1
Paweł Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
Wykład 2.
Linie pierwiastkowe
Metoda linii pierwiastkowych została opracowana przez W. Evansa w roku 1948 i
1950. Technika ta umożliwia badanie wpływu zmian wartości określonego parametru
na dynamikę układu regulacji poprzez obserwowanie zmian rozkładu biegunów
transmitancji układu zamkniętego w funkcji tego parametru. Korzysta się z istnienia
ścisłej zależności między rozmieszczeniem zer i biegunów transmitancji układu za-
mkniętego a charakterem przebiegów przejściowych w układzie sterowania.
Rysunek
1
. Układ kontroli ze sprzężeniem zwrotnym i sterownikiem w postaci członu
proporcjonalnego (statycznego).
1
regulator
obiekt regulacji
np. czujnik pomiarowy
2
Paweł Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
Dynamiczne układy liniowe, których transmitancję w układzie sprzężenia zwrot-
nego (patrz rysunek
1
) można wyrazić następującą zależnością:
,
(
2.1
)
oznacza transmitancję układu otwartego;
jest transmitancją
układu zamkniętego; współczynnik
0, ∞
nazywany czasami parametrem linii
jest wzmocnieniem układu otwartego;
jest transmitancją obiektu.
Zmiany wartości parametru wzmocnienia
powodują przemieszczanie się miejsc
zerowych (pierwiastków) mianownika transmitancji układu zamkniętego na płasz-
czyźnie zmiennej zespolonej tworząc wykresy linii pierwiastkowych.
Należy zaznaczyć, że metoda stosowana w odniesieniu do współczynnika wzmoc-
nienia układu otwartego jest najczęściej rozpatrywanym przypadkiem, ale jest to
technika ogólna i można ją stosować do badania wpływu zmian dowolnego innego pa-
rametru. Bieguny układu zamkniętego określa równanie charakterystyczne:
1 0,
(
2.2
)
0.
(
2.3
)
3
Paweł Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
Linie pierwiastkowe to parametryczny wykres miejsc geometrycznych (zmian po-
łożeń) biegunów układu zamkniętego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej
s
w funkcji
parametru. Równanie (
2.3
) jest równaniem linii pierwiastkowych względem parame-
tru
.
Określenie zmian położenia pierwiastków równania charakterystycznego układu
zamkniętego przy zmianie
(teoretyczne od zera do nieskończoności), umożliwia ba-
danie zmian dynamiki układu regulacji i pomaga w wyborze właściwych wartości pa-
rametrów regulatora.
Metodę tę można stosować do syntezy układów regulacji.
2.1.
Reguły sporządzania linii pierwiastkowych
Metodę tę można stosować, jeśli transmitancję
można zapisać jako iloraz wie-
lomianów, a więc gdy równanie
(2.2)
przyjmuje postać
!
"
!
#
…
!
%
!&
"
!&
#
…
!&
'
(1,
(
2.4
)
4
Paweł Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
przy czym
)
, )
*
, … , )
+
są zerami transmitancji,
,
, ,
*
, … , ,
-
są biegunami transmi-
tancji ( czyli pierwiastkami równania charakterystycznego układu otwartego),
. / 0
.
Z równania (
2.4
), kiedy
1 0
, transmitancja
musi dążyć do nieskończono-
ści, aby zachodziła zależność
(1
. Oznacza to, że zmienna przekształcenia
Laplace’a
musi dążyć do biegunów transmitancji układu otwartego, zatem linie
pierwiastkowe (miejsca geometryczne pierwiastków) rozpoczynają się w biegunach
układu otwartego. Ponadto, pojawi się osobna gałąź wykresu dla każdego bieguna. Na
podstawie równania (
2.4
) widać także, że gdy
1 ∞
równość
(1
może być
spełniona tylko wtedy, gdy
dąży do zera, czyli
dąży do zer funkcji
.
W kon-
sekwencji,
.
gałęzi linii pierwiastkowych kończy się w
.
punktach będących zerami
transmitancji układu otwartego.
Inny sposób interpretacji równania charakterystycznego opiera się na obserwacji,
że jeśli kąt fazowy jest równy
– 3
(i jego dowolna nieparzysta krotność) to
(1
, tzn. wtedy, gdy całkowite wzmocnienie jest równe
1
. Zapisujemy to jak niżej:
arg ( )
arg ( )
*
7 arg ( )
+
( arg ( ,
( arg ( ,
*
( 7 ( arg ( ,
-
29 13,
(
2.5
)
5
Paweł Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
9
jest dowolną dodatnią liczbą całkowitą.
Jeśli na przykład rozważymy bardzo duże wartości
(odpowiadające w rzeczywi-
stości bardzo dużej częstotliwości
:
), to równanie charakterystyczne przyjmie postać
';%
(1.
(
2.6
)
Na podstawie równania (
2.6
), dla dużych wartości
linie pierwiastkowe dążą do
asymptot nachylonych pod kątami
*<=
-!+
. Podobnie można wykazać, że tych
0 ( .
asymptot wychodzi ze środka ciężkości zer i biegunów, co podano niżej w regule 5.
2.2.
Reguły kreślenia linii pierwiastkowych
Reguła 1. Liczba linii pierwiastkowych czyli gałęzi wykresu jest równa liczbie biegunów
0
.
Reguła 2. Początki gałęzi. Linie pierwiastkowe (gałęzie wykresu) rozpoczynają się w
0
biegunach dla
0
, biegun
>
-krotny jest początkiem
0
gałęzi linii pierwiastkowych.
Reguła 3. Końce gałęzi. Gdy
1 ∞
, to
.
spośród
0
gałęzi linii pierwiastkowych skoń-
czy się w
.
zerach transmitancji układu otwartego, a
0 ( .
dąży do nieskończono-
ści wzdłuż asymptot. W zerze
>
-krotnym kończy się
>
gałęzi linii pierwiastkowych.
6
Paweł Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
Reguła 4. Linie pierwiastkowe na osi rzeczywistej. Oś rzeczywista jest częścią linii
pierwiastkowej, jeśli suma liczby biegunów i liczby zer na prawo od danego punktu na
osi jest nieparzysta. Tutaj
>
-krotny biegun lub zero należy liczyć
>
razy, a bieguny lub
zera zespolone sprzężone należy pominąć.
Reguła 5. Asymptoty. Wykres ma
0 ( .
asymptot, do których dąży tyle samo linii
pierwiastkowych, gdy
jest bardzo duże. Asymptoty wychodzą ze środka ciężkości
zer i biegunów transmitancji układu otwartego, przy czym środek ciężkości
?
@
określa
się jako
?
@
∑
&
B
'
BC"
!∑
D
%
DC"
-!+
.
(
2.7
)
Asymptoty rozchodzą się symetrycznie do osi rzeczywistej (oś rzeczywista też może
być asymptotą), tworząc między sobą kąty
*=
-!+
.
Reguła 6. Punkty rozwidlenia. Jeśli oś rzeczywista między dwoma sąsiednimi biegu-
nami jest częścią linii pierwiastkowej, to dwie gałęzie linii pierwiastkowej odchodzą od
osi rzeczywistej w punkcie rozwidlenia
∑
E
!&
B
∑
E
!
D
+
FG
-
HG
,
(
2.8
)
7
Paweł Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
przy czym linie pierwiastkowe odchodzą od osi rzeczywistej pod kątem prostym.
Reguła 7. Punkty dojścia. Jeśli oś rzeczywista między dwoma sąsiednimi zerami jest
częścią linii pierwiastkowej, to dwie linie pierwiastkowe dochodzą do osi rzeczywistej
w punkcie
I
spełniającym równanie (
2.8
). Linie pierwiastkowe dochodzą do osi rze-
czywistej pod kątem prostym.
Reguła 8. Kąty wyjścia. Dla biegunów pojedynczych na osi rzeczywistej kąty wyjścia li-
nii pierwiastkowych z biegunów są równe
0
, albo
3
. Dla bieguna
>
-krotnego kąty wyj-
ścia
>
linii pierwiastkowych wynoszą
J
<
I
K29 13 ∑ arg,
I
( ,
H
∑ arg,
I
( )
F
+
FG
-
HG
HLI
M,
(
2.9
)
przy czym:
9 0,1, … , > ( 1
,
,
I
jest biegunem
>-krotnym.
Reguła 9. Kąty dojścia. Dla zer pojedynczych na osi rzeczywistej kąty dojścia linii pier-
wiastkowych są równe
0
albo
3
. Dla zera
>
-krotnego kąty dojścia
>
linii pierwiastko-
wych wynoszą
J
<
I
N29 13 ∑ arg)
I
( ,
H
∑ arg)
I
( )
F
+
FG
FLI
-
HG
O.
(
2.10
)
8
Paweł Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
Czasem wygodnie jest wyobrażać sobie linie pierwiastkowe jako drogę dodatnio
naładowanej cząstki w polu elektrostatycznym, przyjmując, że linie pierwiastkowe są
odpychane od biegunów, a przyciągane do zer.
Wartość krytyczną
P
(oraz odpowiadającą jej częstotliwość pracy układu), przy
której linie pierwiastkowe przejdą przez oś urojoną wyznacza się przyrównując do ze-
ra mianownik transmitancji widmowej układu zamkniętego
Q:
R
FS
R
FS
:
Q: Q: Q: 0,
(
2.11
)
co będzie spełnione, jeśli
TUV
Q:W 0
i
X.V
Q:W 0
.
Linie pierwiastkowe mogą w całości zawierać się w lewej półpłaszczyźnie zespolo-
nej, co świadczy o stabilności układu w całym zakresie zmian parametru
, ale mogą
też przechodzić do prawej półpłaszczyzny stanowiąc o niestabilności układu, która po-
jawia się dla pewnej wartości parametru. Wartość tego parametru można wyznaczyć
np. za pomocą algebraicznego kryterium stabilności Routha-Hurwitza.
Powyższe reguły nie wyczerpują wszystkich, jakimi należy kierować się przy wy-
znaczaniu linii pierwiastkowych. Inne w razie potrzeby omówione zostaną na zaję-
ciach ćwiczeniowych.
9
Paweł Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
2.3.
Przykłady
2.3.1
Układy drugiego rzędu
Y
Z[
\ i Y
Z]
\.
a)
b)
Rysunek 2. a)
^
_
&
"
&
#
,
b)
`
_
&
E
#
.
Dla przypadku z rysunku
2a
układ dany transmitancją
^
będzie stabilny w
zakresie wartości wzmocnienia
odpowiadającego części linii pierwiastkowej (po-
prowadzonej od bieguna
,
*
) znajdującej się w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespo-
lonej
. Oscylacje pojawiają się wtedy, gdy linie pierwiastkowe opuszczają oś rzeczy-
wistą
TUVW.
Rysunek
2b
odpowiadający układowi
`
też przedstawia dwie linie
abV\W
cdV\W
(,
I
abV\W
cdV\W
(,
(,
*
e
10
Paweł Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
pierwiastkowe, ale rozpoczynające się w biegunie podwójnym
,
I
. Na obu rysunkach
2a
i
2b
linie pierwiastkowe zbiegają do zer w nieskończoności.
2.3.2
Transmitancja układu zamkniętego
Y\
f\g
\\h\i
Rozmieszczenie zer i biegunów danej transmitancji
pokazano na rysunku
3
.
a)
b)
Rysunek
3
. a) odejmowanie wektorów (wyznaczania kąta fazowego
j
); b) dowolny punkt
na płaszczyźnie zespolonej w odniesieniu do zera i biegunów
transmitancji
z przykładu 2.3.2.
(4
(2
(1
0
abV\W
cdV\W
(2 Q2
l
m
n
o
j
j
*
j
p
q
Q2
0
abV\W
cdV\W
j
e
(
e
j arg
(
e
11
Paweł Olejnik: Katedra Automatyki i Biomechaniki Politechniki Łódzkiej
Przyjrzyjmy się dwóm podstawowym równaniom stanowiących podstawę techniki
linii pierwiastkowych, mianowicie (
2.4
) i (
2.5
):
!
"
!
#
…
!
%
!&
"
!&
#
…
!&
'
(1
, które moż-
na zapisać w postaci
|G
s| t
!
"
!
#
…
!
%
!&
"
!&
#
…
!&
'
t
u
, (
2.12
)
oraz
l>v ( )
l>v ( )
*
7 l>v ( )
+
( l>v ( ,
( l>v (
,2−…−l>v(−,0)=29+13,
które można zapisać w postaci
w() = ∑
wx − )
F
y
+
FG
− ∑
w( − ,
H
) = (29 + 1)3
-
HG
.
(
2.13
)
Wybierzmy dowolny punkt
= −2 + Q2
leżący na płaszczyźnie zespolonej. Po-
wiemy, że punkt
należy do linii pierwiastkowej, jeśli spełnia równania (
2.12
) – dla
modułu liczby zespolonej i (
2.13
) - dla kąta fazowego:
|
"
|
|
"
e||
"
*||
"
z|
=
_
=
^
`{@{|
=
√~
√{*{√
, stąd dla
=
√~
punkt
może należeć do
jednej z linii pierwiastkowych. Sprawdźmy następnie, czy spełniony jest drugi warunek
w() = w(
+ 1) − w(
+ 0) − w(
+ 2) − w(
+ 4) = (29 + 1)3
. Obliczając
kąty, jakie tworzą odcinki a, b, c, d z osią rzeczywistą otrzymamy:
q
− j
− j
*
−
j
p
= (29 + 1)3, 9 = 0, 1, 2, …
, stąd
116.57° − 135° − 90° − 45° = −143.33°
(29 + 1)3
dla każdego
9
. Punkt
nie należy do jakiejkolwiek linii pierwiastkowej.