Teoria maszyn i mechanizmów                  Dynamika Mechanizmów.   Wyrównoważanie                        1        

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski 
 

WYRÓWNOWAŻANIE MASZYN I MECHANIZMÓW.

 

J

ak wiadomo, każde ogniwo łańcucha kinematycznego poruszającego się 

mechanizmu lub maszyny posiada określone przyśpieszenia liniowe i kątowe. 
Zgodnie z zasadą d’Alemberta przyspieszenia te powodują powstanie 
uogólnionych sił bezwładności, które nakładając się na istniejący układ sił 
zewnętrznych powodują na ogół zwiększenie reakcji w parach 
kinematycznych mechanizmu lub maszyny. 

Jeżeli reakcję w parze kinematycznej ( i, j ) w nieruchomym mechanizmie 

czyli tzw. reakcję statyczną oznaczymy przez 

st

ij

R , to reakcję dynamiczną  

w tej parze 

dyn

ij

R

, czyli reakcję w ruchomym łańcuchu kinematycznym 

możemy zapisać: 

dyn

ij

st

ij

dyn

ij

R

R

R

∆

+

=

                          

(1)

 

gdzie: 

dyn

ij

R

∆

- jest to przyrost reakcji (nadwyżka dynamiczna) w parze  

kinematycznej spowodowany siłami bezwładności członów ruchomych 
mechanizmu.  

Reakcje dynamiczne są obciążeniami okresowo zmiennymi ze względu na 

cykliczność ruchu maszyny i wywołują wiele bardzo niekorzystnych zjawisk, 
takich jak: drgania elementów i naprężenia zmęczeniowe, nadmierne 
zużywanie się łożysk, drgania korpusów, fundamentów i otoczenia maszyny 
oraz związany z tymi zjawiskami hałas. Aby wyeliminować choćby częściowo 
te bardzo niepożądane zjawiska, stosuje się odpowiednią korekcję rozkładu 
mas elementów maszyn zwaną wyrównoważaniem lub wyważaniem.  

 
Wyrównoważanie przebiega w dwóch etapach:  
-  konstrukcyjnym, 
-  technologicznym.  
Wyrównoważanie konstrukcyjne przeprowadza się podczas 

konstruowania (projektowania) maszyn. Staramy się wtedy zapewnić 
poszczególnym członom i całej maszynie prawidłowe lub co najmniej 
wystarczające rozłożenie mas ze względu na wyrównoważenie. Jednak na 
skutek wad materiałowych, błędów wykonawczych, naprężeń wewnętrznych, 
błędów montażowych oraz efektów eksploatacji (zużycie, uszkodzenie, 
korozja, osady mechaniczne) stan wyrównoważenia może być 
niezadowalający i wówczas układ mas wymaga korekty na drodze 
pomiarowej. 

 
 
 

Teoria maszyn i mechanizmów                  Dynamika Mechanizmów.   Wyrównoważanie                        2        

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski 
 

Wyrównoważenie technologiczne jest korektą mas wytworzonych już 

części maszyn. Takie wyrównoważanie przeprowadza się na ogół w trakcie 
procesu technologicznego na specjalnych maszynach zwanych 
wyważarkami, na których na drodze pomiarowej zostaje ustalone miejsce 
oraz ilość zbędnego lub brakującego materiału. Przykładem jest 
wyrównoważanie wirników silników elektrycznych czy wirników wentylatorów. 
Oczywiście można również wyważać w ten sposób części maszyn, które 
uległy zużyciu bądź uszkodzeniu w trakcie eksploatacji np. koła 
samochodowe.  

Maszyny o dużych wymiarach, ciężkie, trudne do demontażu można 

wyważać w trakcie eksploatacji korzystając z przenośnej aparatury 
pomiarowej.  

W przemyśle pracują również takie maszyny, w których wirujący człon 

roboczy zużywa się nierównomiernie podczas pracy, wywołując stan 
niewyrównoważenia. Szczególnym przypadkiem takich maszyn są precyzyjne 
szlifierki tarczowe. W takich przypadkach do wyrównoważania są stosowane 
specjalne głowice zabudowane na stałe bezpośrednio na wirniku (tarczy 
ściernicy), które umożliwiają korektę jego masy w trakcie ruchu..  

 
Jedną z cech postępu technicznego jest ciągły wzrost prędkości 

obrotowych maszyn i urządzeń, ponieważ szybkoobrotowe maszyny są 
bardziej wydajne i lżejsze od maszyn wolnoobrotowych. Przykładowo 
prędkości obrotowe turbin parowych i gazowych przekraczają 10 000 
obr./min., wirniki silników elektrycznych o dużych częstotliwościach zasilania 
osiągają 100 000 obr./min., a niektóre ultrawirniki wirują z prędkościami rzędu 
500 

000 obr./min. Dla tego typu maszyn wyrównoważanie staje się 

koniecznością.  Można wykazać,  że już przy prędkości obrotowej 3000 
obr./min. przesunięcie  środka ciężkości wirnika o 100 

µµµµ

m wywołuje  

w  łożyskach reakcje dynamiczne równe w przybliżeniu ciężarowi 
wirnika. Ponieważ reakcje dynamiczne rosną z kwadratem prędkości 
obrotowej, to przy prędkościach rzędu 30 000 obr./min. reakcje dynamiczne 
są 100 razy większe od statycznych. 

Problemy wyrównoważania możemy podzielić na dwie grupy:  
- wyrównoważanie wirników sztywnych (pojedynczych członów) 
- wyrównoważanie mechanizmów i maszyn złożonych z układów członów 
sztywnych.  
W pierwszym przypadku chodzi o sprowadzenie do zera nadwyżek 

dynamicznych reakcji działających na łożyska wirującego członu. W drugim 
przypadku dążymy do minimalizacji reakcji dynamicznych przenoszonych na 
podstawę maszyny (ostoję), co na ogół wiąże się ze zwiększeniem reakcji

 

dynamicznych w parach kinematycznych pomiędzy ruchomymi członami nie 
związanymi z podstawą.  

Teoria maszyn i mechanizmów                  Dynamika Mechanizmów.   Wyrównoważanie                        3        

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski 
 

Podstawy teoretyczne wyrównoważania wirników sztywnych.  
 
Wirnik sztywny w trakcie pracy jest podtrzymywany na powierzchniach 

nośnych za pomocą podpór łożyskowych. Powierzchnie nośne wirnika 
przenoszą obciążenia na podpory łożyskowe za pośrednictwem  łożysk 
tocznych lub ślizgowych, strumieni gazów lub cieczy, pól magnetycznych lub 
elektrycznych itp. Rozpatrzymy warunki wyrównoważenia wirnika sztywnego 
zamodelowanego układem dyskretnych mas skupionych (Rys. 1). 

Oznaczenia na Rys. 1: 
Ox’y’z’ - nieruchomy układ współrzędnych, oś  Oz’ pokrywa się z osią 
obrotu wirnika, 
Oxyz - ruchomy układ współrzędnych sztywno związany z wirnikiem 
obracający się z prędkością  kątową 

ω

 i przyspieszeniem kątowym 

ε

 

względem osi Oz, która pokrywa się z osią Oz’, 

n

i

1

m

,...

m

,...

m

- elementarne masy skupione,  

n

i

1

r

,...

r

,...

r

 - odległości mas od obrotu wirnika, 

)

z

,

sin

r

y

,

cos

r

x

(

i

i

i

i

i

i

i

ϕ

ϕ

=

=

 - współrzędne  i-tej masy w układzie 

ruchomym Oxyz. 

Na każdą z mas układu działa siła bezwładności 

i

B  o składowych normalnej 

n

i

i

n

i

a

m

B

⋅

−

=

 oraz stycznej 

t

i

i

t

i

a

m

B

⋅

−

=

 zgodnie z Rys. 2.  

 

 
 
 

                         

         

 
 
 
 

Rys. 2. Składowe siły bezwładności 
działające na pojedynczą masę 
skupioną 

i

m  

 
 
 
 
 
 
 

Rys. 1. Model wirnika sztywnego w postaci układu mas skupionych 

` 

Teoria maszyn i mechanizmów                  Dynamika Mechanizmów.   Wyrównoważanie                        4        

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski 
 

 
 
 
 
 
 

 

 

Rys. 2 (powtórzony). Składowe siły bezwładności działające na pojedynczą masę 
skupioną 

i

m

 

Współrzędne siły bezwładności 

i

B

wynoszą odpowiednio:  

                  

,

x

m

r

x

r

m

cos

r

m

B

,

y

m

r

y

r

m

sin

r

m

B

,

y

m

r

y

r

m

sin

r

m

B

,

x

m

r

x

ir

i

m

cos

r

m

B

i

i

i

i

i

i

i

i

i

t

iy

i

i

i

i

i

i

i

i

i

t

ix

2

i

i

i

i

2

i

i

i

2

i

i

n

iy

2

i

i

i

i

2

i

2

i

i

n

ix

ε

ε

ϕ

ε

ε

ε

ϕ

ε

ω

ω

ϕ

ω

ω

ω

ϕ

ω

−

=

−

=

−

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

       

                     

(2)

 

Należy zauważyć,  że 

0

B

B

t

iz

n

iz

=

=

, ponieważ siły bezwładności działają 

w płaszczyznach prostopadłych do osi wirnika.  

Aby wyznaczyć współrzędne wektora głównego sił bezwładności 

)

B

,

B

,

B

(

B

z

y

x

 oraz momentu głównego sił bezwładności 

)

M

,

M

,

M

(

M

Bz

By

Bx

B

należy przeprowadzić sumowanie sił i momentów dla 

wszystkich mas układu.  

 
Wprowadzimy dodatkowo oznaczenia: 

i

n

1

i

i

S

x

i

n

1

i

i

S

y

y

m

My

S

,

x

m

Mx

S

∑

=

=

∑

=

=

=

=

             

(3)

 

i

i

n

1

i

i

yz

i

i

n

1

i

i

xz

z

y

m

D

,

z

x

m

D

∑

=

∑

=

=

=

                

(4)

 

(

)

2

i

2

i

n

1

i

i

z

y

x

m

J

+

∑

=

=

                         

(5)

 

Teoria maszyn i mechanizmów                  Dynamika Mechanizmów.   Wyrównoważanie                        5        

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski 
 

gdzie: 

y

x

S

,

S

- momenty statyczne wirnika względem osi Ox, Oy ,   

    

yz

xz

D

,

D

- momenty dewiacji wirnika względem płaszczyzn Oxz, Oyz, 

    

z

J - moment bezwładności wirnika względem osi Oz, 

     M - masa całkowita wirnika 
    

S

S

y

,

x

  - współrzędne środka masy wirnika. 

 
Na podstawie (2), (3), (4) i (5) współrzędne wektora głównego sił 

bezwładności 

∑

=

=

n

1

i

i

z

y

x

B

)

B

,

B

,

B

(

B

 wynoszą: 

     

(

)

(

)

∑

=

−

=

∑

−

∑

=

∑

+

∑

∑

=

=

+

=

∑

+

∑

=

∑

+

∑

∑

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

n

1

i

iz

z

S

2

S

i

n

1

i

i

i

n

1

i

i

2

n

1

i

t

iy

n

1

i

n

1

i

n

iy

iy

y

S

2

S

i

n

1

i

i

i

n

1

i

i

2

n

1

i

t

ix

n

1

i

n

1

i

n

ix

ix

x

B

B

x

y

M

x

m

y

m

B

B

B

B

y

x

M

y

m

x

m

B

B

B

B

ε

ω

ε

ω

ε

ω

ε

ω

 

      

(6)

 

Współrzędne momentu głównego sił bezwładności wyznaczymy na 

podstawie: 

(

)

(

)

(

)

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

−

−

=

=

=

−

+

+

−

=

=

=

×

=

=

n

1

i

i

ix

i

iy

n

1

i

i

ix

n

1

i

i

iy

n

1

i

iy

ix

i

i

i

i

n

1

i

i

n

1

i

Bi

B

y

B

x

B

k

z

B

j

z

B

i

0

B

B

z

y

x

k

j

i

B

M

M

ρ

                      

(7)

 

gdzie 

i

ρ

- wektor promień  łączący biegun redukcji (środek układu 

współrzędnych  Oxyz) z masą 

i

m . 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Teoria maszyn i mechanizmów                  Dynamika Mechanizmów.   Wyrównoważanie                        6        

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski 
 

Na podstawie (7) mamy: 

(

)

(

)

(

)

(

)

z

n

1

i

2

i

2

i

i

n

1

i

n

1

i

2

i

i

i

i

i

2

2

i

i

i

i

i

2

Biz

Bz

yz

xz

2

n

1

i

n

1

i

i

i

i

i

i

i

2

n

1

i

i

i

i

i

i

i

2

n

1

i

Biy

By

yz

2

xz

n

1

i

n

1

i

i

i

i

i

i

i

2

n

1

i

i

i

i

i

i

i

2

n

1

i

Bix

Bx

J

y

x

m

y

m

y

x

m

x

m

x

y

m

M

M

,

D

D

z

y

m

z

x

m

z

y

m

z

x

m

M

M

D

D

z

x

m

z

y

m

z

x

m

z

y

m

M

M

ε

ε

ε

ω

ε

ω

ε

ω

ε

ω

ε

ω

ω

ε

ε

ω

ε

ω

−

=

∑

+

−

=

=

∑

∑

−

−

−

=

=

+

=

=

∑

∑

+

=

∑

+

−

=

∑

=

−

=

=

∑

∑

+

−

=

∑

−

−

=

∑

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

              

(8)

    

 

Jeśli wektor główny sił bezwładności jest równy zero, 

0

B

i

=

oraz 

moment główny sił bezwładności jest równy zero, 

0

M

B

=

, to reakcje 

dynamiczne na podporach łożyskowych nie występują.  

Aby wektor główny sił bezwładności był równy zero muszą być spełnione 

na podstawie (6) następujące warunki: 

,

0

y

m

My

,

0

x

m

Mx

n

1

i

i

i

S

n

1

i

i

i

S

=

∑

=

=

∑

=

=

=

             

(9)

 

czyli 

0

x

S

=

 oraz 

0

y

S

=

                             

Oś obrotu przechodząca przez środek masy wirnika nazywa się  osią 

centralną. Warunek (9) oznacza, że środek masy wirnika znajduje się na osi 
obrotu. Wirnik jest w tym wypadku wyrównoważony statycznie.  

Moment główny sił bezwładności jest równy zero jeśli spełnione są warunki 

(na podstawie (8)): 

∑

=

=

=

n

1

i

i

i

i

xz

0

z

x

m

D

   oraz   

∑

=

=

=

n

1

i

i

i

i

yz

0

z

y

m

D

       

           

(10)

 

Spełnienie przez układ mas dyskretnych warunku (10) oznacza, że oś 

obrotu jest główną osią bezwładności. 

Jeśli spełnione są równocześnie warunki (9) i (10) wówczas oś obrotu 

jest główną centralną osią bezwładności i wirnik jest wyrównoważony 
dynamicznie (zupełnie). 

Składowa 

Bz

M

 momentu głównego sił bezwładności równoważy się 

z momentem napędowym oraz momentem oporu i nigdy nie powoduje 
obciążeń dynamicznych łożysk, nie ma zatem wpływu na stan 
wyrównoważenia.  

Teoria maszyn i mechanizmów                  Dynamika Mechanizmów.   Wyrównoważanie                        7        

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski 
 

Warianty stanu wyrównoważenia wirnika 
 

Różne możliwe warianty stanu wyrównoważenia przeanalizujemy na 

przykładzie wirnika składającego się z wału i osadzonych na nim dwóch 
cienkich tarcz, które zamodelujemy w postaci układu mas skupionych 

2

1

m

,

m

.  Założymy,  że wał wirnika jest konstrukcyjnie i technologicznie 

wyrównoważony. Stan wyrównoważenia wirnika będzie zatem wynikał  
z położenia środków mas 

2

1

S

,

S

.   Uwzględniając położenie środków mas 

2

1

S

,

S

 otrzymamy cztery warianty stanu wyrównoważenia (Rys. 3-6). 

 
 

0

B

,

0

y

,

0

x

S

S

=

=

=

 

                                 

0

M

,

0

D

,

0

D

B

yz

xz

=

=

=

 

 
                                                                 
                                                               Rys. 3. Wirnik wyrównoważony 
 
 

0

B

B

B

,

0

y

,

0

x

2

1

S

S

≠

+

=

≠

=

 

                                 

0

M

,

0

D

,

0

D

B

yz

xz

=

=

=

     

                                                               

                                                                Rys. 4. Wirnik niewyrównoważony 

0

B

≠

 

                                                                              - niewyrównoważenie siłowe 
 
 

                                 

0

B

B

B

,

0

y

,

0

x

2

1

S

S

=

+

=

=

=

 

0

M

,

0

D

,

0

D

B

yz

xz

≠

≠

=

 

 

                                                                  Rys. 5. Wirnik niewyrównoważony  

0

M

B

≠

           

               - niewyrównoważenie momentowe 

 

 
 

0

B

B

B

,

0

y

,

0

x

2

1

S

S

≠

+

=

≠

≠

   

 

0

M

,

0

D

,

0

D

B

yz

xz

≠

≠

≠

 

                                     

                                                            Rys. 6. Wirnik niewyrównoważony przypadek ogólny                  

Teoria maszyn i mechanizmów                  Dynamika Mechanizmów.   Wyrównoważanie                        8        

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski 
 

Twierdzenie o wyrównoważaniu wirników.  

 
Udowodnimy obecnie twierdzenie o warunkach wyrównoważenia dla 

modelu wirnika z masą rozłożoną w sposób ciągły, które ma duże znaczenie 
praktyczne, gdyż pokazuje, w jaki sposób należy przeprowadzać 
wyrównoważanie maszyn wirnikowych. Twierdzenie to jest również  słuszne 
dla przypadku, gdy wirnik modeluje się układem mas dyskretnych.  
Twierdzenie: Dowolny wirnik można całkowicie wyrównoważyć dynamicznie 
poprzez umieszczenie dwóch mas korekcyjnych w dwóch dowolnych nie 
pokrywających się  płaszczyznach prostopadłych do osi obrotu wirnika. 
Położenia kątowe tych mas oraz promienie, na których powinny być 
umieszczone zależą od wielkości niewyrównoważenia wirnika.  
Dowód twierdzenia 

 
Przyjmiemy,  że wirnik składa się z cienkich niewyrównoważonych tarcz 

prostopadłych do osi obrotu. Na każdą tarczę działa siła bezwładności 

i

B  

przyłożona w jej środku masy 

i

S . (Rys. 7). 

 
Przeprowadzamy redukcję zadanego układu sił bezwładności przyjmując 

za biegun redukcji środek masy wirnika S.  Przez 

i

ρ

 oznaczono wektor 

punktu przyłożenia siły bezwładności 

i

B .  

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Rys. 7. Model fizyczny niewyrównoważonego wirnika.  

 
W wyniku redukcji otrzymujemy wektor główny sił bezwładności  B  oraz 
moment główny sił bezwładności 

B

M

 przyłożone w środku masy wirnika S: 

∑

∑

=

=

×

=

=

n

1

i

i

i

B

n

1

i

i

B

M

;

B

B

ρ

                

   

(11)

 

Teoria maszyn i mechanizmów                  Dynamika Mechanizmów.   Wyrównoważanie                        9        

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski 
 

Wektor główny sił bezwładności 

B

jest prostopadły do osi wirnika  

i przechodzi przez jego środek masy S. Moment główny sił bezwładności 

B

M

 

jest prostopadły do głównej centralnej osi bezwładności oraz do osi wirnika  
i przechodzi przez jego środek masy S.  Ponieważ wirnik jest 
niewyrównoważony dynamicznie, oś obrotu wirnika oraz główna centralna oś 
bezwładności wirnika są prostymi skośnymi. Przyjmujemy dwie dowolne 
płaszczyzny

1

π

i 

2

π

 prostopadłe do osi wirnika, w których przyłożymy dwie 

siły 

1

B  i 

2

B  bezwładności w taki sposób, aby nowy układ sił  był statycznie 

równoważny zadanemu układowi 

B

 i 

B

M

 co przedstawiono na Rys. 8 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 8. Wektor główny sił bezwładności i moment główny sił bezwładności  oraz   
               równoważny układ sił bezwładności w płaszczyznach korekcyjnych.  

 
W celu ustalenia kierunków i wartości sił 

1

B  i 

2

B  przeprowadzimy 

następujące kroki: 
!

 wektor  główny 

B

 rozkładamy na dwie siły równoległe działające  

w płaszczyznach 

1

π

 i 

2

π

  takie, że 

2

1

B

B

B

′

+

′

=

, 

!

 moment  główny 

B

M

  przedstawiamy w postaci pary sił 

1

B

′′

oraz 

2

B

′′

 takich, 

że: 

(

)

1

2

1

B

B

B

B

,

B

M

M

′′

×

=

′′

′′

=

ρ

 

Otrzymujemy ostatecznie dwie siły bezwładności 

1

B  oraz 

2

B  działające  

w płaszczyznach 

1

π

 i 

2

π

:  

                           

1

1

1

B

B

B

′′

+

′

=

             

2

2

2

B

B

B

′′

+

′

=

              

  

(12)

 

Aby zatem wirnik wyrównoważyć dynamicznie, należy  

w płaszczyznach 

1

π

 i 

2

π

 zwanych płaszczyznami korekcyjnymi (lub 

płaszczyznami wyważania) umieścić masy korekcyjne 

1

k

m  i 

2

k

m

 na 

promieniach korekcyjnych 

1

k

r  i 

2

k

r  (Rys. 8), obróconych o kąt  180

°°°°

  

w stosunku do sił bezwładności 

1

B  i 

2

B , co kończy dowód twierdzenia. 

Teoria maszyn i mechanizmów                  Dynamika Mechanizmów.   Wyrównoważanie                        10        

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski 
 

Masy korekcyjne 

1

k

m  i 

2

k

m  na promieniach korekcyjnych 

1

k

r  i 

2

k

r

 przy 

obrocie wału z prędkością  kątową 

ω

 wywołują siły bezwładności 

równoważące siły 

1

B  i 

2

B , muszą być zatem spełnione równania:  

               

2

k

2

1

k

1

B

B

,

B

B

−

=

−

=

 

               

2

1

k

1

k

1

k

r

m

B

ω

=

,   

2

2

k

2

k

2

k

r

m

B

ω

=

                               

(13)

 

                           

 
 
 
 
 
 
 

Rys. 8 (powtórzony). Wektor główny sił bezwładności i moment główny sił bezwładności                 
           oraz równoważny układ sił bezwładności w płaszczyznach korekcyjnych.  

 
 

 

Rys. 9. Praktyczne wyrównoważanie wirnika  w dwóch płaszczyznach korekcyjnych 

Teoria maszyn i mechanizmów                  Dynamika Mechanizmów.   Wyrównoważanie                        11        

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski 
 

Przedstawiona teoria znajduje zastosowanie przy wyrównoważaniu 

wirników silników  elektrycznych, wentylatorów, turbin itp.  

Charakterystycznym przykładem jest dynamiczne wyrównoważanie kół 

pojazdów samochodowych. 

Na Rys. 10 wybór płaszczyzn korekcyjnych oraz sposób mocowania mas 

korekcyjnych na obręczy koła.  

 
 
 
Przyczyny niewyrównoważenia kół pojazdów samochodowych: 

-  niewyrównoważenie obręczy koła, 
-  niewyrównoważenie opony, 
-  niewyrównoważenie powstałe przy montażu opony na obręczy, 
-  nierównomierne zużycie bieżnika opony, 
-  uszkodzenie lub skrzywienie obręczy. 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
Rys. 10. 

 

Wyważanie dynamiczne kół pojazdów samochodowych.  

 

 

 

Teoria maszyn i mechanizmów                  Dynamika Mechanizmów.   Wyrównoważanie                        12        

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski 
 

Przykład 1 
 
Dany jest wał o masie M i środku ciężkości  S leżącym na osi obrotu Oz 

wirujący wokół tej osi z prędkością kątową 

ω

 (Rys. 11), dla którego 

0

D

xz

=

  

i 

0

D

yz

=

.  Niewyrównoważenie wału spowodowane jest układem dwóch 

mas 

g

10

m

1

=

 i 

g

20

m

2

=

 umieszczonych odpowiednio na promieniach 

50

r

1

=

mm, 

40

r

2

=

mm, pod kątami 

°

=

60

1

ϕ

, 

°

=

120

2

ϕ

, mierzonymi  

w układzie ruchomym Oxyz związanym z wałem. Dane są odległości: 

mm

200

l

l

l

l

3

2

1

=

=

=

=

. Położenie płaszczyzn korekcyjnych 

2

1

,

π

π

 jak na 

rysunku.  
Należy wyznaczyć masy korekcyjne 

2

k

1

k

m

,

m

 oraz ich położenie 

2

k

1

k

,

ϕ

ϕ

 

tak, aby wyrównoważyć dynamicznie wał z zadanymi masami. Promienie 
korekcji wynoszą: 

mm

20

r

1

k

=

, 

mm

40

r

2

k

=

. 

 

Rys. 11. Wyrównoważanie wału z układem mas skupionych 

 
Rozwiązanie 
Warunki wyrównoważenia dynamicznego układu mają postać: 

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

⋅

+

⋅

⋅

+

=

=

⋅

+

⋅

⋅

+

=

=

+

+

+

=

=

+

+

+

=

n

1

i

2

k

2

k

2

k

2

2

2

1

1

k

1

i

i

i

n

1

i

2

k

2

k

2

k

2

2

2

1

1

1

i

i

i

n

1

i

2

k

2

k

2

k

2

2

2

1

1

1

1

k

1

k

1

k

i

i

n

1

i

2

k

2

k

2

k

2

2

2

1

1

1

1

k

1

k

1

k

i

i

0

sin

l

3

r

m

sin

l

2

r

m

sin

l

r

m

z

y

m

0

cos

l

3

r

m

cos

l

2

r

m

cos

l

r

m

z

x

m

0

sin

r

m

sin

r

m

sin

r

m

sin

r

m

y

m

0

cos

r

m

cos

r

m

cos

r

m

cos

r

m

x

m

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

 

(P1.1) 

Teoria maszyn i mechanizmów                  Dynamika Mechanizmów.   Wyrównoważanie                        13        

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski 
 

Z trzeciego i czwartego równania (P1.1) mamy: 

306

,

3

cos

r

m

2

cos

r

m

sin

r

m

2

sin

r

m

tg

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

2

k

−

=

+

+

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

       

(P1.2)

 

stąd: 

°

=

82

,

286

2

k

ϕ

 

 
Z czwartego równania (P1.1) mamy: 

g

83

,

15

sin

r

3

sin

r

m

2

sin

r

m

m

2

k

2

k

2

2

2

1

1

1

2

k

=

−

−

=

ϕ

ϕ

ϕ

      

(P1.3)

 

 
Z pierwszego i drugiego równania (P1.1) mamy:  

615

,

15

cos

r

m

cos

r

m

cos

r

m

sin

r

m

sin

r

m

sin

r

m

tg

2

k

2

k

2

k

2

2

2

1

1

1

2

k

2

k

2

k

2

2

2

1

1

1

1

k

=

+

+

+

+

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

 

   (P1.4)

 

stąd: 

°

=

33

,

266

1

k

ϕ

 

 
Z drugiego równania (P1.1) mamy:  

 

 

g

03

,

26

sin

r

sin

r

m

sin

r

m

sin

r

m

m

1

k

1

k

2

k

2

k

2

k

2

2

2

1

1

1

1

k

=

−

−

−

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

         

(P1.5)

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
Rys. 12. Rozmieszczenie mas korekcyjnych.

Teoria maszyn i mechanizmów                  Dynamika Mechanizmów.   Wyrównoważanie                        14        

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski 
 

WYRÓWNOWAŻANIE MECHANIZMÓW DŹWIGNIOWYCH 
 
Mechanizmy dźwigniowe w ogólnym przypadku są mechanizmami 

przestrzennymi. Ich człony poruszają się w płaszczyznach równoległych do 
pewnej płaszczyzny kierowniczej.  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 13.  Dwucylindrowy silnik w układzie rzędowym  

 
Przyjęto,  że główna płaszczyzna ruchu Oxy  (płaszczyzna kierownicza) 

przechodzi przez oś pierwszego cylindra. Oś drugiego cylindra jest 
przesunięta i przechodzi przez nią  płaszczyzna  Ox

1

y

1

. Przy tak przyjętym 

układzie współrzędnych, współrzędne wszystkich ruchomych członów  
z

i 

= const, zatem również współrzędna środka masy  z

S 

= const. 

Obliczymy teraz wektor główny sił bezwładności  B  dla mechanizmu. Mamy: 

∑

−

=

−

=

=

n

1

i

Si

i

S

z

y

x

a

m

a

M

)

B

,

B

,

B

(

B

                

(14)

 

gdzie:  M - masa całkowita, 

S

a - przyspieszenie środka masy, 

Si

a  - 

przyspieszenie środka masy i - tego członu. 

Na podstawie (14) współrzędne wektora  B  wynoszą:  

0

z

m

z

M

B

,

y

m

y

M

B

,

x

m

x

M

B

n

1

i

i

i

S

z

n

1

i

i

S

y

n

1

i

i

i

S

x

=

∑

−

=

−

=

∑

−

=

−

=

∑

−

=

−

=

=

=

=

&&

&&

&&

&&

&&

&&

                   

(15)

 

Teoria maszyn i mechanizmów                  Dynamika Mechanizmów.   Wyrównoważanie                        15        

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski 
 

Moment główny sił bezwładności 

B

M

 obliczamy ze wzoru: 

∑

∑

−

−

=

×

=

=

=

n

1

i

n

1

i

i

i

i

i

i

i

i

B

0

y

m

x

m

z

y

x

k

j

i

B

M

&&

&&

ρ

          

(16)

 

stąd współrzędne momentu wynoszą: 

(

)

.

y

x

m

y

x

m

M

,

dt

D

d

z

x

m

M

,

dt

D

d

z

y

m

M

n

1

i

i

i

i

i

i

i

Bz

n

1

i

2

xz

2

i

i

i

By

n

1

i

2

yz

2

i

i

i

Bx

∑

−

=

∑

−

=

=

∑

=

=

=

=

=

&&

&&

&&

&&

                   

(17)

 

Warunkiem wyrównoważenia całkowitego mechanizmu jest, 

0

B

=

 oraz 

0

M

B

=

  

Na podstawie (15) otrzymujemy: 

0

B

=

   dla   

0

a

S

=

                           

(18)

 

Przyspieszenie 

0

a

S

=

 dla 

const

v

S

=

 lub 

0

v

S

=

. 

 
Jednak ze względu na cykliczność ruchu mechanizmu nie jest możliwy 

jednostajny prostoliniowy ruch środka masy względem nieruchomej 
podstawy. Dlatego w rzeczywistości musi być spełniony warunek: 

const

x

S

=

   oraz   

const

y

S

=

                    

(19)

 

Podobnie na podstawie (17) otrzymujemy: 

0

M

Bx

=

   dla   

const

D

yz

=

                 

(20)

 

0

M

By

=

   dla   

const

D

xz

=

                 

(21)

 

Wyzerowanie współrzędnej 

Bz

M

 nie jest możliwe i współrzędna ta jest 

przedmiotem odrębnej analizy w rozdziale dotyczącym równań dynamicznych 
maszyny. Współrzędna 

Bz

M

 powoduje zjawisko „kołysania się silnika”. 

Jeśli spełnione są warunki (18) przestrzenny mechanizm dźwigniowy 

jest wyrównoważony statycznie.  

 
Jeśli spełnione są równocześnie warunki (18), (20) i (21) przestrzenny 

mechanizm dźwigniowy jest wyrównoważony dynamicznie (całkowicie). 
  

Teoria maszyn i mechanizmów                  Dynamika Mechanizmów.   Wyrównoważanie                        16        

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski 
 

Wyrównoważanie statyczne płaskich mechanizmów dźwigniowych. 

 
Dany jest płaski mechanizm dźwigniowy (Rys. 14), dla którego 

wyznaczymy położenie  środka masy. Promień wektor środka masy 
wyznaczamy z zależności:  

M

r

m

m

r

m

r

n

1

i

Si

i

n

1

i

i

n

1

i

Si

i

S

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

                    

(22)

 

W trakcie ruchu niewyrównoważonego mechanizmu środek masy porusza 

się po torze o współrzędnych: 

M

y

m

y

;

m

x

m

x

n

1

i

i

i

S

n

1

i

i

n

1

i

i

i

S

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

                  

(23)

 

 

Rys. 14. Wyznaczanie środka masy płaskiego mechanizmu dźwigniowego 

 
Warunek statycznego wyrównoważenia mechanizmu płaskiego ma postać: 

0

a

M

B

S

=

⋅

−

=

                       

(24)

 

Ponieważ 

0

M

≠

, natomiast 

0

a

S

=

 jeżeli: 

a) środek masy mechanizmu porusza się ruchem jednostajnym 

prostoliniowym.  

b) środek masy mechanizmu jest nieruchomy.  
W mechanizmach dźwigniowych wykonujących ruch okresowy możliwy jest 

jedynie drugi przypadek tzn.: 

const

x

S

=

   oraz   

const

y

S

=

                    

(25)

 

Zależność (25) jest warunkiem koniecznym i wystarczającym 

statycznego wyrównoważenia mechanizmu płaskiego. 

Teoria maszyn i mechanizmów                  Dynamika Mechanizmów.   Wyrównoważanie                        17        

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski 
 

Przykład 2  
Wyrównoważanie statyczne całkowite mechanizmu korbowo - suwakowego.  

 
Dany jest niewyrównoważony mechanizm korbowo - suwakowy, którego 

środek masy S porusza się po torze pokazanym na Rys. 15. Dane są masy 
członów  

kg

2

m

,

kg

1

m

m

2

3

1

=

=

=

 umieszczone w środkach mas 

3

2

1

S

,

S

,

S

 

oraz długości 

m

2

,

0

s

,

m

4

,

0

l

,

m

1

,

0

s

,

m

2

,

0

l

2

2

1

1

=

=

=

=

. Przeprowadzić 

całkowite statyczne wyrównoważenie mechanizmu wprowadzając 
odpowiednie masy korekcyjne (przeciwciężary).  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 15. Niewyrównoważony mechanizm korbowo-suwakowy 

 

Rozwiązanie 

Dla statycznego całkowitego wyrównoważenia mechanizmu korbowo - 

suwakowego niezbędne jest, aby jego środek masy  trakcie ruchu 
mechanizmu pozostawał nieruchomy. W przypadku tego mechanizmu 
oznacza to, że jego środek masy powinien znajdować się w punkcie A. 
Przeniesienie  środka masy do nieruchomego punktu A uzyskamy po 
wprowadzeniu dodatkowych mas tzw. mas korekcyjnych (przeciwciężarów), 
co przedstawiono na Rys. 16.  

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
Rys. 16. Wyrównoważanie całkowite mechanizmu korbowo-suwakowego 

Teoria maszyn i mechanizmów                  Dynamika Mechanizmów.   Wyrównoważanie                        18        

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski 
 

Krok pierwszy polega na sprowadzeniu środków mas członów  2 i 3 do 

punktu B poprzez umieszczenie na przedłużeniu członu 2 masy korekcyjnej 

2

k

m

 na promieniu 

2

k

r

. 

W celu obliczenia współrzędnych środka ciężkości mas 

3

2

m

,

m

 oraz 

2

k

m

 

wygodnie jest przyjąć układ współrzędnych w ten sposób, aby początek 
układu znajdował się w punkcie, do którego chcemy sprowadzić  środek 
ciężkości układu mas (czyli punkt B), oś 

2

Bx  winna pokrywać się z osią 

członu, natomiast 

2

By  powinna być do niej prostopadła. Wtedy współrzędna 

S

y   środka masy równa jest zero. Współrzędna 

S

x  również ma być równa 

zero, co pozwala na zapisanie warunku zerowania się momentu statycznego 

2

y

S

:  

0

l

m

s

m

r

m

x

m

S

2

3

2

2

2

k

2

k

n

1

i

i

i

2

y

=

+

+

∑

−

=

=

=

                 

(P2.1)

 

stąd                   

0

l

m

s

m

r

m

S

2

3

2

2

2

k

2

k

2

k

=

+

=

=

                

           (P2.2)

 

gdzie: 

2

k

S

 - moment statyczny przeciwciężaru.  

 
Możemy dobrać 

2

k

m

 i 

2

k

r  w ten sposób, aby zależność (P2.2) była 

spełniona.  

W kroku drugim sprowadzamy środek ciężkości układu mas 

1

m

 oraz masy 

znajdującej się obecnie w punkcie B: 

2

k

3

2

B

m

m

m

m

+

+

=

 do punktu A 

poprzez umieszczenie na przedłużeniu członu  1 masy korekcyjnej 

1

k

m  na 

promieniu 

1

k

r . Przyjmujemy w tym celu układ współrzędnych 

1

1

y

Ax

 o 

początku w punkcie A. Obliczamy moment statyczny: 

∑

=

+

+

−

=

=

=

n

1

i

1

B

1

1

1

k

1

k

i

i

1

y

0

l

m

s

m

r

m

x

m

S

                 

 (P2.3)

 

stąd: 

(

)

1

2

k

3

2

1

1

1

B

1

1

1

k

1

k

1

k

l

m

m

m

s

m

l

m

s

m

r

m

S

+

+

+

=

+

=

=

                    

(P2.4)

 

Możemy dobrać 

1

k

m  i 

1

k

r  w ten sposób, aby była spełniona zależność 

(P2.4). Przyjmiemy promienie korekcyjne: 

m

2

,

0

r

,

m

2

,

0

r

2

k

1

k

=

=

  

i następnie obliczymy masy korekcyjne: 

kg

5

,

7

2

,

0

2

,

0

)

8

1

2

(

1

,

0

1

r

l)

m

m

m

(

s

m

m

kg

4

2

,

0

4

,

0

1

2

,

0

2

r

l

m

s

m

m

1

k

1

2

k

3

2

1

1

1

k

2

k

2

3

2

2

2

k

=

⋅

+

+

+

⋅

=

+

+

=

=

⋅

+

⋅

=

+

=

     

(P2.5)

 

W ten sposób mechanizm został wyrównoważony statycznie całkowicie. 

Teoria maszyn i mechanizmów                  Dynamika Mechanizmów.   Wyrównoważanie                        19        

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski 
 

Masa mechanizmu przed wyrównoważeniem:  

  

kg

4

m

m

m

M

3

2

1

p

=

+

+

=

                       

(P2.6)

 

Masa mechanizmu po wyrównoważeniu: 

  

kg

5

,

15

m

m

m

m

m

M

2

k

1

k

3

2

1

w

=

+

+

+

+

=

             

(P2.7)

 

W wyniku w     wyrównoważenia statycznego całkowitego uzyskaliśmy 

wprawdzie wektor 

0

B

=

, lecz masa mechanizmu wzrosła prawie 

czterokrotnie. Dodatkowo wzrosną wartości momentów bezwładności 

1

S

J

  

i 

2

S

J

 członów  1 i 2, co spowoduje znaczny wzrost momentu bezwładności 

całego mechanizmu.  

W praktyce rzadko stosuje się całkowite wyrównoważanie statyczne. 

Stosuje się natomiast wyrównoważanie statyczne częściowe, które polega na 
tym, że nie sprowadza się wektora głównego sił bezwładności do zera, lecz 
dąży się do zmniejszenia jego wartości oraz odpowiedniego doboru jego 
kierunku . 
Przykład 3  
Wyrównoważanie statyczne częściowe mechanizmu korbowo - suwakowego.  

 
Dany jest niewyrównoważony mechanizm korbowo - suwakowy jak  

w Przykładzie 2. Przeprowadzić wyrównoważenie statyczne częściowe 
mechanizmu. 

Rozwiązanie 
Do wyrównoważenia mechanizmu zastosujemy tylko jedną masę 

korekcyjną      umieszczoną na przedłużeniu korby (Rys. 17). 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Rys. 17. Częściowe wyrównoważanie mechanizmu korbowo-suwkowego 

 
W kroku pierwszym wyrównoważania zastępujemy masę członu 2 układem 

dwóch mas 

B

2

m

i 

C

2

m

 skupionych w punktach B i C.  

Wykorzystamy w tym celu metodę mas zastępczych. 

Teoria maszyn i mechanizmów                  Dynamika Mechanizmów.   Wyrównoważanie                        20        

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski 
 

Metoda mas zastępczych polega na zastąpieniu mas niektórych członów 

(brył sztywnych o ciągłym rozkładzie masy) skończonym zbiorem mas 
punktowych skupionych w wybranych z góry punktach.  

 
Warunki równoważności masy członu rozłożonej w sposób ciągły oraz 

zbioru mas skupionych dla układu płaskiego są następujące: 
- masa 

układu pozostaje niezmieniona:  

m

m

n

1

i

i

=

∑

=

,                          

(P3.5)

 

-  środek masy nie zmienia swego położenia: 

S

n

1

i

i

i

S

n

1

i

i

i

my

y

m

;

mx

x

m

=

=

∑

∑

=

=

            

(P3.26)

 

- moment 

bezwładności względem środka masy pozostaje niezmieniony: 

(

)

S

n

1

i

2

i

2

i

i

J

y

x

m

=

+

∑

=

                      

(P3.37)

 

W przypadku pręta (członu jednowymiarowego) warunek (P3.2) redukuje 

się do postaci: 

0

x

m

n

1

i

i

i

=

∑

=

                           

(P3.4)

 

Dla członu jednowymiarowego otrzymujemy zatem 3 warunki równoważności: 
(P3.1), (P3.2) i (P3.3). Ponieważ powyższy układ równań musi być 
oznaczony, minimalna liczba skupionych mas zastępczych wynosi 3.  

 
W niniejszym przykładzie zastępujemy masę członu 2 jedynie dwiema 

masami skupionymi, rezygnując ze spełnienia warunku (P3.3). 

 
Na podstawie (P3.1) oraz (P3.4) otrzymujemy zależności:  

(

)

0

s

l

m

s

m

m

m

m

2

2

C

2

2

B

2

C

2

B

2

2

=

−

+

−

+

=

                 

   

(P3.5)

 

stąd obliczamy:  

(

)

2

2

2

2

B

2

s

l

l

m

m

−

=

 oraz 

2

2

2

C

2

s

l

m

m

=

      

          

(P3.6)

 

Zastąpienie członu 2 dwiema masami zastępczymi 

B

2

m

,

C

2

m

 nie zmienia 

jego masy, jak również położenia  środka masy 

2

S . Natomiast moment 

bezwładności układu mas zastępczych różni się od momentu bezwładności  
członu 2 i dlatego jest to model przybliżony, nie w pełni ekwiwalentny.  

Teoria maszyn i mechanizmów                  Dynamika Mechanizmów.   Wyrównoważanie                        21        

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski 
 

Masa 

B

2

m

 traktowana jako punkt materialny porusza się razem z członem 

1, który wykonuje ruch obrotowy, natomiast masa 

C

2

m

 porusza się wraz z 

członem 3 ruchem postępowym.  

W drugim kroku wyrównoważania sprowadzamy środek ciężkości układu 

mas 

1

m i

B

2

m

 do osi obrotu korby (punkt A) umieszczając na jej przedłużeniu 

masę korekcyjną 

1

k

m .  

 
Mamy obecnie: 

1

k

1

B

2

1

1

1

k

1

B

2

1

1

1

k

1

k

n

1

i

i

i

1

y

r

l

m

s

m

m

0

l

m

s

m

r

m

x

m

S

+

=

=

+

+

−

=

∑

=

=

     

           

(P3.7)

 

Po uwzględnieniu danych jak w Przykładzie 3.19 mamy: 

(

)

kg

1

)

2

,

0

4

,

0

(

4

,

0

2

s

l

l

m

m

2

2

2

2

B

2

=

−

=

−

=

         

(P3.8)

 

kg

1

2

,

0

4

,

0

2

s

l

m

m

2

2

2

C

2

=

=

=

                

(P3.9)

 

kg

5

,

1

2

,

0

1

,

0

1

1

,

0

1

r

l

m

s

m

m

1

k

1

B

2

1

1

1

k

=

⋅

+

⋅

=

+

=

         

(P3.10)

 

Masa w punkcie C: 

kg

2

1

1

m

m

m

C

2

3

C

=

+

=

+

=

                 

(P3.11)

 

Masa mechanizmu przed wyrównoważaniem:  

kg

4

m

m

m

M

3

2

1

p

=

+

+

=

                  

(P3.12)

 

Masa mechanizmu po wyrównoważeniu częściowym:  

kg

5

,

5

m

m

m

m

M

1

k

3

2

1

w

=

+

+

+

=

              

(P3.13)

 

 
Jak widać, stosując tę metodę wyrównoważania całkowity wzrost masy 

częściowo wyrównoważonego mechanizmu jest nieduży. Jednakże 
wykonująca ruch postępowy masa 

C

2

3

C

m

m

m

+

=

 pozostaje 

niewyrównoważona i dlatego środek masy mechanizmu porusza się po linii 
prostej (po osi Ox).  

W tym przypadku wyrównoważona została składowa pionowa wektora 

głównego sił bezwładności 

0

B

y

=

, natomiast składowa pozioma pozostaje 

różna od zera 

0

B

x

≠

. 

Teoria maszyn i mechanizmów                  Dynamika Mechanizmów.   Wyrównoważanie                        22        

Opracowali: J. Felis, H. Jaworowski 
 

 
Wyrównoważanie konstrukcyjne sprężarki tłokowej jednocylindrowej   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
                   

 

 
       Masa korekcyjna (przeciwciężar) 

 

Rys. 18. Wyrównoważanie mechanizmu korbowo-suwakowego sprężarki tłokowej 
jednocylindrowej - schemat rozmieszczenia przeciwciężaru. 

 

 

 

 

 

 

 

 
Rys. 19. Wyrównoważanie mechanizmu korbowo-suwakowego sprężarki tłokowej 
jednocylindrowej - konstrukcja wału korbowego z przeciwciężarem