© Lesław ŁADNIAK 
 
!420_Obwod_RL 2009-12-17 

Obwód RL  
 
  Rozpatrzmy obwód złożony z cewki o indukcyjności  L oraz 
źródła napięcia e(t) o sile elektromotorycznej E. Schemat obwodu 
przedstawiono na Rys. 1. Występujący w obwodzie rezystor R 
odwzorowuje straty energii w źródle napięcia oraz rezystancję 
przewodów. Należy wyznaczyć przebieg zmian prądu w 
analizowanym obwodzie po zamknięciu łącznika W. 
 

Ładowanie cewki  
 
 Przyjmijmy, 

że siła elektromotoryczna źródła napięcia na ma 

wartość stałą równą E, a przed zamknięciem łącznika przez cewkę 
nie płynął prąd. W chwili t

o

 obwód zostaje zamknięty. W obwodzie 

zaczyna płynąć prąd. Gdyby Przepływający przez rezystor i cewkę 
prąd wywołuje pole magnetyczne. Według prawa Faradaya 
przenikający zwoje cewki zmienny w czasie strumień pola 
magnetycznego powoduje pojawienie się siły elektromotorycznej 
samoindukcji na zaciskach tej cewki. Zgodnie z regułą Lenza 
wyidukowana siła elektromotoryczna przeciwdziała wzrostowi 
prądu, co oznacza, że jej zwrot jest przeciwny do kierunku 
przepływu prądu, a tym samym do kierunku siły 
elektromotorycznej wywołującej przepływ prądu w obwodzie. 
Wartość indukowanej siły elektromotorycznej samoindukcji jest 
proporcjonalna do szybkości zmian strumienia magnetycznego, 
którego wartość zależy natomiast od natężenia prądu płynącego w 
obwodzie. Ponieważ w wyniku zamknięcia  łącznika zmiana 
natężenia prądu jest dużą, a indukowana siła elektromotoryczna ma 
przeciwdziałać zmianom prądu w obwodzie, to wartość tej siły jest 
równa wartości siły elektromotorycznej wywołującej przepływ 
prądu w chwili zamknięcia  łącznika. Aby nie wystąpiła zmiana 
prądu płynącego w obwodzie, to napięcie na zaciskach rezystora 
nie może się zmienić. Prąd płynący przez rezystor przed 
zamknięciem  łącznika był równy zeru. Czyli w celu zachowania 
wartości prądu obwodzie w chwili zamykania łącznika wartość 
indukowanej w cewce siły elektromotorycznej samoindukcji musi 
być równa wartości siły elektromotorycznej wywołującej przepływ 
prądu. Prąd płynący przez rezystor będzie tak długo mniejszy od 
wartości maksymalnej (E/R), jak długo działa siła 
elektromotoryczna samoindukcji. W miarę upływu czasu szybkość, 
z jaką rośnie natężenie prądu, staje się coraz mniejsza. W 
konsekwencji siła elektromotoryczna samoindukcji 
proporcjonalnie do szybkości zamian prądu maleje. Efekt ten 
powoduje,  że prąd osiąga wartość E/R asymptotycznie z pewnym 
opóźnieniem (Rys. 2). Czas od chwili zamknięcia obwodu do 
chwili ustabilizowania się wartości napięć i prądów w obwodzie 
nazywany jest stanem przejściowym. 

 
 

R

e(t)

u

R

(t)

i(t)

Φ

L

u

L

(t)

W

 

Rys. 1. Obwód RL 

 

u

L

(t)

E

0

1

τ

2

τ

3

τ

4

τ

5

τ

~37 %

t

E e

 - t L/R

 

 

0

1

τ

2

τ

3

τ

4

τ

5

τ

~63 %

t

E/R (1 - e

 -t/

τ

)

E
R

i(t)

 

Rys. 2. Wartość chwilowa napięcia i prądu w 

obwodzie RL  

 

 

2 

 
 
 

 

Przebiegi napięć i prądów  
 
 Jak 

widać na Rys. 2 w czasie załączania napięcia stałego o sile 

elektromotorycznej  E w obwodzie złożonym z cewki o 
indukcyjności L i rezystora o wartości R wartość prądu i napięcia 
zmienia się wykładniczo. 
 
 Zmiany 

natężenia prądu i(t) są opisane równaniem: 

 

  i(t) = 

E
R (1 - e

-t/τ

) 

 
 Napięcie na zaciskach cewki opisuje następujące równanie: 
 
  u(t) = E e

-t/τ

 

 
 Stała czasowa obwodu 

τ

 równa ilorazowi indukcyjności i 

rezystancji występujących w obwodzie: 
 

 

τ

 = 

L
R 

 
określa szybkość narastania prądu w obwodzie i szybkość 
zanikania napięcia na cewce. 
 

Moc i energia  
 
Poprawić i sprawdzić równania 
 
 Znając przebieg zmian napięcia i prądu w obwodzie RL 
możemy wyznaczyć przebieg zmian wartości chwilowej mocy.  
 
 Wartość chwilowa mocy na rezystorze wynosi: 
 
  p

R

(t) = u

R

(t) i(t) = R i

2

(t) = R (I

o

 e

 -t/RC

)

2

 = R I

o

 e

 -2t/

τ

 

 
  Energia, jaka wydzieliła się w rezystorze do chwili t wynosi: 
 

  W = 

⌡

⌠

0

t

 p

R

(t) dt = 

⌡

⌠

0

t

 R I

o

 e

 -2t/

τ

 dt = R I

o

 

τ

2 (1 - e

 -2t/

τ

) 

 
  Na Rys. 3 pokazano przebieg zmian wartości chwilowej mocy 
na rezystorze w obwodzie RL po przyłączeniu do źródła napięcia 
stałego. 
 

 
 
 

0

25

50

75

100

0

1

2

3

4

5

t [

τ]

u

, 

i

, 

p

 [%]

 

Rys. 3. 

Wartość chwilowa mocy