6. Zastosowanie pochodnych do badania własności funkcji: monotoniczność funkcji a znak
pochodnej, warunek konieczny i dostateczny na istnienie ekstremum lokalnego funkcji,
największa i najmniejsza wartość funkcji, wklęsłość i wypukłość a znak drugiej pochodnej,
warunek konieczny i dostateczny na istnienie punktu przegięcia funkcji. Przykłady
wykorzystania rachunku różniczkowego w ekonomii.
Przebieg zmienności funkcji
Zbadaj przebieg zmienności i narysuj wykres funkcji danej wzorem:
a)
1
1
2
)
(
2
x
x
x
x
f
b)
1
1
2
)
(
2
x
x
x
x
f
c)
2
1
2
)
(
2
x
x
x
x
f
1. Analiza funkcji:
(a) Wyznaczenie dziedziny funkcji
(b) Obliczenie granic na krańcach przedziałów określoności
(c) Wyznaczenie asymptot
(d) Wyznaczenie punktów przecięcia wykresu funkcji z osią
OX
oraz z osią
OY
(e) Zbadanie parzystości i nieparzystości funkcji.
2. Analiza pierwszej pochodnej funkcji:
(a) Obliczenie
)
(
' x
f
i wyznaczenie zbioru, w którym funkcja
)
(x
f
jest różniczkowalna
(b) Wyznaczenie miejsc zerowych pierwszej pochodnej
(c) Wyznaczenie zbiorów, w których
0
)
(
'
x
f
i w których
0
)
(
'
x
f
oraz określenie
monotoniczności
funkcji
)
(x
f
(d) Wyznaczenie ekstremów lokalnych funkcji
)
(x
f
3. Analiza drugiej pochodnej funkcji:
(a) Obliczenie
)
(
'
' x
f
i wyznaczenie zbioru, w którym
)
(
' x
f
jest różniczkowalna
(b) Wyznaczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej
(c) Wyznaczenie zbiorów, w których
0
)
(
''
x
f
i w których
0
)
(
''
x
f
oraz określenie
przedziałów wklęsłości i wypukłości funkcji
)
(x
f
(1 pkt.)
4. Sporządzenie tabeli przebiegu zmienności funkcji (informacje z punktów 1, 2, 3)
x
)
(
' x
f
)
(
'' x
f
)
(x
f
