Egzamin poprawkowy z matematyki

WILiŚ, Kierunek Inżynieria Środowiska, 2 sem., r. ak. 2004/2005

I. Część zadaniowa

1. Wyznaczyć ekstrema funkcji uwikłanej danej równaniem x

4

+ y

2

− 4xy = 0.

2. Wyznaczyć funkcję holomorficzną f (z) = u(x, y) + iv(x, y) wiedząc, że

u(x, y) = e

x

(x cos y − y sin y)

i

f (0) = 0.

3. Korzystając z twierdzenia Greena obliczyć

I

L

p

x

2

+ y

2

dx+(xy

2

+y ln(x+

p

x

2

+ y

2

) dy,

gdzie L jest dodatnio zorientowanym brzegiem figury D ograniczonej krzywymi y =

√

x

i y = x

2

.

4. Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradzkiego obliczyć całkę

Z

S

Z

yz dxdy + xz dydz + xy dxdz

gdzie S jest zewnętrzną stroną bryły ograniczonej powierzchnią walca o równaniu
x

2

+ y

2

= 1 i płaszczyznami x = 0, y = 0, z = 0 i z = 1, przy czym x ­ 0 i y ­ 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Zbadać zbieżność szeregów liczbowych oraz w punkcie b) określić rodzaj zbieżności

a)

∞

X

n=1

π

n

 2n − 1

2n



n

2

,

b)

∞

X

n=1

(−1)

n(n−1)

2

n

100

2

n

6. Wyznaczyć rozwiązanie równania różniczkowego y

0

+

2y

x =

2

√

y

cos

2

x

.

II. Cz¸

eść teoretyczna

T.1 Podać definicję pochodnej cząstkowej rzędu pierwszego funkcji dwóch zmiennych.

Sformułować twierdzenie Schwarza. Sprawdzić jego prawdziwość na dowolnym przykła-
dzie.

T.2 Podać definicję promienia i przedziału zbieżności szeregu potęgowego. Sformułować

dwa kryteria wyznaczania promienia zbieżności. Wyznaczyć przedział zbieżności dla
dowolnego szeregu potęgowego.

T.3 Podać definicję obszaru normalnego względem osi OX i osi OY . Sformułować twierdze-

nie o obliczaniu całki podwójnej po obszarze normalnym. Podać dwa przykłady zastoso-
wań geometrycznych całek podwójnych.