Całka krzywoliniowa funkcji skalarnej na płaszczyźnie. Niech będą dane na płaszczyźnie Oxy 
łuk gładki (l

) 

o początku A i końcu B oraz funkcja f, która każdemu punktowi P 

= 

(x, y) krzywej 

(I) przyporządkowuje 

l

iczbę f (P) = f (x, y). Funkcję tę nazywam

y 

funkcją skala

r

ną

, 

a

b

y 

odróżnić ją od funkcji wektorowej. Zakładamy, że funkcja f jest ograniczona na (I)

.  

Całka krzywoliniowa funk

c

ji f po krzywej (I)

, j

est oznaczan

a 

symbolami 

                         

 

 

 

l - dr

o

ga 

c

ałko

w

ania

.        

 - funk

c

ja podcałkowa, 

d

l - ró

ż

ni

c

zka ł

u

k

u

. 

 

 

 

Łuk (I) = AB dzielim

y 

za pomocą punktó

w 

podziału A = A

o

, A

1

,

 .

.

. 

, A

n

-1

,

 A

n

 

= 

B 

Tworzymy cięc

i

wy 

odpo

w

iadają

ce tym ł

u

ko

m 

a długości tych cięciw oznacz

a

my 

  

 

    

 

        

 

  

Średnicą podziału nazywamy długość   najdłuższego z łuków częściowych w danym podziale.

 

Na każdym z łuków częściowych obieramy po 

jednym punkcie 

 

 

       

 

 

i tworzymy  

   

 

   

 

 

   

 

Sumę tę nazywamy sumą całkową funkcji f na drodze (I). 

 

 

 

Normalny ciąg podziałów jest to ciąg podziałów

, 

których średnice twor

z

ą ciąg zbieżny do 0 

(a liczby łuków częściowych

 

ciąg rozbieżny do  ).  

G

r

anica sumy całkowej. Jeśli każdemu normalnemu ciągowi podziałów, pr

z

y dowo

l

nym 

wyborze argumentów

, 

odpowiada ciąg sum całkowych zbieżny do pewnej granicy

, 

to tę 

granicę nazywamy całką krzywoliniową funkcji f po krzywej (l), co zapisujemy 

   

   

     

 

   

 

 

   

 

        

 

 

 

 

 

Sens geometr

y

czny

. 

Jeśli f (P) = 1 wszędzie na (l)

, 

to całka 

        

 

 jest długością łuku (l)  

Sens 

fi

z

yc

z

ny. 

Jeśli (l) oznacza krzywą materialną, a f(P) gę

s

tość w dowolnym p

u

nkcie P tej 

krzywej, to całka  

        

 

  

jest masą tej krzywej. 

 

 

 

Obliczenie całki krzywoliniowej funkcji skalarnej na płaszcz

y

źnie  

J

eś

li łuk gładki (

I

) jest dan

y 

na pła

szczyź

nie Ox

y 

ja

w

n

ie 

y=y(x),            

a funk

cj

a f j

es

t c

ią

gła na (I)

, t

o c

a

łka kr

zyw

olini

ow

a f

u

nk

cj

i f

 

p

o 

kr

zywej (

I

) 

i

s

tnieje i 

z

a

c

hod

z

i równoś

ć 

        

 

                     

 

 

 

 

 

   

 

 

 

J

eś

li łuk gładki (I

) 

j

es

t dan

y 

n

a 

pła

szczyź

n

ie 

O

xy 

par

a

m

et

r

ycz

ni

e  

 

x 

= 

x (t),  

y 

= 

y (

t)

,             

a funk

cj

a f j

es

t c

ią

gła na (I)

, t

o c

a

łka kr

zyw

olini

ow

a f

u

nk

cj

i f

 

p

o 

kr

zywej (

I

) 

i

s

tnieje i 

z

a

c

hod

z

i równoś

ć 

        

 

                    

 

    

 

 

 

   

 

 

 

Całka 

k

rzywolini

owa 

f

u

nkc

j

i sk

alar

nej w 

prze

s

tr

ze

ni. 

 

Nie

c

h będ

ą 

dane w pr

z

estrzeni Oxyz

: 

ł

uk 

gł

adki (

l) o

raz f

u

n

k

cja sk

a

larna f punktu P 

= 

(x

, 

y

, z

)

, 

o

k

reślona 

i 

ogranic

z

ona na (I). Całkę 

krzywoli

ni

o

w

ą f

un

k

c

j

i 

f 

p

o krzywej (l) w p

r

zestrz

e

ni 

O

xy

z 

def

ini

uje

m

y 

. 

analogicznie jak 

n

a 

p

łaszczy

źn

ie 

O

xy 

i 

oznac

za

my sy

m

bo

la

m

i 

                            

 

 

 

J

eś

li łuk gładki (I

) 

j

es

t dan

y 

w przestrzeni

 

O

xyz 

par

a

m

et

r

ycz

ni

e  

 

x 

= 

x (t),  

y 

= 

y (

t)

,   z=z(t) 

          

a funk

cj

a f j

es

t c

ią

gła na (I)

, t

o c

a

łka kr

zyw

olini

ow

a f

u

nk

cj

i f

 

p

o 

kr

zywej (

I

) 

i

s

tnieje i 

z

a

c

hod

z

i równoś

ć