2011 02 21 WIL Wyklad 20(1)

background image

Wykład 20

Witold Obłoza

24 lutego 2011

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

DEFINICJA 279

Iloczynem skalarnym wektorów

AB oraz

−→

AC nazywamy

liczb

,

e zero jeśli jeden z wektorów jest wektorem zerowym

liczb

,

e |AB| · |AC|cos α, gdzie α jest k

,

atem między

AB oraz

−→

AC.

DEFINICJA 280

Iloczynem wektorowym wektorów

AB oraz

−→

AC nazywamy

wektor zerowy jeśli A, B, C s

,

a współlinowe

w przeciwnym wypadku wektor

AD o długości |AB| · |AC|sin α, gdzie α

jest k

,

atem mi

,

edzy

AB oraz

−→

AC prostopadły do

AB i do

−→

AC taki, że

wektory

AB,

−→

AC,

AD tworzą trójkę dodatnio zorientowaną.

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

DEFINICJA 279

Iloczynem skalarnym wektorów

AB oraz

−→

AC nazywamy

liczb

,

e zero jeśli jeden z wektorów jest wektorem zerowym

liczb

,

e |AB| · |AC|cos α, gdzie α jest k

,

atem między

AB oraz

−→

AC.

DEFINICJA 280

Iloczynem wektorowym wektorów

AB oraz

−→

AC nazywamy

wektor zerowy jeśli A, B, C s

,

a współlinowe

w przeciwnym wypadku wektor

AD o długości |AB| · |AC|sin α, gdzie α

jest k

,

atem mi

,

edzy

AB oraz

−→

AC prostopadły do

AB i do

−→

AC taki, że

wektory

AB,

−→

AC,

AD tworzą trójkę dodatnio zorientowaną.

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

DEFINICJA 279

Iloczynem skalarnym wektorów

AB oraz

−→

AC nazywamy

liczb

,

e zero jeśli jeden z wektorów jest wektorem zerowym

liczb

,

e |AB| · |AC|cos α, gdzie α jest k

,

atem między

AB oraz

−→

AC.

DEFINICJA 280

Iloczynem wektorowym wektorów

AB oraz

−→

AC nazywamy

wektor zerowy jeśli A, B, C s

,

a współlinowe

w przeciwnym wypadku wektor

AD o długości |AB| · |AC|sin α, gdzie α

jest k

,

atem mi

,

edzy

AB oraz

−→

AC prostopadły do

AB i do

−→

AC taki, że

wektory

AB,

−→

AC,

AD tworzą trójkę dodatnio zorientowaną.

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

DEFINICJA 279

Iloczynem skalarnym wektorów

AB oraz

−→

AC nazywamy

liczb

,

e zero jeśli jeden z wektorów jest wektorem zerowym

liczb

,

e |AB| · |AC|cos α, gdzie α jest k

,

atem między

AB oraz

−→

AC.

DEFINICJA 280

Iloczynem wektorowym wektorów

AB oraz

−→

AC nazywamy

wektor zerowy jeśli A, B, C s

,

a współlinowe

w przeciwnym wypadku wektor

AD o długości |AB| · |AC|sin α, gdzie α

jest k

,

atem mi

,

edzy

AB oraz

−→

AC prostopadły do

AB i do

−→

AC taki, że

wektory

AB,

−→

AC,

AD tworzą trójkę dodatnio zorientowaną.

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

DEFINICJA 281

Wersorem nazywamy wektor o długości 1.

DEFINICJA 282

Osi

,

a liczbow

,

a nazywamy prost

,

a z wyróżnionym punktem pocz

,

atkowym O

oraz wersorem

−→

OA wyznaczaj

,

acym zwrot osi.

DEFINICJA 283

Uporz

,

adkowan

,

a trójk

,

e wzajemnie prostopadłych osi o wspólnym

pocz

,

atku nazywamy kartezjańskim układem współrz

,

ednych.

Jeżeli trzeci wersor jest równy iloczynowi wektorowemu pierwszego i
drugiego to układ nazywamy zorientowanym dodatnio.

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

DEFINICJA 281

Wersorem nazywamy wektor o długości 1.

DEFINICJA 282

Osi

,

a liczbow

,

a nazywamy prost

,

a z wyróżnionym punktem pocz

,

atkowym O

oraz wersorem

−→

OA wyznaczaj

,

acym zwrot osi.

DEFINICJA 283

Uporz

,

adkowan

,

a trójk

,

e wzajemnie prostopadłych osi o wspólnym

pocz

,

atku nazywamy kartezjańskim układem współrz

,

ednych.

Jeżeli trzeci wersor jest równy iloczynowi wektorowemu pierwszego i
drugiego to układ nazywamy zorientowanym dodatnio.

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

DEFINICJA 281

Wersorem nazywamy wektor o długości 1.

DEFINICJA 282

Osi

,

a liczbow

,

a nazywamy prost

,

a z wyróżnionym punktem pocz

,

atkowym O

oraz wersorem

−→

OA wyznaczaj

,

acym zwrot osi.

DEFINICJA 283

Uporz

,

adkowan

,

a trójk

,

e wzajemnie prostopadłych osi o wspólnym

pocz

,

atku nazywamy kartezjańskim układem współrz

,

ednych.

Jeżeli trzeci wersor jest równy iloczynowi wektorowemu pierwszego i
drugiego to układ nazywamy zorientowanym dodatnio.

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

DEFINICJA 281

Wersorem nazywamy wektor o długości 1.

DEFINICJA 282

Osi

,

a liczbow

,

a nazywamy prost

,

a z wyróżnionym punktem pocz

,

atkowym O

oraz wersorem

−→

OA wyznaczaj

,

acym zwrot osi.

DEFINICJA 283

Uporz

,

adkowan

,

a trójk

,

e wzajemnie prostopadłych osi o wspólnym

pocz

,

atku nazywamy kartezjańskim układem współrz

,

ednych.

Jeżeli trzeci wersor jest równy iloczynowi wektorowemu pierwszego i
drugiego to układ nazywamy zorientowanym dodatnio.

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

DEFINICJA 284

Współrz

,

edn

,

a punktu A wzgl

,

edem osi o pocz

,

atku O i wersorze −

v

nazywamy iloczyn skalarny wektora

−→

OA i −

v wersora osi.

DEFINICJA 285

Współrz

,

ednymi wektora

AB, gdzie A(x

a

, y

a

, z

a

), B(x

b

, y

b

, z

b

)

nazywamy trójk

,

e liczb [x

b

− x

a

, y

b

− y

a

, z

b

− z

a

].

UWAGA 286

Współrz

,

edne sumy wektorów s

,

a równe sumie współrz

,

ednych wektorów

składowych.
Współrz

,

edne iloczynu wektora przez liczb

,

e s

,

a równe iloczynowi

współrz

,

ednych tego wektora przez t

,

e liczb

,

e.

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

DEFINICJA 284

Współrz

,

edn

,

a punktu A wzgl

,

edem osi o pocz

,

atku O i wersorze −

v

nazywamy iloczyn skalarny wektora

−→

OA i −

v wersora osi.

DEFINICJA 285

Współrz

,

ednymi wektora

AB, gdzie A(x

a

, y

a

, z

a

), B(x

b

, y

b

, z

b

)

nazywamy trójk

,

e liczb [x

b

− x

a

, y

b

− y

a

, z

b

− z

a

].

UWAGA 286

Współrz

,

edne sumy wektorów s

,

a równe sumie współrz

,

ednych wektorów

składowych.
Współrz

,

edne iloczynu wektora przez liczb

,

e s

,

a równe iloczynowi

współrz

,

ednych tego wektora przez t

,

e liczb

,

e.

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

DEFINICJA 284

Współrz

,

edn

,

a punktu A wzgl

,

edem osi o pocz

,

atku O i wersorze −

v

nazywamy iloczyn skalarny wektora

−→

OA i −

v wersora osi.

DEFINICJA 285

Współrz

,

ednymi wektora

AB, gdzie A(x

a

, y

a

, z

a

), B(x

b

, y

b

, z

b

)

nazywamy trójk

,

e liczb [x

b

− x

a

, y

b

− y

a

, z

b

− z

a

].

UWAGA 286

Współrz

,

edne sumy wektorów s

,

a równe sumie współrz

,

ednych wektorów

składowych.

Współrz

,

edne iloczynu wektora przez liczb

,

e s

,

a równe iloczynowi

współrz

,

ednych tego wektora przez t

,

e liczb

,

e.

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

DEFINICJA 284

Współrz

,

edn

,

a punktu A wzgl

,

edem osi o pocz

,

atku O i wersorze −

v

nazywamy iloczyn skalarny wektora

−→

OA i −

v wersora osi.

DEFINICJA 285

Współrz

,

ednymi wektora

AB, gdzie A(x

a

, y

a

, z

a

), B(x

b

, y

b

, z

b

)

nazywamy trójk

,

e liczb [x

b

− x

a

, y

b

− y

a

, z

b

− z

a

].

UWAGA 286

Współrz

,

edne sumy wektorów s

,

a równe sumie współrz

,

ednych wektorów

składowych.
Współrz

,

edne iloczynu wektora przez liczb

,

e s

,

a równe iloczynowi

współrz

,

ednych tego wektora przez t

,

e liczb

,

e.

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

DEFINICJA 287

Wektorem swobodnym mazywamy zbiór wektorów złożony z wektorów
zaczepionych których wszystkie trzy współrz

,

edne s

,

a równe.

Wektor

AB należ

,

acy do wektora swobodnego ¯

v nazywamy

reprezentantem wektora −

v .

Sum

,

a wektorów swobodnych ¯

v oraz ¯

u o reprezentantach

AB,

BC

nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor

−→

AC.

Iloczynem wektora swobodnego ¯

v o reprezentancie

AB przez liczb

,

e λ

nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor λ ·

AB.

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

DEFINICJA 287

Wektorem swobodnym mazywamy zbiór wektorów złożony z wektorów
zaczepionych których wszystkie trzy współrz

,

edne s

,

a równe.

Wektor

AB należ

,

acy do wektora swobodnego ¯

v nazywamy

reprezentantem wektora −

v .

Sum

,

a wektorów swobodnych ¯

v oraz ¯

u o reprezentantach

AB,

BC

nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor

−→

AC.

Iloczynem wektora swobodnego ¯

v o reprezentancie

AB przez liczb

,

e λ

nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor λ ·

AB.

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

DEFINICJA 287

Wektorem swobodnym mazywamy zbiór wektorów złożony z wektorów
zaczepionych których wszystkie trzy współrz

,

edne s

,

a równe.

Wektor

AB należ

,

acy do wektora swobodnego ¯

v nazywamy

reprezentantem wektora −

v .

Sum

,

a wektorów swobodnych ¯

v oraz ¯

u o reprezentantach

AB,

BC

nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor

−→

AC.

Iloczynem wektora swobodnego ¯

v o reprezentancie

AB przez liczb

,

e λ

nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor λ ·

AB.

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

DEFINICJA 287

Wektorem swobodnym mazywamy zbiór wektorów złożony z wektorów
zaczepionych których wszystkie trzy współrz

,

edne s

,

a równe.

Wektor

AB należ

,

acy do wektora swobodnego ¯

v nazywamy

reprezentantem wektora −

v .

Sum

,

a wektorów swobodnych ¯

v oraz ¯

u o reprezentantach

AB,

BC

nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor

−→

AC.

Iloczynem wektora swobodnego ¯

v o reprezentancie

AB przez liczb

,

e λ

nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor λ ·

AB.

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

DEFINICJA 287

Wektorem swobodnym mazywamy zbiór wektorów złożony z wektorów
zaczepionych których wszystkie trzy współrz

,

edne s

,

a równe.

Wektor

AB należ

,

acy do wektora swobodnego ¯

v nazywamy

reprezentantem wektora −

v .

Sum

,

a wektorów swobodnych ¯

v oraz ¯

u o reprezentantach

AB,

BC

nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor

−→

AC.

Iloczynem wektora swobodnego ¯

v o reprezentancie

AB przez liczb

,

e λ

nazywamy wektor swobodny do którego należy wektor λ ·

AB.

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

TWIERDZENIE 288

Dla dowolnych wektorów ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

], ¯

u[u

x

, u

y

, u

z

] wartość iloczynu

skalarnego wyraża si

,

e wzorem ¯

v ◦ ¯

u = v

x

u

x

+ v

y

u

y

+ v

z

u

z

.

TWIERDZENIE 289

Dla dowolnych wektorów ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

], ¯

u[u

x

, u

y

, u

z

] wektor swobodny o

współrz

,

ednych [v

y

u

z

− v

z

u

y

, u

x

v

z

− v

x

u

z

, v

x

u

y

− v

y

u

x

] w dodatnio

zorientowanym układzie współrz

,

ednych jest iloczynem wektorowym ¯

u × ¯

v.

DEFINICJA 290

Iloczynem mieszanym trójki wektorów −

u , −

v , −

w nazywamy liczb

,

e

[−

u , −

v , −

w ] = −

u ◦ (−

v × −

w ).

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

TWIERDZENIE 288

Dla dowolnych wektorów ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

], ¯

u[u

x

, u

y

, u

z

] wartość iloczynu

skalarnego wyraża si

,

e wzorem ¯

v ◦ ¯

u = v

x

u

x

+ v

y

u

y

+ v

z

u

z

.

TWIERDZENIE 289

Dla dowolnych wektorów ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

], ¯

u[u

x

, u

y

, u

z

] wektor swobodny o

współrz

,

ednych [v

y

u

z

− v

z

u

y

, u

x

v

z

− v

x

u

z

, v

x

u

y

− v

y

u

x

] w dodatnio

zorientowanym układzie współrz

,

ednych jest iloczynem wektorowym ¯

u × ¯

v.

DEFINICJA 290

Iloczynem mieszanym trójki wektorów −

u , −

v , −

w nazywamy liczb

,

e

[−

u , −

v , −

w ] = −

u ◦ (−

v × −

w ).

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

TWIERDZENIE 288

Dla dowolnych wektorów ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

], ¯

u[u

x

, u

y

, u

z

] wartość iloczynu

skalarnego wyraża si

,

e wzorem ¯

v ◦ ¯

u = v

x

u

x

+ v

y

u

y

+ v

z

u

z

.

TWIERDZENIE 289

Dla dowolnych wektorów ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

], ¯

u[u

x

, u

y

, u

z

] wektor swobodny o

współrz

,

ednych [v

y

u

z

− v

z

u

y

, u

x

v

z

− v

x

u

z

, v

x

u

y

− v

y

u

x

] w dodatnio

zorientowanym układzie współrz

,

ednych jest iloczynem wektorowym ¯

u × ¯

v.

DEFINICJA 290

Iloczynem mieszanym trójki wektorów −

u , −

v , −

w nazywamy liczb

,

e

[−

u , −

v , −

w ] = −

u ◦ (−

v × −

w ).

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

TWIERDZENIE 291

Niech ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

], ¯

u[u

x

, u

y

, u

z

], ¯

w[w

x

, w

y

, w

z

] wtedy

¯

u ◦ (¯

v × ¯

w) = det

u

x

u

y

u

z

v

x

v

y

v

z

w

x

w

y

w

z

.

TWIERDZENIE 292

Dla dowolnych wektorów ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

], ¯

u[u

x

, u

y

, u

z

], ¯

w[w

x

, w

y

, w

z

] i

dowolnej liczby rzeczywistej λ, µ zachodz

,

a wzory

dla iloczynu skalarnego

¯

u ◦ ¯

v = ¯

v ◦ ¯

u

¯

u ◦ (¯

v + ¯

w) = ¯

u ◦ ¯

v + ¯

u ◦ ¯

w

(λ¯

u) ◦ ¯

v = λ(¯

u ◦ ¯

v) = ¯

u ◦ (λ¯

v)

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

TWIERDZENIE 291

Niech ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

], ¯

u[u

x

, u

y

, u

z

], ¯

w[w

x

, w

y

, w

z

] wtedy

¯

u ◦ (¯

v × ¯

w) = det

u

x

u

y

u

z

v

x

v

y

v

z

w

x

w

y

w

z

.

TWIERDZENIE 292

Dla dowolnych wektorów ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

], ¯

u[u

x

, u

y

, u

z

], ¯

w[w

x

, w

y

, w

z

] i

dowolnej liczby rzeczywistej λ, µ zachodz

,

a wzory

dla iloczynu skalarnego

¯

u ◦ ¯

v = ¯

v ◦ ¯

u

¯

u ◦ (¯

v + ¯

w) = ¯

u ◦ ¯

v + ¯

u ◦ ¯

w

(λ¯

u) ◦ ¯

v = λ(¯

u ◦ ¯

v) = ¯

u ◦ (λ¯

v)

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

TWIERDZENIE 291

Niech ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

], ¯

u[u

x

, u

y

, u

z

], ¯

w[w

x

, w

y

, w

z

] wtedy

¯

u ◦ (¯

v × ¯

w) = det

u

x

u

y

u

z

v

x

v

y

v

z

w

x

w

y

w

z

.

TWIERDZENIE 292

Dla dowolnych wektorów ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

], ¯

u[u

x

, u

y

, u

z

], ¯

w[w

x

, w

y

, w

z

] i

dowolnej liczby rzeczywistej λ, µ zachodz

,

a wzory

dla iloczynu skalarnego

¯

u ◦ ¯

v = ¯

v ◦ ¯

u

¯

u ◦ (¯

v + ¯

w) = ¯

u ◦ ¯

v + ¯

u ◦ ¯

w

(λ¯

u) ◦ ¯

v = λ(¯

u ◦ ¯

v) = ¯

u ◦ (λ¯

v)

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

TWIERDZENIE 291

Niech ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

], ¯

u[u

x

, u

y

, u

z

], ¯

w[w

x

, w

y

, w

z

] wtedy

¯

u ◦ (¯

v × ¯

w) = det

u

x

u

y

u

z

v

x

v

y

v

z

w

x

w

y

w

z

.

TWIERDZENIE 292

Dla dowolnych wektorów ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

], ¯

u[u

x

, u

y

, u

z

], ¯

w[w

x

, w

y

, w

z

] i

dowolnej liczby rzeczywistej λ, µ zachodz

,

a wzory

dla iloczynu skalarnego

¯

u ◦ ¯

v = ¯

v ◦ ¯

u

¯

u ◦ (¯

v + ¯

w) = ¯

u ◦ ¯

v + ¯

u ◦ ¯

w

(λ¯

u) ◦ ¯

v = λ(¯

u ◦ ¯

v) = ¯

u ◦ (λ¯

v)

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

TWIERDZENIE 291

Niech ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

], ¯

u[u

x

, u

y

, u

z

], ¯

w[w

x

, w

y

, w

z

] wtedy

¯

u ◦ (¯

v × ¯

w) = det

u

x

u

y

u

z

v

x

v

y

v

z

w

x

w

y

w

z

.

TWIERDZENIE 292

Dla dowolnych wektorów ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

], ¯

u[u

x

, u

y

, u

z

], ¯

w[w

x

, w

y

, w

z

] i

dowolnej liczby rzeczywistej λ, µ zachodz

,

a wzory

dla iloczynu skalarnego

¯

u ◦ ¯

v = ¯

v ◦ ¯

u

¯

u ◦ (¯

v + ¯

w) = ¯

u ◦ ¯

v + ¯

u ◦ ¯

w

(λ¯

u) ◦ ¯

v = λ(¯

u ◦ ¯

v) = ¯

u ◦ (λ¯

v)

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

TWIERDZENIE 291

Niech ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

], ¯

u[u

x

, u

y

, u

z

], ¯

w[w

x

, w

y

, w

z

] wtedy

¯

u ◦ (¯

v × ¯

w) = det

u

x

u

y

u

z

v

x

v

y

v

z

w

x

w

y

w

z

.

TWIERDZENIE 292

Dla dowolnych wektorów ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

], ¯

u[u

x

, u

y

, u

z

], ¯

w[w

x

, w

y

, w

z

] i

dowolnej liczby rzeczywistej λ, µ zachodz

,

a wzory

dla iloczynu skalarnego

¯

u ◦ ¯

v = ¯

v ◦ ¯

u

¯

u ◦ (¯

v + ¯

w) = ¯

u ◦ ¯

v + ¯

u ◦ ¯

w

(λ¯

u) ◦ ¯

v = λ(¯

u ◦ ¯

v) = ¯

u ◦ (λ¯

v)

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

dla iloczynu wektorowego

¯

u × ¯

v = −¯

v × ¯

u

¯

u × (¯

v + ¯

w) = ¯

u × ¯

v + ¯

u × ¯

w

(λ¯

u) × ¯

v = λ(¯

u × ¯

v) = ¯

u × (λ¯

v)

dla iloczynu mieszanego

u, ¯

v, ¯

w] = [ ¯

w, ¯

u, ¯

v] = [¯

v, ¯

w, ¯

u]

u, ¯

v, ¯

w] = −[¯

v, ¯

u, ¯

w]

UWAGA 293

Końce wektorów zaczepionych o pocz

,

atku w punkcie A prostopadłych do

ustalonego wektora

AB wypełniaj

,

a pewn

,

a płaszczyzn

,

e.

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

dla iloczynu wektorowego

¯

u × ¯

v = −¯

v × ¯

u

¯

u × (¯

v + ¯

w) = ¯

u × ¯

v + ¯

u × ¯

w

(λ¯

u) × ¯

v = λ(¯

u × ¯

v) = ¯

u × (λ¯

v)

dla iloczynu mieszanego

u, ¯

v, ¯

w] = [ ¯

w, ¯

u, ¯

v] = [¯

v, ¯

w, ¯

u]

u, ¯

v, ¯

w] = −[¯

v, ¯

u, ¯

w]

UWAGA 293

Końce wektorów zaczepionych o pocz

,

atku w punkcie A prostopadłych do

ustalonego wektora

AB wypełniaj

,

a pewn

,

a płaszczyzn

,

e.

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

dla iloczynu wektorowego

¯

u × ¯

v = −¯

v × ¯

u

¯

u × (¯

v + ¯

w) = ¯

u × ¯

v + ¯

u × ¯

w

(λ¯

u) × ¯

v = λ(¯

u × ¯

v) = ¯

u × (λ¯

v)

dla iloczynu mieszanego

u, ¯

v, ¯

w] = [ ¯

w, ¯

u, ¯

v] = [¯

v, ¯

w, ¯

u]

u, ¯

v, ¯

w] = −[¯

v, ¯

u, ¯

w]

UWAGA 293

Końce wektorów zaczepionych o pocz

,

atku w punkcie A prostopadłych do

ustalonego wektora

AB wypełniaj

,

a pewn

,

a płaszczyzn

,

e.

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

dla iloczynu wektorowego

¯

u × ¯

v = −¯

v × ¯

u

¯

u × (¯

v + ¯

w) = ¯

u × ¯

v + ¯

u × ¯

w

(λ¯

u) × ¯

v = λ(¯

u × ¯

v) = ¯

u × (λ¯

v)

dla iloczynu mieszanego

u, ¯

v, ¯

w] = [ ¯

w, ¯

u, ¯

v] = [¯

v, ¯

w, ¯

u]

u, ¯

v, ¯

w] = −[¯

v, ¯

u, ¯

w]

UWAGA 293

Końce wektorów zaczepionych o pocz

,

atku w punkcie A prostopadłych do

ustalonego wektora

AB wypełniaj

,

a pewn

,

a płaszczyzn

,

e.

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

dla iloczynu wektorowego

¯

u × ¯

v = −¯

v × ¯

u

¯

u × (¯

v + ¯

w) = ¯

u × ¯

v + ¯

u × ¯

w

(λ¯

u) × ¯

v = λ(¯

u × ¯

v) = ¯

u × (λ¯

v)

dla iloczynu mieszanego

u, ¯

v, ¯

w] = [ ¯

w, ¯

u, ¯

v] = [¯

v, ¯

w, ¯

u]

u, ¯

v, ¯

w] = −[¯

v, ¯

u, ¯

w]

UWAGA 293

Końce wektorów zaczepionych o pocz

,

atku w punkcie A prostopadłych do

ustalonego wektora

AB wypełniaj

,

a pewn

,

a płaszczyzn

,

e.

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

dla iloczynu wektorowego

¯

u × ¯

v = −¯

v × ¯

u

¯

u × (¯

v + ¯

w) = ¯

u × ¯

v + ¯

u × ¯

w

(λ¯

u) × ¯

v = λ(¯

u × ¯

v) = ¯

u × (λ¯

v)

dla iloczynu mieszanego

u, ¯

v, ¯

w] = [ ¯

w, ¯

u, ¯

v] = [¯

v, ¯

w, ¯

u]

u, ¯

v, ¯

w] = −[¯

v, ¯

u, ¯

w]

UWAGA 293

Końce wektorów zaczepionych o pocz

,

atku w punkcie A prostopadłych do

ustalonego wektora

AB wypełniaj

,

a pewn

,

a płaszczyzn

,

e.

background image

RÓWNANIE PŁASZCZYZNY

TWIERDZENIE 294

Niech A(x

a

, y

a

, z

a

) b

,

edzie ustalonym punktem a ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

] b

,

edzie

ustalonym wektorem wtedy punkty P płaszczyzny przechodz

,

acej przez

punkt A i prostopadłej do wektora ¯

v wyznaczone s

,

a przez równanie

AP ◦ ¯

v = 0

czyli jeśli P (x, y, z) to równanie v

x

(x − a

x

) + v

y

(y − a

y

) + v

z

(z − a

z

) = 0

wyznacza punkty tej płaszczyzny.

UWAGA 295

Równanie płaszczyzny możemy zapisać w postaci
Ax + By + Cz + D = 0. powyższ

,

a postać równania płaszczyzny

nazywamy ogólnym równaniem płaszczyzny. Wektor o współrz

,

ednych

[A, B, C] jest prostopadły do płaszczyzny.

background image

RÓWNANIE PŁASZCZYZNY

TWIERDZENIE 294

Niech A(x

a

, y

a

, z

a

) b

,

edzie ustalonym punktem a ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

] b

,

edzie

ustalonym wektorem wtedy punkty P płaszczyzny przechodz

,

acej przez

punkt A i prostopadłej do wektora ¯

v wyznaczone s

,

a przez równanie

AP ◦ ¯

v = 0

czyli jeśli P (x, y, z) to równanie v

x

(x − a

x

) + v

y

(y − a

y

) + v

z

(z − a

z

) = 0

wyznacza punkty tej płaszczyzny.

UWAGA 295

Równanie płaszczyzny możemy zapisać w postaci
Ax + By + Cz + D = 0. powyższ

,

a postać równania płaszczyzny

nazywamy ogólnym równaniem płaszczyzny. Wektor o współrz

,

ednych

[A, B, C] jest prostopadły do płaszczyzny.

background image

RÓWNANIE PŁASZCZYZNY

TWIERDZENIE 294

Niech A(x

a

, y

a

, z

a

) b

,

edzie ustalonym punktem a ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

] b

,

edzie

ustalonym wektorem wtedy punkty P płaszczyzny przechodz

,

acej przez

punkt A i prostopadłej do wektora ¯

v wyznaczone s

,

a przez równanie

AP ◦ ¯

v = 0

czyli jeśli P (x, y, z) to równanie v

x

(x − a

x

) + v

y

(y − a

y

) + v

z

(z − a

z

) = 0

wyznacza punkty tej płaszczyzny.

UWAGA 295

Równanie płaszczyzny możemy zapisać w postaci
Ax + By + Cz + D = 0. powyższ

,

a postać równania płaszczyzny

nazywamy ogólnym równaniem płaszczyzny. Wektor o współrz

,

ednych

[A, B, C] jest prostopadły do płaszczyzny.

background image

RÓWNANIE PŁASZCZYZNY

UWAGA 296

Końce wektorów zaczepionych o pocz

,

atku w punkcie A b

,

ed

,

acych

kombinacjami liniowymi pary liniowo niezależnych wektorów

AB,

−→

AC

wypełniaj

,

a pewn

,

a płaszczyzn

,

e.

UWAGA 297

Niech A(x

a

, y

a

, z

a

) b

,

edzie ustalonym punktem a ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

],

¯

u[u

x

, u

y

, u

z

] b

,

ed

,

a ustalonymi wektorami wtedy punkty P płaszczyzny

przechodz

,

acej przez punkt A i równoległej do wektorów ¯

v, ¯

u wyznaczone

s

,

a przez równanie AP = t¯

v + s¯

u,

t, s ∈ R czyli jeśli P (x, y, z) to

równanie parametryczne

x = x

a

+ tv

x

+ su

x

y = y

a

+ tv

y

+ su

y

z = z

a

+ tv

z

+ su

z

wyznacza punkty tej

płaszczyzny.

background image

RÓWNANIE PŁASZCZYZNY

UWAGA 296

Końce wektorów zaczepionych o pocz

,

atku w punkcie A b

,

ed

,

acych

kombinacjami liniowymi pary liniowo niezależnych wektorów

AB,

−→

AC

wypełniaj

,

a pewn

,

a płaszczyzn

,

e.

UWAGA 297

Niech A(x

a

, y

a

, z

a

) b

,

edzie ustalonym punktem a ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

],

¯

u[u

x

, u

y

, u

z

] b

,

ed

,

a ustalonymi wektorami wtedy punkty P płaszczyzny

przechodz

,

acej przez punkt A i równoległej do wektorów ¯

v, ¯

u wyznaczone

s

,

a przez równanie AP = t¯

v + s¯

u,

t, s ∈ R czyli jeśli P (x, y, z) to

równanie parametryczne

x = x

a

+ tv

x

+ su

x

y = y

a

+ tv

y

+ su

y

z = z

a

+ tv

z

+ su

z

wyznacza punkty tej

płaszczyzny.

background image

RÓWNANIE PŁASZCZYZNY

UWAGA 296

Końce wektorów zaczepionych o pocz

,

atku w punkcie A b

,

ed

,

acych

kombinacjami liniowymi pary liniowo niezależnych wektorów

AB,

−→

AC

wypełniaj

,

a pewn

,

a płaszczyzn

,

e.

UWAGA 297

Niech A(x

a

, y

a

, z

a

) b

,

edzie ustalonym punktem a ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

],

¯

u[u

x

, u

y

, u

z

] b

,

ed

,

a ustalonymi wektorami wtedy punkty P płaszczyzny

przechodz

,

acej przez punkt A i równoległej do wektorów ¯

v, ¯

u wyznaczone

s

,

a przez równanie AP = t¯

v + s¯

u,

t, s ∈ R czyli jeśli P (x, y, z) to

równanie parametryczne

x = x

a

+ tv

x

+ su

x

y = y

a

+ tv

y

+ su

y

z = z

a

+ tv

z

+ su

z

wyznacza punkty tej

płaszczyzny.

background image

RÓWNANIE PŁASZCZYZNY

DEFINICJA 298

Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi jeżeli s

,

a równe lub nie maj

,

a

punktów wspólnych.

UWAGA 299

Jeżeli płaszczyzny nie s

,

a równoległe to przecinaj

,

a si

,

e wzdłuż pewnej

prostej.

DEFINICJA 300

Równaniem prostej w postaci kraw

,

edziowej nazywamy układ równań

(

A

1

x + B

1

y + C

1

z + D

1

= 0

A

2

x + B

2

y + C

2

z + D

2

= 0

,

jeżeli [A

1

, B

1

, C

1

] × [A

2

, B

2

, C

2

] 6= O.

Wektory o współrz

,

ednych [A

1

, B

1

, C

1

], [A

2

, B

2

, C

2

] s

,

a prostopadłe do

prostej.

background image

RÓWNANIE PŁASZCZYZNY

DEFINICJA 298

Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi jeżeli s

,

a równe lub nie maj

,

a

punktów wspólnych.

UWAGA 299

Jeżeli płaszczyzny nie s

,

a równoległe to przecinaj

,

a si

,

e wzdłuż pewnej

prostej.

DEFINICJA 300

Równaniem prostej w postaci kraw

,

edziowej nazywamy układ równań

(

A

1

x + B

1

y + C

1

z + D

1

= 0

A

2

x + B

2

y + C

2

z + D

2

= 0

,

jeżeli [A

1

, B

1

, C

1

] × [A

2

, B

2

, C

2

] 6= O.

Wektory o współrz

,

ednych [A

1

, B

1

, C

1

], [A

2

, B

2

, C

2

] s

,

a prostopadłe do

prostej.

background image

RÓWNANIE PŁASZCZYZNY

DEFINICJA 298

Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi jeżeli s

,

a równe lub nie maj

,

a

punktów wspólnych.

UWAGA 299

Jeżeli płaszczyzny nie s

,

a równoległe to przecinaj

,

a si

,

e wzdłuż pewnej

prostej.

DEFINICJA 300

Równaniem prostej w postaci kraw

,

edziowej nazywamy układ równań

(

A

1

x + B

1

y + C

1

z + D

1

= 0

A

2

x + B

2

y + C

2

z + D

2

= 0

,

jeżeli [A

1

, B

1

, C

1

] × [A

2

, B

2

, C

2

] 6= O.

Wektory o współrz

,

ednych [A

1

, B

1

, C

1

], [A

2

, B

2

, C

2

] s

,

a prostopadłe do

prostej.

background image

RÓWNANIE PŁASZCZYZNY

DEFINICJA 298

Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi jeżeli s

,

a równe lub nie maj

,

a

punktów wspólnych.

UWAGA 299

Jeżeli płaszczyzny nie s

,

a równoległe to przecinaj

,

a si

,

e wzdłuż pewnej

prostej.

DEFINICJA 300

Równaniem prostej w postaci kraw

,

edziowej nazywamy układ równań

(

A

1

x + B

1

y + C

1

z + D

1

= 0

A

2

x + B

2

y + C

2

z + D

2

= 0

,

jeżeli [A

1

, B

1

, C

1

] × [A

2

, B

2

, C

2

] 6= O.

Wektory o współrz

,

ednych [A

1

, B

1

, C

1

], [A

2

, B

2

, C

2

] s

,

a prostopadłe do

prostej.

background image

RÓWNANIE PŁASZCZYZNY

DEFINICJA 298

Dwie płaszczyzny nazywamy równoległymi jeżeli s

,

a równe lub nie maj

,

a

punktów wspólnych.

UWAGA 299

Jeżeli płaszczyzny nie s

,

a równoległe to przecinaj

,

a si

,

e wzdłuż pewnej

prostej.

DEFINICJA 300

Równaniem prostej w postaci kraw

,

edziowej nazywamy układ równań

(

A

1

x + B

1

y + C

1

z + D

1

= 0

A

2

x + B

2

y + C

2

z + D

2

= 0

,

jeżeli [A

1

, B

1

, C

1

] × [A

2

, B

2

, C

2

] 6= O.

Wektory o współrz

,

ednych [A

1

, B

1

, C

1

], [A

2

, B

2

, C

2

] s

,

a prostopadłe do

prostej.

background image

RÓWNANIE PROSTEJ

UWAGA 301

Wektor i punkt wyznaczaj

,

a prost

,

a.

TWIERDZENIE 302

Niech A(x

A

, y

A

, z

A

) b

,

edzie ustalonym punktem a ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

] b

,

edzie

ustalonym wektorem wtedy punkty prostej przechodz

,

acej przez punkt A i

równoległej do wektora ¯

v wyznaczone s

,

a przez równanie AP = t¯

v = 0,

gdzie t ∈ R czyli jeśli P (x, y, z) to równania

x = x

A

+ tv

x

y = y

A

+ tv

y

z = z

A

+ tv

z

wyznaczaj

,

a punkty tej prostej.

UWAGA 303

Prost

,

a nazywamy równoległ

,

a do płaszczyzny jeżeli zawiera si

,

e w niej lub

nie maj

,

a punktów wspólnych.

background image

RÓWNANIE PROSTEJ

UWAGA 301

Wektor i punkt wyznaczaj

,

a prost

,

a.

TWIERDZENIE 302

Niech A(x

A

, y

A

, z

A

) b

,

edzie ustalonym punktem a ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

] b

,

edzie

ustalonym wektorem wtedy punkty prostej przechodz

,

acej przez punkt A i

równoległej do wektora ¯

v wyznaczone s

,

a przez równanie AP = t¯

v = 0,

gdzie t ∈ R czyli jeśli P (x, y, z) to równania

x = x

A

+ tv

x

y = y

A

+ tv

y

z = z

A

+ tv

z

wyznaczaj

,

a punkty tej prostej.

UWAGA 303

Prost

,

a nazywamy równoległ

,

a do płaszczyzny jeżeli zawiera si

,

e w niej lub

nie maj

,

a punktów wspólnych.

background image

RÓWNANIE PROSTEJ

UWAGA 301

Wektor i punkt wyznaczaj

,

a prost

,

a.

TWIERDZENIE 302

Niech A(x

A

, y

A

, z

A

) b

,

edzie ustalonym punktem a ¯

v[v

x

, v

y

, v

z

] b

,

edzie

ustalonym wektorem wtedy punkty prostej przechodz

,

acej przez punkt A i

równoległej do wektora ¯

v wyznaczone s

,

a przez równanie AP = t¯

v = 0,

gdzie t ∈ R czyli jeśli P (x, y, z) to równania

x = x

A

+ tv

x

y = y

A

+ tv

y

z = z

A

+ tv

z

wyznaczaj

,

a punkty tej prostej.

UWAGA 303

Prost

,

a nazywamy równoległ

,

a do płaszczyzny jeżeli zawiera si

,

e w niej lub

nie maj

,

a punktów wspólnych.

background image

PROSTE I PŁASZCZYZNY

TWIERDZENIE 304

Niech dane b

,

ed

,

a prosta i płaszczyzna równaniami

k :

x = a + ut

y = b + vt

z = c + wt

π : Ax + By + Cz + D = 0

wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.

Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.

DEFINICJA 305

Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż

,

a w jednej płaszczyźnie i

pokrywaj

,

a si

,

e b

,

adź nie maj

,

a punktów wspólnych

Mówimy, że dwie proste przecinaj

,

a si

,

e wtw gdy maj

,

a dokładnie jeden

punkt wspólny.

background image

PROSTE I PŁASZCZYZNY

TWIERDZENIE 304

Niech dane b

,

ed

,

a prosta i płaszczyzna równaniami

k :

x = a + ut

y = b + vt

z = c + wt

π : Ax + By + Cz + D = 0

wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.

Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.

DEFINICJA 305

Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż

,

a w jednej płaszczyźnie i

pokrywaj

,

a si

,

e b

,

adź nie maj

,

a punktów wspólnych

Mówimy, że dwie proste przecinaj

,

a si

,

e wtw gdy maj

,

a dokładnie jeden

punkt wspólny.

background image

PROSTE I PŁASZCZYZNY

TWIERDZENIE 304

Niech dane b

,

ed

,

a prosta i płaszczyzna równaniami

k :

x = a + ut

y = b + vt

z = c + wt

π : Ax + By + Cz + D = 0

wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.

Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.

DEFINICJA 305

Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż

,

a w jednej płaszczyźnie i

pokrywaj

,

a si

,

e b

,

adź nie maj

,

a punktów wspólnych

Mówimy, że dwie proste przecinaj

,

a si

,

e wtw gdy maj

,

a dokładnie jeden

punkt wspólny.

background image

PROSTE I PŁASZCZYZNY

TWIERDZENIE 304

Niech dane b

,

ed

,

a prosta i płaszczyzna równaniami

k :

x = a + ut

y = b + vt

z = c + wt

π : Ax + By + Cz + D = 0

wtedy prosta k jest równoległa do płaszczyzny π wtw, gdy
Au + Bv + Cw = 0.

Jeżeli [A, B, C] × [u, v, w] = O to prosta k jest prostopadła do
płaszczyzny π.

DEFINICJA 305

Dwie proste nazywamy równoległymi jeżeli leż

,

a w jednej płaszczyźnie i

pokrywaj

,

a si

,

e b

,

adź nie maj

,

a punktów wspólnych

Mówimy, że dwie proste przecinaj

,

a si

,

e wtw gdy maj

,

a dokładnie jeden

punkt wspólny.

background image

PROSTA I PŁASZCZYZNA

UWAGA 306

Dwie proste

k :

x = a

1

+ u

1

t

y = b

1

+ v

1

t

z = c

1

+ w

1

t

l :

x = a

2

+ u

2

t

y = b

2

+ v

2

t

z = c

2

+ w

2

t

s

,

a równoległe jeżeli wektory [u

1

, v

1

, w

1

] oraz [u

2

, v

2

, w

2

] s

,

a równoległe.

DEFINICJA 307

Mówimy, że dwie proste s

,

a skośne wtw gdy nie maj

,

a punktów wspólnych

i nie leż

,

a w jednej płaszczyźnie.

background image

PROSTA I PŁASZCZYZNA

UWAGA 306

Dwie proste

k :

x = a

1

+ u

1

t

y = b

1

+ v

1

t

z = c

1

+ w

1

t

l :

x = a

2

+ u

2

t

y = b

2

+ v

2

t

z = c

2

+ w

2

t

s

,

a równoległe jeżeli wektory [u

1

, v

1

, w

1

] oraz [u

2

, v

2

, w

2

] s

,

a równoległe.

DEFINICJA 307

Mówimy, że dwie proste s

,

a skośne wtw gdy nie maj

,

a punktów wspólnych

i nie leż

,

a w jednej płaszczyźnie.

background image

ODLEGŁOŚCI

TWIERDZENIE 308

Odległość punktu P (x

0

, y

0

, z

0

) od płaszczyzny

π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si

,

e wzorem

d(P, π) =

|Ax

0

+ By

0

+ Cz

0

+ D|

A

2

+ B

2

+ C

2

.

TWIERDZENIE 309

Odległość punktu P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) od prostej l przechodz

,

acej przez punkt P

i równoległej do wektora −

v wyraża si

,

e wzorem d(P, l) =

|−

v ×

−−→

P P

0

|

|−

v |

.

UWAGA 310

Niech b

,

ed

,

a dane proste skośne k przechodz

,

aca przez punkt K i

równoległa do wektora −

n

k

oraz l przechodz

,

aca przez punkt L i równoległa

do wektora −

n

l

. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość

punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj

,

acej prost

,

a l.

background image

ODLEGŁOŚCI

TWIERDZENIE 308

Odległość punktu P (x

0

, y

0

, z

0

) od płaszczyzny

π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si

,

e wzorem

d(P, π) =

|Ax

0

+ By

0

+ Cz

0

+ D|

A

2

+ B

2

+ C

2

.

TWIERDZENIE 309

Odległość punktu P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) od prostej l przechodz

,

acej przez punkt P

i równoległej do wektora −

v wyraża si

,

e wzorem d(P, l) =

|−

v ×

−−→

P P

0

|

|−

v |

.

UWAGA 310

Niech b

,

ed

,

a dane proste skośne k przechodz

,

aca przez punkt K i

równoległa do wektora −

n

k

oraz l przechodz

,

aca przez punkt L i równoległa

do wektora −

n

l

. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość

punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj

,

acej prost

,

a l.

background image

ODLEGŁOŚCI

TWIERDZENIE 308

Odległość punktu P (x

0

, y

0

, z

0

) od płaszczyzny

π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si

,

e wzorem

d(P, π) =

|Ax

0

+ By

0

+ Cz

0

+ D|

A

2

+ B

2

+ C

2

.

TWIERDZENIE 309

Odległość punktu P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) od prostej l przechodz

,

acej przez punkt P

i równoległej do wektora −

v wyraża si

,

e wzorem d(P, l) =

|−

v ×

−−→

P P

0

|

|−

v |

.

UWAGA 310

Niech b

,

ed

,

a dane proste skośne k przechodz

,

aca przez punkt K i

równoległa do wektora −

n

k

oraz l przechodz

,

aca przez punkt L i równoległa

do wektora −

n

l

. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość

punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj

,

acej prost

,

a l.

background image

ODLEGŁOŚCI

TWIERDZENIE 308

Odległość punktu P (x

0

, y

0

, z

0

) od płaszczyzny

π : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża si

,

e wzorem

d(P, π) =

|Ax

0

+ By

0

+ Cz

0

+ D|

A

2

+ B

2

+ C

2

.

TWIERDZENIE 309

Odległość punktu P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) od prostej l przechodz

,

acej przez punkt P

i równoległej do wektora −

v wyraża si

,

e wzorem d(P, l) =

|−

v ×

−−→

P P

0

|

|−

v |

.

UWAGA 310

Niech b

,

ed

,

a dane proste skośne k przechodz

,

aca przez punkt K i

równoległa do wektora −

n

k

oraz l przechodz

,

aca przez punkt L i równoległa

do wektora −

n

l

. Odległość prostych k i l można wyliczyć jako odległość

punktu K od płaszczyzny równoległej do prostej k i zawieraj

,

acej prost

,

a l.

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

TWIERDZENIE 311

Niech b

,

ed

,

a dane proste skośne k przechodz

,

aca przez punkt K i

równoległa do wektora −

n

k

oraz l przechodz

,

aca przez punkt L i

równoległa do wektora −

n

l

. Odległość prostych k i l wyraża si

,

e wzorem

d(k, l) =

[−

n

k

, −

n

l

,

KL]

|−

n

k

× −

n

l

|

.

TWIERDZENIE 312

Jeżeli dwie proste

k :

x = a

1

+ u

1

t

y = b

1

+ v

1

t

z = c

1

+ w

1

t

l :

x = a

2

+ u

2

t

y = b

2

+ v

2

t

z = c

2

+ w

2

t

przecinają się to kąt α między

nimi spełnia równanie cos α =

|[u

1

, v

1

, w

1

] ◦ [u

2

, v

2

, w

2

]|

|[u

1

, v

1

, w

1

]||[u

2

, v

2

, w

2

]|

background image

WEKTORY ZACZEPIONE I SWOBODNE

TWIERDZENIE 311

Niech b

,

ed

,

a dane proste skośne k przechodz

,

aca przez punkt K i

równoległa do wektora −

n

k

oraz l przechodz

,

aca przez punkt L i

równoległa do wektora −

n

l

. Odległość prostych k i l wyraża si

,

e wzorem

d(k, l) =

[−

n

k

, −

n

l

,

KL]

|−

n

k

× −

n

l

|

.

TWIERDZENIE 312

Jeżeli dwie proste

k :

x = a

1

+ u

1

t

y = b

1

+ v

1

t

z = c

1

+ w

1

t

l :

x = a

2

+ u

2

t

y = b

2

+ v

2

t

z = c

2

+ w

2

t

przecinają się to kąt α między

nimi spełnia równanie cos α =

|[u

1

, v

1

, w

1

] ◦ [u

2

, v

2

, w

2

]|

|[u

1

, v

1

, w

1

]||[u

2

, v

2

, w

2

]|

background image

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2011 02 21 WIL Wyklad 19(1)
2011 02 21 WIL Wyklad 18(1)
2011 02 21 WIL Wyklad 20id 2752 Nieznany (2)
2011 02 21 WIL Wyklad 19id 2752 Nieznany
2011 02 21 WIL Wyklad 18
2011 02 21 WIL Wyklad 19(1)
2011 02 25 WIL Wyklad 21id 2752 Nieznany (2)
BO I WYKLAD 01 3 2011 02 21
BO I WYKLAD 01 1 2011 02 21
BO I WYKLAD 01 2 2011 02 21
BO I WYKLAD 01 3 2011 02 21
2011 01 09 WIL Wyklad 15 (1)
2013 02 22 WIL Wyklad 1

więcej podobnych podstron