Wykład 20
Witold Obłoza
24 lutego 2011
Wykład 20
Witold Obłoza
24 lutego 2011
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 279
Iloczynem skalarnym wektorów
−
−
→
AB oraz
−→
AC nazywamy
liczb
,
e zero jeśli jeden z wektorów jest wektorem zerowym
liczb
,
e |AB| · |AC|cos α, gdzie α jest k
,
atem między
−
−
→
AB oraz
−→
AC.
DEFINICJA 280
Iloczynem wektorowym wektorów
−
−
→
AB oraz
−→
AC nazywamy
wektor zerowy jeśli A, B, C s
,
a współlinowe
w przeciwnym wypadku wektor
−
−
→
AD o długości |AB| · |AC|sin α, gdzie α
jest k
,
atem mi
,
edzy
−
−
→
AB oraz
−→
AC prostopadły do
−
−
→
AB i do
−→
AC taki, że
wektory
−
−
→
AB,
−→
AC,
−
−
→
AD tworzą trójkę dodatnio zorientowaną.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 279
Iloczynem skalarnym wektorów
−
−
→
AB oraz
−→
AC nazywamy
liczb
,
e zero jeśli jeden z wektorów jest wektorem zerowym
liczb
,
e |AB| · |AC|cos α, gdzie α jest k
,
atem między
−
−
→
AB oraz
−→
AC.
DEFINICJA 280
Iloczynem wektorowym wektorów
−
−
→
AB oraz
−→
AC nazywamy
wektor zerowy jeśli A, B, C s
,
a współlinowe
w przeciwnym wypadku wektor
−
−
→
AD o długości |AB| · |AC|sin α, gdzie α
jest k
,
atem mi
,
edzy
−
−
→
AB oraz
−→
AC prostopadły do
−
−
→
AB i do
−→
AC taki, że
wektory
−
−
→
AB,
−→
AC,
−
−
→
AD tworzą trójkę dodatnio zorientowaną.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 279
Iloczynem skalarnym wektorów
−
−
→
AB oraz
−→
AC nazywamy
liczb
,
e zero jeśli jeden z wektorów jest wektorem zerowym
liczb
,
e |AB| · |AC|cos α, gdzie α jest k
,
atem między
−
−
→
AB oraz
−→
AC.
DEFINICJA 280
Iloczynem wektorowym wektorów
−
−
→
AB oraz
−→
AC nazywamy
wektor zerowy jeśli A, B, C s
,
a współlinowe
w przeciwnym wypadku wektor
−
−
→
AD o długości |AB| · |AC|sin α, gdzie α
jest k
,
atem mi
,
edzy
−
−
→
AB oraz
−→
AC prostopadły do
−
−
→
AB i do
−→
AC taki, że
wektory
−
−
→
AB,
−→
AC,
−
−
→
AD tworzą trójkę dodatnio zorientowaną.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 279
Iloczynem skalarnym wektorów
−
−
→
AB oraz
−→
AC nazywamy
liczb
,
e zero jeśli jeden z wektorów jest wektorem zerowym
liczb
,
e |AB| · |AC|cos α, gdzie α jest k
,
atem między
−
−
→
AB oraz
−→
AC.
DEFINICJA 280
Iloczynem wektorowym wektorów
−
−
→
AB oraz
−→
AC nazywamy
wektor zerowy jeśli A, B, C s
,
a współlinowe
w przeciwnym wypadku wektor
−
−
→
AD o długości |AB| · |AC|sin α, gdzie α
jest k
,
atem mi
,
edzy
−
−
→
AB oraz
−→
AC prostopadły do
−
−
→
AB i do
−→
AC taki, że
wektory
−
−
→
AB,
−→
AC,
−
−
→
AD tworzą trójkę dodatnio zorientowaną.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 281
Wersorem nazywamy wektor o długości 1.
DEFINICJA 282
Osi
,
a liczbow
,
a nazywamy prost
,
a z wyróżnionym punktem pocz
,
atkowym O
oraz wersorem
−→
OA wyznaczaj
,
acym zwrot osi.
DEFINICJA 283
Uporz
,
adkowan
,
a trójk
,
e wzajemnie prostopadłych osi o wspólnym
pocz
,
atku nazywamy kartezjańskim układem współrz
,
ednych.
Jeżeli trzeci wersor jest równy iloczynowi wektorowemu pierwszego i
drugiego to układ nazywamy zorientowanym dodatnio.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 281
Wersorem nazywamy wektor o długości 1.
DEFINICJA 282
Osi
,
a liczbow
,
a nazywamy prost
,
a z wyróżnionym punktem pocz
,
atkowym O
oraz wersorem
−→
OA wyznaczaj
,
acym zwrot osi.
DEFINICJA 283
Uporz
,
adkowan
,
a trójk
,
e wzajemnie prostopadłych osi o wspólnym
pocz
,
atku nazywamy kartezjańskim układem współrz
,
ednych.
Jeżeli trzeci wersor jest równy iloczynowi wektorowemu pierwszego i
drugiego to układ nazywamy zorientowanym dodatnio.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 281
Wersorem nazywamy wektor o długości 1.
DEFINICJA 282
Osi
,
a liczbow
,
a nazywamy prost
,
a z wyróżnionym punktem pocz
,
atkowym O
oraz wersorem
−→
OA wyznaczaj
,
acym zwrot osi.
DEFINICJA 283
Uporz
,
adkowan
,
a trójk
,
e wzajemnie prostopadłych osi o wspólnym
pocz
,
atku nazywamy kartezjańskim układem współrz
,
ednych.
Jeżeli trzeci wersor jest równy iloczynowi wektorowemu pierwszego i
drugiego to układ nazywamy zorientowanym dodatnio.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 281
Wersorem nazywamy wektor o długości 1.
DEFINICJA 282
Osi
,
a liczbow
,
a nazywamy prost
,
a z wyróżnionym punktem pocz
,
atkowym O
oraz wersorem
−→
OA wyznaczaj
,
acym zwrot osi.
DEFINICJA 283
Uporz
,
adkowan
,
a trójk
,
e wzajemnie prostopadłych osi o wspólnym
pocz
,
atku nazywamy kartezjańskim układem współrz
,
ednych.
Jeżeli trzeci wersor jest równy iloczynowi wektorowemu pierwszego i
drugiego to układ nazywamy zorientowanym dodatnio.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 284
Współrz
,
edn
,
a punktu A wzgl
,
edem osi o pocz
,
atku O i wersorze −
→
v
nazywamy iloczyn skalarny wektora
−→
OA i −
→
v wersora osi.
DEFINICJA 285
Współrz
,
ednymi wektora
−
−
→
AB, gdzie A(x
a
, y
a
, z
a
), B(x
b
, y
b
, z
b
)
nazywamy trójk
,
e liczb [x
b
− x
a
, y
b
− y
a
, z
b
− z
a
].
UWAGA 286
Współrz
,
edne sumy wektorów s
,
a równe sumie współrz
,
ednych wektorów
składowych.
Współrz
,
edne iloczynu wektora przez liczb
,
e s
,
a równe iloczynowi
współrz
,
ednych tego wektora przez t
,
e liczb
,
e.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 284
Współrz
,
edn
,
a punktu A wzgl
,
edem osi o pocz
,
atku O i wersorze −
→
v
nazywamy iloczyn skalarny wektora
−→
OA i −
→
v wersora osi.
DEFINICJA 285
Współrz
,
ednymi wektora
−
−
→
AB, gdzie A(x
a
, y
a
, z
a
), B(x
b
, y
b
, z
b
)
nazywamy trójk
,
e liczb [x
b
− x
a
, y
b
− y
a
, z
b
− z
a
].
UWAGA 286
Współrz
,
edne sumy wektorów s
,
a równe sumie współrz
,
ednych wektorów
składowych.
Współrz
,
edne iloczynu wektora przez liczb
,
e s
,
a równe iloczynowi
współrz
,
ednych tego wektora przez t
,
e liczb
,
e.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 284
Współrz
,
edn
,
a punktu A wzgl
,
edem osi o pocz
,
atku O i wersorze −
→
v
nazywamy iloczyn skalarny wektora
−→
OA i −
→
v wersora osi.
DEFINICJA 285
Współrz
,
ednymi wektora
−
−
→
AB, gdzie A(x
a
, y
a
, z
a
), B(x
b
, y
b
, z
b
)
nazywamy trójk
,
e liczb [x
b
− x
a
, y
b
− y
a
, z
b
− z
a
].
UWAGA 286
Współrz
,
edne sumy wektorów s
,
a równe sumie współrz
,
ednych wektorów
składowych.
Współrz
,
edne iloczynu wektora przez liczb
,
e s
,
a równe iloczynowi
współrz
,
ednych tego wektora przez t
,
e liczb
,
e.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 284
Współrz
,
edn
,
a punktu A wzgl
,
edem osi o pocz
,
atku O i wersorze −
→
v
nazywamy iloczyn skalarny wektora
−→
OA i −
→
v wersora osi.
DEFINICJA 285
Współrz
,
ednymi wektora
−
−
→
AB, gdzie A(x
a
, y
a
, z
a
), B(x
b
, y
b
, z
b
)
nazywamy trójk
,
e liczb [x
b
− x
a
, y
b
− y
a
, z
b
− z
a
].
UWAGA 286
Współrz
,
edne sumy wektorów s
,
a równe sumie współrz
,
ednych wektorów
składowych.
Współrz
,
edne iloczynu wektora przez liczb
,
e s
,
a równe iloczynowi
współrz
,
ednych tego wektora przez t
,
e liczb
,
e.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 287
Wektorem swobodnym mazywamy zbiór wektorów złożony z wektorów
zaczepionych których wszystkie trzy współrz
,
edne s
,
a równe.
Wektor
−
−
→
AB należ
,
acy do wektora swobodnego ¯
v nazywamy
reprezentantem wektora −
→
v .
Sum
,
a wektorów swobodnych ¯
v oraz ¯
u o reprezentantach
−
−
→
AB,
−
−
→
BC
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor
−→
AC.
Iloczynem wektora swobodnego ¯
v o reprezentancie
−
−
→
AB przez liczb
,
e λ
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor λ ·
−
−
→
AB.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 287
Wektorem swobodnym mazywamy zbiór wektorów złożony z wektorów
zaczepionych których wszystkie trzy współrz
,
edne s
,
a równe.
Wektor
−
−
→
AB należ
,
acy do wektora swobodnego ¯
v nazywamy
reprezentantem wektora −
→
v .
Sum
,
a wektorów swobodnych ¯
v oraz ¯
u o reprezentantach
−
−
→
AB,
−
−
→
BC
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor
−→
AC.
Iloczynem wektora swobodnego ¯
v o reprezentancie
−
−
→
AB przez liczb
,
e λ
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor λ ·
−
−
→
AB.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 287
Wektorem swobodnym mazywamy zbiór wektorów złożony z wektorów
zaczepionych których wszystkie trzy współrz
,
edne s
,
a równe.
Wektor
−
−
→
AB należ
,
acy do wektora swobodnego ¯
v nazywamy
reprezentantem wektora −
→
v .
Sum
,
a wektorów swobodnych ¯
v oraz ¯
u o reprezentantach
−
−
→
AB,
−
−
→
BC
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor
−→
AC.
Iloczynem wektora swobodnego ¯
v o reprezentancie
−
−
→
AB przez liczb
,
e λ
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor λ ·
−
−
→
AB.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 287
Wektorem swobodnym mazywamy zbiór wektorów złożony z wektorów
zaczepionych których wszystkie trzy współrz
,
edne s
,
a równe.
Wektor
−
−
→
AB należ
,
acy do wektora swobodnego ¯
v nazywamy
reprezentantem wektora −
→
v .
Sum
,
a wektorów swobodnych ¯
v oraz ¯
u o reprezentantach
−
−
→
AB,
−
−
→
BC
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor
−→
AC.
Iloczynem wektora swobodnego ¯
v o reprezentancie
−
−
→
AB przez liczb
,
e λ
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor λ ·
−
−
→
AB.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
DEFINICJA 287
Wektorem swobodnym mazywamy zbiór wektorów złożony z wektorów
zaczepionych których wszystkie trzy współrz
,
edne s
,
a równe.
Wektor
−
−
→
AB należ
,
acy do wektora swobodnego ¯
v nazywamy
reprezentantem wektora −
→
v .
Sum
,
a wektorów swobodnych ¯
v oraz ¯
u o reprezentantach
−
−
→
AB,
−
−
→
BC
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor
−→
AC.
Iloczynem wektora swobodnego ¯
v o reprezentancie
−
−
→
AB przez liczb
,
e λ
nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor λ ·
−
−
→
AB.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 288
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
] wartość iloczynu
skalarnego wyraża si
,
e wzorem ¯
v ◦ ¯
u = v
x
u
x
+ v
y
u
y
+ v
z
u
z
.
TWIERDZENIE 289
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
] wektor swobodny o
współrz
,
ednych [v
y
u
z
− v
z
u
y
, u
x
v
z
− v
x
u
z
, v
x
u
y
− v
y
u
x
] w dodatnio
zorientowanym układzie współrz
,
ednych jest iloczynem wektorowym ¯
u × ¯
v.
DEFINICJA 290
Iloczynem mieszanym trójki wektorów −
→
u , −
→
v , −
→
w nazywamy liczb
,
e
[−
→
u , −
→
v , −
→
w ] = −
→
u ◦ (−
→
v × −
→
w ).
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 288
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
] wartość iloczynu
skalarnego wyraża si
,
e wzorem ¯
v ◦ ¯
u = v
x
u
x
+ v
y
u
y
+ v
z
u
z
.
TWIERDZENIE 289
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
] wektor swobodny o
współrz
,
ednych [v
y
u
z
− v
z
u
y
, u
x
v
z
− v
x
u
z
, v
x
u
y
− v
y
u
x
] w dodatnio
zorientowanym układzie współrz
,
ednych jest iloczynem wektorowym ¯
u × ¯
v.
DEFINICJA 290
Iloczynem mieszanym trójki wektorów −
→
u , −
→
v , −
→
w nazywamy liczb
,
e
[−
→
u , −
→
v , −
→
w ] = −
→
u ◦ (−
→
v × −
→
w ).
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 288
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
] wartość iloczynu
skalarnego wyraża si
,
e wzorem ¯
v ◦ ¯
u = v
x
u
x
+ v
y
u
y
+ v
z
u
z
.
TWIERDZENIE 289
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
] wektor swobodny o
współrz
,
ednych [v
y
u
z
− v
z
u
y
, u
x
v
z
− v
x
u
z
, v
x
u
y
− v
y
u
x
] w dodatnio
zorientowanym układzie współrz
,
ednych jest iloczynem wektorowym ¯
u × ¯
v.
DEFINICJA 290
Iloczynem mieszanym trójki wektorów −
→
u , −
→
v , −
→
w nazywamy liczb
,
e
[−
→
u , −
→
v , −
→
w ] = −
→
u ◦ (−
→
v × −
→
w ).
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 291
Niech ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] wtedy
¯
u ◦ (¯
v × ¯
w) = det
u
x
u
y
u
z
v
x
v
y
v
z
w
x
w
y
w
z
.
TWIERDZENIE 292
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] i
dowolnej liczby rzeczywistej λ, µ zachodz
,
a wzory
dla iloczynu skalarnego
¯
u ◦ ¯
v = ¯
v ◦ ¯
u
¯
u ◦ (¯
v + ¯
w) = ¯
u ◦ ¯
v + ¯
u ◦ ¯
w
(λ¯
u) ◦ ¯
v = λ(¯
u ◦ ¯
v) = ¯
u ◦ (λ¯
v)
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 291
Niech ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] wtedy
¯
u ◦ (¯
v × ¯
w) = det
u
x
u
y
u
z
v
x
v
y
v
z
w
x
w
y
w
z
.
TWIERDZENIE 292
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] i
dowolnej liczby rzeczywistej λ, µ zachodz
,
a wzory
dla iloczynu skalarnego
¯
u ◦ ¯
v = ¯
v ◦ ¯
u
¯
u ◦ (¯
v + ¯
w) = ¯
u ◦ ¯
v + ¯
u ◦ ¯
w
(λ¯
u) ◦ ¯
v = λ(¯
u ◦ ¯
v) = ¯
u ◦ (λ¯
v)
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 291
Niech ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] wtedy
¯
u ◦ (¯
v × ¯
w) = det
u
x
u
y
u
z
v
x
v
y
v
z
w
x
w
y
w
z
.
TWIERDZENIE 292
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] i
dowolnej liczby rzeczywistej λ, µ zachodz
,
a wzory
dla iloczynu skalarnego
¯
u ◦ ¯
v = ¯
v ◦ ¯
u
¯
u ◦ (¯
v + ¯
w) = ¯
u ◦ ¯
v + ¯
u ◦ ¯
w
(λ¯
u) ◦ ¯
v = λ(¯
u ◦ ¯
v) = ¯
u ◦ (λ¯
v)
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 291
Niech ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] wtedy
¯
u ◦ (¯
v × ¯
w) = det
u
x
u
y
u
z
v
x
v
y
v
z
w
x
w
y
w
z
.
TWIERDZENIE 292
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] i
dowolnej liczby rzeczywistej λ, µ zachodz
,
a wzory
dla iloczynu skalarnego
¯
u ◦ ¯
v = ¯
v ◦ ¯
u
¯
u ◦ (¯
v + ¯
w) = ¯
u ◦ ¯
v + ¯
u ◦ ¯
w
(λ¯
u) ◦ ¯
v = λ(¯
u ◦ ¯
v) = ¯
u ◦ (λ¯
v)
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 291
Niech ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] wtedy
¯
u ◦ (¯
v × ¯
w) = det
u
x
u
y
u
z
v
x
v
y
v
z
w
x
w
y
w
z
.
TWIERDZENIE 292
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] i
dowolnej liczby rzeczywistej λ, µ zachodz
,
a wzory
dla iloczynu skalarnego
¯
u ◦ ¯
v = ¯
v ◦ ¯
u
¯
u ◦ (¯
v + ¯
w) = ¯
u ◦ ¯
v + ¯
u ◦ ¯
w
(λ¯
u) ◦ ¯
v = λ(¯
u ◦ ¯
v) = ¯
u ◦ (λ¯
v)
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 291
Niech ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] wtedy
¯
u ◦ (¯
v × ¯
w) = det
u
x
u
y
u
z
v
x
v
y
v
z
w
x
w
y
w
z
.
TWIERDZENIE 292
Dla dowolnych wektorów ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
], ¯
u[u
x
, u
y
, u
z
], ¯
w[w
x
, w
y
, w
z
] i
dowolnej liczby rzeczywistej λ, µ zachodz
,
a wzory
dla iloczynu skalarnego
¯
u ◦ ¯
v = ¯
v ◦ ¯
u
¯
u ◦ (¯
v + ¯
w) = ¯
u ◦ ¯
v + ¯
u ◦ ¯
w
(λ¯
u) ◦ ¯
v = λ(¯
u ◦ ¯
v) = ¯
u ◦ (λ¯
v)
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
dla iloczynu wektorowego
¯
u × ¯
v = −¯
v × ¯
u
¯
u × (¯
v + ¯
w) = ¯
u × ¯
v + ¯
u × ¯
w
(λ¯
u) × ¯
v = λ(¯
u × ¯
v) = ¯
u × (λ¯
v)
dla iloczynu mieszanego
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = [ ¯
w, ¯
u, ¯
v] = [¯
v, ¯
w, ¯
u]
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = −[¯
v, ¯
u, ¯
w]
UWAGA 293
Końce wektorów zaczepionych o pocz
,
atku w punkcie A prostopadłych do
ustalonego wektora
−
−
→
AB wypełniaj
,
a pewn
,
a płaszczyzn
,
e.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
dla iloczynu wektorowego
¯
u × ¯
v = −¯
v × ¯
u
¯
u × (¯
v + ¯
w) = ¯
u × ¯
v + ¯
u × ¯
w
(λ¯
u) × ¯
v = λ(¯
u × ¯
v) = ¯
u × (λ¯
v)
dla iloczynu mieszanego
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = [ ¯
w, ¯
u, ¯
v] = [¯
v, ¯
w, ¯
u]
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = −[¯
v, ¯
u, ¯
w]
UWAGA 293
Końce wektorów zaczepionych o pocz
,
atku w punkcie A prostopadłych do
ustalonego wektora
−
−
→
AB wypełniaj
,
a pewn
,
a płaszczyzn
,
e.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
dla iloczynu wektorowego
¯
u × ¯
v = −¯
v × ¯
u
¯
u × (¯
v + ¯
w) = ¯
u × ¯
v + ¯
u × ¯
w
(λ¯
u) × ¯
v = λ(¯
u × ¯
v) = ¯
u × (λ¯
v)
dla iloczynu mieszanego
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = [ ¯
w, ¯
u, ¯
v] = [¯
v, ¯
w, ¯
u]
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = −[¯
v, ¯
u, ¯
w]
UWAGA 293
Końce wektorów zaczepionych o pocz
,
atku w punkcie A prostopadłych do
ustalonego wektora
−
−
→
AB wypełniaj
,
a pewn
,
a płaszczyzn
,
e.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
dla iloczynu wektorowego
¯
u × ¯
v = −¯
v × ¯
u
¯
u × (¯
v + ¯
w) = ¯
u × ¯
v + ¯
u × ¯
w
(λ¯
u) × ¯
v = λ(¯
u × ¯
v) = ¯
u × (λ¯
v)
dla iloczynu mieszanego
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = [ ¯
w, ¯
u, ¯
v] = [¯
v, ¯
w, ¯
u]
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = −[¯
v, ¯
u, ¯
w]
UWAGA 293
Końce wektorów zaczepionych o pocz
,
atku w punkcie A prostopadłych do
ustalonego wektora
−
−
→
AB wypełniaj
,
a pewn
,
a płaszczyzn
,
e.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
dla iloczynu wektorowego
¯
u × ¯
v = −¯
v × ¯
u
¯
u × (¯
v + ¯
w) = ¯
u × ¯
v + ¯
u × ¯
w
(λ¯
u) × ¯
v = λ(¯
u × ¯
v) = ¯
u × (λ¯
v)
dla iloczynu mieszanego
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = [ ¯
w, ¯
u, ¯
v] = [¯
v, ¯
w, ¯
u]
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = −[¯
v, ¯
u, ¯
w]
UWAGA 293
Końce wektorów zaczepionych o pocz
,
atku w punkcie A prostopadłych do
ustalonego wektora
−
−
→
AB wypełniaj
,
a pewn
,
a płaszczyzn
,
e.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
dla iloczynu wektorowego
¯
u × ¯
v = −¯
v × ¯
u
¯
u × (¯
v + ¯
w) = ¯
u × ¯
v + ¯
u × ¯
w
(λ¯
u) × ¯
v = λ(¯
u × ¯
v) = ¯
u × (λ¯
v)
dla iloczynu mieszanego
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = [ ¯
w, ¯
u, ¯
v] = [¯
v, ¯
w, ¯
u]
[¯
u, ¯
v, ¯
w] = −[¯
v, ¯
u, ¯
w]
UWAGA 293
Końce wektorów zaczepionych o pocz
,
atku w punkcie A prostopadłych do
ustalonego wektora
−
−
→
AB wypełniaj
,
a pewn
,
a płaszczyzn
,
e.
RÓWNANIE PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 294
Niech A(x
a
, y
a
, z
a
) b
,
edzie ustalonym punktem a ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
] b
,
edzie
ustalonym wektorem wtedy punkty P płaszczyzny przechodz
,
acej przez
punkt A i prostopadłej do wektora ¯
v wyznaczone s
,
a przez równanie
AP ◦ ¯
v = 0
czyli jeśli P (x, y, z) to równanie v
x
(x − a
x
) + v
y
(y − a
y
) + v
z
(z − a
z
) = 0
wyznacza punkty tej płaszczyzny.
UWAGA 295
Równanie płaszczyzny możemy zapisać w postaci
Ax + By + Cz + D = 0. powyższ
,
a postać równania płaszczyzny
nazywamy ogólnym równaniem płaszczyzny. Wektor o współrz
,
ednych
[A, B, C] jest prostopadły do płaszczyzny.
RÓWNANIE PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 294
Niech A(x
a
, y
a
, z
a
) b
,
edzie ustalonym punktem a ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
] b
,
edzie
ustalonym wektorem wtedy punkty P płaszczyzny przechodz
,
acej przez
punkt A i prostopadłej do wektora ¯
v wyznaczone s
,
a przez równanie
AP ◦ ¯
v = 0
czyli jeśli P (x, y, z) to równanie v
x
(x − a
x
) + v
y
(y − a
y
) + v
z
(z − a
z
) = 0
wyznacza punkty tej płaszczyzny.
UWAGA 295
Równanie płaszczyzny możemy zapisać w postaci
Ax + By + Cz + D = 0. powyższ
,
a postać równania płaszczyzny
nazywamy ogólnym równaniem płaszczyzny. Wektor o współrz
,
ednych
[A, B, C] jest prostopadły do płaszczyzny.
RÓWNANIE PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 294
Niech A(x
a
, y
a
, z
a
) b
,
edzie ustalonym punktem a ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
] b
,
edzie
ustalonym wektorem wtedy punkty P płaszczyzny przechodz
,
acej przez
punkt A i prostopadłej do wektora ¯
v wyznaczone s
,
a przez równanie
AP ◦ ¯
v = 0
czyli jeśli P (x, y, z) to równanie v
x
(x − a
x
) + v
y
(y − a
y
) + v
z
(z − a
z
) = 0
wyznacza punkty tej płaszczyzny.
UWAGA 295
Równanie płaszczyzny możemy zapisać w postaci
Ax + By + Cz + D = 0. powyższ
,
a postać równania płaszczyzny
nazywamy ogólnym równaniem płaszczyzny. Wektor o współrz
,
ednych
[A, B, C] jest prostopadły do płaszczyzny.
RÓWNANIE PŁASZCZYZNY
UWAGA 296
Końce wektorów zaczepionych o pocz
,
atku w punkcie A b
,
ed
,
acych
kombinacjami liniowymi pary liniowo niezależnych wektorów
−
−
→
AB,
−→
AC
wypełniaj
,
a pewn
,
a płaszczyzn
,
e.
UWAGA 297
Niech A(x
a
, y
a
, z
a
) b
,
edzie ustalonym punktem a ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
],
¯
u[u
x
, u
y
, u
z
] b
,
ed
,
a ustalonymi wektorami wtedy punkty P płaszczyzny
przechodz
,
acej przez punkt A i równoległej do wektorów ¯
v, ¯
u wyznaczone
s
,
a przez równanie AP = t¯
v + s¯
u,
t, s ∈ R czyli jeśli P (x, y, z) to
równanie parametryczne
x = x
a
+ tv
x
+ su
x
y = y
a
+ tv
y
+ su
y
z = z
a
+ tv
z
+ su
z
wyznacza punkty tej
płaszczyzny.
RÓWNANIE PŁASZCZYZNY
UWAGA 296
Końce wektorów zaczepionych o pocz
,
atku w punkcie A b
,
ed
,
acych
kombinacjami liniowymi pary liniowo niezależnych wektorów
−
−
→
AB,
−→
AC
wypełniaj
,
a pewn
,
a płaszczyzn
,
e.
UWAGA 297
Niech A(x
a
, y
a
, z
a
) b
,
edzie ustalonym punktem a ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
],
¯
u[u
x
, u
y
, u
z
] b
,
ed
,
a ustalonymi wektorami wtedy punkty P płaszczyzny
przechodz
,
acej przez punkt A i równoległej do wektorów ¯
v, ¯
u wyznaczone
s
,
a przez równanie AP = t¯
v + s¯
u,
t, s ∈ R czyli jeśli P (x, y, z) to
równanie parametryczne
x = x
a
+ tv
x
+ su
x
y = y
a
+ tv
y
+ su
y
z = z
a
+ tv
z
+ su
z
wyznacza punkty tej
płaszczyzny.
RÓWNANIE PŁASZCZYZNY
UWAGA 296
Końce wektorów zaczepionych o pocz
,
atku w punkcie A b
,
ed
,
acych
kombinacjami liniowymi pary liniowo niezależnych wektorów
−
−
→
AB,
−→
AC
wypełniaj
,
a pewn
,
a płaszczyzn
,
e.
UWAGA 297
Niech A(x
a
, y
a
, z
a
) b
,
edzie ustalonym punktem a ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
],
¯
u[u
x
, u
y
, u
z
] b
,
ed
,
a ustalonymi wektorami wtedy punkty P płaszczyzny
przechodz
,
acej przez punkt A i równoległej do wektorów ¯
v, ¯
u wyznaczone
s
,
a przez równanie AP = t¯
v + s¯
u,
t, s ∈ R czyli jeśli P (x, y, z) to
równanie parametryczne
x = x
a
+ tv
x
+ su
x
y = y
a
+ tv
y
+ su
y
z = z
a
+ tv
z
+ su
z
wyznacza punkty tej
płaszczyzny.
RÓWNANIE PŁASZCZYZNY
DEFINICJA 298
Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi jeżeli s
,
a równe lub nie maj
,
a
punktów wspólnych.
UWAGA 299
Jeżeli płaszczyzny nie s
,
a równoległe to przecinaj
,
a si
,
e wzdłuż pewnej
prostej.
DEFINICJA 300
Równaniem prostej w postaci kraw
,
edziowej nazywamy układ równań
(
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
,
jeżeli [A
1
, B
1
, C
1
] × [A
2
, B
2
, C
2
] 6= O.
Wektory o współrz
,
ednych [A
1
, B
1
, C
1
], [A
2
, B
2
, C
2
] s
,
a prostopadłe do
prostej.
RÓWNANIE PŁASZCZYZNY
DEFINICJA 298
Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi jeżeli s
,
a równe lub nie maj
,
a
punktów wspólnych.
UWAGA 299
Jeżeli płaszczyzny nie s
,
a równoległe to przecinaj
,
a si
,
e wzdłuż pewnej
prostej.
DEFINICJA 300
Równaniem prostej w postaci kraw
,
edziowej nazywamy układ równań
(
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
,
jeżeli [A
1
, B
1
, C
1
] × [A
2
, B
2
, C
2
] 6= O.
Wektory o współrz
,
ednych [A
1
, B
1
, C
1
], [A
2
, B
2
, C
2
] s
,
a prostopadłe do
prostej.
RÓWNANIE PŁASZCZYZNY
DEFINICJA 298
Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi jeżeli s
,
a równe lub nie maj
,
a
punktów wspólnych.
UWAGA 299
Jeżeli płaszczyzny nie s
,
a równoległe to przecinaj
,
a si
,
e wzdłuż pewnej
prostej.
DEFINICJA 300
Równaniem prostej w postaci kraw
,
edziowej nazywamy układ równań
(
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
,
jeżeli [A
1
, B
1
, C
1
] × [A
2
, B
2
, C
2
] 6= O.
Wektory o współrz
,
ednych [A
1
, B
1
, C
1
], [A
2
, B
2
, C
2
] s
,
a prostopadłe do
prostej.
RÓWNANIE PŁASZCZYZNY
DEFINICJA 298
Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi jeżeli s
,
a równe lub nie maj
,
a
punktów wspólnych.
UWAGA 299
Jeżeli płaszczyzny nie s
,
a równoległe to przecinaj
,
a si
,
e wzdłuż pewnej
prostej.
DEFINICJA 300
Równaniem prostej w postaci kraw
,
edziowej nazywamy układ równań
(
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
,
jeżeli [A
1
, B
1
, C
1
] × [A
2
, B
2
, C
2
] 6= O.
Wektory o współrz
,
ednych [A
1
, B
1
, C
1
], [A
2
, B
2
, C
2
] s
,
a prostopadłe do
prostej.
RÓWNANIE PŁASZCZYZNY
DEFINICJA 298
Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi jeżeli s
,
a równe lub nie maj
,
a
punktów wspólnych.
UWAGA 299
Jeżeli płaszczyzny nie s
,
a równoległe to przecinaj
,
a si
,
e wzdłuż pewnej
prostej.
DEFINICJA 300
Równaniem prostej w postaci kraw
,
edziowej nazywamy układ równań
(
A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
,
jeżeli [A
1
, B
1
, C
1
] × [A
2
, B
2
, C
2
] 6= O.
Wektory o współrz
,
ednych [A
1
, B
1
, C
1
], [A
2
, B
2
, C
2
] s
,
a prostopadłe do
prostej.
RÓWNANIE PROSTEJ
UWAGA 301
Wektor i punkt wyznaczaj
,
a prost
,
a.
TWIERDZENIE 302
Niech A(x
A
, y
A
, z
A
) b
,
edzie ustalonym punktem a ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
] b
,
edzie
ustalonym wektorem wtedy punkty prostej przechodz
,
acej przez punkt A i
równoległej do wektora ¯
v wyznaczone s
,
a przez równanie AP = t¯
v = 0,
gdzie t ∈ R czyli jeśli P (x, y, z) to równania
x = x
A
+ tv
x
y = y
A
+ tv
y
z = z
A
+ tv
z
wyznaczaj
,
a punkty tej prostej.
UWAGA 303
Prost
,
a nazywamy równoległ
,
a do płaszczyzny jeżeli zawiera si
,
e w niej lub
nie maj
,
a punktów wspólnych.
RÓWNANIE PROSTEJ
UWAGA 301
Wektor i punkt wyznaczaj
,
a prost
,
a.
TWIERDZENIE 302
Niech A(x
A
, y
A
, z
A
) b
,
edzie ustalonym punktem a ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
] b
,
edzie
ustalonym wektorem wtedy punkty prostej przechodz
,
acej przez punkt A i
równoległej do wektora ¯
v wyznaczone s
,
a przez równanie AP = t¯
v = 0,
gdzie t ∈ R czyli jeśli P (x, y, z) to równania
x = x
A
+ tv
x
y = y
A
+ tv
y
z = z
A
+ tv
z
wyznaczaj
,
a punkty tej prostej.
UWAGA 303
Prost
,
a nazywamy równoległ
,
a do płaszczyzny jeżeli zawiera si
,
e w niej lub
nie maj
,
a punktów wspólnych.
RÓWNANIE PROSTEJ
UWAGA 301
Wektor i punkt wyznaczaj
,
a prost
,
a.
TWIERDZENIE 302
Niech A(x
A
, y
A
, z
A
) b
,
edzie ustalonym punktem a ¯
v[v
x
, v
y
, v
z
] b
,
edzie
ustalonym wektorem wtedy punkty prostej przechodz
,
acej przez punkt A i
równoległej do wektora ¯
v wyznaczone s
,
a przez równanie AP = t¯
v = 0,
gdzie t ∈ R czyli jeśli P (x, y, z) to równania
x = x
A
+ tv
x
y = y
A
+ tv
y
z = z
A
+ tv
z
wyznaczaj
,
a punkty tej prostej.
UWAGA 303
Prost
,
a nazywamy równoległ
,
a do płaszczyzny jeżeli zawiera si
,
e w niej lub
nie maj
,
a punktów wspólnych.
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane b
,
ed
,
a prosta i płaszczyzna równaniami
k :
x = a + ut
y = b + vt
z = c + wt
π : Ax + By + Cz + D = 0
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż
,
a w jednej płaszczyźnie i
pokrywaj
,
a si
,
e b
,
adź nie maj
,
a punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaj
,
a si
,
e wtw gdy maj
,
a dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane b
,
ed
,
a prosta i płaszczyzna równaniami
k :
x = a + ut
y = b + vt
z = c + wt
π : Ax + By + Cz + D = 0
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż
,
a w jednej płaszczyźnie i
pokrywaj
,
a si
,
e b
,
adź nie maj
,
a punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaj
,
a si
,
e wtw gdy maj
,
a dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane b
,
ed
,
a prosta i płaszczyzna równaniami
k :
x = a + ut
y = b + vt
z = c + wt
π : Ax + By + Cz + D = 0
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż
,
a w jednej płaszczyźnie i
pokrywaj
,
a si
,
e b
,
adź nie maj
,
a punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaj
,
a si
,
e wtw gdy maj
,
a dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTE I PŁASZCZYZNY
TWIERDZENIE 304
Niech dane b
,
ed
,
a prosta i płaszczyzna równaniami
k :
x = a + ut
y = b + vt
z = c + wt
π : Ax + By + Cz + D = 0
wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.
Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.
DEFINICJA 305
Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż
,
a w jednej płaszczyźnie i
pokrywaj
,
a si
,
e b
,
adź nie maj
,
a punktów wspólnych
Mówimy, że dwie proste przecinaj
,
a si
,
e wtw gdy maj
,
a dokładnie jeden
punkt wspólny.
PROSTA I PŁASZCZYZNA
UWAGA 306
Dwie proste
k :
x = a
1
+ u
1
t
y = b
1
+ v
1
t
z = c
1
+ w
1
t
l :
x = a
2
+ u
2
t
y = b
2
+ v
2
t
z = c
2
+ w
2
t
s
,
a równoległe jeżeli wektory [u
1
, v
1
, w
1
] oraz [u
2
, v
2
, w
2
] s
,
a równoległe.
DEFINICJA 307
Mówimy, że dwie proste s
,
a skośne wtw gdy nie maj
,
a punktów wspólnych
i nie leż
,
a w jednej płaszczyźnie.
PROSTA I PŁASZCZYZNA
UWAGA 306
Dwie proste
k :
x = a
1
+ u
1
t
y = b
1
+ v
1
t
z = c
1
+ w
1
t
l :
x = a
2
+ u
2
t
y = b
2
+ v
2
t
z = c
2
+ w
2
t
s
,
a równoległe jeżeli wektory [u
1
, v
1
, w
1
] oraz [u
2
, v
2
, w
2
] s
,
a równoległe.
DEFINICJA 307
Mówimy, że dwie proste s
,
a skośne wtw gdy nie maj
,
a punktów wspólnych
i nie leż
,
a w jednej płaszczyźnie.
ODLEGŁOŚCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x
0
, y
0
, z
0
) od płaszczyzny
π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si
,
e wzorem
d(P, π) =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P
0
(x
0
, y
0
, z
0
) od prostej l przechodz
,
acej przez punkt P
i równoległej do wektora −
→
v wyraża si
,
e wzorem d(P, l) =
|−
→
v ×
−−→
P P
0
|
|−
→
v |
.
UWAGA 310
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora −
→
n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i równoległa
do wektora −
→
n
l
. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj
,
acej prost
,
a l.
ODLEGŁOŚCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x
0
, y
0
, z
0
) od płaszczyzny
π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si
,
e wzorem
d(P, π) =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P
0
(x
0
, y
0
, z
0
) od prostej l przechodz
,
acej przez punkt P
i równoległej do wektora −
→
v wyraża si
,
e wzorem d(P, l) =
|−
→
v ×
−−→
P P
0
|
|−
→
v |
.
UWAGA 310
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora −
→
n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i równoległa
do wektora −
→
n
l
. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj
,
acej prost
,
a l.
ODLEGŁOŚCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x
0
, y
0
, z
0
) od płaszczyzny
π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si
,
e wzorem
d(P, π) =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P
0
(x
0
, y
0
, z
0
) od prostej l przechodz
,
acej przez punkt P
i równoległej do wektora −
→
v wyraża si
,
e wzorem d(P, l) =
|−
→
v ×
−−→
P P
0
|
|−
→
v |
.
UWAGA 310
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora −
→
n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i równoległa
do wektora −
→
n
l
. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj
,
acej prost
,
a l.
ODLEGŁOŚCI
TWIERDZENIE 308
Odległość punktu P (x
0
, y
0
, z
0
) od płaszczyzny
π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si
,
e wzorem
d(P, π) =
|Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ D|
√
A
2
+ B
2
+ C
2
.
TWIERDZENIE 309
Odległość punktu P
0
(x
0
, y
0
, z
0
) od prostej l przechodz
,
acej przez punkt P
i równoległej do wektora −
→
v wyraża si
,
e wzorem d(P, l) =
|−
→
v ×
−−→
P P
0
|
|−
→
v |
.
UWAGA 310
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora −
→
n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i równoległa
do wektora −
→
n
l
. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość
punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj
,
acej prost
,
a l.
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 311
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora −
→
n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i
równoległa do wektora −
→
n
l
. Odległość prostych k i l wyraża si
,
e wzorem
d(k, l) =
[−
→
n
k
, −
→
n
l
,
−
−
→
KL]
|−
→
n
k
× −
→
n
l
|
.
TWIERDZENIE 312
Jeżeli dwie proste
k :
x = a
1
+ u
1
t
y = b
1
+ v
1
t
z = c
1
+ w
1
t
l :
x = a
2
+ u
2
t
y = b
2
+ v
2
t
z = c
2
+ w
2
t
przecinają się to kąt α między
nimi spełnia równanie cos α =
|[u
1
, v
1
, w
1
] ◦ [u
2
, v
2
, w
2
]|
|[u
1
, v
1
, w
1
]||[u
2
, v
2
, w
2
]|
WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE
TWIERDZENIE 311
Niech b
,
ed
,
a dane proste skośne k przechodz
,
aca przez punkt K i
równoległa do wektora −
→
n
k
oraz l przechodz
,
aca przez punkt L i
równoległa do wektora −
→
n
l
. Odległość prostych k i l wyraża si
,
e wzorem
d(k, l) =
[−
→
n
k
, −
→
n
l
,
−
−
→
KL]
|−
→
n
k
× −
→
n
l
|
.
TWIERDZENIE 312
Jeżeli dwie proste
k :
x = a
1
+ u
1
t
y = b
1
+ v
1
t
z = c
1
+ w
1
t
l :
x = a
2
+ u
2
t
y = b
2
+ v
2
t
z = c
2
+ w
2
t
przecinają się to kąt α między
nimi spełnia równanie cos α =
|[u
1
, v
1
, w
1
] ◦ [u
2
, v
2
, w
2
]|
|[u
1
, v
1
, w
1
]||[u
2
, v
2
, w
2
]|
