2) 

Test dla dwóch średnich 

MODEL I 

Założenia: 

- populacje generalne mają rozkład N(m1,sigma1) oraz N(m2,sigma2) 

- odchylenia standardowe sigma1 i sigma2 są znane 

- weryfikacja na podstawie 2 prób losowych niezależnych hipotezy H(zero): m1=m2 

- Hipoteza alternatywna H1: m1≠m2 

Wzór na wartość zmiennej normalnej standaryzowanej u: 

   

  

 

    

 

√ 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z tablicy rozkładu N(0,1), przy założonym poziomie istotności alfa, wyznacza się wartość krytyczną 
u

alfa

 tak, aby zachodziła równość: 

  | |    

 

      

Zbiór wartości U określony jako |U|≥u

alfa

 określony jest jako obszar krytyczny 

UWAGA 

Model I opisuje dwustronny obszar krytyczny (H1: m1≠m2). 

Jeżeli hipoteza H1:m1<m2 – test z lewostronnym obszarem krytycznym, tzn. U ≤ u(alfa) oraz u(alfa) 
wyznaczamy tak, aby: 

       

 

      

Jeżeli hipoteza H1:m1>m2 – test z prawostronnym obszarem krytycznym, tzn. U ≥ u(alfa) oraz u(alfa) 
wyznaczamy tak, aby: 

       

 

      

 

 

MODEL II 

Założenia: 

- sigma1 i sigma2 nieznane (

sigma1=sigma2!

) 

- próby losowe małe (n1<30 oraz n2<30) 

Wzór na wartość statystyki t: 

   

 

 

       

√ 

 

 

 

 

   

 

 

 

 

             

 

    

 

   

 

Z tablicy rozkładu t Studenta, przy założonym poziomie istotności alfa oraz 

k=n1+n2-2 

stopniach 

swobody, wyznacza się wartość krytyczną t(alfa), tak aby zachodziła równość: 

  | |    

 

      

Zbiór wartości t określony jako |t|≥t(alfa) jest obszarem krytycznym, tzn. jeżeli: 

- |t|≥t(alfa) – hipotezę H0 należy odrzucić 

- |t|<t(alfa) – brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0 

UWAGA 

Model II opisuje dwustronny obszar krytyczny (H1: m1≠m2). 

Jeżeli hipoteza H1:m1<m2 – test z lewostronnym obszarem krytycznym, tzn. t ≤ t(alfa) oraz t(alfa) 
wyznaczamy tak, aby: 

       

 

      

Jeżeli hipoteza H1:m1>m2 – test z prawostronnym obszarem krytycznym, tzn. t ≥ t(alfa) oraz t(alfa) 
wyznaczamy tak, aby: 

       

 

      

 

 

MODEL III 

- odchylenia sigma1 i sigma2 nieznane 

- próby losowe duże (n1>30, n2>30) 

 

Wzór na wartość zmiennej normalnej standaryzowanej u: 

   

 

 

       

√  

 

 

    

 

 

 

  

 

Dalej test istotności jest obliczany jak w modelu I. 

 

 

Test dla procentu (wskaźnika struktury) 

MODEL 

Założenia: 

- populacja generalna ma rozkład dwupunktowy 

- p – frakcja elementow wyróżnionych w populacji 

- p0 – hipotetyczna wartość frakcji 

- weryfikacja na podstawie próby losowej hipotezy H0: p=p0 

- hipoteza alternatywna H1: p≠p0 

- duża próba losowana niezależnie (n>100). 

Wzór na wartość zmiennej normalnej standaryzowanej u: 

   

 

     

 

√

 

 

 

 

 

 

Gdzie q0 = 1 – p0 

Dalsze obliczenia obszarów krytycznych są takie same jak w przypadku modelu I dotyczącego dwóch 
średnich: 

UWAGA 

Model opisuje dwustronny obszar krytyczny (H1: m1≠m2). 

Jeżeli hipoteza H1:m1<m2 – test z lewostronnym obszarem krytycznym, tzn U≤u(alfa) oraz u(alfa) 
wyznaczamy tak, aby: 

       

 

      

Jeżeli hipoteza H1:m1>m2 – test z prawostronnym obszarem krytycznym, tzn U≥u(alfa) oraz u(alfa) 
wyznaczamy tak, aby: 

       

 

      

 

Przykład do policzenia: 

Na 800 zbadanych pacjentów pewnego szpitala 320 miało grupę krwi 0. Na poziomie istotności 
alfa=0,05 (1-alfa = 0,95) zweryfikować hipotezę, że procent pacjentów z tą grupą krwi wynosi 35%. 

 

Odp.: Brak podstaw do odrzucenia hipotezy H0 (warunek obszaru krytycznego spełniony). 

Oznaczenia: 

m – wielkość próby 

n – wielkość populacji generalnej 

alfa – poziom istotności 

p0 – hipotetyczna wartość próby 

m/n – wynik z próby (wielkość próby/populacja generalna) 

u – zmienna normalna standaryzowana, wyliczana z podanego wcześniej wzoru