Algebra liniowa 1
Kolokwium MA, semestr zimowy 2009/2010
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
Q
1
2
Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 30 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Rozwiązać równanie macierzowe
.
1 1
0 1
⋅ X + X ⋅
1 1
0 1
=
1 4
2 5
2. Cbliczyć
metodą bezwyznacznikową
1 −2 0
0
0
1 0 −3
0
0 1
2
3 −6 0
1
−
1
i następnie sprawdzić poprawność otrzymanego wyniku.
Odpowiedzi do zestawu
Q
1.
; 2.
.
X =
0 1
1 2
−
17 2 0
6
−
9 1 0
3
6 0 1 −2
−
3 0 0
1
Algebra liniowa 1
Kolokwium MA, semestr zimowy 2009/2010
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolok-
wium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię
i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą
tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
R
1
2
Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy na-
pisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 30 minut, za rozwią-
zanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy
dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje
twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto pro-
szę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Wyznaczyć macierz z równania
Y
.
2 0
1 1
⋅ Y ⋅
1 3
1 1
=
2
2
1 −1
2. Metodą bezwyznacznikową obliczyć
i sprawdzić poprawność
A
−
1
wyniku dla
.
A =
−
1 0 0 0
0 1 1 0
0 1 2 0
0 0 0 1
Odpowiedzi do zestawu
R
1.
; 2.
.
0 1
−
1 1
−
1
0
0 0
0
2 −1 0
0 −1
1 0
0
0
0 1
.
Algebra liniowa 1
Kolokwium MA, semestr zimowy 2009/2010
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
S
1
2
Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 30 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Znaleźć wzór ogólny na macierz
, gdzie
, i udowodnić go
B
n
n ∈
N
metodą indukcji matematycznej, jeżeli
.
B =
2 0 0
0 1 1
0 1 1
n
2. Obliczyć wyznacznik
.
1 0 1 −1
2 1 5 −2
1 0 3 −5
0 1 2
2
.
Odpowiedzi do zestawu
S
1.
dla
; 2. .
A
n
=
2
n−
1
A
n ≥
1
0
Algebra liniowa 1
Kolokwium MA, semestr zimowy 2009/2010
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolok-
wium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię
i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą
tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
T
1
2
Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy na-
pisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 30 minut, za rozwią-
zanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy
dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje
twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto pro-
szę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Metodą rozwinięć Laplace'a obliczyć wyznacznik
.
0 0 0 1 2
0 0 1 2 3
0 1 2 3 0
1 2 3 0 0
2 3 0 0 0
2. Rozwiązać równanie macierzowe
.
(
1 4
2 1
− 6Y )
−
1
=
3 2
1 2
Odpowiedzi do zestawu
T
1.
; 2.
.
−
10
1
12
3
4
3
8
1
24
Algebra liniowa 1
Kolokwium MA, semestr zimowy 2008/2009
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
U
1
2
Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 30 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Znaleźć macierz górnotrójkątną , która na głównej przekątnej ma
S
jedynie elementy dodatnie oraz spełnia warunek
.
S
T
⋅ S =
9 3 6
3 5 4
6 4 6
2. Stosując pojęcie macierzy odwrotnej rozwiązać równanie macierzowe
.
Y ⋅
4 1 1
1 4 1
1 1 4
=
0 1 0
1 0 1
Odpowiedzi do zestawu
U
1.
; 2.
.
3 1 2
0 2 1
0 0 1
Y =
−
1
18
5
18
−
1
18
2
9
−
1
9
2
9
Algebra liniowa 1
Kolokwium MA, semestr zimowy 2009/2010
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolok-
wium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię
i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą
tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
V
1
2
Suma
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy na-
pisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 30 minut, za rozwią-
zanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy
dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje
twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto pro-
szę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz
ZADANIA
1. Znaleźć macierz górnotrójkątną
z samymi jedynkami na głównej
U
przekątnej oraz macierz dolnotrójkątną spełniające warunek
L
.
L ⋅ U =
3 12 −6
−
1 −3
4
2 11
4
2. Obliczyć (jak najkrócej) wyznacznik
.
4 1 1 1 1
1 4 1 1 1
1 1 4 1 1
1 1 1 4 1
1 1 1 1 4
Odpowiedzi do zestawu
V
1.
; 2.
.
L =
3 0 0
−
1 1 0
2 3 2
, U =
1 4 −2
0 1
2
0 0
1
648