1
1 Struktury algebraiczne
1.1 Grupa
Definicja 1.1
Działaniem w zbiorze niepustym A nazywamy każde
odwzorowanie
f : A × A → A.
Definicja 1.2
Działanie ◦ określone w zbiorze A jest łączne, jeżeli
∀
a,b,c∈A
(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c).
Definicja 1.3
Działanie ◦ określone w zbiorze A jest przemienne,
jeżeli
∀
a,b∈A
a ◦ b = b ◦ a.
Definicja 1.4
Element e ∈ A nazywa się elementem neutralnym
działania ◦, jeżeli
∀
a∈A
a ◦ e = e ◦ a = a.
Twierdzenie 1.1
W zbiorze A, w którym określone jest działanie
◦, istnieje co najwyżej jeden element neutralny działania ◦.
Definicja 1.5
Niech działanie ◦ określone w zbiorze A posiada ele-
ment neutralny e. Element a
0
∈ A nazywamy elementem odwrotnym
do elementu a ∈ A, jeżeli
a ◦ a
0
= a
0
◦ a = e.
Definicja 1.6
Zbiór V , w którym określone jest działanie ◦, nazy-
wamy grupą, jeżeli spełnione są następujące warunki:
1. działanie ◦ jest łączne
2. istnieje element neutralny e ∈ V działania ◦
3. dla każdego a ∈ V istnieje element odwrotny
2
Definicja 1.7
Grupa, w której działanie jest przemienne, nazywa
się grupą abelową (przemienną).
Twierdzenie 1.2
W dowolnej grupie V dla każdego a ∈ V istnieje
dokładnie jeden element odwrotny.
1.2 Ciało
Definicja 1.8 Niech dany będzie zbiór A z dwoma działaniami ⊕, .
Mówimy, że działanie jest rozdzielne względem działania ⊕, jeżeli
∀
a,b,c∈A
a (b ⊕ c) = (a b) ⊕ (a c) ∨ (b ⊕ c) a = (b a) ⊕ (c a)
Definicja 1.9
Zbiór V , w którym określone są dwa działania ⊕, ,
nazywamy ciałem, jeżeli spełnione są następujące warunki:
1. V jest grupą abelową względem działania ⊕
2. V \{e
⊕
} jest grupą względem działania
3. działanie jest rozdzielne względem działania ⊕
Twierdzenie 1.3
Jeżeli (K, +, ·) jest ciałem, to
∀
a∈K
a · e
+
= e
+
· a = e
+
.
3
2 Ciało liczb zespolonych
Definicja 2.1
Rozważmy zbiór C = R × R. W zbiorze C określamy
dwa działania ⊕, , które będziemy nazywali dodawaniem i mnoże-
niem:
1. (a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d)
2. (a, b) (c, d) = (ac − bd, ad + bc),
gdzie działania po prawych stronach równości są zwykłymi działaniami
na liczbach rzeczywistych. Elementy zbioru C, w którym określone są
działania ⊕, , będziemy nazywali liczbami zespolonymi, a zbiór C
zbiorem liczb zespolonych.
Twierdzenie 2.1
Zbiór liczb zespolonych jest ciałem względem dzi-
ałań ⊕, .
Definicja 2.2
Niech z = a + bi będzie dowolną liczbą zespoloną.
Liczbę sprzężoną z liczbą z nazywamy liczbę zespoloną ¯
z = a − bi.
Twierdzenie 2.2
1. ¯
z = z
2. z
1
+ z
2
= z
1
+ z
2
3. z
1
− z
2
= z
1
− z
2
4. z
1
z
2
= z
1
· z
2
5.
z
1
z
2
=
z
1
z
2
(z
2
6= 0).
Definicja 2.3
Niech z = a + bi. Modułem liczby zespolonej z, który
oznaczamy przez |z|, nazywamy liczbę rzeczywistą
√
a
2
+ b
2
Twierdzenie 2.3 Niech z
1
= |z
1
|(cos ϕ
1
+i sin ϕ
1
) oraz z
2
= |z
2
|(cos ϕ
2
+
i sin ϕ
2
). Wówczas
4
1. z
1
z
2
= |z
1
||z
2
|(cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + i sin(ϕ
1
+ ϕ
2
)),
tzn. |z
1
z
2
| = |z
1
||z
2
| oraz arg(z
1
z
2
) = arg z
1
+ arg z
2
2.
z
1
z
2
=
|z
1
|
|z
2
|
(cos(ϕ
1
− ϕ
2
) + i sin(ϕ
1
− ϕ
2
)),
tzn.
z
1
z
2
=
|z
1
|
|z
2
|
oraz arg
z
1
z
2
= arg z
1
− arg z
2
.
Definicja 2.4
(wzór de Moivre’a)
[|z|(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= |z|
n
(cos nϕ + i sin nϕ)
Twierdzenie 2.4
Dla dowolnych liczb zespolonych z
1
i z
2
zachodzi
nierówność
|z
1
+ z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
|
Definicja 2.5
Niech n ∈ N . Pierwiastkiem stopnia n liczby ze-
spolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną w o tej własności, że
w
n
= z.
Twierdzenie 2.5 Każda różna od zera liczba zespolona z = |z|(cos ϕ+
i sin ϕ) ma dokładnie n pierwiastków stopnia n postaci:
p|z|(cos ϕ + i sin ϕ) =
n
p|z|(cos
ϕ + 2kπ
n
+ i sin
ϕ + 2kπ
n
),
gdzie k = 0, 1, . . . , n − 1.
Twierdzenie 2.6 Jeżeli w
k
, gdzie k = 0, 1, . . . , n − 1, są pierwiastka-
mi stopnia n z liczby z, to
w
k
= w
0
cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
5
3 Wielomiany
Definicja 3.1 Wielomianem rzeczywistym (zespolonym) stopnia n ∈
N ∪ {0} nazywamy funkcję W : R −→ R
(W : C −→ C) określoną wzorem
W (x) = a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ . . . + a
1
x + a
0
gdzie a
k
∈ R (a
k
∈ C) dla 0 ≤ k ≤ n oraz a
n
6= 0. Liczby a
k
nazywamy
współczynnikami wielomianu W .
Definicja 3.2 Mówimy, że wielomian S jest ilorazem, a wielomian R
resztą z dzielenia wielomiany P przez wielomian Q, jeżeli dla każdego
x ∈ R (x ∈ C) spełniony jest warunek
P (x) = Q(x)S(x) + R(x)
oraz stopień reszty R jest mniejszy od reszty dzielnika Q. Jeżeli R(x) ≡
0 to mówimy, że wielomian P jest podzielny przez wielomian Q.
Definicja 3.3
Liczbę rzeczywistą (zespoloną) x
0
nazywamy pier-
wiastkiem rzeczywistym (zespolonym) wielomianu W , jeżeli W (x
0
) =
0.
Twierdzenie 3.1 (B´
ezout) Liczba x
0
jest pierwiastkiem wielomianu
W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, że
W (x) = (x − x
0
)P (x)
Definicja 3.4
Liczba x
0
jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu
W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, że
W (x) = (x − x
0
)
k
P (x)
6
oraz P (x
0
) 6= 0
Twierdzenie 3.2
Niech
W (x) = a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ . . . + a
1
x + a
0
będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba
całkowita p 6= 0 będzie pierwiastkiem wielomianu. Wtedy p jest dziel-
nikiem wyrazu wolnego a
0
.
Twierdzenie 3.3
Niech
W (x) = a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ . . . + a
1
x + a
0
będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych stopnia n oraz
niech liczba wymierna
p
q
, gdzie p i q są liczbami całkowitymi względnie
pierwszymi, będzie pierwiastkiem wielomianu W . Wtedy p jest dziel-
nikiem współczynnika a
0
a q jest dzielnikiem współczynnika a
n
tego
wielomianu.
Twierdzenie 3.4
(zasadnicze twierdzenie algebry) Każdy wielomi-
an zespolony stopnia dodatniego ma co najmniej jeden pierwiastek
zespolony.
Twierdzenie 3.5
Każdy wielomian stopnia n ∈ N ma dokładnie n
pierwiastków zespolonych (uwzględniając pierwiastki wielokrotne).
Twierdzenie 3.6
Niech W będzie wielomianem o współczynnikach
rzeczywistych. Wówczas liczba zespolona z
0
jest k-krotnym pierwiastkiem
wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy liczba
z
0
jest pierwiastkiem
k-krotnym tego wielomianu.
Definicja 3.5 Funkcją wymierną rzeczywistą (zespoloną) nazywamy
iloraz dwóch wielomianów rzeczywistych (zespolonych).
7
Definicja 3.6
Funkcje wymierną nazywamy właściwą, jeżeli stopień
wielomianu w liczniku ułamka określającego tę funkcję jest mniejszy
od stopnia wielomianu w mianowniku.
Definicja 3.7
(ułamki proste)
1. Zespolonym ułamkiem prostym nazywamy zespolona funkcję
wymierną postaci
A
(z + a)
n
gdzie a, A ∈ C, n ∈ N
2. Rzeczywistym ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy
rzeczywistą funkcję wymierną postaci
A
(x + a)
n
gdzie a, A ∈ R, n ∈ N
3. Rzeczywistym ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy
rzeczywistą funkcję wymierną postaci
Ax + B
(x
2
+ px + q)
n
gdzie p, q, A, B ∈ R, n ∈ N przy czym
∆ = p
2
− 4q < 0.
Twierdzenie 3.7
Każda funkcja wymierna właściwa rzeczywista
(zespolona) jest sumą rzeczywistych (zespolonych) ułamków prostych.
Przedstawienie to jest jednoznaczne.
1. zespolona funkcja wymierna właściwa
P (z)
a
n
(z − z
1
)
k
1
(z − z
2
)
k
2
. . . (z − z
m
)
k
m
jest sumą k
1
+ k
2
+ . . . + k
m
zespolonych ułamków prostych,
przy czym czynnikowi (z − z
i
)
k
i
odpowiada suma k
i
ułamków
prostych postaci:
8
A
1
z − z
i
+
A
2
(z − z
i
)
2
+ . . . +
A
k
i
(z − z
i
)
k
i
,
gdzie A
1
, A
2
, . . . , A
k
i
∈ C dla 1 ≤ i ≤ m.
2. rzeczywista funkcja wymierna właściwa
P (x)
a
n
(x − x
1
)
k
1
. . . (x − x
r
)
k
r
(x
2
+ p
1
x + q
1
)
l
1
. . . (x
2
+ p
s
x + q
s
)
l
s
jest sumą k
1
+ k
2
+ . . . + k
r
rzeczywistych ułamków prostych I
rodzaju oraz l
1
+ l
2
+ . . . + l
s
rzeczywistych ułamków prostych
II rodzaju, przy czym
•
czynnikowi (x − x
i
)
k
i
odpowiada suma k
i
ułamków prostych
I rodzaju postaci:
A
1
x − x
i
+
A
2
(x − x
i
)
2
+ . . . +
A
k
i
(x − x
i
)
k
i
,
gdzie A
1
, A
2
, . . . , A
k
i
∈ R dla 1 ≤ i ≤ r.
•
czynnikowi (x
2
+ p
j
x + q
j
)
l
j
odpowiada suma l
j
ułamków
prostych II rodzaju postaci:
B
1
x + C
1
(x
2
+ p
j
x + q
j
)
+
B
2
x + C
2
(x
2
+ p
j
x + q
j
)
2
+ . . . +
B
l
j
x + C
l
j
(x
2
+ p
j
x + q
j
)
l
j
,
gdzie B
1
, B
2
, . . . , B
l
j
, C
1
, C
2
, . . . , C
l
j
∈ R
dla 1 ≤ i ≤ s.
9
4 Przestrzeń liniowa
4.1 Definicja i własności przestrzeni liniowej
Definicja 4.1 Działaniem zewnętrznym w zbiorze A nazywamy odw-
zorowanie f : F × A −→ A. Zbiór F nazywamy zbiorem operatorów.
Definicja 4.2 Przestrzenią liniową (wektorową) nad ciałem (K, +, ·)
nazywamy strukturę algebraiczną (V, K, ⊕, ) złożoną ze zbiorów V i
K, działania ⊕ : V × V −→ V i działania zewnętrznego : K × V −→
V , która spełnia warunki:
1. (V, ⊕) jest grupą abelową
2. ∀
x∈V
1 x = x (1 oznacza jedynkę ciała K)
3. ∀
α∈K
∀
x,y∈V
α (x ⊕ y) = α x ⊕ α y
4. ∀
α,β∈K
∀
x∈V
(α + β) x = α x ⊕ β x
5. ∀
α,β∈K
∀
x∈V
(α · β) x = α (β x)
Twierdzenie 4.1
Niech dana będzie przestrzeń liniowa (V, K, +, ·).
Wówczas
1. ∀
α∈K
∀
x∈V
αx = θ ⇔ α = 0 ∨ x = θ
2. ∀
α∈K
∀
x∈V
α(−x) = (−α)x = −αx
3. ∀
α∈K
∀
x,y∈V
α(x − y) = αx − αy
4. ∀
α,β∈K
∀
x∈V
(α − β)x = αx − βx
4.2 Podprzestrzeń przestrzeni wektorowej
Definicja 4.3
Zbiór W ⊂ V nazywamy podprzestrzenią liniową
przestrzeni V nad ciałem K, jeżeli spełnione są warunki:
1. ∀
x,y∈W
x + y ∈ W
2. ∀
α∈K
∀
x∈W
αx ∈ W
10
Twierdzenie 4.2
Niech U i W będą podprzestrzeniami przestrzeni
liniowej V nad ciałem K.
1. U ∩ W jest podprzestrzenią przestrzeni V
2. U ∪ W jest podprzestrzenią przestrzeni V ⇐⇒ U ⊂ W lub
W ⊂ U
4.3 Powłoka liniowa
Definicja 4.4
Niech (x
1
, x
2
, . . . , x
k
) będzie skończonym układem
wektorów przestrzeni liniowej (V, K, +, ·). Wektor
x = α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ . . . + α
k
x
k
,
gdzie (α
1
, α
2
, . . . , α
k
) jest układem skalarów ciała K, nazywamy kombi-
nacja liniową wektorów x
1
, x
2
, . . . , x
k
. Skalary α
1
, α
2
, . . . , α
k
nazywamy
współczynnikami kombinacji liniowej. O wektorze x mówimy też, że
wyraża się on liniowo przez wektory x
1
, x
2
, . . . , x
k
.
Definicja 4.5
Niech V będzie przestrzenią liniowa nad ciałem K i
niech x
1
, x
2
, . . . , x
k
∈ V . Zbiór wszystkich kombinacji liniowych wek-
torów x
1
, x
2
, . . . , x
k
nazywamy powłoką liniową rozpiętą na wektorach
x
1
, x
2
, . . . , x
k
lub powłoką na zbiorze {x
1
, x
2
, . . . , x
k
} i oznaczmy przez
Lin{x
1
, x
2
, . . . , x
k
}
Definicja 4.6
Jeżeli B = LinA, to mówimy, że zbiór B jest gen-
erowany przez zbiór A. Elementy zbioru A nazywamy wtedy genera-
torami zbioru B.
Twierdzenie 4.3
Niech A, B ⊂ V , gdzie V jest przestrzenią liniowa
nad ciałem K.
11
1. A ⊂ B =⇒ LinA ⊂ LinB
2. zbiór LinA jest podprzestrzenią liniową przestrzeni V i jest to
najmniejsza podprzestrzeń liniowa zawierająca zbiór A
4.4 Liniowa zależność i niezależność wektorów
Definicja 4.7 Układ wektorów (x
1
, x
2
, . . . , x
k
) przestrzeni (V, K, +, ·)
nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli dla dowolnego układu skalarów
(α
1
, α
2
, . . . , α
k
) spełniony jest warunek:
k
X
i=1
α
i
x
i
= θ =⇒ ∀
1≤i≤k
α
i
= 0
Definicja 4.8 Układ wektorów (x
1
, x
2
, . . . , x
k
) przestrzeni (V, K, +, ·)
nazywamy liniowo zależnym, jeżeli nie jest liniowo niezależny, tzn. jeżeli
istnieje nietrywialna kombinacja liniowa wektorów tego układu równa
θ.
Twierdzenie 4.4 Układ wektorów (x
1
, x
2
, . . . , x
k
) przestrzeni (V, K, +, ·),
gdzie k > 1, jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnego
r = 1, 2, . . . , k wektor x
r
jest kombinacją liniową pozostałych wektorów
tego układu.
Twierdzenie 4.5
Układ (x), składający się z jednego wektora, jest
liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy x = θ.
Twierdzenie 4.6
Układ wektorów (x
1
, x
2
, . . . , x
k
), zawierający po-
dukład liniowo zależny jest liniowo zależny.
Wniosek 4.1
Układ wektorów zawierający wektor zerowy jest lin-
iowo zależny.
12
Twierdzenie 4.7
(Steinitza) Niech x
1
, x
2
, . . . , x
k
∈ V , gdzie V jest
przestrzenią liniową. Jeżeli wektory
y
1
, y
2
, . . . , y
n
∈ Lin{x
1
, x
2
, . . . , x
k
}
są liniowo niezależne, to n ≤ k.
Definicja 4.9
Nieskończony układ wektorów przestrzeni liniowej
jest liniowo zależny, jeżeli każdy jego skończony podzbiór jest liniowo
niezależny. W przeciwnym wypadku nazywamy go liniowo zależnym.
4.5 Baza i wymiar przestrzeni wektorowej
Definicja 4.10 Bazą przestrzeni liniowej (V, K, +, ·) nazywamy zbiór
B liniowo niezależnych wektorów taki, że LinB = V .
Twierdzenie 4.8
Jeżeli przestrzeń liniowa (V, K, +, ·) ma bazę n-
elementową, to każda baza tej przestrzeni składa się z n elementów.
Definicja 4.11
Jeżeli przestrzeń liniowa V ma bazę skończoną, to
liczbę elementów tej bazy nazywamy wymiarem przestrzeni V i oz-
naczamy przez dimV .
Definicja 4.12 Przestrzeń liniowa nie mająca skończonej bazy nazy-
wa się przestrzenią nieskończenie wymiarową. Piszemy wówczas dimV =
∞.
4.6 Współrzędne wektora w bazie
Twierdzenie 4.9 Niech B = {x
1
, x
2
, . . . , x
n
} będzie bazą przestrzeni
liniowej V nad ciałem K oraz niech y będzie dowolnym wektorem tej
przestrzeni. Wtedy przedstawienie wektora y w postaci kombinacji lin-
iowej wektorów z bazy B jest jednoznaczne, tzn. istnieją jednoznacznie
określone skalary α
i
∈ K, gdzie 1 ≤ i ≤ n, takie, że
13
y = α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ . . . + α
n
x
n
Definicja 4.13
Niech B = {x
1
, x
2
, . . . , x
n
} będzie bazą przestrzeni
liniowej V nad ciałem K. Współrzędnymi wektora y ∈ V w bazie B
nazywamy współczynniki α
i
∈ K, gdzie 1 ≤ i ≤ n, kombinacji liniowej
przedstawiającej ten wektor w tej bazie:
y = α
1
x
1
+ α
2
x
2
+ . . . + α
n
x
n
Współrzędne wektora y w ustalonej bazie zapisujemy w postaci:
[α
1
, α
2
, . . . , α
n
]