyspieszenia cz stki o masie m,
poruszaj cej si wzdłu osi OX, pod wpływem siły F(t) = F
0
exp(-bt), gdzie F
0
i b s
dodatnimi stałymi o odpowiednim wymiarze. Dane s warunki pocz tkowe: (i) v(0) = 0 i
x(0) = 0 oraz (ii) v(0) = -F
0
/(mb) i x(0) = 0.
13. Dynamika – wahadło balistyczne
Na sznurku o długo ci l wisi drewniany kloc o masie M. O jaki k t odchyli si sznurek, je eli kloc
zostanie trafiony pociskiem karabinowym o masie m i szybko ci v? Kloc jest na tyle gruby, e
pocisk grz nie w nim całkowicie, zawieszenie kloca jest całkowicie elastyczne, a masa sznurka
jest znikomo mała.
14.
Dynamika – ruch trójwymiarowy.
Ruch cz stki o masie m zadany jest przez trzy równania:
( )
( )
( )
cos
,
( )
sin
,
( )
,
x t
a
t
y t
a
t
z t
ct
ω
ω
=
=
=
gdzie a, c i s dodatnimi stałymi o odpowiednim wymiarze (jakim?).
•
Opisa , po jakim torze porusza si cz stka.
•
Znale szybko , przyspieszenie normalne i styczne tej cz stki.
•
Wyznaczy składowe wektora momentu p du L tej cz stki wzgl dem punktu [0,0,0]
oraz składowe momentu siły, działaj cego na t cz stk wzgl dem pocz tku układu
współrz dnych.
15. Dynamika – ruch dwuwymiarowy.
Ruch cz stki o masie m zadany jest przez dwa równania:
( )
( )
( )
cos
,
( )
sin
,
x t
ct
bt
y t
ct
bt
=
=
gdzie a i b s dodatnimi stałymi o odpowiednim wymiarze (jakim?).
•
Znale równanie toru cz stki.
•
Znale szybko , przyspieszenie normalne i styczne tej cz stki.
Wyznaczy składowe wektora momentu p du L tej cz stki wzgl dem punktu [0,0,0] oraz
składowe momentu siły, działaj cego na t cz stk wzgl dem pocz tku układu
współrz dnych.
Wskazówka do zadań z całkowaniem numerycznym.
Procedur całkowania numerycznego dla przypadku jednowymiarowego nast puj co. Kolejne
chwile czasu definiujemy jako t
0
=0, t
1
= t
0
+ t = t, t
2
= t
1
+ t = 2· t, t
3
= t
2
+ t = 3· t, itd.
Nast pnie stosujemy przybli on relacj :
(
)
( )
( ,
,
)
( )
.
def
def
n
n
n
n
n
n
n
n
v t
t
v t
F t x v
F
v
a
a t
t
t
m
m
+ ∆ −
∆
=
=
=
=
=
∆
∆
.
Otrzymujemy st d:
1
( ,
,
)
(
)
( )
.
def
n
n
n
n
n
n
n
n
F t x v
F
v
v t
t
v t
t
v
t
m
m
+
=
+ ∆ =
+
∆ = +
∆
.
(1)
Mamy równie :
1
,
1
,
1
(
)
( )
,
def
n
n
n
n n
n
n n
x
x t
t
x t
v
t
x
v
t
+
+
+
=
+ ∆ =
+
∆ = +
∆
gdzie
,
1
n n
v
+
to przybli ona pr dko rednia w przedziale czasu [n· t, (n+1)· t]:
,
1
(
)
( )
2
n
n
n n
v t
t
v t
v
+
+ ∆ +
=
.
Nale y sprawdzi , e:
2
2
1
( ,
,
)
1
1
(
)
( )
( )
.
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
F t x v
F
x
x t
t
x t
v t
t
t
x
v
t
t
m
m
+
=
+ ∆ =
+
∆ +
∆ = + ∆ +
∆
.
(2)
Jak wida , je li podane s warunki pocz tkowe w chwili t
0
= 0, tj. warto ci x
0
= x(0) i v
0
=
v(0), a tak e znaj c posta F, mo na iteracyjnie wyliczy x i v w kolejnych chwilach czasu,
korzystaj c z równa (1) i (2). Wygodnie jest na przykład skorzysta z arkusza
kalkulacyjnego i skonstruowa tabel , w której b d wyliczane x(t
n
) i v(t
n
), dla kolejnych
chwil t
n
. W zadaniach tego typu należy zwrócić szczególną uwagę na znaki przy
prędkości, sile oraz przyspieszeniu!
Zadania 13, 14 i 15 s przeznaczone dla wszystkich grup. Pozostałe zadania s przydzielone
dla poszczególnych grup według nast puj cego klucza:
•
Grupy poniedziałkowe – zadania 1, 4, 7,10.
•
Grupy czwartkowe – zadania 2, 5, 8, 11.
•
Grupy pi tkowe – zadania 3, 6, 9, 12.
Prof. dr hab. Jerzy Konior
Dr Bartłomiej Głowacz
Dr Andrzej Odrzywołek
Dr Jakub Prauzner-Bechcicki
Dr Aleksandra Wro ska