dr inż. Sławomir Milewski
slawek@L5.pk.edu.pl
Kr, 2011-01-15
Rozwiązania przykładowych zadań na kolokwium nr 2 z MatStos i MetNum
1
Zad.1
Zapisać wzory na interpolację Lagrange'a wprost i odwrotną dla dyskretnych argumentów i
wartości (1,2), (3,4), (4,5). Sprawdzić, czy te interpolanty są funkcjami wzajemnie
odwrotnymi.
Wzór interpolacyjny Lagrange'a (interpolacja wprost)
1
1
2
2
1
( )
( )
( )
( ) ...
( )
n
i
i
n
n
i
p x
f L x
f L x
f L x
f L x
=
=
=
+
+ +
∑
gdzie
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
(
)
(
) (
) ... (
) (
) ... (
)
( )
(
) (
) ... (
) (
) ... (
)
(
)
n
j
j
j i
i
i
n
i
n
i
i
i
i
i
i
i
n
i
j
j
j i
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
L x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
≠
−
+
−
+
=
≠
−
−
⋅ −
⋅ ⋅ −
⋅ −
⋅ ⋅ −
=
=
−
⋅
−
⋅ ⋅
−
⋅
−
⋅ ⋅
−
−
∏
∏
dla danych z zadania
1
3
4
2
4
5
x
f
=
1
2
3
(
3)(
4)
(
1)(
4)
(
1)(
3)
( )
,
( )
,
( )
(1 3)(1 4)
(3 1)(3 4)
(4 1)(4 3)
x
x
x
x
x
x
L x
L x
L x
−
−
−
−
−
−
=
=
=
−
−
−
−
−
−
( )
2
2
2
1
1
2
2
3
3
7
12
5
4
4
3
( )
( )
( )
( )
2
4
5
1
6
2
3
x
x
x
x
x
x
p x
f L x
f L x
f L x
x
−
+
−
+
−
+
=
+
+
=
+
+
= +
−
Wzór na interpolację odwrotną Lagrange'a (funkcja musi być różnowartościowa!)
1
1
2
2
1
( )
( )
( )
( ) ...
( )
n
i
i
n
n
i
p y
x L y
x L y
x L y
x L y
=
=
=
+
+ +
∑
gdzie
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
(
)
(
) (
) ... (
) (
) ... (
)
( )
(
) (
) ... (
) (
) ... (
)
(
)
n
j
j
j i
i
i
n
i
n
i
i
i
i
i
i
i
n
i
j
j
j i
y
f
y
f
y
f
y
f
y
f
y
f
L y
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
=
≠
−
+
−
+
=
≠
−
−
⋅ −
⋅ ⋅ −
⋅ −
⋅ ⋅ −
=
=
−
⋅
−
⋅ ⋅
−
⋅
−
⋅ ⋅
−
−
∏
∏
Dla danych z zadania
1
2
3
(
4)(
5)
(
2)(
5)
(
2)(
4)
( )
,
( )
,
( )
(2 4)(2 5)
(4 2)(4 5)
(5 2)(5 4)
y
y
y
y
y
y
L y
L y
L y
−
−
−
−
−
−
=
=
=
−
−
−
−
−
−
dr inż. Sławomir Milewski
slawek@L5.pk.edu.pl
Kr, 2011-01-15
Rozwiązania przykładowych zadań na kolokwium nr 2 z MatStos i MetNum
2
( )
2
2
2
1
1
2
2
3
3
9
20
7
10
6
8
( )
( )
( )
( )
1
3
4
1
6
2
3
y
y
y
y
y
y
p y
x L y
x L y
x L y
y
−
+
−
+
−
+
=
+
+
=
+
+
= −
−
Dla interpolacji odwrotnej
1
1
x
y
y
x
= −
→
= +
otrzymujemy interpolację wprost i na
odwrót. Są to funkcje wzajemnie odwrotne.
Zad.2
Dokonać najlepszej aproksymacji (funkcją liniową, a następnie wykładniczą, ekspotencjalną
postaci
x
a be
+
dla danych z poprzedniego zadania.
Obliczenia dla aproksymacji liniowej
( )
p x
ax b
=
+
- postać aproksymacji
Funkcjonał błędu aproksymacji (suma kwadratów odchyłek pomiędzy wartością na prostej, a
wartością oryginalną)
(
) (
) (
) (
)
3
2
2
2
2
1
( , )
( )
2
3
4
4
5
i
i
i
B a b
p x
f
a b
a b
a b
=
=
−
=
+ −
+
+ −
+
+ −
∑
Optymalizacja funkcjonału
(
)
(
)
(
)
(
) (
) (
)
2
2
2 3 3
4
2 4 4
5
0
2
2
2 3
4
2 4
5
0
B
a b
a b
a b
a
B
a b
a b
a b
b
∂
=
+ − + ⋅ ⋅
+ − + ⋅ ⋅
+ − =
∂
∂
=
+ − +
+ − +
+ − =
∂
26
8
34
1
8
3
11
1
a
b
a
a
b
b
+
=
=
→
+
=
=
Końcowa postać aproksymacji ( )
1
p x
x
= +
- funkcja idealnie odtwarza wartości węzłowe
Obliczenia dla funkcji ekspotencjalnej
( )
x
p x
a be
= +
- postać aproksymacji
(
) (
)
(
) (
)
3
2
2
2
2
3
4
1
( , )
( )
2
4
5
i
i
i
B a b
p x
f
a be
a
be
a be
=
=
−
= + −
+ +
−
+ +
−
∑
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
3
4
3
3
4
4
2
2
2
4
2
5
0
2
2
2
4
2
5
0
B
a be
a be
a be
a
B
e a be
e
a be
e
a be
b
∂
=
+ − +
+
− +
+
− =
∂
∂
=
+ − +
+
− +
+
− =
∂
dr inż. Sławomir Milewski
slawek@L5.pk.edu.pl
Kr, 2011-01-15
Rozwiązania przykładowych zadań na kolokwium nr 2 z MatStos i MetNum
3
(
)
(
) (
)
3
4
3
4
2
6
8
3
4
3
11
2
4
5
a
e e
e
b
e e
e
a
e
e
e b
e
e
e
+ + +
=
+ +
+
+ +
=
+
+
Dla przypomnienia:
2.7182
e
≈
3
77.4020
11
2.2800
77.4020
3391.7758
358.7695
0.0537
a
b
a
a
b
b
+
⋅ =
=
→
⋅ +
⋅ =
=
Końcowa postać aproksymacji ( )
2.2800 0.0537
x
p x
e
=
+
Sprawdzenie: wartości funkcji aproksymacyjnej w węzłach:
(1)
2.4261 ,
(3)
3.3595 ,
(4)
5.2144
p
p
p
=
=
=
Oczywiście jest różnica w stosunku do oryginalnych wartości (2,4,5), ale jest to wynik
aproksymacyjny, więc można spodziewać się takiej różnicy.
Zad.3
Wyprowadzić wzory różnicowe dla 3 węzłów
1
1
i
i
i
x
x
x
−
+
< <
na pierwszą pochodną
1
1
2
3
1
'
i
i
i
i
f
f
f
f
α
α
α
−
+
≈
+
+
oraz drugą pochodną
1
1
2
3
1
''
i
i
i
i
f
f
f
f
β
β
β
−
+
≈
+
+
Zastosować metodę interpolacji Lagrang'e oraz współczynników nieoznaczonych.
W celu łatwiejszych obliczeń przyjęte zostaną oznaczenia
1
1
2
1
,
i
i
i
i
h
x
x
h
x
x
−
+
= −
=
−
Układ współrzędnych zostanie przyjęty w punkcie o numerze "i", w którym należy znaleźć
wartości pochodnych numerycznych: pozostałe punkty będą więc leżeć w odległości -h1 oraz
h2 od środka. Dodatkowo zamiast indeksów dolnych: "i-1", "i" oraz "i+1" będą używane
oznaczenia: 1,2, 3.
Dane do
interpolacji Lagrange'a
1
2
1
2
3
0
h
h
x
f
f
f
f
−
=
Wielomiany Lagrange'a
(
)
( )(
)
(
)(
)
(
)(
)
(
)
(
)
2
1
2
1
1
2
3
1
1
2
2
2
2
1
2
( )
,
( )
,
( )
0
0
x x h
x
h
x
h
x
h x
L x
L x
L x
h
h
h
h
h
h
h h
−
+
−
+
=
=
=
−
− −
+
−
+
Interpolacja Lagrange'a i jej pochodne
1 1
2
2
3
3
( )
( )
( )
( )
p x
f L x
f L x
f L x
=
+
+
dr inż. Sławomir Milewski
slawek@L5.pk.edu.pl
Kr, 2011-01-15
Rozwiązania przykładowych zadań na kolokwium nr 2 z MatStos i MetNum
4
(
)
(
)
2
2
1
1
1 1
2
2
3
3
1
2
3
1
1
2
1 2
2
1
2
2
2
2
'( )
'( )
'( )
'( )
x
h
x
h
h
x
h
p x
f L
x
f L
x
f L
x
f
f
f
h h
h
h h
h
h h
−
− +
+
=
+
+
=
−
+
+
+
(
)
(
)
1 1
2
2
3
3
1
2
3
1
1
2
1 2
2
1
2
2
2
2
''( )
''( )
''( )
''( )
p x
f L
x
f L
x
f L
x
f
f
f
h h
h
h h
h
h h
=
+
+
=
−
+
+
+
Wzory różnicowe = wartości pochodnych interpolacji w punkcie centralnym wzoru (x = 0)
(
)
(
)
2
2
1
1
2
1
2
3
1
1
2
1 2
2
1
2
'
'(0)
h
h
h
h
f
p
f
f
f
h h
h
h h
h
h h
−
≈
= −
+
+
+
+
(
)
(
)
2
1
2
3
1
1
2
1 2
2
1
2
2
2
2
''
''(0)
f
p
f
f
f
h h
h
h h
h
h h
≈
=
−
+
+
+
Metoda współczynników nieoznaczonych
Należy rozwinąć każdą z wartości funkcyjnych wzoru różnicowego
1
2
3
,
,
f
f
f rozwinąć w
szereg Taylora względem punktu centralnego wzoru (o numerze 2). Rozwinięcie obejmuje
wyrazy rzędu 0,1,2, czyli trzy pierwsze, dlatego, że na trzech wartościach funkcji oparty jest
wzór: są trzy niewiadome współczynniki, więc potrzeba trzech równań.
2
1
2
1 2
1
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
1
'
'' ...
2
1
'
'' ...
2
f
f
h f
h f
f
f
f
f
h f
h f
= −
+
+
=
= +
+
+
Następnie każde z rozwinięć należy pomnożyć przez odpowiedni współczynnik: według
założonego wzoru na pierwszą pochodną:
2
1
2
1 2
1
2
1
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
3
1
'
'' ...
/
2
/
1
'
'' ...
/
2
f
f
h f
h f
f
f
f
f
h f
h f
α
α
α
= −
+
+
⋅
=
⋅
= +
+
+
⋅
W dalszej kolejności należy dodać powyższe równania: po stronie prawej uzyskamy w ten
sposób postać wzoru różnicowego, a po lewej - zbiór wartości funkcji i jej pochodnych, z
uporządkowanymi współczynnikami:
(
)
(
)
2
2
1
1
2
2
3
3
2
1
2
3
2
1
1
2
3
2
1
1
2
3
1
1
'
''
2
2
f
f
f
f
f
h
h
f
h
h
α
α
α
α α α
α
α
α
α
+
+
=
+
+
+
−
+
+
+
Lewa strona powyższego wzoru ma być przybliżeniem pierwszej pochodnej:
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
3
2
1
1
2
3
2
1
1
2
3
1
1
'
'
''
2
2
f
f
f
h
h
f
h
h
α α α
α
α
α
α
≈
+
+
+
−
+
+
+
dr inż. Sławomir Milewski
slawek@L5.pk.edu.pl
Kr, 2011-01-15
Rozwiązania przykładowych zadań na kolokwium nr 2 z MatStos i MetNum
5
Pozostaje więc porównań współczynniki stojące po obydwu stronach powyższej równości
(przy odpowiednich pochodnych) i rozwiązać uzyskany w ten sposób układ równań.
(
)
(
)
2
1
1
1
2
1
2
3
2
1
1
1
2
3
2
1 2
2
2
1
1
2
3
1
3
2
1
2
0
1
1
1
0
2
2
h
h h
h
h
h
h
h
h h
h
h
h
h h
h
α
α α α
α
α
α
α
α
α
−
=
+
+
+
=
−
−
+
=
→
=
+
=
=
+
Końcowa postać wzoru
(
)
(
)
2
2
1
1
2
1
2
3
1
1
2
1 2
2
1
2
'
h
h
h
h
f
f
f
f
h h
h
h h
h h
h
−
≈ −
+
+
+
+
Dla drugiej pochodnej te same rozwinięcia wartości funkcyjnych będziemy mnożyć przez
współczynniki "beta":
2
1
2
1 2
1
2
1
2
2
2
2
3
2
2
2
2
2
3
1
'
'' ...
/
2
/
1
'
'' ...
/
2
f
f
h f
h f
f
f
f
f
h f
h f
β
β
β
= −
+
+
⋅
=
⋅
= +
+
+
⋅
(
)
(
)
2
2
1
1
2
2
3
3
2
1
2
3
2
1
1
2
3
2
1
1
2
3
1
1
'
''
2
2
f
f
f
f
f
h
h
f
h
h
β
β
β
β β β
β
β
β
β
+
+
=
+
+
+
−
+
+
+
Lewa strona powyższego wzoru ma być przybliżeniem drugiej pochodnej:
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
3
2
1
1
2
3
2
1
1
2
3
1
1
''
'
''
2
2
f
f
f
h
h
f
h
h
β β β
β
β
β
β
≈
+
+
+
−
+
+
+
(
)
(
)
1
1
1
2
1
2
3
1
1
2
3
2
1 2
2
2
1
1
2
3
3
2
1
2
2
0
2
0
1
1
1
2
2
2
h h
h
h
h
h h
h
h
h
h h
β
β β β
β
β
β
β
β
β
=
+
+
+
=
−
+
=
→
= −
+
=
=
+
Końcowa postać wzoru
(
)
(
)
2
1
2
3
1
1
2
1 2
2
1
2
2
2
2
''
f
f
f
f
h h
h
h h
h
h h
≈
−
+
+
+
dr inż. Sławomir Milewski
slawek@L5.pk.edu.pl
Kr, 2011-01-15
Rozwiązania przykładowych zadań na kolokwium nr 2 z MatStos i MetNum
6
Zad.4
Zastosować wzory z zad.3 do obliczenia pierwszej i drugiej pochodnej funkcji
sin( )
( )
x
f x
x
=
w punkcie
5
x
=
. Zastosować różne położenia węzłów
1
1
,
i
i
x
x
−
+
. Obliczyć błąd uzyskanych
wyników.
Analityczne wartości pochodnych
(
)
(
)
2
2
4
cos( ) sin( )
'( )
,
'(5)
0.0951
cos( )
sin( ) cos( )
cos( ) sin( ) 2
''( )
,
''(5)
0.1537
x
x
x
f x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
−
=
=
−
−
−
−
=
=
Obliczenia dla konfiguracji
1
2
3
1
2
4,
5,
6
1
x
x
x
h
h
=
=
=
→
= =
,
1
1
2
2
3
3
( )
0.1892
,
(
)
0.1918 ,
( )
0.0466
f
f x
f
f x
f
f x
=
= −
=
= −
=
= −
Pochodne numeryczne (wg wzorów z poprzedniego zadania - obydwie metody dały te same
wzory) i ich błędy
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
'
' 5
0.0713 0.0951
'
0.0713 ,
0.2503
' 5
0.0951
''
'' 5
0.1478 0.1537
''
0.1478 ,
0.0384
'' 5
0.1537
f
f
f
e
f
f
f
f
e
f
−
−
≈
=
=
=
−
−
≈
=
=
=
Obliczenia dla konfiguracji
1
2
3
1
2
1
1
2
1
4 ,
5,
5
,
3
3
3
3
x
x
x
h
h
=
=
=
→
=
=
,
1
1
2
2
3
3
( )
0.2144
,
(
)
0.1918 ,
( )
0.1525
f
f x
f
f x
f
f x
=
= −
=
= −
=
= −
Pochodne numeryczne i ich błędy
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
'
' 5
0.0899 0.0951
'
0.0899 ,
0.0547
' 5
0.0951
''
'' 5
0.1679 0.1537
''
0.1679 ,
0.0924
'' 5
0.1537
f
f
f
e
f
f
f
f
e
f
−
−
≈
=
=
=
−
−
≈
=
=
=
Zad.5
Zastosować poznane kwadratury (Newtona - Cotesa oraz Gaussa) do obliczenia
0
sin( )
x dx
π
∫
dzieląc przedział całkowania na dwa podprzedziały. Obliczyć błędy uzyskanych wyników.
dr inż. Sławomir Milewski
slawek@L5.pk.edu.pl
Kr, 2011-01-15
Rozwiązania przykładowych zadań na kolokwium nr 2 z MatStos i MetNum
7
Wynik analityczny
0
0
( )
sin( )
cos( )
2
b
a
I
f x dx
x dx
x
π
π
=
=
= −
=
∫
∫
Rozwiązania numeryczne (podział przedziału
[
]
0
π
na dwa podprzedziały 0
2
π
oraz
2
π π
).
- metoda prostokątów
( )
p
I
f a h
=
(0)
1.5708 ,
0.2146
2
2
2
p
p
I
I
I
f
f
e
I
π
π π
−
=
⋅ +
⋅ =
=
=
- metoda trapezów
(
)
0.5
( )
( )
t
I
f a
f b h
=
+
( )
0.5
(0)
0.5
1.5708 ,
0.2146
2
2
2
2
t
t
I
I
I
f
f
f
f
e
I
π
π
π
π
π
−
=
+
⋅ +
+
⋅ =
=
=
- metoda parabol (Simsona)
( ) 4
( )
6
2
S
h
a b
I
f a
f
f b
+
=
+
+
( )
3
(0) 4
4
2.0046
,
0.0023
12
4
2
12
2
4
S
S
I
I
I
f
f
f
f
f
f
e
I
π
π
π
π
π
π
π
−
=
+
+
+
+
+
=
=
=
- metoda Gaussa (2-punktowa)
( )
( )
(
)
2
1
2
1
1
2
G
b a
I
f x
f x
−
=
⋅
+ ⋅
, gdzie
1,2
1,2
2
2
b a
b
a
x
z
−
+
=
+
,
1
2
1
1
,
3
3
z
z
= −
=
dla
0
2
x
π
∈
:
(1)
(1)
1
2
0.3319
,
1.2388
x
x
=
=
dla
2
x
π π
∈
:
(2)
(2)
1
2
1.9027
,
2.8096
x
x
=
=
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
(1)
(1)
(2)
(2)
2
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1.9969
,
0.0016
4
4
G
G
I
I
I
f x
f x
f x
f x
e
I
π
π
−
=
⋅
+ ⋅
+
⋅
+ ⋅
=
=
=
dr inż. Sławomir Milewski
slawek@L5.pk.edu.pl
Kr, 2011-01-15
Rozwiązania przykładowych zadań na kolokwium nr 2 z MatStos i MetNum
8
Zad.6
Zastosować metodę Eulera, Rungego-Kutty II i IV rzędu oraz wybraną metodę predyktor -
korektor do aproksymacji rozwiązania poniższego zagadnienia początkowego z krokiem 0.1
3
3
2
,
(0)
1
dy
x
y
y
dx
= −
=
Oszacować błędy otrzymanych wyników.
Wzory na kolejne wartości funkcji
- metoda Eulera
1
( ,
)
i
i
i
i
y
y
h f x y
+
= + ⋅
- metoda Rungego-Kutty II rodzaju
1
2
1
1
1
2
( ,
)
(
,
)
1
(
)
2
i
i
i
i
i
i
K
h f x y
K
h f x
h y
K
y
y
K
K
+
= ⋅
= ⋅
+
+
= +
+
- metoda Rungego-Kutty IV rodzaju
1
2
1
( ,
)
1
1
(
,
)
2
2
i
i
i
i
K
h f x y
K
h f x
h y
K
= ⋅
= ⋅
+
+
3
2
4
3
1
1
2
3
4
1
1
(
,
)
2
2
(
,
)
1
(
2
2
)
6
i
i
i
i
i
i
K
h f x
h y
K
K
h f x
h y
K
y
y
K
K
K
K
+
= ⋅
+
+
= ⋅
+
+
= +
+
+
+
Przyjmujemy
0
1
0
2
0
3
0
0
,
0.1 ,
0.1 ,
2
0.2
,
3
0.3
x
x
x
h
h
x
x
h
x
x
h
=
= + =
=
= +
=
= +
=
( )
3
3
0
1 ,
,
2
y
f x y
x
y
=
= −
Trzy kolejne wartości funkcji obliczone za pomocą
- metody Eulera
(
)
3
3
1
0
0
0
0.1
( ,
)
1 0.1 0
2 1
0.8
y
y
f x y
=
+
⋅
= +
⋅
− ⋅
=
(
)
3
3
2
1
1
1
0.1
( ,
)
0.8 0.1 0.1
2 0.8
0.6977
y
y
f x y
= +
⋅
=
+
⋅
− ⋅
=
(
)
3
3
3
2
2
2
0.1
( ,
)
0.6977 0.1 0.2
2 0.6977
0.6306
y
y
f x y
=
+
⋅
=
+
⋅
− ⋅
=
- metody R-K II
dr inż. Sławomir Milewski
slawek@L5.pk.edu.pl
Kr, 2011-01-15
Rozwiązania przykładowych zadań na kolokwium nr 2 z MatStos i MetNum
9
(
)
1
0
0
2
0
0
1
0
1
2
0.1 ( ,
)
0.2
,
0.1 (
0.05,
0.1)
0.1023
1
0.8488
2
K
f x y
K
f x
y
y
y
K
K
=
= −
=
+
−
= −
=
+
+
=
(
)
1
1
1
2
2
1
1
2
0.1 ( ,
)
0.1222
,
0.0759
1
0.7498
2
K
f x y
K
y
y
K
K
=
= −
= −
= +
+
=
(
)
1
2
2
2
3
2
1
2
0.1 ( ,
)
0.0835 ,
0.0565
1
0.6798
2
K
f x y
K
y
y
K
K
=
= −
= −
=
+
+
=
- metody R-K IV
1
2
3
4
1
0
1
2
3
4
0.2
,
0.1458
,
0.1594
,
0.1187
1
(
2
2
)
0.8452
6
K
K
K
K
y
y
K
K
K
K
= −
= −
= −
= −
=
+
+
+
+
=
1
2
3
4
2
1
1
2
3
4
0.1206
,
0.0964
,
0.1009
,
0.0817
1
(
2
2
)
0.7457
6
K
K
K
K
y
y
K
K
K
K
= −
= −
= −
= −
= +
+
+
+
=
1
2
3
4
3
2
1
2
3
4
0.0821 ,
0.0684
,
0.0705 ,
0.0589
1
(
2
2
)
0.6759
6
K
K
K
K
y
y
K
K
K
K
= −
= −
= −
= −
=
+
+
+
+
=
Dokładność metod można oszacować na dwa sposoby
- porównanie wartości obliczonych przy tym samym
h , ale za pomocą dwóch różnych
metod (o różnych dokładnościach), np.
oszacowanie błędu rozwiązania metody Eulera dla wartości
3
y
( )
(
)
3
3
(
)
3
0.6306 0.6798
0.0724
0.6798
E
R K II
R K II
y
y
e
y
−
−
−
−
≈
=
=
oszacowanie błędu rozwiązania metody R-K II dla wartości
3
y
(
)
(
)
3
3
(
)
3
0.6798 0.6759
0.0058
0.6759
R K II
R K IV
R K IV
y
y
e
y
−
−
−
−
−
≈
=
=
- porównanie wartości obliczonych tą samą metodą, ale przy pomocy dwóch różnych
odstępów
h , np. oszacowanie błędu rozwiązania
3
y dla h = 0.1 , przy pomocy h = 0.05, co
wymagałoby obliczenia sześciu wartości funkcji (dla otrzymania wartości dla tego samego
x
= 0.3).
Metoda predyktor - korektor polega na zastosowaniu dwóch rodzajów wzoru
- wzoru otwartego (predyktor) - przewidującego następną wartość funkcji na podstawie kilku
znanych wstecz,
dr inż. Sławomir Milewski
slawek@L5.pk.edu.pl
Kr, 2011-01-15
Rozwiązania przykładowych zadań na kolokwium nr 2 z MatStos i MetNum
10
- wzoru zamkniętego w celu poprawienia uzyskanej wartości za pomocą korektora -
obliczającego wartość daną funkcji w oparciu o jej wcześniejsze przybliżenie.
Dla przykładu zostanie zastosowane podejście predyktor - korektor II rzędu, co wymaga
użycia następujących wzorów
- predyktor (k = 0) :
(0)
1
1
2
(23
16
5
),
( ,
)
12
i
i
i
i
i
i
i
i
h
y
y
f
f
f
f
f x y
+
−
−
= +
⋅
−
+
≡
- korektor (k > 0):
(
1)
( )
1
1
1
(5
8
)
12
k
k
i
i
i
i
i
h
y
y
f
f
f
+
+
+
−
= +
⋅
+
−
O zakończeniu obliczeń za pomocą korektora powinno decydować np. następujące kryterium
(
1)
( )
1
1
(
1)
1
k
k
i
i
dop
k
i
y
y
y
ε
+
+
+
+
+
−
≤
gdzie
dop
ε
- dopuszczalna wartość błędu (przyjmowana).
W bieżącym zadaniu zostanie obliczona - za pomocą podejścia pred.-kor. - wartość
3
y , w
oparciu o wartości
2
y oraz
1
y , otrzymane wcześniej za pomocą wzoru R-K IV.
(
)
(
)
( )
(
)
(0)
3
2
2
1
0
0.1
(23
16
5
)
12
0.1
0.7457
23
0.2, 0.7457
16
0.1, 0.8452
5
0,1
0.6658
12
y
y
f
f
f
f
f
f
=
+
⋅
−
+
=
=
+
−
+
=
(
)
(
) (
)
(
)
(1)
(0)
3
2
3
2
1
0.1
(5
8
)
12
0.1
0.7457
5
0.3, 0.6658
8
0.2, 0.7457
0.1, 0.8452
0.6775
12
y
y
f
f
f
f
f
f
=
+
⋅
+
−
=
=
+
+
−
=
(
)
(
) (
)
(
)
(2)
(1)
3
2
3
2
1
0.1
(5
8
)
12
0.1
0.7457
5
0.3, 0.6675
8
0.2, 0.7457
0.1, 0.8452
0.6762
12
y
y
f
f
f
f
f
f
=
+
⋅
+
−
=
=
+
+
−
=
oszacowanie błędu
(2)
(1)
3
3
(2)
3
0.6775 0.6762
0.0019
0.6775
y
y
e
y
−
−
≈
=
=
Zad.7
Zapisać i rozwiązać układ równań algebraicznych MRS dla zagadnienia brzegowego
( )
2
''
'
,
0,3
u
u
u
x
x
+ + =
∈
'(0)
1 ,
(3)
2
u
u
=
=
dr inż. Sławomir Milewski
slawek@L5.pk.edu.pl
Kr, 2011-01-15
Rozwiązania przykładowych zadań na kolokwium nr 2 z MatStos i MetNum
11
Dla wszystkich pochodnych zastosować centralne wzory różnicowe 3-węzłowe.
W temacie brak danych na temat liczby węzłów - zatem przyjęto 4 węzły w obszarze + 1
węzeł fikcyjny, potrzebny do dyskretyzacji różnicowej warunku na pierwszą pochodną w
lewym węźle brzegowym.
Rysunek do zadania
0
1
2
3
4
h =1
1
u
2
u
3
u
4
u
0
u
u
x
x = 0
x = 1
x = 2
x = 3
Wzory różnicowe centralne 3-węzłowe
1
1
1
1
2
'
2
2
''
i
i
i
i
i
i
i
u
u
u
h
u
u
u
u
h
+
−
−
+
−
≈
−
+
≈
Równania różnicowe wynikają z:
- zapisania warunku brzegowego na pierwszą pochodną '(0) 1
u
=
w węźle 1
- zapisania równań różnicowych (odpowiadających równaniu różniczkowemu) w węzłach
obszaru 1,2,3.
- zapisania warunku brzegowego na funkcję (3)
2
u
=
w węźle 3.
2
0
1
0
2
0
1
2
2
0
1
2
2
1
2
3
3
1
2
2
2
2
3
4
4
2
3
2
4
'
1
2
2 1
2
0
1
2 1
2
1
1
2 1
2
2
1
2 1
2
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
−
≈
=
→
= −
⋅
−
+
−
+
+ =
⋅
−
+
−
+
+ =
⋅
−
+
−
+
+ =
⋅
=
Po wprowadzeniu do równań 2-4 informacji z pierwszego i ostatniego otrzymujemy:
dr inż. Sławomir Milewski
slawek@L5.pk.edu.pl
Kr, 2011-01-15
Rozwiązania przykładowych zadań na kolokwium nr 2 z MatStos i MetNum
12
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
3
3
1
2
2
2
2
3
2
3
2
2 2
2
0
1
2 1
2
1
1
2 1
2
2
2
2
1
2 1
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
− −
+
− +
+
+ =
⋅
−
+
−
+
+ =
⋅
−
+
−
+
+ =
⋅
lub w zapisie macierzowym, co daje rozwiązania
1
1
2
2
3
3
1
2
0
1
7
1
3
1
1
4
2
2
1
1
1
0
1
2
u
u
u
u
u
u
−
−
=
→
=
−
Zad.8
Zapisać układ równań algebraicznych MRS po dyskretyzacji 4 węzłami fizycznymi (w
rozważanym obszarze i na jego brzegu) oraz odpowiednimi fikcyjnymi dla belki. Zastosować
centralne wzory różnicowe 5-cio węzłowe. Zapisać wzory różnicowe do obliczenia reakcji.
Należy zacząć od sporządzenia rysunku do zadania - poniżej. Na belce o długości L = 3 m
znajdują się cztery (n = 4) węzły (3,4,5,6, z czego 3 i 6 to węzły brzegowe), natomiast po
dwóch stronach brzegu dodatkowo jeszcze po dwa węzły fikcyjne (1,2 oraz 7,8). Moduł siatki
przy takim podziale wynosi
3
1
1
3
L
m
h
m
n
=
=
=
−
.
1
2
3
4
5
6
7
8
10 kN/m
100 kN
h =1 m
Sformułowanie (lokalne) problemu brzegowego
( )
4
4
( )
,
0, 3
100
'(0)
0
,
'''(0)
,
(0)
0
,
'(3)
0
d w
q x
x
dx
EJ
kN
w
w
w
w
EJ
=
∈
=
=
=
=
dr inż. Sławomir Milewski
slawek@L5.pk.edu.pl
Kr, 2011-01-15
Rozwiązania przykładowych zadań na kolokwium nr 2 z MatStos i MetNum
13
Warunki brzegowe (cztery, bo równanie różniczkowe jest czwartego rzędu) wynikają z
podparcia belki oraz z obciążenia brzegowego.
Zapisanie układ równań algebraicznych MRS wymaga
- zapisania dwóch warunków brzegowych w węźle brzegowym 3,
- zapisania równania różnicowego czwartego rzędu w węzłach belki (jedno równanie w
węzłach 3,4,5,6),
- zapisania dwóch warunków brzegowych w węźle brzegowym 6.
Przy obciążeniu liniowym warto zapisać sobie relację, wg której obciążenie może być
obliczane dla każdego punktu
( )
0,3
x
∈
:
10
( )
3
q x
x
=
Operatory różnicowe 5-cio węzłowe na kolejne pochodne
(z czego w zadaniu będą potrzebne wzory na pierwszą, trzecią i czwartą pochodną).
(
)
2
1
1
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
3
2
1
1
2
4
1
1
2
2
1
'
12
3
3
12
1
1
4
5
4
1
''
12
3
2
3
12
1
1
1
'''
2
2
1
''''
4
6
4
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
w
w
w
w
w
h
w
w
w
w
w
w
h
w
w
w
w
w
h
w
w
w
w
w
w
h
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
≈
−
+
−
≈
−
+
−
+
−
≈
−
+
−
+
≈
−
+
−
+
Układ równań
(
)
(
)
(
)
(
)
1
2
4
5
1
2
4
5
3
1
2
3
4
5
4
2
3
4
5
6
4
3
4
5
6
7
4
4
5
6
7
8
4
6
4
5
7
8
1 1
2
2
1
0
1 12
3
3
12
1
1
1
100
1
2
2
1
4
6
4
0
1
1
10 1
4
6
4
1
3
1
20 1
4
6
4
1
3
1
1
4
6
4
10
1
0
1 1
2
2
1
0
1 12
3
3
12
w
w
w
w
w
w
w
w
EJ
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
EJ
w
w
w
w
w
EJ
w
w
w
w
w
EJ
w
w
w
w
w
−
+
−
=
−
+
−
+
=
−
+
−
+
=
−
+
−
+
=
−
+
−
+
=
−
+
−
+
=
=
−
+
−
=
dr inż. Sławomir Milewski
slawek@L5.pk.edu.pl
Kr, 2011-01-15
Rozwiązania przykładowych zadań na kolokwium nr 2 z MatStos i MetNum
14
Dwa pierwsze równania to różnicowe reprezentacje warunków brzegowych w węźle 3 - czyli
pochodnej pierwszej i trzeciej. Cztery kolejne to równania różnicowe z obszaru (na czwartą
pochodną) - ich prawe strony to wartości obciążenia ciągłego w kolejnych węzłach (czyli dla
x = 0, x = 1, x = 2 i x = 3). Dwa ostatnie to warunki brzegowe w węźle 6.
Ten sam układ w postaci macierzowej wygląda następująco:
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
2
1
0
0
0
0
0
12
3
3
12
100
1
1
1
0
1
0
0
0
0
2
2
10
1
4
6
4
1
0
0
0
1
3
0
1
4
6
4
1
0
0
20
0
0
1
4
6
4
1
0
3
0
0
0
1
4
6
4
1
10
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
2
2
1
0
0
0
0
0
12
3
3
12
w
w
w
w
w
EJ
w
w
w
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
−
−
−
Obliczenie reakcji wymaga:
- obliczenia drugiej pochodnej ugięcia (moment zginający / EJ) w lewej podporze
- obliczenia drugiej (moment zginający / EJ) i trzeciej pochodnej (- siła poprzeczna / EJ)
ugięcia w prawej podporze
Reakcja w lewej podporze
1
1
2
3
4
5
2
1
4
5
4
1
1
12
3
2
3
12
EJ
R
w
w
w
w
w
=
−
+
−
+
−
Reakcje w prawej podporze
2
4
5
6
7
8
2
1
4
5
4
1
1
12
3
2
3
12
EJ
R
w
w
w
w
w
=
−
+
−
+
−
3
4
5
7
8
3
1
1
1
2
2
EJ
R
w
w
w
w
= −
−
+
−
+