LISTA 3. Pochodna funkcji jednej zmiennej.
Zad. 1: Obliczyć pochodne funkcji:
a.
x
x
x
f
+
−
=
1
1
)
(
b.
(
)
3
)
(
3
2
)
(
x
e
arctg
x
f
=
c.
(
)
5
3
2
1
1
)
(
x
x
x
x
f
+
−
=
d.
x
x
x
f
2
1
2
1
ln
)
(
−
+
=
e.
3
2
)
1
(
1
)
(
−
+
=
x
x
x
f
f.
1
2
2
1
1
)
(
−
−
−
=
x
e
x
x
f
g.
)
2
1
2
3
ln(cos
)
(
x
x
x
f
+
+
=
h.
)
2
1
2
1
ln(
)
(
4
x
x
x
f
−
+
=
i.
x
x
x
arctg
x
x
f
−
+
=
)
1
(
)
(
j.
x
x
arctg
x
f
−
−
=
1
1
)
(
k.
( )
thx
x
x
f
1
)
(
8
+
=
l.
(
)
x
e
x
x
f
5
cos
)
(
=
m.
2
4
1
1
ln
)
(
x
x
x
f
−
+
=
n.
(
)
1
ln
)
arcsin(
)
(
4
2
2
−
+
+
=
−
x
x
x
e
e
e
x
f
o.
2
2
1
ln
1
arcsin
)
(
x
x
x
x
x
f
−
+
−
=
p.
)
1
ln(
1
)
(
2
2
x
x
arctgx
x
x
f
−
+
−
+
=
r.
( )
)
ln(
)
(
tgx
tgx
x
f
=
s.
(
)
x
x
x
x
x
f
2
2
1
1
ln
)
(
+
−
+
+
=
t.
1
2
1
ln
)
(
2
+
+
=
x
e
x
f
u.
( )
x
e
x
x
f
sin
)
(
=
w.
( )
ctgx
e
x
x
f
=
)
(
Zad. 2: Znaleźć równania stycznych i normalnych do danych krzywych we wskazanych punktach:
)
0
;
1
(
,
2
1
arcsin
)
);
0
,
0
(
,
2
)
P
x
y
b
O
x
tg
y
a
−
=
=
;
)
1
;
(
,
ln
)
;
1
,
)
0
1
2
e
P
x
y
d
x
e
y
c
x
=
−
=
=
−
.
Zad. 3: Znaleźć równanie normalnej do krzywej y=xlnx i jednocześnie równoległej do prostej
2x-2y+3=0.
Zad. 4: Znaleźć kąty przecięcia krzywych:
.
2
)
(
,
)
(
.
;
)
(
,
)
(
.
2
3
3
−
=
=
=
=
x
x
e
x
g
e
x
f
b
x
x
g
x
x
f
a
Zad. 5: Obliczyć pochodną
dx
dy
wybranej funkcji określonej równaniami parametrycznymi:
−
=
−
=
=
=
−
=
=
cykloida
t
a
y
t
t
a
x
c
elipsa
t
b
y
t
a
x
b
prosta
linia
t
y
t
x
a
)
cos
1
(
)
sin
(
.
sin
cos
.
)
1
(
8
4
.
a
Kartezjusz
lisc
t
at
y
t
at
x
f
lancuchowa
linia
t
t
a
y
t
a
x
e
asteroida
t
a
y
t
a
x
d
+
=
+
=
+
=
=
=
=
3
2
3
3
3
1
1
.
1
2
ln
.
sin
cos
.
