ANALIZA NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

1. Pomiary wielkości fizycznych

Pomiar wielkości fizycznej polega na porównaniu jej z wielkością tego samego rodzaju

przyjętą za jednostkę. Zatem liczba otrzymana jako wynik pomiaru zaleŜy od wyboru

jednostki (przykład: pomiar długości w cm, m, ft, in itp.). Wynik pomiaru musi więc zawsze

składać się z dwóch części: wartości liczbowej oraz jednostki.

Pomiary wielkości fizycznych dzielimy na bezpośrednie i pośrednie. Pomiary

bezpośrednie są najprostsze – polegają wprost na porównaniu danej wielkości z

odpowiednią miarą wzorcową np. pomiar wymiarów ciała za pomocą linijki, suwmiarki,

ruby mikrometrycznej itp., pomiar czasu trwania jakiegoś procesu przy uŜyciu stopera,

pomiar natęŜenia prądu amperomierzem. W przypadku pomiarów pośrednich wartość

badanej wielkości wyznaczana jest na podstawie pomiarów bezpośrednich innych wielkości

fizycznych, które są z nią związane znanym nam prawem fizycznym. Na przykład – chcemy

wyznaczyc wartość przyspieszenia ziemskiego na podstawie okresu drgań wahadła

matematycznego. Jak wiadomo okres drgań wahadła opisuje wzór:

, st

. W celu wyznaczenia warto

musimy zatem dokona

pomiarów

(bezpo

rednich) okresu drga

wahadła (

) oraz długo

ci nici (

). Innym przykładem jest

wyznaczanie nat

ęŜ

enia pr

du elektrycznego na podstawie pomiarów spadku napi

cia na

oporniku wzorcowym oraz prawa Ohma

. Widzimy,

e w zale

ci od wyboru

metody pomiarowej, warto

ci niektórych wielko

ci fizycznych mog

wyznaczane

zarówno drog

pomiarów bezpo

rednich, jak i po

rednich.

2. Błędy i niepewności pomiarowe

Niezale

nie od metody pomiarów nie mo

emy nigdy bezwzgl

dnie dokładnie wyznaczy

rzeczywistej warto

ci wielko

ci fizycznej. Ró

nic

pomi

dzy wynikiem pomiaru, a

rzeczywist

warto

mierzonej wielko

ci nazywamy

błędem pomiaru

. Bł

dy pomiarów

tradycyjnie dzielimy na grube (omyłki), przypadkowe oraz systematyczne.

Błędy grube

powstaj

zwykle na skutek nieuwagi lub niestaranno

ci obserwatora przy

odczytywaniu lub zapisywaniu wyników lub w wyniku nagłej zmiany warunków pomiaru

(np. wstrz

sy). Je

li mamy seri

pomiarów wyniki obarczone bł

dem grubym s

łatwe do

wykrycia i usuni

cia.

Błędy systematyczne

wynikaj

z niedoskonało

ci przyrz

dów i metod pomiarowych. Mo

na je

redukowa

stosuj

c bardziej doskonałe i precyzyjne metody i przyrz

dy, jednak całkowite

wyeliminowanie bł

dów systematycznych jest niemo

liwe. Rozpoznane bł

dy systematyczne

nale

y uwzgl

dnia

poprzez wprowadzenie odpowiednich poprawek do wyniku, np. kiedy

ymy na wadze, której wskazanie bez obci

ąŜ

enia wynosi

zamiast 0 to

jest bł

dem

systematycznym, który nale

y odj

ąć

od wyniku wa

enia, innym typowym przykładem jest

poprawka na opór wewn

trzny woltomierza przy pomiarze napi

cia .

błędami przypadkowymi

mamy do czynienia zawsze. Wynikaj

one z ró

nych

przypadkowych i nie daj

cych si

uwzgl

dni

czynników (np. wahania temperatury, lub ruch

powietrza w pobli

u przyrz

du pomiarowego). Inn

przyczyn

e by

niezgodno

ść

przyj

tego modelu z obiektem mierzonym – np. gdy mamy zmierzy

rednic

ta,

zakładamy milcz

co,

e jest on idealnym walcem, co nie jest prawd

. O istnieniu bł

dów

przypadkowych

wiadczy niepowtarzalno

ść

wyników pomiaru jednej i tej samej wielko

ci.

Bł

dy przypadkowe redukuje si

poprzez wielokrotne powtarzanie pomiaru – zachodzi

wówczas cz

ęś

ciowa kompensacja przypadkowych zawy

cych i zani

cych odchyłek

wyniku.

Poniewa

nigdy nie znamy rzeczywistej warto

ci wielko

ci mierzonej, wi

posługiwanie si

w praktyce poj

ciem bł

du pomiaru nie jest wygodne. Obecnie przy

opracowywaniu wyników pomiarów nale

y stosowa

do zalece

dzynarodowej

Normy Oceny Niepewno

ci Pomiaru. Norma ta uzgodniona w 1995 r. i przyj

ta ustawowo w

Polsce w 1999 r. znajduje zastosowanie w ró

nych dziedzinach nauki i techniki.

dzynarodowa Norma zaleca posługiwanie si

terminem

niepewność pomiarowa

zdefiniowanym jako parametr charakteryzujący wątpliwości dotyczące wartości wyniku

pomiarowego

. Miar

niepewno

ci pomiarowej jest

niepewność standardowa

, która mo

szacowana na 2 sposoby:

typu A

wykorzystuj

cy analiz

statystyczn

serii pomiarów

oraz

typu B

oparty na naukowym os

dzie obserwatora. Symbolem niepewno

ci standardowej

jest

(od ang. uncertainty), który mo

na zapisywa

na 3 ró

ne sposoby, np.

(

) lub

(st

ęŜ

enie NaCl). Zalet

tego zapisu jest to,

e informacja o wielko

ci mierzonej mo

e by

wyra

ona słownie, co ułatwia tworzenie dokumentacji pomiaru. Nale

y jednak pami

nie jest funkcj

tylko liczb

3. Metody określania niepewności pomiarowych

3.1. Niepewność standardowa pomiarów bezpośrednich

Przypu

ść

my,

e wykonali

my seri

pomiarów bezpo

rednich wielko

ci fizycznej

otrzymuj

c wyniki

...

. Je

li wyniki pomiarów nie s

takie same, wówczas za

najbardziej zbli

do warto

ci prawdziwej przyjmujemy

redni

arytmetyczn

wszystkich wyników pomiarów:

∑

≈

(1)

Stwierdzenie to jest tym bardziej słuszne im wi

ksza jest liczba przeprowadzonych pomiarów

(dla

∞

→

). W celu okre

lenia niepewno

ci standardowej posługujemy si

w tym

wypadku sposobem typu A, czyli korzystamy ze wzoru na odchylenie standardowe

redniej

(

)

(

)

(

−

∑

(2)

li natomiast wyniki pomiarów nie wykazuj

rozrzutu, czyli

...

, lub te

gdy

istnieje tylko jeden wynik pomiaru, wówczas niepewno

ść

standardow

szacujemy sposobem

typu B. Mo

na np. wykorzysta

informacj

o niepewno

ci maksymalnej

∆

okre

lonej przez

producenta przyrz

du pomiarowego, je

li nie mamy innych dodatkowych informacji,

wówczas niepewno

ść

standardow

obliczamy ze wzoru

)

(

∆

(3)

Dla prostych przyrz

dów (tj. linijka,

ruba mikrometryczna czy termometr) jako

∆

przyj

ąć

działk

elementarn

przyrz

du. W elektronicznych przyrz

dach cyfrowych

niepewno

ść

maksymalna podawana jest przez producenta w instrukcji obsługi i jest zwykle

kilkakrotnie wi

ksza od działki elementarnej. Najcz

ęś

ciej zale

y ona od wielko

ci mierzonej

X i zakresu na którym mierzymy Z:

∆

Gdy wyst

puj

oba typy niepewno

ci (tzn. zarówno rozrzut wyników jak i

niepewno

ść

wzorcowania) i

adna z nich nie mo

e by

zaniedbana (tzn. obie s

tego samego

du), wówczas niepewno

ść

standardow

(całkowit

) obliczamy ze wzoru

( )

)

(

∆

(4)

3.2. Niepewność standardowa pomiarów pośrednich – niepewność złoŜona (u

)

W przypadku pomiarów po

rednich wielko

ść

mierzon

Y obliczamy korzystaj

c ze zwi

zku

funkcyjnego, który mo

na zapisa

w ogólnej postaci:

)

,...,

(

, gdzie symbolami

,...,

oznaczamy

k wielko

ci fizycznych mierzonych bezpo

rednio. Zakładamy,

znane s

wyniki pomiarów tych wielko

,...,

oraz ich niepewno

ci standardowe

)

(

),...,

(

. Wynik (ko

cowy) pomiaru oblicza si

wówczas ze wzoru:

)

,...,

(

≈

W przypadku pomiarów po

rednich nieskorelowanych (tzn. gdy ka

z wielko

,...,

mierzy si

niezale

nie) niepewno

ść

zło

wielko

Y szacujemy przy

pomocy przybli

onego wzoru:

(

) ( )

∑















∂

,...,

)

(

(5)

3.3. Niepewność rozszerzona

Niepewno

ść

standardowa całkowicie i jednoznacznie okre

la warto

ść

wyniku, jednak do

wnioskowania o zgodno

ci wyniku pomiaru z innymi rezultatami (np. z warto

tabelaryczn

) oraz dla celów komercyjnych i do ustalania norm przemysłowych, zdrowia,

bezpiecze

stwa itp. Mi

dzynarodowa Norma wprowadza poj

cie

niepewności rozszerzonej

oznaczanej symbolem

U (dla pomiarów bezpo

rednich), lub

(dla pomiarów po

rednich).

Warto

ść

niepewno

ci rozszerzonej oblicza si

ze wzoru

)

(

)

(

lub

)

(

)

(

(6)

Liczba

k, zwana współczynnikiem rozszerzenia, jest umownie przyj

liczb

wybran

tak,

aby w przedziale

)

( X

znalazła si

większość

wyników pomiaru potrzebna dla danych

zastosowa

. Warto

ść

współczynnika rozszerzenia mie

ci si

najcz

ęś

ciej w przedziale 2-3. W

kszo

ci zastosowa

zaleca si

przyjmowanie umownej warto

4. Zapis wyników pomiaru

Wyniki pomiaru zapisujemy zawsze łącznie z niepewnością i jednostką.

Niepewno

ść

podajemy zawsze z dokładno

dwu cyfr

, za

liczb

cyfr znacz

cych wyniku dobieramy

tak, aby o

statnia cyfra rezultatu i niepewności naleŜały do tego samego rzędu

. Dla

niepewno

ci standardowych zalecany jest

zapis z uŜyciem nawiasów

, za

dla niepewno

rozszerzonej stosowany jest

zapis z uŜyciem symbolu

±±±±

Przykłady zapisu

Dobrze:

Niepewno

ść

standardowa:

====

100,0214 g,

====

)

3,5 mg

====

100,0214(35) g

====

100,0214(0,0035) g

Niepewno

ść

rozszerzona:

====

100,0214 g,

)

0,0070 g

====

(100,0214

0070

) g

Źle:

====

100,0214 g – nie podano niepewno

ci,

====

100,021(0,0035) g – ostatnie cyfry rezultatu i niepewno

ci nie s

tego samego rz

du,

====

100,021 g,

====

)

3 mg – przy zapisie niepewno

ci podano zbyt mało cyfr,

====

100,02147(0,00352) g - przy zapisie niepewno

ci podano zbyt du

o cyfr.

5. Przykład opracowania wyników doświadczenia

Celem wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego przeprowadzono pomiary czasu spadku ciała

z pewnej wysoko

ci. Wysoko

ść

spadku

h zmierzono 3-krotnie ta

miernicz

z podziałk

milimetrow

uzyskuj

c za ka

dym razem wynik 1270 mm. Czas spadku

t zmierzono 5 razy

otrzymuj

c nast

puj

ce wyniki (w s)

509

512

510

504

501

. Dokładno

ść

czasomierza wynosiła 0,001 s, za

niepewno

ść

systematyczn

zwi

zan

z wyborem chwili wł

czenia i wył

czenia oszacowano na 0,01 s. Obliczy

z tych

danych przyspieszenie ziemskie i jego niepewno

ść

Przyspieszenie ziemskie b

dziemy oblicza

ze wzoru

. Warto

ść

otrzymamy

wstawiaj

c do powy

szego równania

rednie arytmetyczne wysoko

ci spadku ( h ) oraz czasu

spadku ( t ) (wzór (1)). Dla danych z tego przykładu mamy:

1270

mm = 1,27 m,

)

501

504

510

512

509

(

s = 0,5072 s,

874

(0,5072

≈

⋅

Aby obliczy

niepewno

ść

zło

pomiaru po

redniego g musimy najpierw okre

niepewno

ci standardowe pomiaru czasu i wysoko

ci.

Oszacowanie niepewno

ci standardowej (bezpo

redniego) pomiaru czasu u(t):

Ocena typu A:

Korzystaj

c ze wzoru (2) oraz z tabeli obliczamy odchylenie standardowe

redniej t :

Nr pomiaru t

[s]

−

[ms]

−

[ms

]

0,509

0,512

0,510

0,504

0,501

1,8

4,8

2,8

3,2

6,2

3,24

23,04

7,84

10,24

38,44

Suma: 82,80

⋅

2,0 ms

Ocena typu B: Mo

emy przyj

ąć

e niepewno

ść

maksymalna zwi

zana z pomiarem czasu

wynika przede wszystkim z niepewno

ci chwili wł

czenia i wył

czenia, a zatem wynosi

∆

s = 10 ms (zaniedbujemy przy tym 10-krotnie mniejsz

niepewno

ść

zwi

zan

dokładno

czasomierza). Niepewno

ść

standardowa typu B wynosi zatem

∆

5,8 ms

(wzór (3)). Jak wida

w tym wypadku nale

y uwzgl

dni

oba typy niepewno

standardowych (poniewa

one tego samego rz

du). Ostatecznie wi

c całkowita niepewno

ść

standardowa pomiaru czasu wynosi (wzór (4)):

)

(

)

(

≈

ms = 0,0061 s.

cowy wynik pomiaru czasu mo

na zapisa

w postaci:

t = 0,5072(0,0061) s

Oszacowanie niepewno

ci standardowej (bezpo

redniego) pomiaru wysoko

ci u(h):

Poniewa

w tym wypadku nie wyst

pił rozrzut wyników wi

c poprzestaniemy na okre

leniu

niepewno

ci standardowej typu B. Najmniejsza działka przyrz

du pomiarowego wynosi w

tym wypadku 1 mm. Poniewa

jednak pewien wpływ na wynik pomiaru mo

e mie

równie

sposób ustawienia miarki oraz sposób odczytu, rozs

dnie b

dzie przyj

ąć

e niepewno

ść

maksymalna tego pomiaru jest wi

ksza od działki elementarnej np. dwukrotnie:

∆

h = 2 mm.

Zgodnie ze wzorem (3), niepewno

ść

standardowa pomiaru wysoko

ci wynosi zatem:

∆

)

(

1,2 mm = 0,0012 m, a wi

h = 1270,0(1,2) mm

Oszacowanie niepewno

ci zło

onej pomiaru po

redniego u

(g):

Korzystamy ze wzoru (5). Obliczmy najpierw pochodne cz

stkowe:

)

(

∂

)

(

∂

. Aby niepewno

ść

)

wyra

ona była w m/s

, przy

podstawianiu danych do wzoru (5) musimy pami

o uzgodnieniu jednostek ( t i u(t) nale

wyrazi

w s, za

h i u(h) nale

y wyrazi

w m).

(

)

(

)

0061

507

2700

0012

507

)

(

)

(

)

(













⋅













⋅





























(

)

057

)

(

≈

⋅

≈

−

Jak wida

, przyczynek do niepewno

ci zło

onej u

(g) zwi

zany z niepewno

pomiaru

wysoko

ci okazał si

zaniedbywalnie mały.

Obliczenie niepewno

ci rozszerzonej U

(g):

Podstawiaj

c dane do wzoru (6) otrzymujemy:

)

(

)

(

⋅

Ostatecznie ko

cowy rezultat pomiaru przyspieszenia ziemskiego, który mo

emy

porównywa

z wielko

tablicow

, wygl

da nast

puj

co:

g =( 9,87

0,48) m/s

Literatura

A. Zi

ba, 2001 : Natura rachunku niepewno

ci pomiarowych a jego nowa kodyfikacja.

Post

py fizyki

, nr 5, s. 238-247

H. Szydłowski, 2000: Mi

dzynarodowe normy oceny niepewno

ci pomiarowych.

Post

py fizyki

, nr 2, s. 92-97

Guide to Expression of Uncertainty in Measurement, ISO 1995, Switzerland.

Tłumaczenie: Wyra

anie niepewno

ci pomiaru. Przewodnik (Główny Urz

d Miar

Warszawa 1999)

Dodatek:

Zestawienie najwaŜniejszych elementów Międzynarodowej Normy Oceny

Niepewności Pomiarowej

Wielkość

Symbol i sposób obliczania oraz nr wzoru w tekście

Niepewno

ść

standardowa:

ocena typu A

(pomiary bezpo

rednie)

Podstawa: statystyczna analiza serii pomiarów.

Dla serii n równowa

nych pomiarów (wzory (2) i (1)):

(

)

(

)

(

−

∑

, gdzie

∑

≈

Niepewno

ść

standardowa:

ocena typu B

(pomiary bezpo

rednie)

Podstawa: naukowy os

d eksperymentatora.

)

(

∆

(3)

(gdy znana jest niepewno

ść

maksymalna

∆

Niepewno

ść

standardowa całkowita

ocena typu A oraz typu B

(pomiary bezpo

rednie)

( )

)

(

∆

(4)

(gdy niepewno

ci typu A i typu B s

tego samego rz

du)

Niepewno

ść

zło

ona

(pomiary po

rednie)

Dla wielko

)

,...,

(

)

( )

∑













∂

,...,

)

(

(5)

(gdy wszystkie wielko

ci X

nieskorelowane)

Współczynnik rozszerzenia

≥

Niepewno

ść

rozszerzona

)

(

)

(

lub

)

(

)

(

(6)

Zalecany

zapis

niepewno

(przykład)

standardowa:

781

m/s

076

)

(

m/s

)

(

781

m/s

)

076

(

781

m/s

rozszerzona:

m/s

)

(

m/s

)

(

m/s

(obowi

zuje zasada podawania 2 cyfr znacz

cych

niepewno

ci)