-1-
Wytrzymałość materiałów II GiG NIESTACJONARNE
19.05.2013 r.
Obliczenia momentów zginających i sił poprzecznych w belkach
Zadanie 1
Belka AB o długości 5 m została podparta na swoich końcach (rys.1). Na odcinku CB o
długości b = 3m działa na belkę obciążenie ciągłe q = 3kN/m. Ponadto w punkcie C działa na
belkę siła skupiona F = 2 kN. Obliczyć rozkład momentów zginających oraz sił tnących na
całej długości belki.
Rys. 1 [1]
W pierwszej kolejności przyjmujemy zwroty działania sił. W naszym przypadku
przyjmujemy, że wartości sił są zgodne z przyjętym systemem w układzie kartezjańskim, a
więc umieszczając punkt A w środku naszego układu (x,y) przyjmujemy, że wszystkie siły
mające zwrot zgodny ze zwrotem osi y będą miały wartości dodatnie, a siły skierowane
przeciwnie do kierunku osi y wartości ujemne.
Kolejnym krokiem jest zaznaczenie reakcji działających w podporach.
Proponuję używać do tego celu koloru czerwonego (rys.2).
-2-
Rys. 2 (Opracowanie własne)
Ze względu na to, że w podporze A, która jest podporą stałą, składowa reakcji, leżąca w osi x
naszego układu jest równa „0”, można ją pominąć.
Układamy warunki równowagi statycznej dla belki:
I.
II.
SPRAWDZENIE
III.
Po podstawieniu danych do dwóch pierwszych równań obliczamy reakcje R
A
= 3,9 kN,
R
B
= 7,1 kN, których poprawność stwierdzamy podstawiając dane do równania trzeciego:
3,9+7,1-2-3·3=0
Zatem strona lewa równa się stronie prawej:
L = P
Znaki dodatnie oznaczają poprawność przyjętych zwrotów reakcji.
Możemy przejść do wyznaczania momentów gnących i sił poprzecznych (tnących) w belce.
-3-
Proponuję skonstruować do tego celu niniejszą tabelę:
Nr.
Prze-
działu
Przedział
T (x)
(siła tnąca)
Mg (x)
(Moment gnący)
Obliczenia
x
T
[kN]
Mg
[kN·m]
W pierwszej kolejności wyznaczamy wzory na momenty gnące w każdym z przedziałów.
Wyodrębniamy więc dwa przedziały zmienności obciążenia, a więc zmienności momentów
zginających i sił poprzecznych (tnących) (rys.3 i rys.4).
Przedział 1: 0 ≤ x
1
≤ a
Rys. 3 (Opracowanie własne)
Ogólne równania momentów i sił tnących w przedziale pierwszym mają postać:
M(x
1
) = R
A
·x
1
T(x
1
) = R
A
= const
Równania powyższe muszą spełniać zależność:
Siła poprzeczna (tnąca) to pochodna z momentu gnącego.
dM(x
1
)
dx
1
= x
1
,
-4-
a więc
d
dx
1
R
A
x
1
=
,
L = P.
Wartości momentów i sił na granicach przedziału są następujące:
M x
1
=0 =
0 k m,
M x
=2 m =
k m,
x
1
=
0 = x
1
=
2 m = k
Przedział 2: 2m ≤ x
2
≤ 5 m
Rys. 4 (Opracowanie własne)
W przedziale drugim równania ogólne są następujące:
M x
2
=R
A
x
2
-F
x
2
-a
-q
x
2
-a
2
2
,
x
2
=R
A
-F-q
x
2
-a
.
Równania momentów zginających oraz sił tnących muszą spełniać zależność:
Siła poprzeczna (tnąca) to pochodna z momentu gnącego.
-5-
dM(x
2
)
dx
2
= x
2
,
a więc
d
dx
2
R
A
x
2
F(x
2
a) q
x
2
a
2
2
=R
A
F q x
2
a ,
L = P
Wartości momentów i sił na granicach przedziału drugiego są następujące:
M x
2
=2 m =
k m, M x
2
=5 m =
0 k m
x
2
=2 m =1 k , x
2
=5 m =
- 1 k
A zatem tabelka końcowa po uzupełnieniu wyników prezentuje się następująco:
Nr.
Prze-
działu
Przedział
T
(Siła tnąca)
Mg
(Moment gnący)
Obliczenia
x
T
[kN]
Mg
[kN·m]
1
0 ≤ x
1
≤ a
R
A
R
A
·x
1
0
3,9
0
a = 2 m
3,9
7,8
2
a ≤ x
2
≤ (a+b)
R
A
- F- q(x
2
-a)
R
A·
x
2
- F·(x
2
-a)
- q·(x
2
-a)·
a = 2m
1,9
7,8
(a+b) = 5 m
-7,1
0
Wykresy sił tnących i momentów gnących w belce przedstawiono na rysunku nr.5:
-6-
Rys. 5 (Opracowanie własne)
-7-
Wykres sił tnących
W przedziale pierwszym wartość sił tnących jest stała i wynosi T(x
1
) = const = - 3,9 kN, co
odpowiada wartości reakcji podporowej R
A.
Na granicy przedziałów następuje przeskok o wartość 2 kN równą sile skupionej F
przyłożonej w tym miejscu. Następnie siły zmieniają się od wartości 1,9 kN do -7,1 kN.
Równanie opisujące charakter tych zmian T(x
2
) jest równaniem linii prostej i dlatego w ten
sposób połączymy obie wartości sił tnących obliczone na krańcach przedziału drugiego.
Wartość siły tnącej na końcu belki przyjmuje taką wartość, aby reakcja podporowa R
B
= 7,1
kN
mogła ją zrównoważyć [1].
Wykres momentów zginających
W przedziale pierwszym wartości momentu zginającego zmieniają się od 0 do 7,8 kNm
według zależności podanej równaniem M (x
1
) , które w sensie matematycznym jest
równaniem prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych.
W przedziale drugim, wykres przechodzi w sposób ciągły w równanie kwadratowe dane
równaniem M(x
2
). Jest to fragment paraboli skierowanej wypukłością ku górze, która posiada
lokalne ekstremum w punkcie x
0
, który znajdziemy obliczając miejsce zerowania się
pochodnej momentu, czyli siły tnącej [1]:
T(x
2
= x
0
) = 0
R
A
- F – q(x
0
-a)= 0.
Po podstawieniu danych otrzymujemy x
0
= 2.633 m.
Następnie obliczymy wartość momentu maksymalnego:
M
MAX
= M(x
2
-x
0
)
M
MAX
=
R
A
x
0
-F(x
0
-a)-q
x
0
-a
2
2
stąd moment M
m a x
= 8,4 kNm.
Zadania przykładowe
Zadanie 2
Belka AB o długości 5 m została podparta w punktach A i C (rys.6). W punkcie B działa na
belkę siła skupiona P = 2 kN. Ponadto na odcinku CD działa na belkę obciążenie ciągłe q = 3
kN/m. Długość l = 1 m. Obliczyć rozkład momentów zginających oraz sił tnących na całej
długości belki.
-8-
Rys. 6 (Opracowanie własne)
Odpowiedź:
R
A
= 0,25 kN, R
C
= 4,75 kN
Obliczenia
x
T [kN]
M [kNm]
0
0,25
0
l
0,25
0,25
l
-1,75
0,25
2l
-1,75
-1,5
2l
3,00
-1,5
3l
0
0
Uwaga !
Wszędzie tam gdzie mamy do czynienia z obciążeniem ciągłym, wykresem momentów
gnących będzie funkcja drugiego stopnia (kwadratowa). O tym czy wykres funkcji będzie
wklęsły (ramiona w górę), czy wypukły (ramiona w dół) decyduje znak „+” lub „-” przed
współczynnikiem kwadratowym równania.
Z przykładu 1: W przedziale 2 występuje składnik równania kwadratowego
.
Wykres momentów w tym przedziale z uwagi na ujemny znak jest parabolą wypukłą,
skierowaną
ramionami
do
dołu
(rys.7).
-9-
Rys. 7 (Opracowanie własne)
Zad 3
Belka AD o długości 4 m została podparta w punktach B i C (rys.8). W punkcie A działa na
belkę siła skupiona P = 3 kN. Ponadto w punkcie D działa na belkę para sił o momencie
zginającym M = 4 kNm. Odcinek a = 1 m, natomiast b = 2 m . Obliczyć rozkład momentów
zginających oraz sił tnących na całej długości belki.
Rys. 8 (Opracowanie własne)
Odpowiedź:
R
B
= 2,5 kN, R
C
= 0,5 kN
Obliczenia
x
T [kN]
M [kNm]
0
-3,00
0
a
-3,00
-3,00
a
-0,50
-3,00
(a+b)
-0,50
-4,00
(a+b)
0
-4,00
(2a+b)
0
-4,00
-10-
Zad 4
Wykonaj wykresy sił tnących i momentów gnących w belce AC podpartej swobodnie w obu
końcach i obciążonej na lewej połowie obciążeniem ciągłym zmieniającym się liniowo od
zera do natężenia q = 4 kN/m w środku długości belki i obciążonej dodatkowo momentem
M=1kNm (rys.9). Odcinek a = 1 m.
Rys. 9 (Opracowanie własne)
Odpowiedź:
R
A
= 0,830 kN, R
C
= 1,170 kN
Obliczenia
x [m]
T [kN]
M [kNm]
0
0,830
0
1
-0,503
0,163
1
-1,170
-1,163
2
-1,170
0
Uwaga !
W powyższym zadaniu mamy do czynienia z obciążeniem ciągłym zmieniającym się linowo
od zera do „q”. Podczas wyznaczania wzoru na moment gnący należy pamiętać o tym, że
wartość siły wypadkowej działającej w pierwszym przedziale belki, gdzie występuje
obciążenie ciągłe, równa jest polu trójkąta P
Δ
=
. Siła wypadkowa F
w
leży w
odległości 2/3 od podpory A i 1/3 od punktu B (rys.10).
A więc:
-11-
Rys. 10 (Opracowanie własne)
F
w
=
Przy wyznaczaniu równania dla momentu gnącego w pierwszym przedziale (x
1
) należy
uwzględnić wartość obciążenia liniowego zmieniającego się od zera do „q”.
W naszym przypadku wartość momentu dla obciążenia rozłożonego liniowo i zmieniającego
się od 0 do „q” będzie wyglądać następująco (rys.11):
Rys. 11 (Opracowanie własne)
Korzystamy z następującej zależności:
,
-12-
po uproszczeniu otrzymujemy, że:
A zatem wartość momentu działającego w przedziale pierwszym dla w/w obciążenia wynosi:
Ze względu na przeciwny zwrot do przyjętego w analizowanym przykładzie, wartość
momentu dla obciążenia ciągłego, przyjmuje znak ujemny.
A więc:
LITERATURA:
1. Iwulski Z.: Wyznaczanie sił tnących i momentów zginających w belkach. Uczelniane
Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne Kraków 2001
Opracował:
mgr inż. Artur Ulaszek