ANALIZA MATEMATYCZNA, 2001/2002, KOLOKWIUM II, 16 stycznia 2002
1. (5+5 pkt) Oblicz granicę funkcji f punkcie x
o
lub wykaż, że takiej granicy nie ma, gdy
(a)
x
x
x
x
f
, x
o
= -1
(b)
1
1
lim
2
2
n
n
n
x
x
x
f
, x
o
= 1
2. (10 pkt) Zbadaj, dla jakich wartości a, b jest ciągła funkcja f, gdy
x
x
x
gdy
gdy
gdy
x
b
ax
x
a
x
f
1
1
0
0
1
2
)
1
(
3. (10 pkt) Niech f będzie funkcją ciągłą w R, której jedynymi punktami stałymi są a i b
(a < b). Wykaż, że dla dowolnych
0
,
,
,
y
y
f
x
x
f
a
y
x
.
4. (10 pkt) Niech f :
R
)
,
0
[
będzie funkcją ciągłą. Wykaż, że jeśli istnieje skończona
granica
x
f
x
lim
, to f jest ograniczona na przedziale
)
,
0
[
.
5. (10 pkt) Oblicz
f
E
x
x
lim
, gdy
x
x
f
1
sin
2
.