Microsoft PowerPoint - 1Niezmienniki i przekrój w aksonometriicb - pdfMachine from Broadgun Software, http://pdfmachine.com, a great PDF writer utility!

Graficzny Zapis

Konstrukcji

Opracowa

dr inz. Krzysztof Polakowski

id10720078 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com

Graficzny Zapis Konstrukcji



Podstawow

form

zapisu dokumentacji

technicznej tr

jwymiarowych obiekt

materialnych tworz

cych dan

konstrukcj

ùó

wnie

pùaskie dwuwymiarowe rysunki zwane

rzutami

. Istotnym problemem jest zastosowanie

takich

metod odwzorowañ

3D obiekt

przestrzennych na p

aszczy

nie 2D, aby spe

nia

one nast

puj

ce warunki:

jednoznaczne

, tzn. przy ustalonej metodzie

odwzorowania jednemu obiektowi przestrzennemu
musi by

przypisany jeden rzut (lub jeden zesp

óù

rzut

w) i na odwr

t - maj

c jeden rzut (lub zesp

óù

rzut

w) powinni

my na jego podstawie m

odtworzy

dok

adnie ten sam odwzorowany obiekt

w przestrzeni 3D;

Graficzny Zapis Konstrukcji

dawa

y mo

liwo

œã

restytucji

, tzn.

e znaj

c rzut (lub

zesp

óù

rzut

w) obiektu 3D powinni

my mie

liwo

œã

dokonania analizy jego w

asno

geometrycznych (kszta

w geometrycznych,

wymiar

w itp.)



Istnieje wiele metod jednoznacznego
odwzorowywania obiekt

w przestrzennych na

aszczyzn

. Jedna z nich nosi nazw

rzutowania

œrodkowego

. Wykorzystuje on

aparat projekcyjny

rzutowania

rodkowego sk

adaj

cy si

umieszczonych w 3D przestrzeni euklidesowej:
p

aszczyzny



zwanej

rzutni¹

i wyznaczaj

cego

kierunek

oraz niele

¿¹

cego na rzutni

punktu

wùaœciwego S

– tzw.

œrodka rzutowania

, z kt

rego

biegn

(tworz

c p

k prostych) promienie rzutuj

odwzorowuj

ce w punktach przebicia z rzutni

punkty przestrzeni przez kt

re przebiegaj

Rzutowanie

rodkowe



Aparat projekcyjny rzutowania œrodkowego

Elementy Niew

ciwe



Do tr

jwymiarowej przestrzeni euklidesowej mo

doda

tzw.

elementy niewùaœciwe

da prosta posiada

punkt niew

ciwy

uto

samiany z

kierunkiem tej prostej

, a wi

wszystkie proste r

wnoleg

e posiadaj

wsp

lny

punkt niew

ciwy;

da p

aszczyzna zawiera

prost¹ niewùaœciw¹

zbiorem punkt

w niew

ciwych wszystkich

prostych le

¿¹

cych na tej p

aszczy

nie lub

wnoleg

ych do tej p

aszczyzny; wszystkie

aszczyzny r

wnoleg

e posiadaj

wsp

prost

niew

ciw

, a prosta r

wnoleg

a do p

aszczyzny

przebija te p

aszczyzn

w punkcie niew

ciwym,

¿¹

cym na prostej niew

ciwej tej p

aszczyzny;

Elementy Niew

ciwe

prosta niew

ciwa jest zbiorem samych tylko

punkt

w niew

ciwych; je

eli do prostej nale

chocia

jeden punkt w

ciwy, to ca

a ta prosta jest

ciwa (posiada ona tylko jeden punkt w

ciwy);

dwa r

ó¿

ne punkty niew

ciwe jednoznacznie

wyznaczaj

prost

niew

ciw

;

do ca

ej przestrzeni 3D do

ù¹

czy

na jedn

pùaszczyznê niewùaœciw¹

, b

zbiorem punkt

niew

ciwych i prostych niew

ciwych wszystkich

prostych i p

aszczyzn przestrzeni.



jwymiarowa przestrze

euklidesowa

uzupe

niona elementami niew

ciwymi tworzy

przestrzeñ rzutow¹

Rzut R

wnoleg



Rzutem równolegùym

nazywamy jednoznaczne

przekszta

cenie geometryczne przestrzeni

jwymiarowej 3D na dwuwymiarow

2D przy

pomocy utworzonego w przestrzeni rzutowej

aparatu rzutowania r

wnoleg

ego

- zbudowanego z

aszczyzny



zwanej

rzutni¹

oraz nie nale

¿¹

cego

do rzutni



(nier

wnoleg

ego do rzutni



)

punktu

niewùaœciwego

uto

samianego z

kierunkiem

rzutowania

. Promienie rzutuj

ce biegn

c od punktu

niew

ciwego b

c ustawione do siebie

wnolegle a w punktach przebicia z rzutni

¹ 

odwzorowa

one rzuty r

wnoleg

e punkt

przestrzeni, przez kt

re przebiegaj

Rzut R

wnoleg



Aparat rzutowania równolegùego

Rzut R

wnoleg



Rzutowanie

rodkowe i r

wnoleg

e realizuj

odwzorowania jednoznaczne obiekt

w przestrzeni 3D

w figury p

askie 2D le

¿¹

ce na rzutni, ale odwzorowania

te nie s

jednoznaczne, a wi

c nie s

odwracalne.



Aparat rzutowania z do

ù¹

czon

umowa o odwracalno

nazywamy

rzutem stosowanym

. W ramach tego

wyk

adu zapoznamy si

bardzo skr

towo z dwoma

rodzajami rzut

w stosowanych zbudowanych za

pomoc

aparatu rzutowania r

wnoleg

ego:

aksonometriami i rzutami Monge

’

a. Poniewa

cej

czasu po

cimy rzutom stosowanym r

wnoleg

ym, to

musimy w pierwszej kolejno

ci pozna

te w

asno

geometryczne obiekt

w przestrzennych, kt

zachowuj

w procesie tworzenia rzut

stosowanych i pos

ugiwania si

nimi, a wiec

przys

ugiwa

ich obrazom, czyli rzutom. Te

asno

ci rzutowania nazywamy

niezmiennikami rzutu

równolegùego

Niezmienniki Rzutu R

wnoleg

ego

Niezmiennik o

zachowaniu wspóùliniowoœci



Rzutem równolegùym prostej (a) w poùo¿eniu ogólnym

wzglêdem aparatu rzutowania jest prosta (a’). Je¿eli

prosta l jest równolegùa do kierunku rzutowania k

(przechodzi przez punkt niewùaœciwy K

) to jej rzutem

równolegùym jest punkt l’.

Niezmienniki Rzutu R

wnoleg

ego

Niezmiennik o

zachowaniu przynale¿noœci elementów



Rzut równolegùy punktu nale¿¹cego do zbioru

punktów (Aa) przynale¿y do rzutu równolegùego tego

zbioru (A’a’).

(Aa) (A’a’)

Niezmienniki Rzutu R

wnoleg

ego

Niezmiennik o

zachowaniu równolegùoœci prostych



Rzutem równolegùym prostych równolegùych bêd¹cych

w poùo¿eniu ogólnym wzglêdem aparatu rzutowania

(nieprzechodz¹cych przez punkt niewùaœciwy K

) s¹

proste równolegùe.

(ab) (a’b’)

Niezmienniki Rzutu R

wnoleg

ego

Niezmiennik o

zachowaniu dùugoœci odcinków

równolegùych



Dla ka¿dej pary odcinków równolegùych (lecz

nierównolegùych do kierunku rzutowania) stosunek ich

dùugoœci jest równy stosunkowi dùugoœci ich rzutów

AB 

Niezmienniki Rzutu R

wnoleg

ego

Niezmiennik o

zachowaniu stosunku podziaùu



Dla ka¿dej prostej przestrzeni nie przechodz¹cej przez

punkt niewùaœciwy K



, na której obrano odcinki o

dùugoœciach w okreœlonym stosunku ich rzut zachowa

stosunek podziaùu.

AC 

Niezmienniki Rzutu R

wnoleg

ego

Niezmiennik o

zachowaniu dùugoœci odcinków

równolegùych do rzutni



Dùugoœã rzutu równolegùego ka¿dego odcinka

równolegùego do rzutni jest równa dùugoœci tego

odcinka.

AB=A’B’

Niezmienniki Rzutu R

wnoleg

ego

Niezmiennik o

zachowaniu miary k¹ta o obu

ramionach równolegùych do rzutni



Rzutem równolegùym k¹ta o obu ramionach

równolegùych do rzutni jest k¹t o tej samej mierze.

’=

Niezmienniki Rzutu R

wnoleg

ego

Niezmiennik o zachowaniu zwi¹zków miarowych

pùaszczyzn równolegùych do rzutni.



Dla ka¿dej figury pùaskiej F le¿¹cej w pùaszczyênie 

równolegùej do rzutni  jej rzut F’(A’B’C’D’) jest figur¹

przystaj¹c¹ do F(ABCD). F’(A’B’C’D’)= F(ABCD).

Rzuty Aksonometryczne



Rzutem aksonometrycznym

nazywamy

rzut stosowany - powsta

y przez dodanie do

rzutu r

wnoleg

ego umowy o

wnoczesnym rzutowaniu na rzutni

ê 

opr

cz odwzorowywanego obiektu

przestrzennego tak

e osi 0, x, y, z (uk

adu

kartezja

skiego) i odcink

w jednostkowych

na tych osiach, co pozwala na podstawie
uzyskanego rzutu jednoznacznie odtworzy

te obiekty w przestrzeni. O tym,

e mo

tworzy

praktycznie dowolny uk

aksonometryczny m

wi twierdzenie

Pohlke

’

go.

Rzuty Aksonometryczne



Rzut aksonometryczny. Liczby 

, 

nazywamy stosunkami skrótów osi ukùadu.

Rzut P’ nazywamy aksonometria punktu P a

rzut P’

nazywamy aksonometri¹ rzutu

prostok¹tnego P

punktu P na pùaszczyznê

(x,y).





Rzuty Aksonometryczne

 Twierdzenie Pohlke’go:

 dla z góry zadanego w przestrzeni czworoœcianu

ABCD i z góry zadanego na rzutni



czworok¹ta

zupeùnego A

mo¿na tak dobraã ustawienie

rzutni



i kierunek rzutowania równolegùego K

, ¿e

rzutem równolegùym czworoœcianu ABCD z

kierunku K

na rzutniê



bêdzie czworok¹t zupeùny

podobny do z góry zadanego czworok¹ta

zupeùnego A

1 .



Czworok

t zupe

ny to geometryczna figura p

aska, kt

rej

wierzcho

kami s

cztery dane punkty, za

bokami (6) s

wszystkie odcinki powsta

e przez

ù¹

czenie par punkt

w tej

czw

rki.



Z twierdzenia Pohlke

’

go wynika,

e osie uk

adu

wsp

óù

dnych prostok

tnych przestrzeni mog

rzutowa

na dowolne wsp

óù

kowe proste rzutni



a stosunki skr

mog

dowoln

rzeczywistych dodatnich liczb



czyli,

e mo

na dowolnie dobra

ad aksonometryczny

Rzuty Aksonometryczne



Nale¿y zauwa¿yã, ¿e punkt 0 i koñce

odcinków jednostkowych osi 1

poprzednim rysunku tworz¹ równie¿ w

przestrzeni czworoœcian 01

, który w

rzucie aksonometrycznym jest rzutowany

jako czworok¹t zupeùny 0’1’ 1’ 1’ na rzutni

Rzuty Aksonometryczne



Poniewa

twierdzenie Pohlke

’

go daje pe

swobod

w sposobie wyboru rzutu

aksonometrycznego, to mo

na by

oby

stworzy

dowolny uk

ad aksonometryczny.

W praktyce in

ynierskiej najpowszechniej

stosowane s

cztery uk

ady

aksonometrii

ukoœnej

(w kt

rych kierunek rzutowania

wnoleg

ego jest uko

ny wzgl

dem rzutni):

aksonometria izometryczna, dimetria

kawalerska, dimetria wojskowa i dimetria

prawieprostokatna

Rzuty Aksonometryczne



Aksonometria izometryczna

Osie uk

adu wsp

óù

dnych 0 (x, y, z)

rzutuj

na trzy wsp

óù

kowe proste

’

)tworz

ce mi

dzy sob

ty po

120

. Stosunki skr

w osi s

wne i z

dok

adno

do podobie

stwa mo

na je

przyj

¹ã 

=

Rzuty Aksonometryczne



Aksonometria izometryczna P’ punktu

Rzuty Aksonometryczne



Dimetria kawalerska

Rzuty osi y i z ustawione s

pod katem

prostym a stosunki skr

w na tych osiach

przyjmujemy



=1. Zgodnie z

niezmiennikami (6i7) rzutowania
p

aszczyzna (y

’

) ustawiona jest wi

wnolegle do rzutni i b

w niej oraz

wszystkich p

aszczyznach do niej

wnoleg

ych zachowane zwi

zki miarowe

aszczyzny (y,z) oraz p

aszczyzn do niej

wnoleg

ych. Rzut osi x nachylony jest pod

tem 135

do y

’

i z

’

a skr

ty wynosz

niej



=0.5

Rzuty Aksonometryczne



Dimetria kawalerska P’ punktu P

(ukùad prawoskrêtny) oraz rury

walcowej o danych wymiarach

(dùugoœã, œrednica zewnêtrzna i

wewnêtrzna) z wyciêt¹ ãwiartk¹ rury

Rzuty Aksonometryczne



Dimetria wojskowa

Rzuty osi x i y ustawione s

pod katem

prostym a stosunki skr

w na tych osiach

przyjmujemy



=1. Zgodnie z

niezmiennikami (6i7) rzutowania
p

aszczyzna (x

’

) ustawiona jest wi

wnolegle do rzutni i b

w niej oraz

wszystkich p

aszczyznach do niej

wnoleg

ych zachowane zwi

zki miarowe

aszczyzny (x,y) oraz p

aszczyzn do niej

wnoleg

ych. Rzut osi z nachylony jest pod

tem 135

do x

’

i y

’

a skr

ty wynosz

niej



=0.5

Rzuty Aksonometryczne



Dimetria wojskowa: jej osie i skróty

oraz dimetria wojskowa bryùy

przestrzennej o okreœlonych

wymiarach

Rzuty Aksonometryczne



Dimetria prawieprostok

tna

Rzut z

’

osi z przyjmujemy pionowo w p

aszczy

nie

rysunku (rzutni). Z punktu 0

’

nale

¿¹

cego do z

’

kre

limy prost

prostopad

ù¹

do z

’

i odmierzamy na

niej osiem odcink

w o tej samej d

ugo

ci m. Przez

punkt 8 wyznaczaj

cy koniec ostatniego

smego

odcinka kre

limy prost

wnoleg

ù¹

do z

’

odmierzamy na niej w d

óù

odcinek o d

ugo

ci m,

w g

siedem takich samych odcink

£¹

czymy otrzymane punkty (-1) i 7 tej prostej z

punktem 0

’

. P

óù

prosta 0

’

(-1) jest rzutem dodatniej

óù

osi 0y, p

óù

prosta 0

’

–

rzutem ujemnej p

óù

osi 0x.

Przyjmujemy stosunki skr



=1 oraz



=2/3. Taki uk

ad aksonometryczny nazywamy

dimetri

prawieprostok

Rzuty Aksonometryczne



Dimetria prawieprostok¹tna

Rzuty Aksonometryczne



Wykre

lanie odcink

w uwzgl

dniaj

c stosunek skr



=2/3



W dimetrii prawieprostok

tnej istnieje konieczno

œã

skracania wymiar

w obiekt

w (o d

ugo

ci a) r

wnolegle

ustawionych do osi x

’

w stosunku



=2/3. Dla

osi

gni

cia tego celu korzystne jest stworzenie tr

skr

w dla skr

tu w stosunku 2/3. W celu jego

stworzenia na dowolnie przyj

tej p

óù

prostej 0m

odmierzamy trzy r

wne odcinki i zakre

lamy z punktu 0

okr

g promieniem r

wnym d

ugo

ci tych odcink

Nast

pnie z punktu 3 p

óù

prostej 0m zakre

lamy okr

promieniem r

wnym d

ugo

ci dw

ch odcink

w. Przez

punkt N przeci

cia

w tych okr

w kre

limy

óù

prosta 0n. W celu skr

cenia dowolnego odcinka a w

stosunku 2/3 zakre

lamy okr

g o

rodku 0 i promieniu

a. Ci

ciwa tego okr

gu wyci

ta przez p

óù

proste 0m i 0n

jest odpowiednim skr

tem odcinka a. (Dow

konstrukcji wynika z w

asno

ci tr

w podobnych.)

Rzuty Aksonometryczne



Wyznaczanie odcinka o dùugoœci

(2/3)a

Rzuty Aksonometryczne



Do wykre

lania w aksonometrii przekroj

w bry

aszczyznami przydatne jest

twierdzenie o

punkcie wsp

lnym trzech p

aszczyzn



trzy p

aszczyzny

nie tworz

ce p

ku p

aszczyzn

maj

jeden punkt wsp

lny

w miejscu, gdzie

spotykaj

kraw

dzie przeci

cia si

parami

tych p

aszczyzn (np. pocz

tek uk

adu

kartezja

skiego);



w przypadku p

ku p

aszczyzn maj

one jedn

wsp

prost

(kraw

przeci

cia si

aszczyzn).



Zadanie 1

: wykre

w dimetrii kawalerskiej

przekr

j bry

y w postaci sze

cianu z wyci

¹ ¼

aszczyzn

¹ 

okre

lon

niewsp

óù

liniowych punkt

w (P,Q,R)

Rzuty Aksonometryczne

 1.2

Przez punkty P,Q i P,R oraz ich

prostok¹tne rzuty na pùaszczyznê(x,y)

prowadzimy proste. Wyznaczamy punkty (I,

II) przebicia prostych PQ i PR z pùaszczyzn¹

(x,y) w miejscu przeciêcia siê tych prostych

z ich prostok¹tnymi rzutami. £¹cz¹c punkty I

i II uzyskujemy krawêdê k przeciêcia siê







bxy

a xy

k =



II'






= (P' Q' R')

= (A B C D)

= (B C G F)

Rzuty Aksonometryczne

 1.3

Prostak nie przecina krawêdzi bryùy.

Przedùu¿amy doln¹ krawêdê bryùy do

przeciêcia z prost¹ k w punkcie III, który

ù¹czymy z R. Uzyskujemy punkty 1 i 2.

Punkty te ù¹czymy z Q i R (dalsze punkty

przekroju: 3, 4)

k =



K 3

III'

II'

k =



k =



k k = III'

k =



k III'

Twierdzenie o punkcie wsp

ólnym trójki pùaszczyzn

Rzuty Aksonometryczne

 1.4

k =



III'

K (P' 1')

K K

Rzuty Aksonometryczne

 1.7

Pùaszczyznê przekroju

ogranicza wielok¹t 1234 a bryùê

po obciêciu pùaszczyzn¹ (P,Q,R)

przedstawiono z prawej strony

rysunku.

Rzuty Aksonometryczne

 1.1

Zaùo¿enia do zadania: dimetria

kawalerska szeœcianu z wyciêt¹ ¼ i

pùaszczyzny przekroju (P,Q,R) oraz

rzutów prostok¹tnych punktów

(P,Q,R) na pùaszczyznê (x,y)

Rzuty Aksonometryczne

 1.2

Przez punkty P,Q i P,R oraz ich

prostok¹tne rzuty na pùaszczyznê(x,y)

prowadzimy proste. Wyznaczamy punkty (I,

II) przebicia prostych PQ i PR z pùaszczyzn¹

(x,y) w miejscu przeciêcia siê tych prostych

z ich prostok¹tnymi rzutami. £¹cz¹c punkty I

i II uzyskujemy krawêdê k przeciêcia siê

Rzuty Aksonometryczne

 1.3

Prostak przecina krawêdzie bryùy

w punktach 1i2. Punkty te ù¹czymy z

Q i R (dalsze punkty przekroju: 3, 4)

Rzuty Aksonometryczne

 1.4

Przedùu¿aj¹c prost¹ k do

przeciêcia z osi¹ x uzyskujemy punkt

5. £¹czymy punkty 5 i 3 – prosta ta

przecina górn¹ krawêdê bryùy w

punkcie 6, który ù¹czymy z P i

uzyskujemy punkt 7.

Rzuty Aksonometryczne

 1.5

Przedùu¿aj¹c pionowe krawêdzie

œcianki bocznej do przeciêcia z

krawêdziami bryùy przy podstawie

uzyskujemy punkty 8 i 9. Prosta

ù¹cz¹ca te punkty przecina prost¹ k w

punkcie 10.

Rzuty Aksonometryczne

 1.6

Prosta ù¹cz¹ca punkty 10 i 7

przecina krawêdê bryùy w punkcie 8,

który mo¿emy poù¹czyã z punktem 4.

Uzyskany wielok¹t 1,3,6,7,11,4,2,1

stanowi rozwi¹zanie zadania.