Wykład 9
Zadanie Zbadać, czy forma:
g(x
1
, x
2
, x
3
) = [x
1
, x
2
, x
3
]
1 2 3
2 5 2
3 2 0
x
1
x
2
x
3
jest dodatnio określona.
Rozwiązanie Wystarczy zbadać, czy dodatnie są minory główne, a więc
wyznaczniki:
G
1
= 1
G
2
=
1 2
2 5
= 1 > 0
G
3
=
1 2 3
2 5 2
3 2 0
= −25 < 0
To oznacza, że ta forma nie jest dodatnio określona. Rzeczywiście g(1, 1, −2) =
−10 < 0.
Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej
Niech g będzie formą kwadratową w przestrzeni R
n
, wtedy g może być
zapisane w postaci:
g(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) =
n
X
i=1
g
ii
x
2
i
+ 2
n
X
i=1,j=1,i<j
g
ij
x
i
x
j
w przedstawieniu tym mogą występować elementy po x
i
x
j
. Zadanie sprowa-
dzania do postaci kanonicznej polega więc na ”pozbywaniu się” tych elemen-
tów. Dokładniej mówiąc zadanie to polega na szukaniu zmiennych y
1
, y
2
, . . . , y
n
zależnych liniowo od x
1
, x
2
, . . . , x
n
, dla których forma kwadratowa g ma
przedstawienie:
g(y
1
, . . . , y
n
) = a
1
y
2
1
+ a
2
y
2
+ . . . + a
n
y
2
n
Istnieje kilka metod sprowadzania do postaci kanonicznej. Tutaj omówimy
dwie podstawowe: metodę Lagrange’a i metodę Jacobiego.
1
Metoda Lagrange’a
Metoda Lagrange’a wykorzystuje uogólnienie wzoru skróconego mnożenia na
kwadrat sumy elementów, a mianowicie:
(b
1
+ b
2
+ . . . + b
n
)
2
= b
2
1
+ b
2
2
+ . . . + b
2
n
+ 2
X
i=1,j=1,i<j
b
i
b
j
Metodę tą omówimy na przykładzie. Niech
g(x
1
, x
2
, x
3
) = 2x
2
1
− x
2
2
+ 3x
2
3
+ 2x
1
x
2
− 4x
1
x
3
− 3x
2
x
3
wtedy możemy zebrać elementy, które zawierają x
1
i otrzymujemy:
g(x
1
, x
2
, x
3
) = 2(x
2
1
+ x
1
x
2
− 2x
1
x
3
) − x
2
2
+ 3x
2
3
− 3x
2
x
3
następnie ”wyciągamy kwadrat” zgodnie z powyższym wzorem:
g(x
1
, x
2
, x
3
) = 2(x
1
+
1
2
x
2
− x
3
)
2
−
1
2
x
2
2
− 2x
2
3
+ 2x
2
x
3
− x
2
2
+ 3x
2
3
− 3x
2
x
3
stąd
g(x
1
, x
2
, x
3
) = 2(x
1
+
1
2
x
2
− x
3
)
2
−
3
2
x
2
2
+ x
2
3
− x
2
x
3
dalej postępujemy podobnie jak powyżej z ”kawałkiem” zawierającym tylko
zmienne x
2
, x
3
, a więc:
g(x
1
, x
2
, x
3
) = 2(x
1
+
1
2
x
2
− x
3
)
2
−
3
2
(x
2
2
+
2
3
x
2
x
3
) + x
2
3
=
2(x
1
+
1
2
x
2
− x
3
)
2
−
3
2
(x
2
+
1
3
x
3
)
2
+
1
6
x
2
3
+ x
2
3
=
2(x
1
+
1
2
x
2
− x
3
)
2
−
3
2
(x
2
+
1
3
x
3
)
2
+
7
6
x
2
3
Jeśli przyjmiemy teraz y
1
= x
1
+
1
2
x
2
− x
3
, y
2
= x
2
+
1
3
x
3
, y
3
= x
3
to
otrzymamy:
g(y
1
, y
2
, y
3
) = 2y
1
−
3
2
y
2
+
7
6
y
3
otrzymane przedstawienie jest więc postacią kanoniczną naszej formy.
Metoda Jacobiego
Metoda Jacobiego polega na wykorzystaniu algorytmu podobnego do algoryt-
mu ortogonalizacji Grama − Schmidta. Omówimy tą metodę na tym samym
przykładzie co poprzednio:
g(x
1
, x
2
, x
3
) = 2x
2
1
− x
2
2
+ 3x
2
3
+ 2x
1
x
2
− 4x
1
x
3
− 3x
2
x
3
2
wtedy w bazie kanonicznej macierz tej formy jest następująca:
G =
2
1
−2
1
−1 −
3
2
−2 −
3
2
3
Szukamy bazy b
1
, b
2
, b
3
takiej, że f (b
i
, b
j
) = 0 jeśli i 6= j. Bazę tą szukamy w
postaci:
b
1
= e
1
b
2
= e
2
+ k
12
b
1
b
3
= e
3
+ k
13
b
1
+ k
23
b
2
Podobnie jak w przypadku ortogonalizcji Grama − Schmidta otrzymujemy
k
ij
= −
f (b
i
,e
j
)
f (b
i
,b
i
)
, a więc:
k
12
= −
f (b
1
, e
2
)
f (b
1
, b
1
)
= −
1
2
i
b
2
= [−
1
2
, 1, 0]
dalej mamy:
k
13
= −
f (b
1
, e
3
)
f (b
1
, b
1
)
= 1, k
23
= −
f (b
2
, e
3
)
f (b
2
, b
2
)
= −
1
3
stąd:
b
3
= [
7
6
, −
1
3
, 1]
ponadto f (b
3
, b
3
) =
7
6
. Wtedy postać kanoniczna naszej formy dwuliniowej
jest następująca:
f (y
1
, y
2
, y
3
) = f (b
1
, b
1
)y
2
1
+ f (b
2
, b
2
)y
2
2
+ f (b
3
, b
3
)y
2
3
= 2y
2
1
−
3
2
y
2
2
+
7
6
y
2
3
i jeśli przez A oznaczymy macierz przejścia od bazy kanonicznej do bazy
b
1
, b
2
, b
3
to otrzymamy związek między zmiennymi x
1
, x
2
, x
3
, a zmiennymi
y
1
, y
2
, y
3
:
x
1
x
2
x
3
= A
y
1
y
2
y
3
W naszym przypadku:
A =
1 −
1
2
7
6
0
1 −
1
3
0
0
1
3
wtedy
A
−1
=
1
1
2
−1
0
1
1
3
0
0
1
i mamy:
y
1
y
2
y
3
= A
−1
x
1
x
2
x
3
=
1
1
2
−1
0
1
1
3
0
0
1
x
1
x
2
x
3
Można zauważyć, że współczynniki f (b
i
, b
i
) (występujące przy y
2
i
są równe
det G
i−1
det G
i
, gdzie det G
0
= 1, a det G
i
, i = 1, 2, 3 są minorami głównymi macierzy
G.
Metoda Jacobiego ma pewne ograniczenia, jeśli bowiem któryś ze współ-
czynników f (b
i
, b
i
) jest równy zero to nie można wyznaczyć odpowiednich
k
ij
. Z tego co zostało powiedziane powyżej metoda Jacobiego działa wtedy
gdy każdy z minorów głównych macierzy G jest różny od 0.
Na zakończenie naszych rozważań dotyczących przestrzeni euklidesowych
i unitarnych zdefiniujemy pojęcie sprzężenia odwzorowania liniowego. Niech
V będzie przestrzenią euklidesową (unitarną) i niech ϕ : V → V będzie
homomorfizmem przestrzeni V , wtedy istnieje dokładnie jeden homomorfizm
ϕ
∗
, taki że dla każdego u, v ∈ V :
(ϕ(u)|v) = (u|ϕ
∗
(v))
Operator ϕ
∗
nazywamy operatorem sprzężonym z operatorem ϕ.
Jeśli V = C
n
jest przestrzenią unitarną ze standardowym iloczynem skalar-
nym i A jest macierzą operatora ϕ to A
∗
jest macierzą operatora ϕ
∗
.
4