Egzamin końcowy z przedmiotu „Analiza matematyczna i algebra liniowa”
WETI, AiR (gr. 1-3) i EiT (gr. 7-10), 1 sem., r. ak. 2007/2008
1. Obliczyć całki
a)
Z
dx
(1 + tg x) sin
2
x
b)
2
Z
1
x ln
1 +
1
x
dx
2. a) Zbadać, czy istnieje objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX obszaru ograni-
czonego przez krzywe
f (x) = e
−x
√
x,
y = 0,
x = 0
dla x 0. Jeśli tak, obliczyć tę objętość.
b) Korzystając z twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie dla całek nieoznaczonych wy-
prowadzić wzór na całkę
Z
f
0
(x)dx
√
f (x)
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. a) Wyznaczyć macierz Y z równania
1
2
Y
−1
A
−1
= Y + B
gdzie
A
−1
=
1
0 2
−1 1 0
0
0 2
,
B =
1
0
2
b) Podać i zilustrować przykładami 4 dowolnie wybrane własności wyznaczników.
4. Wyznaczyć dla jakich wartości parametru m układ równań
(2 − m)x + y + 2z = 0
2x + (1 − m)y + 2z = 0
2x + y + (2 − m)z = 0
ma niezerowe rozwiązania. Znaleźć te rozwiązania.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Wyznaczyć odległość punktu P (1, 0, 2) od prostej x =
y + 1
2
= z − 1
3
oraz jego symetryczne
odbicie względem podanej prostej.
6. a) Wyznaczyć wartość najmniejszą i największą funkcji f (x, y) = x
2
y(4 − x − y) w obszarze ¯
D
opisanym nierównościami x 0, y 0 i x + y ¬ 6.
b) Za pomocą różniczki zupełnej obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia ln
3
√
1, 03 +
4
√
0, 98 − 1
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] Obliczyć całkę
Z
D
Z
1
y
2
e
x
√
y
dxdy
gdzie obszar D ograniczony jest krzywą y = x
2
oraz prostymi y = 2 i x = 1, dla x 1.