Klasa 3c
Liczby i ich zbiory – poziom rozszerzony
Powtórzenie 2009
1. Dane są przedziały:
(
)
; 5
A
= −∞
,
1; 6
B
= −
,
(
)
0;
C
=
+ ∞ . Wyznacz dopełnienie przedziału
(
)
\
A
B
C
∩
.
2. Na ponumerowanie stron książki zużyto 185 cyfr. Ile stron ma ta książka?
3. Oblicz wartość wyrażenia
2
10
25
1 5
x
x
U
x
−
+
=
− −
dla
8
7 3
x
=
+
. Wynik przedstaw w postaci
7
a
b
+
,
,
a b W
∈ .
4. Rozwiąż nierówność
2
6 5
1
x
x
x
x
−
− <
+ .
5. Porównaj liczby
3
10
7
8
a
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
i
2
4
3
5
1
2 4 32
16
b
−
−
⎛
⎞
=
⋅
⋅⎜ ⎟
⎝
⎠
.
6. Wyznacz wszystkie wartości liczby m, dla której część wspólna przedziałów
3
7;
A
m
= −
i
2
; 6
B
m
=
jest zbiorem jednoelementowym.
7. Suma pewnej liczby i jej odwrotności jest równa 7. Oblicz sumę sześcianu tej liczby i sześcianu jej
odwrotności.
8. Wykaż, że liczby a i b są równe, jeśli
3
90 2 116
a
=
−
,
3 2 2
b
=
− .
9. Rozwiąż równanie
3
6
5
2
5
1
3
6
2
x
x
x
x
+
−
−
− =
+
+
−
.
10. Sprawdź, że liczba
2
2 1
2 1
2
1
2
2 1
a
− −
+
=
−
−
+
jest wymierna.
11. Suma dwóch liczb naturalnych jest równa 96, a ich największy wspólny dzielnik jest równy 12. Wyznacz
te liczby.
12. Porównaj liczby
20
10
x
=
i
10
90
y
=
.
13. Rozwiąż równanie
3 5
2
x
− − = .
14. Sprowadź wyrażenie
( )
1
1
1
1
1
2
2
2
1 1
2
a
b
a
b
a b
W
ab
b
b
a
a
b
−
−
⎡
⎤
+
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎢
⎥
=
−
⋅
⋅
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎢
⎥
⎝ ⎠
⎝ ⎠
+
⎢
⎥
⎣
⎦
do najprostszej postaci i oblicz jego
wartość dla
3,
2
a
b
=
=
. Wynik przedstaw w postaci
6
x
y
+ , gdzie x i y są liczbami wymiernymi.
15. Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez 24.
16. Dane są przedziały
2
3
125
;
64
A
−
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
= −∞ ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎜
⎟
⎝
⎠
i
6
;
4
B
⎛
⎞
⎛ ⎞
= −∞
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠
. Wyznacz \
B A
.
17. Dane są zbiory
{
}
:
2
5
n
A
x x
n
n
+
=
=
∧ ∈
∧ ≤
N
,
{
}
:
4
7
B
x x
n
n
n
=
=
∧ ∈
∧ <
N
. Wymień elementy
tych zbiorów. Wyznacz \
A B
.
18. Wykaż, że liczba
6 4 2
3 2 2
a
=
−
+
−
jest liczbą naturalną.
