Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii

układów konstrukcji

3.1

opracował:

dr inż. Piotr Sędek

Nowelizacja materiału: 01. 2012 r.

 

 

2

1.  Siły jako oddziaływania mechaniczne 

 

Z    oddziaływaniem  mechanicznym  najpro

ś

ciej  jest  zwi

ą

za

ć

  poj

ę

cie  siły.  Siła  jest 

miar

ą

 oddziaływa

ń

 (mechanicznych) działaj

ą

cych na ciało. Im wi

ę

ksze oddziaływanie 

(czyli  wi

ę

ksza  siła)  tym  wi

ę

ksze  wywołuje  ono  skutki  –  mocniej  przyspiesza  (lub 

zwalnia ciało), silniej go odkształca.  Trzecia zasada dynamiki Newtona mówi o wza-
jemno

ś

ci  oddziaływa

ń

. Jest  ona  cz

ę

sto  nazywana  zasad

ą

  akcji  i  reakcji.   Sformuło-

wanie III zasady dynamiki: 
Je

ż

eli ciało A działa na ciało B sił

ą

 F

AB

, to ciało B działa na ciało A sił

ą

 F

BA 

, o taki, 

samym kierunku i warto

ś

ci jak F

AB

, ale przeciwnym zwrocie (rys. 1  ) . 

 

 
 
 
 
 

Rys. 1  Siła jako oddziaływanie mechaniczne 

 
Poj

ę

cie siły nierozerwalnie ł

ą

czy si

ę

 z wektorem, który jest okre

ś

lony jako tzw. odci-

nek skierowany i jest graficznym odzwierciedleniem siły. Posiada on nast

ę

puj

ą

ce ce-

chy: kierunek, zwrot i warto

ść

. Na rys.2 pokazano wektor siły i okre

ś

lono jego cechy. 

 
 

 
 
 
 
 
 

Rys.2 Wektor jako graficzne przedstawienie siły 

 
Kierunek  wektora  okre

ś

la  linia  prosta,    wzdłu

ż

  której  on  działa,  zwrot  okre

ś

lony  jest 

poło

ż

eniem  grota  strzałki,  a  warto

ść

  długo

ś

ci

ą

  odcinka  wyra

ż

on

ą

  jednostkami  siły 

odniesionymi do jednostek długo

ś

ci np. 1 cm = 1kN. 

Jednostkami siły s

ą

 N (niuton), kN (kiloniuton), rzadziej MN (meganiuton). Wg defini-

cji , siła 

2

1

1

1

s

m

kg

N

=

  co oznacza, 

ż

e siła jednego niutona wyst

ą

pi wtedy, kiedy masie 

1 kg nada si

ę

 przyspieszenie 1 m/s

2

. 

 
1.1 Sumowanie i odejmowanie sił 
 

Wektorowe przedstawianie sił umo

ż

liwia szereg działa

ń

 takich jak: sumowanie 

(składanie)  i  rozkład.  W  wyniku  sumowania  si

ę

  sił  otrzymujemy  sił

ę

  wypadkow

ą

,  a 

wyniku  rozkładania  otrzymuje  si

ę

  siły  składowe.  Na  rys.3  pokazano  podstawowe 

działania na siłach jako wektorach. Z wielko

ś

ciami wektorowymi nierozerwalnie zwi

ą

-

zane jest poj

ę

cie układu współrz

ę

dnych. Prostok

ą

tny układ współrz

ę

dnych umo

ż

liwia 

w sposób analityczny zorientowanie na płaszczy

ź

nie lub w przestrzeni odcinka wek-

tora. Ułatwia prowadzenie działa

ń

 na wektorach. Na rys.3 pokazano przykłady dzia-

ła

ń

 graficznych i analitycznych prowadzonych na wektorach. 

  

A 

B 

AB

F

r

BA

F

r

l

F

r

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

3.1

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 1

 

3

Sumowanie sił 
 

Układ zbie

ż

ny 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   
 
 
                                                                                            

 

 

 
 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

 

 
 
 
 
 
 

Rys.3. Sposoby składania sił (wektorów) 

 
 
Na rys.3 na przykładzie układu zbie

ż

nego sił  pokazano ró

ż

ne rodzaje działa

ń

 na si-

łach a 

ś

ci

ś

lej na wektorach. I tak na rys.3a układ sił zbie

ż

nych działa na ciało sztyw-

ne;  ka

ż

da  z  sił  działa  wzdłu

ż

  prostej  (kierunku).  Na  rys.3b  pokazano  schemat  sił  w 

Siły zbie

ż

ne działaj

ą

ce na 

ciało sztywne 

Schemat sił zbie

ż

nych 

Składanie sił metod

ą

 

równoległoboku 

Składanie sił metod

ą

 

wieloboku 

P

1 

P

2 

P

3 

O

 

P

4 

P

123 

P

1 

P

2 

P

12 

O 

R=P

1234 

O 

P

1 

P

2 

P

3 

P

4 

R

 

Składanie  sił  metod

ą

  analityczn

ą

  rzuto-

wania  w  układzie  współrz

ę

dnych  pro-

stok

ą

tnych 

a) 

P

1 

P

2 

P

3 

P

4 

O 

b) 

c) 

d) 

y 

x 

P

2x 

P

3y 

P

1 

P

2 

P

3 

P

i 

0 

P

1y 

P

2y 

P

iy 

P

1x 

P

ix 

P

3x 

R 

e) 

R

y 

R

x 

y 

x 

α

 

 

P

r

x

P

r

 

y

P

r

f) 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.1

AW 2

 

4

układzie  zbie

ż

nym  przecinaj

ą

cych  si

ę

  w  jednym  punkcie.  Układ  sił,  w  tym  układ  sił 

zbie

ż

nych mo

ż

na zast

ą

pi

ć

 jedn

ą

 sił

ą

 wypadkow

ą

 R, która jest rezultatem sumowania 

wektorowego.  Jednym  ze  sposobów  jest  składanie  sił  metod

ą

  równoległoboku,  któ-

rego przykład podano na rys. 3c. Zasada polega na tym, 

ż

e do danej pierwszej siły w 

układzie    dodaje  si

ę

  nast

ę

pn

ą

  składaj

ą

c  je  w  postaci  równoległoboku  np.  P

1

  +  P

2

. 

Suma  wektorowa  P

12

  jest  wektorem  –  odcinkiem  (przek

ą

tna  równoległoboku)  prze-

biegaj

ą

cym  od  punktu  przeci

ę

cia  si

ę

  składanych  sił  do  wierzchołka  utworzonego 

przez  przeci

ę

cie  si

ę

  odcinków  równoległych  do  składanych  sił 

 

  (boków  równoległo-

boku). Nale

ż

y przestrzega

ć

 zasady, 

ż

e długo

ś

ci odcinków musz

ą

 by

ć

 proporcjonalne 

do warto

ś

ci sił i kierunki działania sił musz

ą

 by

ć

 niezmienne podczas konstruowania 

równoległoboku.  Najbardziej  rozpowszechnion

ą

  metod

ą

  składania  sił  przedstawio-

nych  w  postaci  wektorów  jest  metoda  analityczna.  Jest  wygodna  poniewa

ż

  nie  wy-

maga  tworzenia  precyzyjnych  konstrukcji  geometrycznych,  które  w  rzeczywisto

ś

ci 

obarczone  s

ą

  znacznym  bł

ę

dem.  Przedstawiona  j

ą

  na  rys.  3e.  Przykładowo  dla 

uproszczenia  posłu

ż

ono  si

ę

  płaszczyzn

ą

,  na  której  rozmieszczone  s

ą

  siły  P

1

  …  P

i

. 

Naszym zadaniem jest wyznaczenie siły wypadkowej R, która b

ę

dzie sum

ą

 wektoro-

w

ą

 sił podanych sił składowych. 

                                  

i

P

P

P

P

R

r

L

r

r

r

r

3

2

1

+

+

=

 

 

            

(1) 

Przestrze

ń

, a wła

ś

ciwie w naszym przypadku płaszczyzna zdefiniowana b

ę

dzie ukła-

dem współrz

ę

dnych prostok

ą

tnych, przy pomocy którego mo

ż

na posługiwa

ć

 si

ę

 po-

j

ę

ciem  rzutu  na  osie  tego  układu.  Wszystkie    siły  składowe  jako  kategorie  geome-

tryczne  mog

ą

  w  układzie  współrz

ę

dnych  podlega

ć

  wszystkim  zasadom  geometrii  i 

trygonometrii.  I  tak  ka

ż

da  z  sił  (wektorów)  b

ę

dzie  tworzy

ć

  na  osiach  rzuty  (rys.3f), 

które b

ę

d

ą

 podlega

ć

 zasadom sumowania wektorowego (rys. 3f). 

                                        

y

x

P

P

P

r

r

r

++++

====

                                                (2) 

Wykorzystuj

ą

c zasady trygonometrii mo

ż

emy przedstawi

ć

 rzuty w postaciach: 

                               

αααα

cos

P

P

x

====

r

    i     

αααα

sin

P

P

y

====

r

                       (3) 

Z twierdzenia Pitagorasa mo

ż

na okre

ś

li

ć

 zale

ż

no

ść

 pomi

ę

dzy wymiarami rzutów: 

                                        

2

2

y

x

P

P

P

r

r

++++

====

                                       (4) 

Sumowanie  analityczne  b

ę

dzie  zatem  polega

ć

  na  wyznaczeniu  analitycznym  warto-

ś

ci  poszczególnych  rzutów  na  obie  osie  współrz

ę

dnych.  Po  ich  algebraicznym  zsu-

mowaniu  z  uwzgl

ę

dnieniem  znaków  (zwrotów)  otrzymamy  warto

ś

ci  rzutów  siły  wy-

padkowej na obie osie współrz

ę

dnych. 

∑

∑

∑

∑

====

====

i

i

ix

x

P

R

1

       

∑

∑

∑

∑

====

====

i

i

iy

y

P

R

1

    - 

 rzuty wypadkowej   

 

(5) 

2

2

y

x

R

R

R

++++

====

   - 

długo

ść

 (warto

ść

 wypadkowej)   

 

(6) 

αααα

====













x

y

R

R

tg

arc

   -     k

ą

t orientacji do osi x 

 

 

 

(7) 

Analityczna zasada sumowania sił (wektorów nie dotyczy tylko układu zbie

ż

nego sił. 

Mo

ż

na j

ą

 wykorzystywa

ć

 równie

ż

 w przypadku rozpatrywania układów dowolnych, 

przy wyznaczaniu warunków równowagi sił. Zasada ta jest równie

ż

 stosowana przy 

rozpatrywaniu układów przestrzennych. W celu uproszczenia przedstawiono j

ą

 dla 

przypadku układu płaskiego (dwuwymiarowego). Siły mo

ż

na równie

ż

 odejmowa

ć

. 

Polega to na tym, 

ż

e wektor odjemnika dodaje si

ę

 do wektora z przeciwnym zwrotem 

(rys. 4).  

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

3.1

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 3

 

5

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys.4 Odejmowanie sił  

a)  Metod

ą

 równoległoboku 

b)  Metod

ą

 wieloboku 

 
 1.2  Moment siły 

 

W statyce oprócz sił wyst

ę

puje jeszcze poj

ę

cie momentu siły. Moment siły zdefi-

niowany jest wraz z ramieniem na jakim ta siła oddziaływuje oraz punktem O - biegu-
nem.  Moment  siły  wzgl

ę

dem  bieguna  O  na  ramieniu  r  jest  iloczynem  wektorowym 

wektora siły przez wektor ramienia.  

                                               

P

r

M

r

r

r

××××

====

 

 

                      (8) 

Graficznie iloczyn wektorowy przedstawiono na rys.5. 
 
 
    
                                                                                                                        (9) 
                                                                
 
 
 
 
 
 
 
 
Rys. 5 Konstrukcja wektora momentu 
 
Wektor moment skierowany jest prostopadle do płaszczyzny xy, na której le

ż

a wekto-

ry  ramienia  i  siły.  Warto

ść

  –  jego  długo

ść

,    jest  równa  powierzchni  równoległoboku 

okre

ś

lonego wektorami r i P (rys.5).  Warto

ść

 momentu mo

ż

na wyznaczy

ć

 w sposób 

analityczny. Przedstawiono to na rys.6 
 
 
 
 
 
 

y 

x

 

r

r

P

r

M

r

z

 

α

 

αααα

sin

P

r

M

r

r

v

====

 

Zwrot  wektora  momentu  okre

ś

la  reguła 

ś

ruby  o 

gwincie  prawoskr

ę

tnym.  Je

ś

li  na  płaszczy

ź

nie 

wyznaczonej  przez  r  i  P,  siła  P  powoduje  obrót 
przeciwnie do kierunku wskazówek zegara to ob-
racaj

ą

c 

ś

rub

ę

 o osi prostopadłej do tej płaszczy-

zny  powoduje  jej  „wykr

ę

canie”.  Kierunek  prze-

suwania si

ę

 

ś

ruby okre

ś

la zwrot wektora. 

P

1 

P

2 

P

12

 = P

1

 – P

2 

O 

P

1 

- P

2 

O 

P

1 

P

2 

P

12

 = P

1

 – P

2 

a) 

b) 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.1

AW 4

 

6

 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10)   

 
 
 
 
 
    
 
 

Rys.6 Wyznaczenie warto

ś

ci momentu w układzie współrz

ę

dnych. 

 

1.3  Równowaga sił i momentów 

 

Podstawowym  warunkiem  rozpatrywania  zagadnie

ń

  statyki  jest  równowaga 

wszystkich  sił  działaj

ą

cych  na  układ. Siły  czynne  P

k

  (oddziaływania  i  ci

ęż

ar  własny) 

oraz    bierne  R

l

  (reakcje)  musz

ą

  si

ę

  wzajemnie  równowa

ż

y

ć

.  Ka

ż

dy  układ  sił  rozpa-

trywa

ć

 nale

ż

y w układzie współrz

ę

dnych. Na rys.7 przedstawiono przykładowy układ 

sił umieszczony w układzie współrz

ę

dnych. Nale

ż

y podkre

ś

li

ć

, 

ż

e przy rozwi

ą

zywaniu 

danego zagadnienia nale

ż

y zało

ż

y

ć

 układ, którego nie mo

ż

na zmienia

ć

. Zastosowa-

nie  układu  współrz

ę

dnych  umo

ż

liwia  przeprowadzenie  rzutowania  sił  wzgl

ę

dem  osi 

oraz wyznaczenia równowagi momentów wzgl

ę

dem ustalonych w tym układzie punk-

tów. Prawidłowo zało

ż

ony układ statyczny musi zapewni

ć

 równowag

ę

 sił czynnych i 

biernych.  
 

                                                                       Warunek równowagi rzutów sił na o

ś

 x 

                                                                                          

0

1

1

====

++++

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

====

====

m

l

lx

n

k

kx

R

P

 

(11) 

                                                                          Warunek równowagi rzutów sił na o

ś

 y 

                                                                                         

0

1

1

====

++++

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

====

====

m

l

ly

n

k

ky

P

P

 

(12) 

                                                                                                                                                                                               

Warunek  równowagi  momentów  wzgl.                                                                   
obranego punktu B 

           

(((( ))))

(((( ))))

0

1

1

====

++++

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

====

====

l

m

l

B

k

n

k

B

R

M

P

M

 

(13) 

 

Rys.7 Warunki równowagi sił w układzie współrz

ę

dnych 

 

2.  Podpory i wi

ę

zy 

 

Podpory oraz wi

ę

zy słu

żą

 do utrzymania układu sztywnego w bezruchu; s

ą

 zatem 

miejscami  przyło

ż

enia  sił  biernych.  Prawidłowe  zało

ż

enie  podpory  jest  jednym  z 

czynników tworzeniu modelu statycznego. Od tego zale

ż

y prawidłowe przedstawienie 

rzeczywistego układu oddziaływa

ń

 i reakcji. Najcz

ęś

ciej spotykane rodzaje podpór to 

podpory kierunkowe i przegubowe. Podpory kierunkowe z definicji posiadaj

ą

  znane 

kierunki reakcji.  
 

h

P

y

P

x

P

M

P

x

P

Y

o

====

−−−−

====

 

r

r

 

x

 

y 

P

r

O

x

P

y

P

p

x

 

p

y

 

h

x 

1

P

r

2

P

r

3

P

r

n

P

y 

0

k

P

r

1

R

r

m

R

r

l

R

r

B

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

3.1

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 5

 

7

a) 
Ci

ę

gna  

                                                                       
 
 
 
 
b) 
Podpory gładkie 
 
 
 
 
c) 
Podpora chropowata (z tarciem) 
 
 
 
 
 
 
d) 
Podpora przegubowa ruchoma 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 8 Zbiór podpór kierunkowych 

 
a) 
Podpora przegubowa stała 
 
 
 
 
 
 
b) 
Przegub walcowy 
 
 
 
 
 
 
 
 

1

S

r

2

S

r

Ci

ę

gnami s

ą

 liny i ła

ń

cuchy. Kierunki działa-

nia reakcji s

ą

 znane 

R

 

Prosta działania reakcji jest prostopa-
dła do powierzchni 

N

T 

Wyst

ę

puj

ą

 dwie reakcje o znanych kie-

runkach. Normalna do powierzchni N i 
styczna siła tarcia T. 

R

Wektor reakcji jest prostopadły do kie-
runku mo

ż

liwego ruchu. 

y

R

x

R

 

Wektor reakcji a 

ś

ci

ś

lej jego kierunek jest nie-

znany. Okre

ś

la si

ę

 go po obliczeniu R

y

 i R

x 

x

R

 

y

R

 

Kierunek wektora reakcji jest nieznany . 
Wynika z warto

ś

ci składowych R

x

 i R

y

. 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.1

AW 6

 

8

c) 
Utwierdzenie 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
Ło

ż

ysko stopowe 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 9  Podpory przegubowe 

 

3.  Geometryczna niezmienno

ść

 układu 

 

W układach statycznych cz

ę

sto wyst

ę

puj

ą

 elementy materialne poł

ą

czone ze so-

b

ą

 strukturami podatnymi posiadaj

ą

cymi mo

ż

liwo

ść

 obrotu i przesuni

ę

cia. Cz

ę

sto s

ą

 

to przeguby. Aby spełni

ć

 warunek równowagi statycznej musz

ą

 by

ć

 one nieruchome 

wzgl

ę

dem ł

ą

czonych tych elementów.  Aby unieruchomi

ć

 elementy w układzie  nale-

ż

y poł

ą

czy

ć

 go z podło

ż

em trzema pr

ę

tami, nie przecinaj

ą

cymi si

ę

 w jednym punkcie 

i nierównoległymi. Je

ś

li do takiego systemu doł

ą

czymy nast

ę

pny element poł

ą

czony 

równie

ż

 trzema pr

ę

tami (tylko z poprzednim elementem albo z elementem i podło-

ż

em) nie przecinaj

ą

cymi si

ę

 w jednym punkcie i nierównoległymi, to układ takich 

elementów b

ę

dzie geometrycznie niezmienny (rys. 10). W ten sposób układ system 

mo

ż

emy rozbudowa

ć

. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

Rys. 10  Układ elementów niezmiennych geometrycznie 

 
 

y

R

 

x

R

a

M

Kierunek wektora reakcji jest niezna-
ny. Wynika z warto

ś

ci składowych R

x

 i 

R

y.

. Dodatkowo wyst

ą

pi reakcja mo-

mentu M

a

.

  

x

R

 

y

R

Kierunek reakcji  wyznaczaj

ą

 warto

ś

ci 

składowych R

y

 i R

y

. Punkt zaczepienie 

reakcji jest znany (styk słupa z podło

ż

em) 

T-1 

T-2 

T-3 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

3.1

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 7

 

9

 

Poł

ą

czenie  elementów  T-2  i  T-3  za  pomoc

ą

  dwóch  pr

ę

tów  nierównoległych  mo

ż

na 

traktowa

ć

  jako  przegub,  natomiast  poł

ą

czenie  elementów  T-1  i  T-2  trzema  pr

ę

tami 

nierównoległymi  i  nie przecinaj

ą

cymi  si

ę

  w  jednym  punkcie  jest poł

ą

czeniem  sztyw-

nym.  Bior

ą

c  powy

ż

sze  pod  uwag

ę

,  mo

ż

na  wyprowadzi

ć

  prosty  wzór  okre

ś

laj

ą

cy 

geometryczn

ą

  niezmienno

ść

  układu  konstrukcyjnego.  Do  unieruchomienia  jednego 

elementu potrzeba trzech pr

ę

tów ł

ą

cz

ą

cych go z podło

ż

em lub z podło

ż

em i z innym 

elementem.  Zatem  w  układzie  geometrycznie  niezmiennym  liczba  pr

ę

tów  musi  by

ć

 

równa  trzykrotnej  liczbie  elementów.  Je

ż

eli  przez  t  oznaczymy  liczb

ę

  elementów,  a 

przez p liczb

ę

 pr

ę

tów to mo

ż

emy napisa

ć

: 

 

                                     (14)       

 

 
 

Spełnienie  powy

ż

szego  równania  jest  warunkiem  koniecznym,  ale  nie  wystarczaj

ą

-

cym geometrycznej niezmienno

ś

ci układu. Wystarczy bowiem w układzie na rysunku 

powy

ż

ej usun

ąć

 pr

ę

t ł

ą

cz

ą

cy element T-3 z podło

ż

em i przyło

ż

y

ć

 go do elementu T-

2. Liczba pr

ę

tów i tarcz w układzie nie ulegnie zmianie, tak wi

ę

c równanie powy

ż

sze 

b

ę

dzie spełnione, chocia

ż

 układ b

ę

dzie geometrycznie zmienny (chwiejny). Tarcza T-

3 ma bowiem mo

ż

liwo

ść

 obrotu w przegubie. 

Buduj

ą

c pr

ę

towe układy konstrukcyjne np. kratownice, post

ę

powa

ć

 b

ę

dziemy według 

powy

ż

szych  zasad,  traktuj

ą

c  ka

ż

dy  pr

ę

t  jak  wspomniany  element.  Pami

ę

tamy  rów-

nie

ż

 o tym, 

ż

e trzy pr

ę

ty nierównoległe i nie przecinaj

ą

ce si

ę

 w jednym punkcie, pod-

pieraj

ą

ce belk

ę

 na jej ko

ń

cu to utwierdzenie, podparcie belki dwoma przecinaj

ą

cymi 

si

ę

  pr

ę

tami  to  podpora  przegubowa,  a podparcie  jednym  pr

ę

tem  -  podpora  przegu-

bowo przesuwna. 
Przykład: Sprawdzi

ć

 geometryczn

ą

 niezmienno

ść

 podanego układu pr

ę

towego (11). 

 

 

 

Rys. 11 Układ pr

ę

towy 

Ka

ż

d

ą

 cz

ęść

 układu oddzielon

ą

 przegubami traktujemy jako tarcz

ę

 (wspomniany ju

ż

 

element). Liczba tarcz wynosi zatem t = 11. Liczba pr

ę

tów, którymi mo

ż

emy zast

ą

pi

ć

 

podpory wynosi 2 + 3 = 5. Ka

ż

dy przegub w którym schodz

ą

 si

ę

 dwie tarcze zast

ę

pu-

jemy dwoma pr

ę

tami, je

ż

eli w przegubie schodzi si

ę

 wi

ę

cej tarcz do dla ka

ż

dej tarczy 

powy

ż

ej dwóch dodajemy dwa pr

ę

ty. Tak wi

ę

c w naszym układzie liczba pr

ę

tów, któ-

rymi zast

ę

pujemy przeguby jest nast

ę

puj

ą

ca:  2 + 4 + 6 + 4 + 2 + 6 + 4 = 28 (rys.12). 

Mamy wi

ę

c: liczba pr

ę

tów 5 + 28 = 33 co jest równe liczbie tarcz pomno

ż

onej przez 

trzy. Warunek konieczny geometrycznej niezmienno

ś

ci jest wi

ę

c spełniony. 

 

 

 

Rys. 12 Analiza układu pr

ę

towego 

2 

1 

1 

1 

2

 

2

 

4

 

4

 

4

 

6

 

6

 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.1

AW 8

 

10

Trzy pr

ę

ty nie przecinaj

ą

ce si

ę

 w jednym punkcie i nierównoległe tworz

ą

 układ geo-

metrycznie niezmienny. Je

ż

eli taki układ rozbudujemy, doł

ą

czaj

ą

c po dwa pr

ę

ty, tak 

aby układ trójk

ą

tów był zachowany, to układ taki dalej b

ę

dzie geometrycznie nie-

zmienny. W ten sposób konstruuje si

ę

 kratownice. Układ, b

ę

d

ą

cy kratownic

ą

, mo

ż

na 

zatem traktowa

ć

 jako jedn

ą

 tarcz

ę

. Bior

ą

c to pod uwag

ę

 do analizy naszego przykła-

du mo

ż

na by wzi

ąć

 trzy tarcze, jak na rysunku poni

ż

ej. 

 

 

 

Rys. 13 Układ pr

ę

towo tarczowy 

Przy takim podziale równie

ż

 spełniony jest warunek geometrycznej niezmienno

ś

ci wg 

( 14 ): 

 

 

 

4.  Przykłady 

 
Przykład 1 
1) 
 

 

 

 

 

 

Dane: Q, 

α

, 

β

 

Szukane: T

A

, T

C

 

 

 

 

 

 

 

Rozwi

ą

zanie: 

 

 

 

 

 

 

Warunki równowagi:  

 

 

 

 

 

 

Rzutów sił na o

ś

 x: 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rzutów sił na o

ś

 y:  

 
 
 
 
 
Rys. 14 Układ ci

ę

gnowy 

 
 
Wynik:  
 
 
 
 
 
 
 
 

x 

y

 

Q 

T

A 

T

C 

A 

C 

β

 

α

 

B 

∑

∑

∑

∑

====

====

i

i

ix

P

1

0

,  

((((

))))

0

cos

90

cos

====

++++

−−−−

−−−−

αααα

ββββ

A

o

C

T

T

 

0

1

====

∑

∑

∑

∑

====

i

i

iy

P

, 

((((

))))

0

sin

90

sin

====

−−−−

++++

−−−−

Q

T

T

A

o

C

αααα

ββββ

 

((((

))))

((((

))))

o

o

C

Q

T

90

cos

90

sin

cos

−−−−

++++

−−−−

====

ββββ

ββββ

αααα

,  

((((

))))

((((

))))

((((

))))

o

o

o

A

Q

T

90

cos

90

sin

90

cos

−−−−

++++

−−−−

−−−−

====

ββββ

ββββ

ββββ

 

2 

1 

1 

1 

2 

2 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

3.1

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 9

 

11

 
 
Przykład 2 
 
 

 

 

 

 

 

 

Dane: 

 

 

 

 

 

 

 

Q, P, wymiary 

 

 

 

 

 

 

 

Szukane: 

 

 

 

 

 

 

 

R

A

, R

B

 

 

 

 

 

 

 

 

Warunki równowagi 

 

 

 

 

 

 

 

Rzutów na os x: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rzutów na o

ś

 y: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

Momentów wzgl. punktu B: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Rys. 15 Wysi

ę

gnik 

 
 
Wynik: 
 
 
 
 
Przykład 3 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

 

 

Dane: 

 

 

 

 

 

 

 

P, AB, BC, CD = a 
Szukane: 
R

Ay

, R

Ax

, R

Dy 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Warunki równowagi 

 

 

 

 

 

 

 

Rzutów na os x: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rzutów na o

ś

 y: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

Momentów wzgl. punktu B: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wynik: R

Ay

 = R

Ax

 = R

Dy

 = P 

 

A 

R

A 

y

 

B 

R

Bx 

R

By 

D 

Q

C 

P 

x 

E 

0

,

0

1

====

−−−−

====

∑

∑

∑

∑

====

i

i

Bx

A

ix

R

R

P

 

0

,

0

1

====

++++

−−−−

−−−−

====

∑

∑

∑

∑

====

By

i

i

iy

R

P

Q

P

 

∑

∑

∑

∑

====

====

++++

−−−−

−−−−

====

i

i

A

iB

B

A

R

A

C

P

E

D

Q

M

1

0

,

0

P

Q

R

B

A

C

A

P

E

D

Q

R

B

A

C

A

P

E

D

Q

R

By

Bx

A

++++

====

++++

====

++++

====

,

,

0

,

0

1

====

−−−−

====

∑

∑

∑

∑

====

i

i

Ax

ix

R

P

P

 

0

,

0

1

====

++++

====

∑

∑

∑

∑

====

Dy

Ay

i

i

iy

R

R

P

 

∑

∑

∑

∑

====

====

−−−−

====

i

i

Dy

iA

a

P

a

R

M

1

0

,

0

A 

R

Ay 

R

Ax 

D 

R

Dy 

P 

B 

C 

y 

x 

Rys. 16 Rama 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.1

AW 10

 

12

Przykład 4 
 
 
  
 

 

 

 

 

 

 

Dane: 

                                                                               Q, M, P, AB=BC=CD=DE=a 

     Szukane:  

 

     R

Ay

, R

Ax

, R

Ey

 

 

     Warunki równowagi 
     Rzutów na os x: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      

            

Rzutów na o

ś

 y: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

Momentów wzgl. punktu A: 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 
 
 

5.  Układy statycznie niewyznaczalne 

 

W  przypadku,  kiedy  liczba  równa

ń

  równowagi  jest  mniejsza  od  liczby  sił  we-

wn

ę

trznych, to konstrukcje takie s

ą

 nierozwi

ą

zywalne przy zastosowaniu trzech rów-

na

ń

  równowagi  statyki  ciał  doskonale  sztywnych  i  nosz

ą

  nazw

ę

  układów  statycznie 

niewyznaczalnych. 
Do obliczenia niewiadomych sił nale

ż

y wtedy dodatkowo uwzgl

ę

dni

ć

 odkształcenia i 

przemieszczenia  pr

ę

tów.  Uzyskane  w  ten  sposób  dodatkowe  równania  współzale

ż

-

no

ś

ci  odkształce

ń

  stanowi

ą

  zale

ż

no

ś

ci  o  charakterze  geometrycznym  i    uzupełniaj

ą

 

liczb

ę

 równa

ń

. W celu poł

ą

czenia równa

ń

 równowagi z równaniami geometrycznymi 

nale

ż

y posłu

ż

y

ć

 si

ę

 zwi

ą

zkami fizycznymi uzale

ż

niaj

ą

cymi wzajemnie siły wewn

ę

trz-

ne i przemieszczenia. W przypadku materiałów liniowo spr

ęż

ystych zwi

ą

zki te wyni-

kaj

ą

 bezpo

ś

rednio z prawa Hooke'a.  

Prawo  Hooke’a  jest  podstaw

ą

  zale

ż

no

ś

ci

ą

  teorii  spr

ęż

ysto

ś

ci,  która  wi

ąż

e  zale

ż

no-

ś

ci

ą

  proporcjonalno

ś

ci  odkształcenie  i  siły.  Podstawowa  zale

ż

no

ść

  przedstawia  si

ę

 

nast

ę

puj

ą

co: 

                                          

εεεε

σσσσ

E

====

                                        (15) 

gdzie: 

σ

 - napr

ęż

enie [MPa],  

E – [MPa] wsp. proporcjonalno

ś

ci; moduł spr

ęż

ysto

ś

ci podłu

ż

nej  

(moduł  Younge’a) 

 

ε

 - wielko

ść

 bezwymiarowa odkształcenie wzgl

ę

dne  

Przedstawione wielko

ś

ci mo

ż

na przedstawia

ć

 w ró

ż

ny sposób: 

                                                  

A

P

====

σσσσ

  oraz 

l

l

∆∆∆∆

====

εεεε

                               (16)  

gdzie: P – siła [N]  

A-  pole powierzchni przekroju [mm

2

] 

∆

l – wydłu

ż

enie elementu pod działaniem siły P [mm] 

0

cos

,

0

1

====

−−−−

−−−−

====

∑

∑

∑

∑

====

αααα

P

R

P

i

i

Ax

ix

 

0

sin

,

0

1

====

++++

−−−−

−−−−

====

∑

∑

∑

∑

====

Ey

Ay

i

i

iy

R

P

a

q

R

P

αααα

 

∑

∑

∑

∑

====

====

++++

−−−−

−−−−

−−−−

====

i

i

Ey

iA

a

R

a

P

M

a

q

M

1

2

0

4

3

sin

2

,

0

αααα

Wynik: 

αααα

cos

P

R

Ax

====

 

a

a

P

M

a

q

R

Ey

4

3

sin

2

2

αααα

++++

++++

====

 

αααα

αααα

sin

4

3

sin

2

2

P

qa

a

a

P

M

a

q

R

Ay

++++

++++

++++

++++

====

 

x 

A 

R

Ay 

R

Ax 

E 

R

Ey 

q 

M

P 

B

C

D 

α

 

y 

Rys. 17 Belka 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

3.1

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 11

 

13

l – długo

ść

 pocz

ą

tkowa elementu [mm] 

Prawo Hooke’a mo

ż

na przedstawi

ć

 w rozwini

ę

tej formie: 

                                                               

l

l

E

A

P

∆

=

                             (17) 

 
Układy  statyczne,  w  których  liczba  niewiadomych  (składowych  reakcji)  jest  wi

ę

ksza 

od  liczby  równa

ń

  równowagi  nazywamy  statycznie  niewyznaczalnymi.  Przykładami 

takich  układów  b

ę

d

ą

:  belki  wieloprz

ę

słowe    (o  trzech  lub  wi

ę

cej  podporach),  belki 

dwustronnie  utwierdzone,  belki  jednym  ko

ń

cem  utwierdzone,  a  na  drugim  podparte 

etc.  W  tych  belkach  okre

ś

lenie  reakcji  b

ą

d

ź

  sił  wewn

ę

trznych  tylko  na  podstawie 

równa

ń

  równowagi  nie  jest  mo

ż

liwe.  Do  ich  wyznaczenia  nale

ż

y  uwzgl

ę

dni

ć

  od-

kształcenie  tych  konstrukcji  wykorzystuj

ą

c  zale

ż

no

ś

ci  geometryczne  pomi

ę

dzy  tymi 

odkształceniami. Najlepiej zilustrowa

ć

 to na przykładzie. 

 
Przykład 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Przykład stanowi pr

ę

t umocowany przegubowo w podporze stałej O, zawieszony na 

dwóch sztywnych ci

ę

gnach 1 i 2 równie

ż

 umocowanych przegubowo. 

Warunki równowagi: 

0

cos

,

0

2

1

====

++++

−−−−

====

∑

∑

∑

∑

====

αααα

N

R

P

i

i

x

ix

                (a) 

0

sin

,

0

2

1

1

====

−−−−

++++

++++

====

∑

∑

∑

∑

====

P

N

N

R

P

i

i

y

iy

αααα

     (b) 

∑

∑

∑

∑

====

====

−−−−

++++

====

i

i

iO

a

P

a

N

a

N

M

1

2

1

0

2

2

sin

,

0

αααα

 (c) 

 
Dla wyznaczenia czwartego równania wykorzysta

ć

 nale

ż

y podstawowy zwi

ą

zek teorii 

spr

ęż

ysto

ś

ci, mianowicie prawo Hooke’a. Wi

ąż

e ono w zale

ż

no

ść

  proporcjonalno

ś

ci 

napr

ęż

enia  i  odkształcenia.  Nale

ż

y  zatem  przy  pomocy  zale

ż

no

ś

ci  geometrycznych 

wyznaczy

ć

 przemieszczenia, które wyst

ą

piły w elemencie pod działaniem sił.   

Pod działaniem siły P pr

ę

t OAB ulega przemieszczeniu do pozycji O A

1

 B

1

. Przy za-

ło

ż

eniu  pełnej  sztywno

ś

ci  i  jego  nieodkształcalno

ś

ci  po  odkształceniu  jest  on  lini

ą

 

prost

ą

.  Ci

ę

gna  N

1

  i  N

2 

wydłu

żą

  si

ę

  odpowiednio  o 

∆

l

1

  i 

∆

l

2

.  Mamy  wtedy  zale

ż

no

ś

ci 

geometryczne wynikaj

ą

ce z twierdzenia Talesa:  

a

BB

a

l

2

1

1

====

∆∆∆∆

  odcinek 

ββββ

sin

2

1

l

BB

∆∆∆∆

====

 

 
 

Rys. 18  Układ pr

ę

towy sta-

tycznie niewyznaczalny 

a 

a 

1

2 

N

1 

N

2 

R

y 

R

x 

y 

x 

α

 

P 

O 

Istniej

ą

 zatem trzy równania równowagi ale 

cztery  niewiadome:  R

x

,  R

y

,  N

1

,  i  N

2

.  Dla 

wyznaczenia 

wszystkich 

niewiadomych 

konieczne jest jeszcze znalezienie jednego 
czwartego równania. 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.1

AW 12

 

14

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys.19 Zale

ż

no

ś

ci geometryczne przemieszcze

ń

 

 
Napr

ęż

enia w pr

ę

tach wynios

ą

 odpowiednio: 

1

1

1

A

N

====

σσσσ

 a wykorzystuj

ą

c prawo Hooke’a, 

1

1

εεεε

σσσσ

E

====

 i dalej, 

1

1

1

l

l

E

∆∆∆∆

====

σσσσ

 

1

2

2

A

N

====

σσσσ

 a wykorzystuj

ą

c prawo Hooke’a, 

2

2

εεεε

σσσσ

E

====

 i dalej, 

2

2

2

l

l

E

∆∆∆∆

====

σσσσ

 

Zakładaj

ą

c, 

ż

e materiał pr

ę

tów 1 i 2 ma taki sam moduł spr

ęż

ysto

ś

ci podłu

ż

nej i ten 

sam przekrój A, po przekształceniu otrzymamy zwi

ą

zek fizyczny pomi

ę

dzy siłami N

1

 

a  N

2

,  który  b

ę

dzie    czwartym  równaniem  uzupełniaj

ą

cym  układ  utworzony  z  warun-

ków równowagi sił: 

EA

a

l

N

EA

a

l

N

αααα

sin

2

2

2

1

1

====

 a po uproszczeniu 

αααα

sin

2

2

2

1

1

l

N

l

N

====

                                  (d) 

Rozwi

ą

zuj

ą

c układ równa

ń

 (a, b, c, d) o czterech niewiadomych otrzymamy wyniki: 

αααα

2

1

2

2

1

sin

4

2

l

l

l

P

N

++++

====

,   

αααα

2

1

2

1

1

sin

4

4

l

l

l

P

N

++++

====

, 

αααα

αααα

2

1

2

1

sin

4

2

sin

4

l

l

l

P

R

x

++++

====

, 

αααα

2

1

2

2

sin

4

l

l

l

P

R

y

++++

−−−−

====

 

 
Kolejny  przykład  dotyczy  napr

ęż

e

ń

  monta

ż

owych  wynikaj

ą

cych  z  niedokładno

ś

ci 

elementów składowych. Na rys. 20 pokazano schemat układu pr

ę

towego  z pokaza-

nymi niedokładno

ś

ciami poszczególnych elementów. 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

   
 
 
Rys.20 Schemat układu monta

ż

owego 

 
 
 

                                            
 

       

0

,

0

1

====

====

∑

∑

∑

∑

====

i

i

x

ix

R

P

                          (a’) 

                                                  

0

,

0

2

1

1

====

−−−−

++++

====

∑

∑

∑

∑

====

N

N

R

P

i

i

y

iy

 

(b’) 

 

 

 

 

                  

∑

∑

∑

∑

====

====

−−−−

====

i

i

iO

a

N

a

N

M

1

2

1

0

2

,

0

         (c’) 

 

α

 

O 

α

A

1 

A 

B

1 

B 

C 

∆

l

1 

∆

l

2 

 

1 

2 

a 

a 

1

2 

N

1 

N

2 

R

y 

R

x 

y 

O 

δ

 

A 

B 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

3.1

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 13

 

15

Jak wida

ć

 na rys. 20 niedokładno

ść

 monta

ż

owa  

δ

 wynika z zastosowania zbyt krót-

kiego pr

ę

ta 1. Naci

ą

gni

ę

cie tego pr

ę

ta do utworzenia poł

ą

czenia z belk

ą

  OAB spo-

woduje napi

ę

cia N

1

 i N

2

 w pr

ę

tach 1 i 2 oraz  przemieszczenie belki. Wyst

ą

pi

ą

 nie-

wiadome reakcje w podporze O i wspomniane ju

ż

 napi

ę

cia. I w tym przypadku ujaw-

nia si

ę

 układ statycznie niewyznaczalny. Mamy trzy równania równowagi i cztery nie-

wiadome: R

x

, R

y

, N

1

 i N

2

. Konieczna jest zatem dodatkowa zale

ż

no

ść

 wi

ążą

ca wa-

runki geometryczne i siłowe. Zakładamy, 

ż

e belka OAB jest nieodkształcalna i nie-

wa

ż

ka, natomiast pr

ę

ty 1 i 2 o tej samej długo

ś

ci, przekroju i z tego samego materia-

łu s

ą

 niewa

ż

kie ale odkształcalne w zale

ż

no

ś

ci liniowej Hooke’a. Po naci

ą

gni

ę

ciu 

pr

ę

ta 1 układ  przedstawiony na rys.20 przyjmie posta

ć

 (rys.21). 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

Zale

ż

no

ś

ci geometryczne: 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

l

∆∆∆∆

−−−−

====

∆∆∆∆

δδδδ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

l

a

l

2

2

1

∆∆∆∆

====

∆∆∆∆

−−−−

δδδδ

  (d’) 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zale

ż

no

ś

ci fizyczne: 

 

 

 

 

 

 

 

 

EA

l

N

l

1

1

====

∆∆∆∆

,  

EA

l

N

l

2

2

====

∆∆∆∆

 

 
 
Rys.12  Układ statycznie niewyznaczalny po zaczepieniu ci

ę

gien 1 i 2 do belki. 

  
Do  równania  (d’)  tworz

ą

cego  zale

ż

no

ść

  geometryczn

ą

  nale

ż

y  podstawi

ć

  zale

ż

no

ś

ci 

fizyczne i nast

ę

pnie rozwi

ą

za

ć

 układ równa

ń

 a’, b’, c’ i d’. Wynik przyjmie posta

ć

: 

0

====

x

R

,  

EA

l

R

y

δδδδ

5

2

−−−−

====

,  

EA

l

N

δδδδ

5

4

1

====

,  

EA

l

N

δδδδ

5

2

2

====

 

 

6.  Napr

ęż

enia jako efekt obci

ąż

e

ń

 zewn

ę

trznych 

 

Siłami  zewn

ę

trznymi  nazywamy  siły,  które  zast

ę

puj

ą

  działanie  sił  oddziałuj

ą

-

cych  na  rozpatrywane  ciało,  przy  izolowaniu  tego  ciała  od  innych,  pierwotnie  z  nim 
poł

ą

czonych.  Wyst

ę

puj

ą

  one  jako  tzw.  siły  czynne  obci

ąż

aj

ą

ce  ciało  i  jako  reakcje 

wi

ę

zów, tzw. siły bierne. Siłami czynnymi b

ę

d

ą

: ci

ęż

ar całkowity ciała stałego lub ci

ę

-

ż

ary  cz

ą

stkowe  w  zło

ż

onych  układach  mechanicznych,  siły  dynamiczne  działaj

ą

ce 

przez okre

ś

lony czas i wynikaj

ą

ce z ruchu mas. Siłami biernymi s

ą

 reakcje w wi

ę

zach 

i  podporach.  Na  rys.  22  pokazano  uogólniony  układ  mechaniczny  b

ę

d

ą

cy  w  równo-

wadze statycznej. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys.22  Uogólniony układ mechaniczny w równowadze statycznej 

a 

a 

1

2 

N

1 

N

2 

R

y 

R

x 

y 

O 

δ

 

A 

B 

∆

l

1 

∆

 

∆

l

2 

B’ 

A’ 

P

1 

P

n 

P

i 

x 

y 

x 

R

A 

Q 

R

B 

A 

B 

O 

G 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.1

AW 14

 

16

W  przestrzeni  opisanej  układem  współrz

ę

dnych  prostok

ą

tnych  O,x,y,x  istnieje  ciało 

stałe Q, na które oddziaływaj

ą

 siły zewn

ę

trzne P

1

 … P

n

, ci

ęż

ar własny G i reakcje R

A 

i R

B

, b

ę

d

ą

ce w równowadze statycznej. Ciało stałe Q jako pewna ci

ą

gło

ść

 materialna 

jest  elementem  ł

ą

cz

ą

cym  obszar  oddziaływania  wszystkich  sił.  W  rezultacie  w  jego 

obj

ę

to

ś

ci  wyst

ą

pi

ą

  jakie

ś

  siły,  które  b

ę

d

ą

  ł

ą

czy

ć

  układ  w  pewn

ą

  zrównowa

ż

on

ą

  ca-

ło

ść

. Siły te nazywa si

ę

 siłami wewn

ę

trznymi lub napi

ę

ciami. Aby je wyznaczy

ć

 nale-

ż

y je „uzewn

ę

trzni

ć

” poprzez przeci

ę

cie ciała Q, odrzucenie odci

ę

tej cz

ęś

ci i zało

ż

e-

nie w przekroju sił wewn

ę

trznych (rys.23).  Po odrzuceniu, w naszym przypadku cz

ę

-

ś

ci  lewej,  nale

ż

y  w  utworzonym  przekroju  zało

ż

y

ć

  siły  wewn

ę

trzne:  normaln

ą

  N, 

styczn

ą

  T  i  moment  M.  Nowy  układ  musi  równie

ż

  spełnia

ć

  warunki  równowagi  sta-

tycznej. Mo

ż

na z tego wywnioskowa

ć

, 

ż

e w ró

ż

nych przekrojach i ich poło

ż

eniach siły 

wewn

ę

trzne  mog

ą

  si

ę

  ró

ż

ni

ć

. Wykonuj

ą

cy  obliczenia  sprawdzaj

ą

ce  musi  zatem  wy-

bra

ć

  przekrój,  w  którym  te  siły  mog

ą

  by

ć

  najwi

ę

ksze  –  b

ę

dzie  to  przekrój  niebez-

pieczny.  Jest  najwa

ż

niejszy  element  pracy  projektanta  i  decyduj

ą

cy  o  bezpiecze

ń

-

stwie eksploatacji konstrukcji.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Rys.23 Ujawnienie sił wewn

ę

trznych 

 

Dla wygody i zwi

ę

kszenia wydajno

ś

ci oblicze

ń

 siły wewn

ę

trzne odnosi si

ę

 do rozpa-

trywanego  przekroju.  Tak  przekształcone  siły  wewn

ę

trzne  nazywamy  napr

ęż

eniami. 

Jednostkami napr

ęż

e

ń

 s

ą

: MPa, N/mm

2

. W napr

ęż

eniach i ich jednostkach wyra

ż

ane 

s

ą

  parametry  materiałowe  takie  jak:  granica  plastyczno

ś

ci  lub  wytrzymało

ść

  na  roz-

ci

ą

ganie. Mo

ż

na wtedy łatwo porówna

ć

 wyniki oblicze

ń

 wytrzymało

ś

ciowych z warto-

ś

ciami granicznymi dla danych materiałów rzeczywistych.  

W odniesieniu  do  przekroju  wyst

ę

puj

ą

  dwa  rodzaje  napr

ęż

e

ń

:  napr

ęż

enia  normalne 

(

σ) 

i  styczne  (

τ).

Okre

ś

lenie  warto

ś

ci  napr

ęż

e

ń

  normalnych 

σσσσ 

i  stycznych 

ττττ 

w  po-

szczególnych punktach przekroju jest podstawowym zadaniem wytrzymało

ś

ci mate-

riałów. Cz

ę

sto rozkład tych napr

ęż

e

ń

 nie jest równomierny na przekroju i wtedy nale-

ż

y  wyznaczy

ć

  funkcje,  które  okre

ś

laj

ą

  warto

ś

ci  tych  napr

ęż

e

ń

  w  ró

ż

nych  punktach 

przekroju.   
Siły  wewn

ę

trzne  b

ę

d

ą

  zale

ż

e

ć

  od  rozkładu  i  warto

ść

  i  oddziaływa

ń

  zewn

ę

trznych. 

Jednym z zada

ń

 statyki jest wyznaczenie rozkładów i warto

ś

ci sił wewn

ę

trznych, któ-

re  jest  kolejnym  krokiem  w  wyznaczaniu  stanów  napr

ęż

e

ń

  w  poszczególnych  prze-

krojach. 
Jednym  z  najprostszych  stanów  napr

ęż

e

ń

  jest  stan  napr

ęż

e

ń

  rozci

ą

gaj

ą

cych.  Jest 

wynikiem oddziaływania sił rozci

ą

gaj

ą

cych na element  ci

ę

gnowy sztywny lub wiotki. 

Warunkiem  jednoosiowego  stanu  napr

ęż

e

ń

  jest  poło

ż

enie  siły  czynnej  i  biernej  w 

jednej osi prostopadle do przekroju niebezpiecznego (rys.24). 
 

P

i 

 

T

 

M

x 

y 

x 

O 

R

A 

A

P

1 

N 

G 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

3.1

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 15

 

17

 
 
 
 
   
   

Rys.24  Stan napr

ęż

e

ń

 rozci

ą

gaj

ą

cych 

 

                                                               

  

Zjawisko 

ś

ciskania zachodzi w taki sam sposób jak rozci

ą

ganie z t

ą

 ró

ż

nic

ą

, 

ż

e siły 

czynne oddziaływaj

ą

 z przeciwnym zwrotem. 

Zjawisko 

ś

cinania  zwi

ą

zane  jest  z  napr

ęż

eniami 

ś

cinaj

ą

cymi  -  stycznymi.  Siły  we-

wn

ę

trzne tworz

ą

ce ten stan s

ą

 ukierunkowane stycznie do rozpatrywanego przekro-

ju. 
 
 
  
 
 
 
 
 

Rys. 25 Stan napr

ęż

e

ń

 stycznych przy 

ś

cinaniu 

 

                                                              

 

7.  Zginanie 

 

Zjawisko  zginania  jest  efektem  oddziaływania  sił  wewn

ę

trznych  w  postaci  mo-

mentów  gn

ą

cych  oraz  cech  geometrycznych  przekroju  poprzecznego  elementu  zgi-

nanego.  Dla  uproszczenia  element  zginany  zostanie  nazwany  belk

ą

.  Do  wyznacza-

nia  sił  wewn

ę

trznych  wykorzystuje  si

ę

  metod

ę

  my

ś

lowych  przekrojów.  Przy  stałym 

przekroju  belki  granicami  odcinków,  w  których  nale

ż

y  dokona

ć

  my

ś

lowych  przekro-

jów, s

ą

 punkty przyło

ż

enia sił zewn

ę

trznych – czynnych i biernych (reakcji podporo-

wych). 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 26 Momenty gn

ą

ce jako ujawnione siły wewn

ę

trzne 

 
Na rys.26 pokazano zastosowanie metody my

ś

lowych przekrojów, układ współrz

ę

d-

nych (o

ś

 Y skierowana jest w dół, o

ś

 X wzdłu

ż

 osi belki) oraz siły wewn

ę

trzne w bel-

ce. 

P 

R 

σ

R 

A – pole powierzchni 

T 

T 

τ 

A

(18) 

(19) 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.1

AW 16

 

18

7.1 Siły wewn

ę

trzne  

 

W zginaniu wyst

ę

puj

ą

 dwie siły wewn

ę

trzne – siła poprzeczna T w płaszczy

ź

-

nie  obci

ąż

enia  XY  oraz  moment  zginaj

ą

cy  M,  którego  wektor  jest  prostopadły  do 

płaszczyzny XY. W obliczeniach wytrzymało

ś

ciowych belek rzecz

ą

 podstawow

ą

 jest 

wyznaczenie  rozkładów  T  i  M.  Maksymalne  warto

ś

ci  tych  sił  wskazuj

ą

  na  przekroje 

najbardziej  obci

ąż

one,  na  przekroje  niebezpieczne.  Umowne  okre

ś

lenie  znaków  sił 

wewn

ę

trznych pokazano na rys 27. 

 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys.27 Okre

ś

lenie znaków sił wewn

ę

trznych przy zginaniu 

 
 
Przykład 7 
 
Dla belki przedstawionej na rys.28 wykona

ć

 wykresy sił poprzecznych i momentów zgi-

naj

ą

cych.  Zadanie jest statycznie wyznaczalne.  

 

 

Rys.28 Wykresy momentów gn

ą

cych i sił poprzecznych (tn

ą

cych)  

w belce obci

ąż

onej siła skupion

ą

 

 
Reakcje podporowe (siły bierne) wynosz

ą

 odpowiednio: 

 

L

 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

3.1

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 17

 

19

 

Poniewa

ż

 belka ma stały przekrój poprzeczny, my

ś

lowe przekroje wyznacza si

ę

 w prze-

działach ograniczonych punktami przyło

ż

enia obci

ąż

e

ń

 (rys. 28 b,c): 

Dla przedziału 1-1   

 

 

Siła poprzeczna 

 

 

Moment gn

ą

cy 

 dla 

  

Dla przedziału 2-2    

 

 

Siła poprzeczna 

 

 

Moment gn

ą

cy 

 dla 

 

 
 
Przykład 8 
 
Dla belki obci

ąż

onej w sposób ci

ą

gły obci

ąż

eniem o stałej intensywno

ś

ci q wykona

ć

 

wykresy sił poprzecznych i momentów zginaj

ą

cych (rys.29). 

 

 
 
 
 
                         
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

 

Rys. 29 Zginanie belki obci

ąż

onej sił

ą

 równomiernie rozło

ż

on

ą

 

 
Obci

ąż

enie ci

ą

głe q = const działaj

ą

ce na odcinku L mo

ż

na zast

ą

pi

ć

 sił

ą

 wypadkow

ą

 q L, 

przyło

ż

on

ą

  w  połowie  długo

ś

ci  odcinka  (wypadkowa  układu  sił  równoległych).  Z  sumy 

momentów wzgl

ę

dem podpór A i B otrzymuje si

ę

 R

A 

= R

B 

= qL/2 (rys. 20 a). W belce wy-

starczy rozpatrzy

ć

 tylko jeden przedział 0 

≤

 x 

≤

 L, w którym 

qx

R

T

A

x

−

=

 

2

0

L

q

R

T

A

x

=

=

=

, 

2

qL

qL

R

T

A

L

x

−

=

−

=

=

 

2

2

qx

x

R

M

A

x

−

=

 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.1

AW 18

 

20

Wykres momentów gn

ą

cych jest parabol

ą

 i ma warto

ś

ci  zerowa  w podporach belki. 

Dla wyznaczenia ekstremum funkcji - w rozpatrywanym przypadku jej maksimum  na-
le

ż

y zró

ż

niczkowa

ć

 równanie momentów gn

ą

cych. 

L

q

R

x

T

qx

R

dx

dM

A

m

x

A

2

1

0

=

=

→

=

=

−

=

   

 

8

2

2

1

2

2

2

max

qL

L

q

L

R

M

M

A

x

x

m

=













−

=

=

=

 

 
 
Przykład 9 
 
Dla  belki  obci

ąż

onej  momentem  skupionym  M  wykona

ć

  wykresy  sił  poprzecznych  i 

momentów zginaj

ą

cych (rys.30). 

 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys.30 Zginanie belki obci

ąż

onej momentem skupionym 

 
Z równa

ń

 równowagi statycznej mo

ż

na wyliczy

ć

 reakcje podporowe: 

L

M

R

R

B

A

=

=

 

W przedziale 1-1 (0 

≤

 x

1

 

≤

 a) siły wewn

ę

trzne  

L

M

R

T

A

x

=

=

1

 ,      

L

x

M

x

R

M

A

X

1

1

1

=

=

, 

0

0

1

=

=

x

M

,  

L

a

M

M

a

x

=

=

1

 

W przedziale 2-2 ( 0 

≤

 x

2

 

≤

 L) 

 

L

M

R

T

A

x

=

=

2

 ,    

M

x

R

M

A

X

−

=

2

2

  ,      

0

2

=

=

L

x

M

,  

L

b

M

M

a

x

−

=

=

2

 

Na rys. 30 pokazano wykresy sił wewn

ę

trznych. 

 
 
 
Przykład 10 
 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

3.1

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 19

 

21

Dla belki przedstawionej na rys.31 wykona

ć

 wykresy sił wewn

ę

trznych (sił poprzecz-

nych  oraz  momentów  zginaj

ą

cych).  Przyj

ąć

  dane:  P  =  1200  N,  q  =  1500  N/m,  M  = 

1000  Nm,  L  =  4  m.  Wykona

ć

  dodatkowo  wykres  momentów,  korzystaj

ą

c  z  zasady 

superpozycji. Na rys. 31 pokazano schemat belki obci

ąż

onej sił

ą

 skupion

ą

, siła rów-

nomiernie  rozło

ż

on

ą

  i  momentem  skupionym  Jak  wida

ć

  jest  to  zadanie  zbiorcze,  w 

zakresie którego s

ą

 poprzednie sposoby obci

ąż

ania belek. 

 
Reakcje podporowe 

N

L

M

P

qL

R

A

5050

2

3

2

=

+

+

=

 

N

L

M

P

qL

R

B

2150

2

2

=

−

+

=

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

 

Rys. 31  Siły wewn

ę

trzne w belce obci

ąż

onej sił

ą

 skupion

ą

,  

równomiernie rozło

ż

on

ą

 i momentem skupionym  

 
Siły wewn

ę

trzne w trzech zało

ż

onych przekrojach (rys. 31 b). 

W przedziale 0 

≤

 x

1

 

≤

 L/2 

N

P

T

x

1200

1

−

=

−

=

 

Nm

PL

M

M

Px

M

L

x

x

x

2100

2

;

0

;

2

/

0

1

2

1

1

−

=

−

=

=

−

=

=

=

 

W przedziale L/2 

≤

 x

2

 

≤

 3/2 L 













−

−

+

−

=

2

2

2

L

x

q

R

P

T

A

x

 

N

T

N

T

L

x

L

x

2150

;

3850

2

/

3

2

/

2

2

−

=

=

=

=

 

 

 

Jak wida

ć

 z wykresu na rys.31 siła poprzeczna zmieniła swój znak co oznacza, 

ż

e   

w  tym miejscu zerowym (dla równania siły poprzecznej) wyst

ę

puje ekstremum funk-

cji. 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.1

AW 20

 

22

  

i  dalej  

 

po  rozwi

ą

zaniu  równania  kwadratowego  równania  momentów  gn

ą

cych  w  drugim 

przedziale i  wyznaczeniu jego pierwiastka dodatniego znajduj

ą

cego si

ę

 w tym prze-

dziale przekrój wyst

ę

powania maksymalnej warto

ś

ci momentu gn

ą

cego. Przekrój ten 

znajduje si

ę

 w odległo

ś

ci 2,73 m od pocz

ą

tku układu współrz

ę

dnych. 

W przedziale   3/2 L 

≤

 x

3

 

≤

 2 L 

 

 

W tym przedziale moment gn

ą

cy przyjmie stał

ą

 warto

ść

 1000 Nm. 

 

7.2  Napr

ęż

enia przy zginaniu 

 

Przy  obci

ąż

enia  poprzecznych  i  momentach  skupionych  w  przekrojach  belek 

wyst

ą

pi

ą

 siły wewn

ę

trzne  normalne (momenty gn

ą

ce) styczne (

ś

cinaj

ą

ce).  I tutaj siły 

wewn

ę

trzne odniesione do przekroju okre

ś

l

ą

 stany napr

ęż

e

ń

. Przy zało

ż

eniu płaskich 

przekrojów tzn. takich, które pod działaniem sił nie b

ę

d

ą

 odkształca

ć

 si

ę

 w kierunku 

prostopadłym.  W  konsekwencji  w  przekrojach  prostopadłych  do  osi  wzdłu

ż

nej  belki 

wyst

ą

pi

ą

 zró

ż

nicowane napr

ęż

enia. Zjawisko zginania zilustrowano na rys. 23. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

Rys. 32 Zginanie belki 

 
Na rys. 32 przedstawiono belk

ę

, na której naniesiono siatk

ę

. Po jej obci

ąż

eniu na 

ko

ń

cach momentami M

g

. Odkształcenie pr

ę

ta ujawni  si

ę

  w postaci zakrzywienia 

uprzednio naznaczonych linii podłu

ż

nych i jego osi. Linie prostopadłe do osi b-b i c-c 

po odkształceniu zajm

ą

 pozycj

ę

 b’-b’ i c’-c’ i pozostan

ą

 dalej proste , a kontury prze-

krojów nadal płaskie co potwierdzi zasad

ę

 płaskich przekrojów.   Odkształcenie belki  

przedstawione na rys.  32 ujawnia jeszcze jedn

ą

 cech

ę

: Istnieje warstwa, która nie 

została odkształcona pod wpływem obci

ąż

enia. Jest to warstwa oboj

ę

tna. Je

ś

li w 

my

ś

li podzielimy belk

ę

 na podłu

ż

ne elementy , które nazwiemy włóknami, to zauwa-

ż

ymy, 

ż

e po stronie wkl

ę

słej  uległy one skróceniu, a po stronie wypukłej wydłu

ż

eniu.      

Przy takich obserwacjach mo

ż

na zało

ż

y

ć

 warunki geometryczne (rys.33). 

 
 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

3.1

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 21

 

23

 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 33 Warunki geometryczne zginania 

 

Element belki przed odkształceniem o długo

ś

ci dx ma przekrój poprzeczny jak na 

rys.33. Po przyło

ż

eniu momentu gn

ą

cego nast

ą

pi jego ugi

ę

cie. We

ź

my pod uwag

ę

 

włókno odległe od warstwy oboj

ę

tnej o y, długo

ść

 którego wynosiła dx = ds, by po 

odkształceniu osi

ą

gn

ąć

 długo

ść

 ds(1+

ε

), gdzie 

ε

  jest wydłu

ż

eniem wzgl

ę

dnym (rys. 

33 b). 

                 

                         (20) 

Siły zewn

ę

trzne działaj

ą

ce na cz

ęść

 belki po jednej stronie przekroju redukuj

ą

 si

ę

 do 

momentu  –M

g

.      Uwzgl

ę

dniaj

ą

c  wewn

ę

trzne  siły  elementarne 

σ

  Da  tworz

ą

ce  prze-

strzenny układ sił równoległych mo

ż

emy dla odci

ę

tej cz

ęś

ci belki  napisa

ć

 nast

ę

puj

ą

-

ce warunki równowagi (rys. 33c). 

                  (21) 

                 (22) 

             (23) 

Zakładaj

ą

c ugi

ę

cie spr

ęż

yste jako warunek fizyczny przyjmujemy prawo Hooke’a 

 

                        (24) 

Podstawiaj

ą

c do poprzednich trzech równa

ń

 otrzymamy: 

                               

                            (25) 

                             

                          (26) 

                             

                       (27) 

Z równania (25) wynika, 

ż

e moment statyczny wzgl

ę

dem osin oboj

ę

tnej z jest równy 

zeru tzn., 

ż

e o

ś

 oboj

ę

tna przekroju przechodzi przez 

ś

rodek ci

ęż

ko

ś

ci przekroju. Z 

równania (26) wynika, 

ż

e moment dewiacji wzgl

ę

dem osi z jest równy zero, co ozna-

cza, 

ż

e je

ś

li kierunek wektora M

g

 (rys.33) b

ę

dzie pokrywał si

ę

 z kierunkiem jednej z 

osi centralnych przekroju to wyst

ą

pi  zginanie  proste. Z kolei równanie (27) pozwala 

ustali

ć

 podstawow

ą

 zale

ż

no

ść

 pomi

ę

dzy krzywizn

ą

, momentem gn

ą

cym i napr

ęż

e-

niami. Przyjmuj

ą

c, 

ż

e podcałkowe wyra

ż

enie w tym równaniu jest momentem bez-

władno

ś

ci przekroju otrzymamy t

ą

 zale

ż

no

ść

 w postaci: 

                                      

                               (28) 

Wykorzystuj

ą

c  zale

ż

no

ść

  (24) otrzymamy: 

c) 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.1

AW 22

 

24

                                      

                                (29) 

 
Wielko

ść

  I

z

/y nazywa si

ę

 wska

ź

nikiem wytrzymało

ś

ci na zginanie W

z

.  

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 34 Podstawowe przekroje figur płaskich 

 
Dla prostok

ą

ta 

                                                   

; 

                       (30) 

Dla koła 

                        

 ; 

                   (31) 

 

7.3  Odkształcenia belek 
  

Odkształceniami belki s

ą

:  

– ugi

ę

cie belki y, zdefiniowane jako pionowe przemieszczenie 

ś

rodka ci

ęż

ko

ś

ci prze-

kroju poprzecznego belki,  
– k

ą

t obrotu przekroju dx/dy = tg

Θ

 

≈

 

Θ

 zdefiniowany jako k

ą

t obrotu normalnej do 

przekroju poprzecznego belki lub ze wzgl

ę

dów praktycznych – prostopadłej do nor-

malnej.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys.35 Schemat ugi

ę

cia belki 

 

 

A

B

+ 

- 

M

M

Θ

 

Θ

 

 

y 

x 

x 

y 

Θ

 < 0 

Θ

 > 0 

  

linia ugi

ę

cia 

K

ą

t obrotu przekroju  

poprzecznego belki 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

3.1

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 23

 

25

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Tablica 1       Przemieszczenia prostych belek 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.1

AW 24

 

26

Obliczanie odkształce

ń

 belek mo

ż

liwe jest  za pomoc

ą

 metody całkowania tzw.  rów-

nania  ró

ż

niczkowego  linii  ugi

ę

cia  belki.  Metoda  ta  pozwala  na  wyznaczanie  ugi

ę

cia 

oraz  kata  obrotu  w  dowolnym  przekroju  x.  W  praktyce  in

ż

ynierskiej  stosowane  s

ą

 

równie

ż

  uproszczone  metody  wyznaczania  odkształce

ń

  belek.  Jedn

ą

  z  metod  jest 

metoda superpozycji

. 

Metoda superpozycji pozwala wyznacza

ć

 odkształcenia tylko w 

wybranych  punktach  (np.  poparcia,  ko

ń

ce  belki).  Dla  szybkiego  stosowania  metody 

nale

ż

y  korzysta

ć

  z  gotowych  rozwi

ą

za

ń

  dla  podstawowych  typów  prostych  belek 

(patrz tabela). 
 
Przykład 11 
 
Dla belki przedstawionej na rys. 36   obliczy

ć

 ugi

ę

cie i k

ą

t obrotu punktu C.  

Przyj

ąć

: P = 40 kN, q = 2,5 kN/m, EJ = 50 MNm2.  

Aby zastosowa

ć

 metod

ę

 superpozycji, nale

ż

y rozdzieli

ć

 obci

ąż

enia na sił

ę

 skupion

ą

 

P oraz obci

ąż

enia ci

ą

głe q. Poniewa

ż

 q działa na cz

ęś

ci cz

ęść

 belki znajduj

ą

cej si

ę

 

poza podporami, nale

ż

y uwzgl

ę

dni

ć

 moment M oddziałuj

ą

cy na AB. 

 
 

Rys.  36 Przykład belki zło

ż

onej 

 

1.  Belka obci

ąż

ona sił

ą

 P: 

 

 

2.  Belka obci

ąż

ona sił

ą

 równomiernie rozło

ż

on

ą

 q 

2a. Odkształcenie prz

ę

sła AB: 

  

   

2b. Odkształcenie wspornika BC: 

   

  

Całkowite ugi

ę

cie ko

ń

ca C: 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

3.1

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

AW 25

 

27

 

K

ą

t obrotu belki na podporze B: 

 

K

ą

t obrotu przekroju belki na ko

ń

cu C: 

 

 
 

8.  Kratownice 

 
Kratownic

ą

 nazywamy układ zło

ż

ony z pr

ę

tów prostych, poł

ą

czonych mi

ę

dzy sob

ą

 

w w

ę

złach przegubowo (przegubami bez tarcia), obci

ąż

ony siłami skupionymi w 

przegubach; 
siły przekrojowe w pr

ę

tach kratownicy redukuj

ą

 si

ę

 do stałej siły podłu

ż

nej. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 37 Kratownica 

 
 
 Obci

ąż

enia zewn

ę

trzne przekazuje si

ę

 na kratownice w postaci sił skupionych 

przyło

ż

onych w jej w

ę

złach i działaj

ą

cych w płaszczy

ź

nie kratownicy (w przypadku 

kratownic płaskich). Równie

ż

 ci

ęż

ar własny kratownicy zast

ę

puje si

ę

 siłami skupio-

nymi, zredukowanych i przyło

ż

onych w jej w

ę

złach. 

 
Sprawdzenie stopnia statycznej niewyznaczalno

ś

ci kratownicy 

Sprawdzenie stopnia statycznej wyznaczalno

ś

ci kratownicy dokonujemy wzorem 

 

gdzie: n

s

 – stopie

ń

 statycznej niewyznaczalno

ś

ci, 

r – liczba pr

ę

tów reakcyjnych (reakcji podporowych), 

p – liczba pr

ę

tów prostych kratownicy, 

w – liczba w

ę

złów kratownicy. 

Dla kratownicy przedstawionej na rys. 37  stopie

ń

 ten wynosi 

n

s

 = 3 + 13 + - 2 * 8 = 0  

gdzie 

 

r = 3, p = 13 (4 pr

ę

ty pasa górnego, 4 pr

ę

ty pasa dolnego, 3 słupki, 2 krzy

ż

ul-

ce), w = 8. 
 
Pr

ę

ty zerowe 

 
W kratownicy mog

ą

 wyst

ę

powa

ć

 pr

ę

ty, w których pod danym obci

ąż

eniem siły 

Pas górny 

Pas dolny 

Krzy

ż

ulec 

Słupek 

A

B

(32) 

Opracowanie Instytut Spawalnictwa - Gliwice.

Wszelkie prawa zastrze

żone. Powielanie lub rozpowszechnianie ca

ło

ści wzgl

ędnie

fragmentu w jakiejkolwiek formie i w jakikolwiek sposób jest zabronione.

KURS MIĘDZYNARODOWEGO

INŻYNIERA / TECHNOLOGA / MISTRZA / INSTRUKTORA SPAWALNIKA

(IWE/IWT/IWS/IWP)

Podstawy teorii układów konstrukcji

Instytut

Spawalnictwa

w Gliwicach

3.1

AW 26