KINEMATYKA
Dział fizyki zajmujący się opisem ruchu i jego zmian
– bez wnikania w przyczyny tych zmian.
Układ odniesienia
– ciało lub grupa ciał względem siebie nieruchomych,
względem których podajemy położenie danego ciała w przestrzeni.
Układ współrzędnych
– związany z układem odniesienia zespół osi
umożliwiający jednoznaczne określenie położenia punktu w przestrzeni.
Trajektoria ruchu, tor ruchu
– krzywa w przestrzeni, opisująca zmianę położenia
ciała.
Punkt materialny
– ciało obdarzone masą, którego rozmiary i kształty możemy
w danym zagadnieniu pominąć.
Ruch
– zmiana położenia ciała w przestrzeni.
Ruch jest pojęciem względnym -
charakter ruchu ciała jest różny w
zależności od układu odniesienia.
WEKTOR WODZĄCY
– WEKTOR POŁOŻENIA
y
x
t
r
Jest to wektor określający położenie ciała na trajektorii.
t
r
Zmiana wektora położenia w przedziale czasu
t
oznacza ruch ciała – jego
przemieszczenie
.
r
r
t
t
r
W trakcie ruchu ciała wektor położenia ulega zmianie.
PRĘDKOŚĆ
Prędkość
– określa szybkość zmian wektora położenia
ciała w czasie.
Prędkość średnią
obliczamy jako stosunek zmiany
wektora położenia do czasu w którym nastąpiło.
t
r
V
śr
y
x
t
r
t
r
t
t
r
y
x
t
r
r
d
t
t
r
d
Aby obliczyć prędkość ciała w konkretnej chwili czasu t,
trzeba przyjąć przyrost czasu dążący do zera:
t
r
V
d
d
y
x
t
r
dt
r
d
dt
t
r
Aby obliczyć prędkość ciała w konkretnej chwili czasu t,
trzeba przyjąć przyrost czasu dążący do zera:
t
r
V
d
d
Prędkość (prędkość chwilowa) jest pochodną
z wektora położenia względem czasu.
PRĘDKOŚĆ
1
r
d
1
r
2
r
4
r
3
r
3
r
d
3
V
Kierunek i zwrot wektora prędkości jest taki sam jak kierunek i zwrot
wektora przemieszczenia
które lokalnie odbywa się wzdłuż trajektorii (toru)
V
r
d
Prędkość jest zawsze styczna do toru.
r
t
V
d
d
1
1
V
Vt
S
V
S
t
V
t
S
DROGA
2
2
1
1
2
1
t
V
t
V
S
S
S
1
V
1
t
2
V
2
t
S
n
i
i
i
n
i
i
n
n
t
V
S
t
V
t
V
S
1
1
1
1
...
1
t
2
t
2
V
1
V
1
V
...
t
1
n
t
n
V
V
t
S
t
d
n
i
i
i
t
V
S
1
d
1
0
d
t
t
t
V
t
V
dS
d
Aby obliczyć dokładną wartość przebytej drogi, trzeba przeprowadzić
sumowanie po bardzo małych odcinkach czasu
Sumowanie malutkich kawałeczków nazywamy całkowaniem i oznaczamy
symbolem:
2
2
1
1
t
V
t
V
S
1
V
1
t
)
(
1
1
2
2
2
t
V
t
V
V
2
t
1
V
1
t
1
2
V
V
1
t
1
V
1
t
2
V
2
t
2
2
1
1
t
V
t
V
r
1
t
t
t
V
r
0
d
1
1
1
1
1
1
2
t
V
t
V
t
V
S
droga:
położenie:
2
2
1
1
t
V
t
V
r
1
0
t
d
t
t
V
S
Droga jest całką z szybkości (wartości wektora prędkości).
Położenie jest całką z wektora prędkości.
Prędkość - pochodna wektora położenia po czasie
1
0
t
d
t
t
a
V
1
0
d
t
t
t
V
r
'
V
V
t
V
a
d
d
Przyspieszenie - pochodna wektora prędkości po czasie
r
r
t
r
V
d
d
t
V
r
d
d
Przyspieszenie – druga pochodna wektora położenia po czasie
Prędkość określa szybkość zmiany położenia
Szybkość zmiany prędkości określa przyspieszenie
t
V
a
d
d
t
t
r
t
V
a
d
d
d
d
d
d
t
r
t
t
t
r
t
V
a
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
t
r
t
r
t
t
t
r
t
V
a
O
P
Δt
ΔV
lim
a
0
Δt
d
Δt
Δr
Δr
ΔV
lim
Δt
ΔV
lim
a
0
Δt
0
Δt
d
Q
r
r
r
V
a
2
d
Δt
Δr
r
V
lim
Δt
Δr
Δr
ΔV
lim
Δt
ΔV
lim
a
0
Δt
0
Δt
0
Δt
d
Δt
Δr
lim
r
V
Δt
Δr
r
V
lim
Δt
Δr
Δr
ΔV
lim
Δt
ΔV
lim
a
0
Δt
0
Δt
0
Δt
0
Δt
d
r
V
Δt
Δr
lim
r
V
Δt
Δr
r
V
lim
Δt
Δr
Δr
ΔV
lim
Δt
ΔV
lim
a
2
0
Δt
0
Δt
0
Δt
0
Δt
d
t
r
t
V
t
t
r
t
t
V
t
r
t
t
r
r
r
t
V
t
t
V
V
t
V
V
V
t
a
1
a
w ruchu po okręgu zawsze
występuje
przyspieszenie
dośrodkowe
d
a
s
a
a
V
s
a
przyspieszenie styczne
r
r
r
V
a
2
d
d
a
przyspieszenie dośrodkowe
V
V
t
V
s
d
d
a
a
przyspieszenie wypadkowe
d
s
a
a
a
d
a
a
V
s
a
Oblicz:
,
,
,
,
,
,
2
2
3
4
t
t
t
x
0
x
2
x
0
V
2
V
0
a
2
a
t
V
t
a
2
0
śr
a
2
0
śr
V
const
a
t
a
PRZYKŁAD 1
2
2
1
0
0
t
a
t
V
r
t
r
t
t
a
t
t
V
t
r
t
t
a
t
V
r
t
r
t
V
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2
1
0
0
2
2
1
0
0
t
a
V
t
V
0
t
t
a
t
V
r
t
r
t
V
d
d
d
d
2
2
1
0
0
t
r
t
V
d
d
0
0
V
t
a
t
t
a
t
V
t
t
a
V
t
V
t
a
d
d
d
d
d
d
d
d
0
0
t
t
a
V
t
V
t
a
d
d
d
d
0
t
V
t
a
d
d
0
a
const
-
,
,
0
0
a
V
r
a
t
a
2
1
0
0
2
0
const
r t
r
V t
at
V t
V
at
a t
2
1
0
0
2
0
const
r t
r
V t
at
V t
V
at
a t
Równania opisujące zmiany położenia, prędkości i przyspieszenia w
ruchu ze stałym przyspieszeniem
ruchu jednostajnie zmiennym:
a
V
a
V
jednostajnie przyspieszonym , gdy
a
V
a
V
jednostajnie opóźnionym , gdy
0
0
0
x
x
x
x
x
V t
V
V
a
0
0
0
y
y
y
V
a
2
1
0
2
0
z
z
z
z
z
V t
gt
V
V
gt
a
g
0
0
0
0
0, 0, 0
, 0,
0, 0,
x
z
r
V
V
V
a
g
gdy:
2
1
0
0
2
0
const
r t
r
V t
at
V t
V
at
a t
0 x
x
t
V
wzdłuż osi y – ciało nie porusza się
wzdłuż osi x – ruch jednostajny
wzdłuż osi z – ciało porusza się początkowo ruchem jednostajnie
opóźnionym, a następnie jednostajnie przyspieszonym
2
0
2
0
2
z
x
ox
V
g
z
x
x
V
V
ciało porusza się po paraboli
– jest to tzw. rzut ukośny
2
1
0
0
2
0
const
r t
r
V t
at
V t
V
at
a t
Ruch postępowy
jednostajnie zmienny.
2
1
0
0
2
0
const
t
t
t
t
t
t
Ruch obrotowy
jednostajnie zmienny.
– położenie kątowe (kąt obrotu)
– prędkość kątowa
– przyspieszenie kątowe
Ruch obrotowy
przyspieszony.
Ruch obrotowy
przyspieszony.
Ruch obrotowy
opóźniony.
Ruch obrotowy
przyspieszony.
t
t
A
t
t
A
t
V
t
a
d
sin
d
d
sin
d
d
d
0
0
0
0
t
t
A
t
V
t
a
d
sin
d
d
d
0
0
t
V
t
a
d
d
t
x
t
V
d
d
t
t
A
t
x
t
V
d
cos
d
d
d
0
PRZYKŁAD 2
t
A
t
x
0
cos
t
t
A
t
t
A
t
x
t
V
d
cos
d
d
cos
d
d
d
0
0
t
A
t
V
0
0
sin
const
,
0
A
t
A
t
a
0
2
0
cos
2
2
d
d
x
a
t
t
x
t
A
0
cos
x
t
x
2
0
2
2
d
d
x
t
x
2
0
2
2
d
d
– gdy przyspieszenie jest zawsze wprost
proporcjonalne do wartości położenia, lecz
przeciwnie skierowane.
to położenie ciała zmienia się zgodnie z
równaniem
t
A
t
x
0
cos
Mamy wówczas do czynienia z
ruchem harmonicznym prostym
czyli
nietłumionym ruchem drgającym
o amplitudzie A, oraz
okresie
0
π
2
T
Jeśli mamy do czynienia z drganiami harmonicznymi, to spełniona
musi być relacja:
2
0
2
2
d
d
t
2
0
Zaznaczyć kierunek i zwrot wektorów:
M
