Wykład jedenasty
Szeregi potęgowe c.d.
W zbiorze tych x – dla których dany szereg potęgowy jest zbieżny, można określić funkcjęS(x),
która jest jego sumą tzn. S(x)
df
=
∞
X
n=0
a
n
x
n
.
Tw.1. Jeżeli R > 0 jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego
∞
X
n=0
a
n
x
n
, to jego suma S(x)
jest funkcją ciągłą w przedziale (−R; R). Ponadto, jeżeli szereg liczbowy
∞
X
n=0
a
n
R
n
jest zbieżny, to
funkcja S(x) jest ciągła (lewostronnie) w punkcie x = R; jeżeli szereg liczbowy
∞
X
n=0
a
n
(−R)
n
jest
zbieżny, to funkcja S(x) jest ciągła (prawostronnie) w punkcie x = −R.
Tw.2 Jeżeli R > 0 jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego
∞
X
n=0
a
n
x
n
, to jego suma S(x)
1. jest funkcją R – całkowalną w przedziale (−R; R) oraz dla każdego x ∈ (−R; R)
Z
x
0
S(t)dt =
Z
x
0
∞
X
n=0
a
n
t
n
!
dt =
∞
X
n=0
Z
x
0
a
n
t
n
dt =
∞
X
n=0
a
n
x
n+1
n + 1
2. jest funkcją różniczkowalną w przedziale (−R; R) oraz dla każdego x ∈ (−R; R)
∞
X
n=0
a
n
x
n
!
0
=
∞
X
n=0
(a
n
x
n
)
0
=
∞
X
n=1
a
n
nx
n−1
przy czym promienie zbieżności otrzymanych nowych szeregów są też równe R.
Szereg Taylora
Zał. x
0
∈ D
f
i w pewnym otoczeniu Q(x
0
; r) funkcja f posiada pochodne wszystkich rzędów
(ozn. f ∈ C
∞
(Q(x
0
; r)) ). Wówczas dla każdej liczby naturalnej n można napisać wzór Taylora
dla funkcji f i punktu x
0
tzn.
f (x) =
n−1
X
k=0
f
(k)
(x
0
)
k!
(x − x
0
)
k
+
f
(n)
(c)
n!
(x − x
0
)
n
= S
n
(x) + R
n
(x) , c leży między x i x
0
.
Zatem
lim
n→∞
f (x) = f (x) =
∞
X
n=0
f
(n)
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
+ lim
n→∞
R
n
(x)
Uwaga 1. Jeżeli w pewnym otoczeniu punktu x
0
lim
n→∞
R
n
(x) = 0, to
(?) f (x) =
∞
X
n=0
f
(n)
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
– szereg Taylora funkcji f w otoczeniu punktu x
0
.
1
Równość ? nazywamy rozwinięciem funkcji f w szereg Taylora w otoczeniu punktu x
0
.
Dla x
0
= 0 mamy równość: f (x) =
∞
X
n=0
f
(n)
(0)
n!
x
n
– szereg Maclaurina funkcji f .
Uwaga 2. Jeżeli w pewnym otoczeniu punktu x
0
funkcja f jest klasy C
∞
i pochodne wszystkich
rzędów są wspólnie ograniczone, to lim
n→∞
R
n
(x) = 0.
Uwaga 3. Jeżeli w pewnym otoczeniu punktu x
0
f (x) =
∞
X
n=0
a
n
(x − x
0
)
n
, to a
n
=
f
n
(x
0
)
n!
(tzn.
w otoczeniu punktu x
0
rozwinięcie funkcji f w szereg Taylora jest jednoznaczne).
Rozwinięcia w szereg Maclaurina najważniejszych funkcji
1. sin x =
∞
X
n=0
(−1)
n
(2n + 1)!
x
2n+1
– prawdziwe dla każdego x ∈ R
2. cos x =
∞
X
n=0
(−1)
n
(2n)!
x
2n
– prawdziwe dla każdego x ∈ R
3. e
x
=
∞
X
n=0
1
n!
x
n
– prawdziwe dla każdego x ∈ R
4.
1
1 − x
=
∞
X
n=0
x
n
– prawdziwe dla każdego x ∈ (−1; 1)
Funkcje wielu zmiennych
Niech n – ustalona liczba naturalna.
Przestrzenią R
n
nazywamy zbiór punktów {(x
1
, . . . , x
n
) : x
i
∈ R, i = 1, . . . , n}. Jeśli punkty
P (x
1
, . . . , x
n
) , P
0
(x
0
1
, . . . , x
0
n
) ∈ R
n
, to ich odległość (ozn.d(P, P
0
) ) określamy wzorem
d(P, P
0
)
df
=
q
(x
1
− x
0
1
)
2
+ . . . + (x
n
− x
0
n
)
2
1. dla n = 1 i P (x) , P (x
0
): d(P, P
0
) = |x − x
0
|
2. dla n = 2 i P (x, y) , P (x
0
, y
0
): d(P, P
0
) =
q
(x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
Def. Otoczeniem o promieniu r punktu P
0
(ozn.Q(P
0
; r)) nazywamy zbiór
{P ∈ R
n
: d(P, P
0
) < r}.
1. dla n = 1 Q(x
0
, r) = {x ∈ R : |x − x
0
| < r}
2. dla n = 2 Q((x
0
, y
0
), r) = {(x, y) ∈ R
2
:
q
(x − x
0
)
2
+ (y − y
0
)
2
< r}
Def. Sąsiedztwem o promieniu r punktu P
0
(ozn.S(P
0
, ; r)) nazywamy zbiór
{P ∈ R
n
: 0 < d(P, P
0
) < r}.
2
Def. Zbiór D ⊂ R
n
nazywamy zbiorem otwartym, jeśli spełnia warunek
∀ P
0
∈ D ∃ r > 0 (Q(P
0
; r) ⊂ D)
Def. Obszar w R
n
jest to taki zbiór otwarty, którego każde dwa punkty można połączyć łamaną
zawartą w tym zbiorze. Obszar jest ograniczony, jeśli zawiera się w pewnym otoczeniu punktu
(0, . . . , 0).
Zbieżność ciągu punktów w R
n
Niech (P
k
) – ciąg punktów w R
n
i P
0
∈ R
n
.
Def. Ciąg punktów (P
k
) jest zbieżny do punktu P
0
(ozn. lim
k→∞
P
k
= P
0
lub P
k
→ P
0
), jeśli
lim
k→∞
d(P
k
, P
0
) = 0.
Uwaga 1. lim
k→∞
P
k
(x
k
1
, . . . , x
k
n
) = P
0
(x
1
, . . . , x
0
n
) ⇔ ∀ 1 ¬ i ¬ n lim
k→∞
x
k
i
= x
0
i
.
Niech D ⊂ R
2
, funkcja f : D → R jest określona w pewnym sąsiedztwie S punktu (x
0
, y
0
) .
Def. Liczba g jest granicą podwójną funkcji f w punkcie (x
0
, y
0
) (ozn.
lim
(x,y)→(x
0
, y
0
)
f (x, y) = g
lub
lim
x→x0
y→y0
f (x, y) = g), jeśli spełniony jest warunek:
^
((xn,yn))⊂S
(xn,yn)6=(x0,y0)
lim
n→∞
(x
n
, y
n
) = (x
0
, y
0
) ⇒ lim
n→∞
f (x
n
, y
n
) = g
definicja Heinego
Niech D ⊂ R
2
, funkcja f : D → R jest określona w pewnym otoczeniu punktu (x
0
, y
0
) .
Def. Funkcja f jest ciągła w punkcie (x
0
, y
0
), jeśli
lim
(x,y)→(x
0
, y
0
)
f (x, y) = f (x
0
, y
0
).
Funkcja f jest ciągła w zbiorze, jeśli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
3