7.1.1. Przedmiot dynamiki 
 

  Dynamika jest działem mechaniki, który zajmuje się badaniem zależności 
między ruchem ciał materialnych i siłami wywołującymi ten ruch. Podstawą 
dynamiki są prawa Newtona przytoczone w punkcie 1.2. Aby prawa te były 
słuszne, w mechanice newtonowskiej ruch odnosimy do układów inercjalnych. 
  Z tych praw wynika, że dotyczą one punktu materialnego. W dynamice prawa 
te będziemy stosować nie tylko do punktu materialnego, ale także 

− po ich 

odpowiednim przekształceniu 

− do układu punktów materialnych, ciała sztywnego 

i bryły sztywnej. 
  Badanie ruchu punktu materialnego o masie m i przyśpieszeniu  a, na który 
działa siła F, sprowadza się do analizy drugiego prawa Newtona: 

 

F

a

=

m

.                     (7.1) 

 

Powyższe równanie jest dynamicznym 
równaniem ruchu punktu materialnego. 
 Jeżeli wektor wodzący 
rozpatrywanego punktu materialnego 
poprowadzony z 

początku O 

nieruchomego układu współrzędnych x, 
y, z (rys. 7.1) oznaczymy przez r, to, 
jak wiadomo z kinematyki, 
przyśpieszenie  a jest drugą pochodną 
względem czasu wektora wodzącego. 
Zatem równanie (7.1) przyjmie postać: 

 

z

y 

x 

O

F 

m

r

 

 

Rys. 7.1. Ruch punktu materialnego pod 

działaniem siły 

 

F

r =

2

2

t

d

d

m

.      (7.2) 

 

Jest to wektorowe równanie różniczkowe ruchu punktu materialnego. W 
prostokątnym układzie współrzędnych, przedstawionym na rys. 7.1, równaniu temu 
odpowiadają trzy skalarne dynamiczne równania ruchu punktu materialnego. 

 

z

2

2

y

2

2

x

2

2

F

t

d

z

d

m

,

F

t

d

y

d

m

,

F

t

d

x

d

m

=

=

=

. 

     (7.3) 

W równaniach tych x, y, z są współrzędnymi wektora wodzącego  r, czyli 
współrzędnymi punktu materialnego, a F

x

, F

y

, F

z

    współrzędnymi siły  F w 

przyjętym układzie współrzędnych. 
   
 
 

Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego (7.3) są w ogólnym 

przypadku układem trzech równań różniczkowych i stanowią podstawę analizy 
dynamiki punktu materialnego. Rozróżniamy tutaj dwie grupy zagadnień, które 
omówimy w następnych punktach. 

 

 

7.1.2. Pierwsze podstawowe zagadnienie dynamiki 

 

  Pierwsze podstawowe zagadnienie dynamiki polega na wyznaczaniu siły 
działającej na poruszający się znanym ruchem punkt materialny. Jest ono również  
znane jako zagadnienie proste dynamiki. Jego rozwiązanie wynika bezpośrednio 
z drugiego prawa Newtona i nie nastręcza większych trudności. Jeżeli znamy 
równanie ruchu punktu materialnego w postaci: 

 

( )

,

t

r

r

=

 

 

to w wyniku dwukrotnego różniczkowania względem czasu otrzymujemy 
przyśpieszenie tego punktu: 

t

d

d

2

r

a

=

 

 

i po podstawieniu tej zależności do równania (7.1) otrzymujemy siłę, a właściwie 
wypadkową wszystkich sił działających na dany punkt: 

 

2

2

t

d

d

m

r

F

=

.                     (7.4) 

 

  Przykład 7.1. Punkt materialny o masie m porusza się w płaszczyźnie xy 
zgodnie z równaniami ruchu: 

t

4sin

=

y

t,

cos2

3

x

π

π

=

, gdzie t jest czasem. 

Wyznaczyć współrzędne siły działającej na ten punkt w funkcji współrzędnych 
punktu x, y. 

 

  Rozwiązanie. Po zrzutowaniu wektorów występujących w równaniu (7.4) na 
osie x i y otrzymujemy współrzędne siły działającej na nasz punkt materialny, 
które wyrażają wzory: 

.

t

d

y

d

m

F

t

d

x

d

m

F

2

2

y

2

2

x

=

=

,

 

 

     (a) 

Po dwukrotnym zróżniczkowaniu względem czasu równań ruchu otrzymujemy: 
 

.

,

y

t

sin

4

dt

y

d

x

4

=

t

cos2

12

dt

x

d

2

2

2

2

2

2

2

2

π

−

=

π

π

−

=

π

−

π

π

−

=

 

 
 
 

Po podstawieniu otrzymanych wyników do wzorów (a) otrzymujemy ostatecznie: 

 

.

y

m

F

,

x

m

4

=

F

2

y

2

x

π

−

=

π

−

 

 

7.1.3. Drugie podstawowe zagadnienie dynamiki 

 
  Drugie podstawowe zagadnienie dynamiki polega na wyznaczaniu ruchu punktu 
materialnego poddanego działaniu znanej siły. Widzimy, że zagadnienie to jest 
odwróceniem pierwszego zagadnienia dynamiki i stąd jest ono również znane pod 
nazwą 

− zagadnienie odwrotne dynamiki.  

  Zagadnienie to jest znacznie trudniejsze niż pierwsze, ponieważ aby wyznaczyć 
równanie ruchu punktu 

( )

t

r

r

=

 przy znanej sile F, należy scałkować równanie 

różniczkowe (7.2) lub równoważny temu równaniu układ trzech skalarnych równań 
różniczkowych (7.3). Z kursu matematyki wiadomo, że operacja taka nie jest 
jednoznaczna i aby otrzymać rozwiązanie jednoznaczne, należy wyznaczyć stałe 
całkowania. W tym celu musimy znać wartości funkcji i jej pochodnej (zwane 
warunkami początkowymi) w pewnej chwili t

0

 (w chwili początkowej): 

 

( )

( )

0

0

0

0

t

d

t

d

,

t

v

r

r

r

=

=

 .               (7.5) 

 

 Znacznie większe trudności przy poszukiwaniu równania ruchu punktu 
materialnego mogą wynikać z faktu, że w przypadku ogólnym siła F działająca na 
punkt może być jednocześnie funkcją czasu t, położenia punktu r i prędkości  v 
punktu. Wtedy dynamiczne równanie ruchu punktu (7.2) należy zapisać w postaci: 

 

(

v

r

F

r

,

,

t

t

d

d

m

2

2

=

)

.                 (7.6) 

 

 Rozwiązanie ogólne tego równania różniczkowego lub równoważnego mu 
układu równań skalarnych w przyjętym układzie współrzędnych jest bardzo trudne 
i tylko w nielicznych przypadkach udaje się otrzymać rozwiązanie ścisłe. Jeżeli nie 
znamy rozwiązania równań różniczkowych, stosujemy metody przybliżone lub 
numeryczne. W dalszym ciągu ograniczymy się do rozpatrzenia prostych 
przykładów, w których siła  F  będzie stała oraz będzie funkcją tylko jednej 
zmiennej 

− czasu, położenia lub prędkości. 

 
  Przykład 7.2. Punkt materialny o masie m porusza się pod wpływem stałej siły 
F = const. Wyznaczyć jego prędkość v = v(t) oraz równanie ruchu r = r(t); jeżeli 
czas t = 0, to r(0) = r

0

 i v(0) = v

0

. 

 

 
 
 
 
 

Rozwiązanie. Dynamiczne równanie ruchu punktu (7.2) możemy 

przedstawić w postaci: 

.

m

dt

d

lub

m

t

d

d

2

2

F

v

F

r

=

=

 

 

Po scałkowaniu otrzymamy: 

1

t

m

dt

m

C

F

F

v

+

=

=

∫

.                  (a) 

 

Po podstawieniu w tym równaniu v = dr/dt  oraz ponownym całkowaniu mamy: 

 

.

t

t

m

2

dt

t

m

2

1

2

1

C

C

F

C

F

r

+

+

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

=

∫

             (b) 

 

Stałe całkowania C

1

 i C

2

 wyznaczamy z podanych warunków początkowych przez 

podstawienie do równań (a) i (b) r(0) = r

0

 oraz v(0) = v

0

 dla t = 0  

  

C

1

 = v

0

,  C

2

 = r

0

. 

 

Ostatecznie prędkość punktu oraz równanie ruchu mają postać: 

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

+

+

=

+

=

.

,

2

0

0

0

t

m

2

t

t

m

F

v

r

r

F

v

v

                   (c) 

 

  Z otrzymanych rezultatów wynika, że gdy siła  F  będzie równa zeru, to punkt 
będzie się poruszał zgodnie z pierwszym prawem Newtona, czyli ruchem 
jednostajnym po linii prostej. 
 
  Przykład 7.3. Punkt materialny o masie m = 1 kg porusza się po linii prostej 
wzdłuż osi Ox (rys. 7.2) pod wpływem siły 

( )

[ ]

F

t

=

−

10 1

N , gdzie t jest czasem 

liczonym w sekundach. Po ilu sekundach punkt zatrzyma się i jaką drogę 
przebędzie w tym czasie, jeżeli w chwili początkowej t = 0 jego prędkość 
v

0

 = 20 cm/s. 

   
 
 
 
 
 
 

Rozwiązanie

. Ponieważ punkt materialny porusza się wzdłuż osi Ox, 

dynamiczne równanie jego ruchu możemy zapisać w postaci skalarnego równania 
różniczkowego 
. 

 

 

( )

t

1

10

t

d

x

d

m

,

F

t

d

x

d

m

2

2

2

2

−

=

=

 

 

F 

x

m

s

x 

0

 

 

Rys. 7.2. Wyznaczenie drogi punktu 

materialnego 

lub 

(

t

1

m

10

t

d

x

d

2

2

−

=

)

.                    (a) 

Po scałkowaniu tego równania otrzymujemy prędkość punktu: 

1

2

C

2

t

t

m

10

dt

dx

v

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

=

.                   (b) 

 

Po podstawieniu do równania (b) warunku początkowego v = v

0

  dla t = 0 

wyznaczamy stałą całkowania C

1

 = v

0

. Zatem prędkość punktu wyraża wzór: 

 

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

=

=

s

m

2

t

t

10

2

,

0

2

t

t

m

10

v

dt

dx

v

2

2

0

. 

 

    (c) 

 

Czas, po którym punkt się zatrzyma, obliczymy, podstawiając we wzorze (c) v = 0.  
Stąd otrzymujemy równanie kwadratowe ze względu na czas t: 

 

0

04

,

0

t

2

t

2

=

−

−

.                     (d) 

 

Po obliczeniu pierwiastków tego równania i odrzuceniu pierwiastka ujemnego 
otrzymujemy czas, po którym punkt się zatrzyma: t

1

 = 2,02 s. Drogę przebytą przez 

punkt materialny obliczymy, całkując równanie (b) w granicach od 0 do t

1

. 

 

.

m

74

,

10

3

t

1

t

m

5

t

v

dt

2

t

t

m

10

v

s

1

1

1

0

t

0

2

0

1

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

+

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

=

∫

  

 
  Przykład 7.4. Punkt materialny o masie m jest przyciągany do środka O z siłą 
o wartości P = 

αm/x

4

 (rys. 7.3), gdzie 

α jest wartością stałą. Wyznaczyć prędkość 

punktu w chwili, gdy jego odległość x = OM  od punktu O będzie równa x

0

/2, 

jeżeli w chwili początkowej (dla t = 0) x = x

0

, v = v

0

 = 0. 

  Rozwiązanie. Na rozpatrywany punkt 
działa tylko siła  P, wobec tego jego 
równanie różniczkowe ma postać: 

m

P

x

o

x

0

x

M

M

o

 

 

Rys. 7.3. Wyznaczenie prędkości   

          punktu materialnego 

,

x

m

t

d

x

d

m

4

2

2

α

−

=

 

 
czyli 

4

2

2

x

t

d

x

d

α

−

=

.    

 

 

(a) 

Po podstawieniu w powyższym równaniu: 

 

v

dx

dv

dt

dx

dx

dv

dt

dv

t

d

x

d

2

2

=

=

=

 

otrzymamy: 

,

x

dx

dv

v

4

α

−

=

 

a po rozdzieleniu zmiennych 

4

x

dx

vdv

α

−

=

.                      (b) 

 

Po scałkowaniu tego równania w granicach od 0 do v oraz od x

0

 do x

0

/2 

otrzymamy: 

.

x

3

7

2

v

,

x

dx

vdv

3
0

2

x

2

1

x

4

v

0

0

0

α

=

α

−

=

∫

∫

 

 

Stąd prędkość punktu 
 

3
0

x

3

14

v

α

=

.                       (c) 

 

Czytelnikowi pozostawiamy wyznaczenie równania ruchu punktu. 
 
   
 

Przykład 7.5.

 Ciało o masie m = 2 kg rzucone pionowo do góry z prędkością 

początkową  v

0

 = 30 m/s pokonuje opór powietrza R, którego wartość przy 

prędkości v [m/s] wynosi 0,4v [N]. Obliczyć, po ilu sekundach ciało osiągnie 
najwyższe położenie H. Przyjąć przyśpieszenie ziemskie g =10 m/s

2

. 

  Rozwiązanie. Na ciało działają siły ciężkości 
i oporu powietrza i obie są skierowane 
w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu (rys. 
7.4). Zatem równanie różniczkowe ruchu ma 
postać: 

O

x

G

R

V

0

H

v=0

m

v

 

 

Rys. 7.4. Rzut pionowy z 

uwzględnieniem oporu powietrza 

 

,

v

4

,

0

mg

t

d

z

d

m

2

2

−

−

=

 

 

a po podstawieniu danych liczbowych możemy 
napisać: 

(

)

v

2

,

0

10

dt

dv

+

−

=

.           (a) 

 

Po rozdzieleniu zmiennych w równaniu (a) mamy: 

 

dt

v

2

,

0

10

dv

−

=

+

.                     (b) 

 

Po scałkowaniu tego równania w granicach od v

0

 do 0 oraz od 0 do t, 

uporządkowaniu i zastąpieniu różnicy logarytmów logarytmem ilorazu 
otrzymujemy czas, po którym ciało osiągnie najwyższe położenie: 

 

s.

2,35

=

ln1,6

5

10

0,2v

+

10

ln

5

t

,

dt

v

2

,

0

10

dv

2

,

0

2

0

1

0

t

0

0

v

0

=

=

−

=

+

∫

∫

,

 

 

7.1.4. Zasada d’Alemberta 

 
  Po przeniesieniu obu wyrazów występujących w dynamicznym równaniu ruchu 
punktu materialnego (7.1) na jedną stronę otrzymamy: 

 

.

0

m

=

− a

F

 

 

Po wprowadzeniu do tego równania zamiast 

−ma fikcyjnej siły zwanej siłą 

bezwładności lub siłą d’Alemberta, 

P

b

m a

= −

, otrzymamy zasadę d’Alemberta 

dla punktu materialnego: 

 

0

b

=

+ P

F

,                       (7.7) 

 

którą słownie wyrażamy następująco: 
 Suma 

sił rzeczywistych i siły bezwładności działających na punkt materialny 

jest w każdej chwili równa zeru. 

 

Z zasady tej wynika, że poprzez formalne wprowadzenie siły bezwładności 

zagadnienie dynamiczne można sprowadzić do zagadnienia statycznej równowagi 
sił. 
 Przedstawioną wyżej zasadę d’Alemberta dotyczącą swobodnego punktu 
materialnego zastosujemy do układu n punktów materialnych. W tym celu 
rozpatrzmy układ n punktów materialnych o masach m

k

 i przyśpieszeniach a

k

. Na 

poszczególne punkty rozpatrywanego układu materialnego mogą działać siły 
zewnętrzne i wewnętrzne. 
  Zgodnie z podziałem wprowadzonym w statyce (p. 3.1.2)  
siłami wewnętrznymi ami rozpatrywanego układu materialnego, a siłami 
zewnętrznymi siły pochodzące od innych punktów lub ciał nie należących do 
naszego układu materialnego. Na rysunku 7.5 zaznaczono siły działające na dwa 
punkty o masach m

k

 i m

l

. Siły zewnętrzne zastąpiono tutaj siłami wypadkowymi P

k

 

i P

l

, a siły wzajemnego oddziaływania między tymi punktami oznaczono przez F

kl

 i 

F

lk

. Zgodnie z trzecim prawem Newtona siły te są równe co do wartości, ale mają  

przeciwne zwroty: 

. 

F

F

kl

lk

= −

x

z

y

 

r

k

m

k

 O

-m

k

a

k

-m

l

a

l

r

l

F

kl

F

lk

m

l

P

k

P

l

  

 

Rys. 7.5. Siły zewnętrzne, wewnętrzne i bezwładności działające na punkty układu 

materialnego 

 
 Siłę  F

k

 działającą na k-ty punkt możemy przedstawić w postaci sumy siły 

zewnętrznej P

k

 i wypadkowej wszystkich sił wewnętrznych P

wk

: 

 

wk

k

k

P

P

F

+

=

,                       (7.8) 

gdzie 

P

wk

kl

=

=

≠

∑

l

l k

n

1

F

.                     (7.9) 

 

Po oznaczeniu siły bezwładności działającej na rozważany punkt przez  

 

P

a

bk

k

k

m

= −

 

 

zasadę d’Alemberta dla dowolnego punktu układu materialnego możemy  
przedstawić w postaci równania: 

(

)

n

,.

..

,

2

,

1

k

0

bk

wk

k

=

=

+

+

P

P

P

. 

    (7.10) 

 

 Suma 

sił zewnętrznych, wewnętrznych oraz siły bezwładności działających na 

dowolny punkt układu materialnego jest w każdej chwili równa zeru. 

 

 Jeżeli równanie (7.10) napiszemy dla każdego punktu materialnego i dodamy 
stronami, to otrzymamy: 

∑

∑

∑

=

=

=

=

+

+

n

1

k

n

1

k

bk

n

1

k

wk

k

0

P

P

P

.              (a) 

 

Występująca w tym równaniu suma wszystkich sił wewnętrznych dowolnego 
układu materialnego zgodnie ze wzorem (3.3) jest równa zeru: 

 

∑

=

=

n

1

k

wk

0

P

.                    (7.11) 

 

Zatem równanie (a) przyjmie postać: 

∑

∑

=

=

=

+

n

1

k

n

1

k

bk

k

0

P

P

.                (7.12) 

 

 Pomnóżmy teraz wektorowo każde z n równań (7.10) przez wektor wodzący r

k

 

i dodajmy wszystkie równania stronami. W wyniku tej operacji otrzymamy 
równanie momentów: 

0

n

1

k

bk

k

n

1

k

wk

k

n

1

k

k

k

=

×

+

×

+

×

∑

∑

∑

=

=

=

P

r

P

r

P

r

. 

 

    (b) 

 

Ponieważ siły wewnętrzne, zgodnie z trzecim prawem Newtona, działają parami 

, i wzdłuż jednej prostej, to suma momentów tych sił dla całego układu 

materialnego względem dowolnego bieguna redukcji jest równa zeru: 

F

F

kl

lk

= −

0

n

1

k

wk

k

=

×

∑

=

P

r

                   (7.13) 

 

i równanie (b) przyjmuje postać: 

 

0

n

1

k

bk

k

n

1

k

k

k

=

×

+

×

∑

∑

=

=

P

r

P

r

.             (7.14) 

 

  Orzymane równania (7.12) i (7.14) przedstawiają zasadę d’Alemberta dla 
układów materialnych, którą można sformułować następująco: 

 

 Suma 

sił zewnętrznych i sił bezwładności dla danego układu materialnego oraz 

sumy momentów tych sił względem nieruchomego bieguna redukcji w każdej chwili 
są równe zeru. 

 

 Przykład 7.6.

 Punkt materialny M o ciężarze G = 10 N, zawieszony w 

nieruchomym punkcie O na lince o długości OM = s = 30 cm, tworzy wahadło 
stożkowe, tzn. zatacza okrąg w płaszczyźnie poziomej, przy czym linka tworzy z 
pionem kąt 

 (rys. 7.6a). Wyznaczyć siłę F w lince oraz prędkość v punktu 

M. 

α = 60

o

 

 

a

G

B

F

x 

O

A

y

v 

α 

O 

A 

M

a) 

b)

α

 

 

Rys. 7.6. Wyznaczenie siły w lince i prędkości punktu 

 

  Rozwiązanie. Na punkt materialny działa siła ciężkości G, siła w lince F oraz 
siła bezwładności (odśrodkowa) 

a

B

m

−

=

, gdzie a jest przyśpieszeniem 

dośrodkowym (rys. 7.6b). Zgodnie z zasadą d’Alemberta (7.10) suma tych sił musi 
być równa zeru: 

 

0

=

+

+

B

F

G

. 

 

Z rzutu tych sił na osie x i y otrzymujemy dwa równania równowagi: 

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

−

α

=

α

−

=

∑

∑

0.

=

G

cos

F

P

,

0

=

ma

+

sin

F

P

ky

kx

                  (a) 

 

Z drugiego równania otrzymujemy siłę w lince: 

 

N

20

cos60

10

cos

G

F

o

=

=

α

=

. 

 

Po podstawieniu do pierwszego równania (a) wzoru na przyśpieszenie 
dośrodkowe: 

 

α

=

=

sin

s

v

AM

v

a

2

2

 

otrzymamy równanie: 

0

=

sin

s

v

g

G

+

sin

F

2

α

α

−

. 

Stąd prędkość punktu M  

 

s

m

1

,

2

sin60

cos60

0,3

9,81

=

sin

cos

s

g

=

sin

s

g

G

F

v

o

o

/

=

⋅

α

α

α

=

. 

7.1.5. Praca. Praca w zachowawczym polu sił. Energia potencjalna 

 
  Pracą mechaniczną nazywamy energię dostarczoną z zewnątrz za pomocą 
układu sił do rozpatrywanego układu 
materialnego w czasie jego ruchu. 
Celem ogólnego zdefiniowania 
pracy rozpatrzymy 

ruch punktu 

materialnego  po torze 
krzywoliniowym pod wpływem siły 
P. Punkt przyłożenia A siły  P jest 
opisany wektorem  wodzącym  r 
(rys. 7.7). 
 Pracą elementarną siły  P na 
przesunięciu elementarnym ds, 
równym przyrostowi promienia 
wodzącego dr, nazywamy iloczyn 
skalarny siły P i przemieszczenia dr: 

 

x

z

y 

 O

P 

A

A

1

A

2

 

dr

α 

r

 

Rys. 7.7. Ilustracja do definicji pracy 

 

r

P d

dL

⋅

=

                     (7.15) 

lub korzystając z definicji iloczynu skalarnego 

 

(

)

dr

cos

P

cos

dr

P

dL

α

=

α

=

. 

 

      

(7.16) 

 

Jednostką pracy w układzie SI jest dżul równy pracy 1 niutona na przesunięciu 

1 metra: 

J = N

⋅ m = kg ⋅ m

2 

⋅ s

–2

, 

 

a w układzie technicznym kilogram siły razy metr: 

 

1 kG 

⋅m = 9,81 J. 

 

  Mimo oznaczenia pracy elementarnej symbolem powszechnie używanym na 
oznaczenie różniczki zupełnej należy pamiętać,  że praca elementarna nie jest na 
ogół różniczką zupełną żadnej funkcji. 
  Na podstawie wzorów (7.15) i (7.16) można sformułować poniższe wnioski. 

a) Pracę wykonuje jedynie składowa siły styczna do toru, a praca składowej 

normalnej jest równa zeru. 
   b) Wartość pracy może być zarówno dodatnia, jak i ujemna:  dla D  

dodatnia, a dla 

α> π/2 ujemna. 

   c)  Jeżeli na punkt materialny działa układ sił  P

k

, których suma jest równa 

wypadkowej   

, to praca tej siły na przesunięciu elementarnym d

r jest 

równa sumie prac elementarnych poszczególnych sił na tym przesunięciu: 

W

P

=

=

∑

k

k

n

1

 

r

P

r

P

r

P

r

W

d

d

d

d

dL

n

2

1

⋅

+

⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

+

⋅

=

⋅

=

. 

d) Praca elementarna siły 

P na przesunięciu wypadkowym 

jest 

równa sumie prac elementarnych tej siły na przesunięciach składowych: 

∑

=

=

n

1

k

k

d

d

r

r

 

n

2

1

d

d

d

d

dL

r

P

r

P

r

P

r

W

⋅

+

⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

+

⋅

=

⋅

=

. 

 

 Jeżeli wektory występujące po prawej stronie równania (7.15) przedstawimy za 
pomocą współrzędnych: 

 

,

dz

dy

dx

d

,

P

P

P

z

y

x

k

j

i

r

j

j

i

P

+

+

=

+

+

=

 

 

to pracę elementarną możemy przedstawić w postaci: 

 

dz

P

dy

P

dx

P

dL

z

y

x

+

+

=

.                (7.17) 

 

 Jeżeli punkt przyłożenia A siły 

P przemieści się po krzywej od punktu A

1

 do 

A

2

, to na podstawie wzoru (7.17) praca wykonana przez siłę 

P  będzie całką 

krzywoliniową: 

(

)

∫

∫

+

+

=

⋅

=

2

1

2

1

A

A

A

z

y

x

12

dz

P

dy

P

dx

P

d

L

A

r

P

.           (7.18) 

 

 Występująca w powyższym wzorze siła może w ogólnym przypadku być 
funkcją czasu t, położenia w przestrzeni punktu A oraz prędkości tego punktu. 
Współrzędne siły 

P  będą zatem funkcjami czasu, zmiennych x, y, z oraz ich 

pochodnych względem czasu. Wtedy we wzorze (7.18) możemy podstawić: 

 

dt

dt

dz

dz

,

dt

dt

dy

dy

,

dt

dt

dx

dx

=

=

=

 

 

i zamiast całki krzywoliniowej otrzymamy całkę oznaczoną w granicach 
całkowania od t

1

 do t

2

∫

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

=

2

1

t

t

z

y

x

dt

dt

dz

P

dt

dy

P

dt

dx

P

L

.                 (7.19) 

 

 Ze 

względu na zastosowania bardzo ważny jest przypadek, gdy siła 

P jest 

jedynie funkcją położenia (miejsca): 

( )

r

P

P

=

, 

 

a jej współrzędne są wziętymi ze znakiem minus pochodnymi cząstkowymi funkcji 
U względem współrzędnych x, y, z: 

 

.

z

U

P

,

y

U

P

,

x

U

P

z

y

x

∂

∂

−

=

∂

∂

−

=

∂

∂

−

=

             (7.20) 

 

 Wykażemy,  że funkcja skalarna U(x, y, z) ma sens fizyczny energii. Praca 
elementarna siły o współrzędnych (7.20) 

 

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

=

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

−

=

⋅

=

dz

z

U

dy

y

U

dx

x

U

d

z

U

y

U

x

U

d

dL

r

k

j

i

r

P

. 

 

Wyrażenie występujące w nawiasie po prawej stronie powyższego równania jest 
różniczką zupełną funkcji U: 

dz

z

U

dy

y

U

dx

x

U

dU

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

=

.               (7.21) 

 

Z matematyki wiadomo, że całka krzywoliniowa z różniczki zupełnej jest równa 
różnicy wartości końcowej i początkowej zróżniczkowanej funkcji. Zatem pracę 
wykonaną przez siłę 

P na jej przemieszczeniu z punktu A

1

 do A

2

 wyraża wzór:  

(

)

.

U

U

U

U

dU

L

2

1

1

2

A

A

12

2

1

−

=

−

−

=

−

=

∫

              (7.22) 

 

 Widzimy, że praca wykonana przez siłę opisaną wzorem (7.20) na 
przemieszczeniu jej z położenia początkowego do końcowego jest równa ubytkowi 
funkcji U. Funkcję  tę nazywamy potencjałem albo energią potencjalną, siłę 

P 

spełniającą warunek (7.20) siłą potencjalną lub zachowawczą, a pole sił  polem 
potencjalnym lub zachowawczym. 

Potencjał w określonym punkcie przestrzeni jest równy pracy, którą wykonują 

siły potencjalne przy przemieszczaniu punktu materialnego z danego punktu do 
punktu, w którym potencjał jest równy zeru. Ponieważ punkt ten może być obrany 
dowolnie, potencjał jest określony z dokładnością do dowolnej stałej C. Wnika to z 
tego, że funkcja: 

C

U

U

+

=

′

 

 

również spełnia zależności (7.20) i (7.22). 
  Ze wzoru (7.22) wynikają dwie ważne własności sił potencjalnych. 
   a) Praca siły potencjalnej nie zależy od toru jej punktu przyłożenia, lecz jedynie 
od położenia tego punktu w chwilach początkowej i końcowej. 

b) Praca wykonana przez siłę potencjalną jest równa ubytkowi energii 

potencjalnej wynikającemu z przemieszczania się punktu przyłożenia siły. Wynika 
stąd również, że praca po torze zamkniętym jest równa zeru. 

 

7.1.6. Przykłady sił potencjalnych 

 

Siły sprężystości 
Wykażemy obecnie, że siły odkształcenia sprężystego są siłami potencjalnymi. 

W tym celu rozpatrzymy sprężynę śrubową, której koniec A jest unieruchomiony, 
a koniec B może się przemieszczać wzdłuż osi Ox (rys. 7.8). Założymy,  że w 
chwili, gdy sprężyna nie jest napięta, koniec B pokrywa się z punktem O. 

 

x

A

O

B

x

P

 

 

Rys. 7.8. Przykład siły sprężystej wykonującej pracę 

 

 Jeżeli wydłużymy sprężynę o wartość x, to zgodnie z prawem Hooke’a będzie 
ona działać na punkt B siłą P proporcjonalną do wydłużenia: 

 

i

P

x

k

−

=

, 

gdzie współczynnik proporcjonalności k jest nazywany stałą sprężyny, a znak 
minus oznacza, że siła  P jest skierowana przeciwnie do kierunku odkształcenia 
sprężyny. 
 Z 

powyższego wzoru wynika, że współrzędna siły  P jest funkcją tylko 

współrzędnej x: 

x

k

P

−

=

, 

 

zatem potencjał U musi spełniać równanie: 

 

x

k

P

dx

dU

x

U

=

−

=

=

∂

∂

. 

 

Po scałkowaniu tego równania w granicach od O do x

1

 otrzymujemy wzór na 

potencjał siły sprężystej: 

2

1

x

0

x

k

2

1

x

k

U

1

=

=

∫

.                 (7.23) 

 

 Pracę siły sprężystej na skończonym przesunięciu, np. od 0 do x, można 
obliczyć ze wzoru (7.22), przy czym dla x = 0 energia potencjalna U

1

 = 0. Zatem 

 

2

1

2

12

x

k

2

1

U

L

−

=

−

=

. 

 

       

 

(7.24) 

 
 

Siły ciężkości 
Jeżeli rozpatrzymy ograniczony obszar przestrzeni w pobliżu powierzchni 

Ziemi o małych wymiarach w porównaniu z  promieniem Ziemi, to można przyjąć, 
że na każdy punkt materialny o masie m znajdujący się w tej przestrzeni działa 
stała siła ciężkości: 

G = mg, 

 

gdzie  g jest przyśpieszeniem ziemskim. Przy takim założeniu pole sił jest 
jednorodnym polem sił ciężkości. Gdy w takim polu sił przyjmiemy układ 
współrzędnych x, y, z o osi z skierowanej pionowo w górę, to zgodnie z rys. 7.9 
współrzędne siły ciężkości G opisują zależności: 

.

mg

G

,

0

G

G

z

y

x

−

=

=

=

                (7.25) 

 

  Ze wzoru (7.20) wiadomo, że współrzędne sił potencjalnych są równe 
pochodnym cząstkowym potencjału U względem współrzędnych wziętych ze 
znakiem minus: 

 

mg

z

U

G

,

0

y

U

G

,

0

x

U

G

z

y

x

−

=

∂

∂

−

=

=

∂

∂

−

=

=

∂

∂

−

=

.     (7.26) 

Z powyższych równań wynika, że potencjał U jest jedynie funkcją zmiennej z. Po 
podstawieniu trzeciego równania (7.26) do wzoru (7.21) otrzymujemy różniczkę 
potencjału pola sił ciężkości: 

,

dz

mg

dU

=

 

 

a po scałkowaniu tego równania potencjał sił ciężkości 

 

C

z

g

m

U

+

=

,                    (7.27) 

gdzie C jest dowolną stałą. 
  Ze wzoru (7.27) wynika, że dla z = const potencjał U jest również stały. Zatem 
w przypadku sił ciężkości wszystkie punkty każdej płaszczyzny poziomej mają 
taką samą wartość potencjału. Powierzchnie, których punkty mają te same wartości 
potencjału, nazywają się powierzchniami ekwipotencjalnymi. 
 Praca 

siły ciężkości na dowolnym krzywoliniowym torze jest 

− zgodnie ze 

wzorem (7.22) 

− równa różnicy potencjałów w położeniu  początkowym i 

końcowym: 

(

)

h

g

m

z

z

g

m

U

U

L

2

1

2

1

12

=

−

=

−

=

, 

 

    (7.28) 

 

gdzie h jest różnicą wysokości (rys. 7.9). 

 

x

y

z

 O

A

1

A

2

G

h

A

 

 
 

 

Rys. 7.9. Praca siły ciężkości

 

x

z

y

r

P

A

M

O

m

 

 

Rys. 7.10. Siła wzajemnego przyciągania

 

 

Siły wzajemnego przyciągania  
Wykażemy,  że siła, z jaką nieruchomy punkt materialny o masie M działa na 

dowolny punkt materialny o masie m, jest siłą potencjalną. Zgodnie z prawem 
powszechnego ciążenia (1.2) punkt M działa na punkt m i odwrotnie z siłą  P o 
wartości 

2

r

Mm

k

P

=

,                       (7.29) 

gdzie k jest stałą grawitacji, a r jest odległością masy m od nieruchomej masy M. 
 Jeżeli masę M umieścimy w początku układu współrzędnych x, y, z, a masę m 
w punkcie A o wektorze wodzącym r (rys. 7.10), to siłę P można opisać wzorem: 

 

r

1

P

2

r

Mm

k

−

=

,                   (7.30) 

 

gdzie 1

r

 jest wektorem jednostkowym o kierunku wektora r. 

 Gdy współrzędne wektora wodzącego  r oznaczymy przez x, y, z, to 
współrzędne siły P będą następujące: 

 

r

z

r

Mm

k

P

,

r

y

r

Mm

k

P

,

r

x

r

Mm

k

P

2

z

2

y

2

x

−

=

−

=

−

=

.        (7.31) 

 

Łatwo wykazać, że potencjałem omawianego pola sił jest funkcja 

 

(

)

U x

k

Mm

r

C

k

Mm

x

y

z

C

, y, z

= −

+ = −

+

+

+

2

2

2

. 

 

   (7.32) 

 

przy czym C jest dowolną stałą. Aby siła  P była potencjalna, jej współrzędne 
(7.31) muszą spełniać wzory (7.20). Po zróżniczkowaniu funkcji (7.32) względem 
x otrzymamy: 

(

)

x

2

3

2

3

2

2

2

P

r

x

r

Mm

k

r

kMmx

z

y

x

x

2

2

1

kMm

x

U

−

=

=

=

+

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

−

=

∂

∂

. 

 

Postępując podobnie w odniesieniu do y i z, otrzymamy: 

 

z

2

y

2

P

r

z

r

Mm

k

z

U

,

P

r

y

r

Mm

k

y

U

−

=

=

∂

∂

−

=

=

∂

∂

. 

 

Pracę wykonaną przez siłę  P na przemieszczenie masy m z położenia 1 do 2 
zgodnie ze wzorem (7.22) i po uwzględnieniu równania (7.32) zapiszemy w 
następującej postaci: 

 

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

−

=

1

2

2

1

12

r

1

r

1

kMm

U

U

L

.               (7.33) 

 

7.1.7. Moc i sprawność 

  Z technicznego  punktu widzenia interesuje nas często nie tylko wartość pracy, 
ale również czas, w jakim została ona wykonana. W tym celu wprowadzono 
pojęcie mocy. 

 

  Mocą chwilową nazywamy stosunek pracy elementarnej dL do czasu dt. 

 

t

d

L

d

N

=

.                     (7.34) 

 

  Po podstawieniu do tego wzoru pracy elementarnej zdefiniowanej wzorem 
(7.15) otrzymujemy wzór na moc siły P. 

 

v

P

r

P

⋅

=

⋅

=

t

d

d

N

. 

        

 

 

(7.35) 

 

 Zatem 

moc siły jest równa iloczynowi skalarnemu siły P i prędkości v jej punktu 

przyłożenia. 
  Ze wzoru (7.34) widzimy, że między pracą elementarną dL i mocą N istnieje 
prosty związek: 

.

dt

N

L

d

=

 

 

 Jeżeli siła P w chwili t

1

 znajduje się w punkcie A

1

, a w chwili t

2

 w punkcie A

2

 

(rys. 7.6), to praca L

12

 wykonana przez tę siłę przy przemieszczeniu się po torze od 

A

1

 do A

2

 będzie równa całce z mocy w granicach od t

1

 do t

2

:

 

∫

=

2

1

t

t

12

Ndt

L

.                   (7.36) 

 

  Gdy na układ materialny działa układ n sił, to moc tego układu jest równa sumie 
mocy poszczególnych sił: 

∑

=

=

n

1

k

k

N

N

.                   (7.37) 

 

 Podstawową jednostką mocy w układzie SI jest wat (w skrócie W). Jest to moc 
siły, która pracę jednego dżula wykonuje w ciągu jednej sekundy: 

 

1 W = J 

⋅ s

–1

. 

 

  W praktyce na określenie mocy silników i maszyn są  używane większe 
jednostki 

− kilowaty (kW) i megawaty (MW):⋅ 

           1 

kW 

= 

1000 

W, 

                      1 MW = 1000 kW = 1 000 000 W. 

 

  W technicznym układzie jednostek podstawową jednostką mocy jest kilogram 
siły razy metr na sekundę: 

1 kG 

⋅ m ⋅ s

–1

. 

 

Praktyczną jednostką mocy w tym układzie jest koń mechaniczny KM: 

 

1 KM = 75 kG 

⋅ m ⋅ s

–1

. 

 

 Między jednostkami mocy w układzie technicznym i w układzie SI istnieją 
zależności: 
                  1 kG 

⋅ m ⋅ s

–1

 = 9,81 W, 

                  1 KM = 75 

⋅ 9,81 W = 0,736 kW, 

         1 

W 

= 

0,102 

kG 

⋅ m ⋅ s

–1

, 

         1 

kW 

= 

102 

kG 

⋅ m ⋅ s

–1 

 = 1,36 KM. 

 

  Do oceny stanu silnika czy maszyny wykorzystuje się  pojęcie sprawności 
mechanicznej. Wiadomo, że część mocy dostarczonej do silnika (maszyny) jest 
tracona na pokonanie oporów istniejących w samym silniku (maszynie), a tylko 
część jest zamieniana na moc użyteczną. 
 Sprawnością mechaniczną nazywamy stosunek mocy użytecznej N

u

 (lub pracy 

L

u

) do mocy włożonej N

w

  (lub pracy L

w

):  

 

w

u

w

u

L

L

N

N

η

=

=

.                   (7.38) 

 

Sprawność jest liczbą bezwymiarową spełniającą nierówność:  

.

1

η

0

≤

≤

 

 

7.1.8.  Moc układu sił działających na bryłę sztywną 

 
  W poprzednim punkcie zdefiniowaliśmy moc siły  P działającej na punkt 
materialny. Obecnie obliczymy moc układu n sił zewnętrznych  P

k

, gdzie 

k = 1, 2, ....  ,  n,  przyłożonych odpowiednio w punktach A

1

, A

2

, .... , A

n

 bryły 

sztywnej, poruszającej się znanym ruchem względem nieruchomego układu 
współrzędnych x, y, z (rys. 7.11). W dowolnym punkcie (biegunie redukcji) 

 

umieścimy ruchomy układ współrzędnych 

′

O

′ ′ ′

x , y , z  poruszający się razem z bryłą. 

Układ sił P

k

 reprezentują wektor główny W i  moment główny 

 umieszczone 

w biegunie redukcji 

, a ruch bryły jest określony za pomocą prędkości 

 

bieguna 

  i  prędkości kątowej 

ω. 

M

′

O

′

O

v

′

O

′

O

 

 

x

 

M

O

z 

x

′

z

′ 

y

′

y 

O

′

 

O 

W

k

r ′

ω

v

O′

 

P

k

A

k

v

k

 

 

Rys. 7.11. Wyznaczenie mocy układu sił działających na bryłę sztywną 

 

Zgodnie z definicją moc N

k

 siły 

P

k

  

 

k

k

k

N

v

P

⋅

=

. 

 

Prędkość dowolnego punktu A

k

 zgodnie ze wzorem (5.29) możemy zapisać 

w następujący sposób: 

k

O

k

r

ω

v

v

′

×

+

=

′

.  

 

Po podstawieniu tego wzoru do wzoru na moc N

k

 siły 

P

k

 oraz wykorzystaniu 

własności iloczynu mieszanego (2.31) otrzymujemy: 

 

(

)

(

)

(

)

k

k

O

k

k

O

k

k

O

k

k

N

P

r

ω

v

P

r

ω

P

v

P

r

ω

v

P

×

′

⋅

+

⋅

=

′

×

⋅

+

⋅

=

′

×

+

⋅

=

′

′

′

. 

 

Moc układu sił działających na bryłę sztywną otrzymamy po zsumowaniu 

− 

zgodnie ze wzorem (7.37) 

− mocy poszczególnych sił: 

 

(

)

[

]

k

n

1

k

k

n

1

k

k

O

n

1

k

k

k

O

k

n

1

k

k

N

N

P

r

ω

P

v

P

r

ω

v

P

∑

∑

∑

∑

=

=

′

=

′

=

×

′

⋅

+

⋅

=

×

′

⋅

+

⋅

=

=

. 

 

Ostatecznie 

ω

M

v

W

⋅

+

⋅

=

′

′

O

O

N

.                   (7.39) 

 

  Zgodnie z zależnościami (3.25) i (3.26) w powyższym wzorze 

W jest wektorem 

głównym, a 

 momentem głównym układu sił zewnętrznych zredukowanych 

do bieguna redukcji 

. 

M

′

O

′

O

 Wzór 

(7.39) 

można wyrazić słownie: 

Moc układu sił zewnętrznych działających na bryłę sztywną jest równa sumie 

iloczynu skalarnego wektora głównego i prędkości dowolnego bieguna

  redukcji 

oraz iloczynu skalarnego momentu głównego zredukowanego do tegoż bieguna 
i prędkości kątowej. 

 

7.2.1. Pęd układu materialnego i bryły 

 

Pędem punktu materialnego o masie m i prędkości  v nazywamy iloczyn masy 

punktu i jego prędkości: 

 

p = mv.        (7.40) 

 

 Z  powyższej definicji 
wynika, że pęd jest wektorem o 
kierunku prędkości, a więc jest 
wektorem stycznym do toru 
punktu materialnego. 

Dla układu n punktów 

materialnych o masach m

k

 i 

prędkości  v

k

 (rys. 

7.12) pęd 

będzie równy sumie pędów 
poszczególnych  punktów 
materialnych: 

 

v

n

 

x 

v

C

 

v

2

 

r

k

 

z 

y 

r

Ck

r

C

m

k

 

C 

 O

m

1

v

1

v

k

 

m

2

 

m

n

 

  

 

Rys. 7.12. Wyznaczenie pędu układu materialnego 

 

∑

=

=

n

1

k

k

k

m v

p

.                     (7.41) 

 

Wzór (7.41) można przedstawić w postaci: 

 

∑

n

1

=

k

k

k

m

dt

d

=

r

p

.                    (a) 

 

 Widzimy, 

że występująca pod znakiem pochodnej suma, zgodnie ze wzorem 

(4.18), jest momentem statycznym S rozpatrywanego układu materialnego 
względem początku nieruchomego układu współrzędnych x, y, z : 

 

∑

=

n

1

=

k

C

k

k

m

m

=

r

r

S

.                    (b) 

Po podstawieniu wzoru (b) do wzoru (a) i wykonaniu różniczkowania wzór (7.41) 
możemy zapisać w postaci: 

dt

d

m

m

C

n

1

k

k

k

S

v

v

p

=

=

=

∑

=

,            (7.42) 

 

gdzie m jest masą całkowitą układu materialnego. 
  Z otrzymanego wzoru wynika, że pęd układu materialnego jest równy 
iloczynowi masy całkowitej m układu materialnego i prędkości v

C

 środka masy C. 

Ponadto wzór (7.42) pozwala na inne zdefiniowanie pędu. 

 

  Pędem nazywamy pochodną względem czasu momentu statycznego układu 
materialnego względem nieruchomego punktu: 

 

dt

d S

p

=

. 

           

 

 

(7.43) 

 

 Ponieważ moment statyczny względem  środka masy jest równy zeru (patrz p. 
4.4), zatem pęd układu materialnego względem środka masy jest także równy zeru. 
  Pęd bryły sztywnej możemy obliczyć, dzieląc ją na elementy o masach 

∆m

k

 i 

traktując ją jako układ punktów materialnych. Przybliżoną wartość  pędu 
otrzymamy po zsumowaniu pędów tych elementów, traktowanych jako punkty 
materialne. 
Z kolei wartość dokładną  pędu otrzymamy po wyznaczeniu granicy sumy, gdy 
liczba elementów dąży do nieskończoności 

∫

∫

∫

∑

=

=

=

=

=

∞

→

m

m

m

n

1

k

k

k

k

dm

dt

d

m

dt

d

dm

m

lim

r

r

v

v

p

. 

 

Całka występująca w tym wzorze pod znakiem pochodnej jest momentem 
statycznym bryły względem początku układu współrzędnych: 

 

C

m

m

dm

r

r

=

∫

. 

 

Z uwzględnieniem powyższej zależności otrzymujemy wzór na pęd bryły: 

 

(

)

C

C

C

m

dt

d

m

m

dt

d

v

r

r

p

=

=

=

.              (7.44) 

 

 Widzimy 

zatem, 

że pęd bryły, podobnie jak pęd układu materialnego, jest 

równy iloczynowi jej masy i prędkości środka masy. 

 

7.2.2. Zasada pędu i popędu. Zasada zachowania pędu 
 
  Rozpatrzymy obecnie układ składający się z n punktów materialnych o masach 
m

k

 i prędkości  v

k

. Na poszczególne punkty rozpatrywanego układu materialnego 

działają siły zewnętrzne i 
wewnętrzne. Na rysunku 7.13 
zaznaczono siły działające na dwa 
punkty o masach m

k

 i m

l

. Siły 

zewnętrzne działające na te 
punkty zastąpiono siłami 
wypadkowymi  P

k

 i P

l

, siły 

wzajemnego oddziaływania 
między tymi punktami oznaczono 
przez F

kl

 i F

lk

. 

 

v

k

v

2

 

x

z

y 

r

C

r

k

m

k

C 

O 

v

c

r

l

F

kl

F

lk

 

m

l

 

P

k

P

l

 

  

 

Rys. 7.13. Siły zewnętrzne i wewnętrzne działające 

na punkty układu materialnego 

 

 Wypadkowa 

sił wewnętrznych 

działających na punkt o masie m

k

  

 

∑

≠

=

=

n

k

l

1

l

kl

wk

F

P

,     (7.45) 

a wypadkowa wszystkich sił działających na ten punkt 

 

F

k

 = P

k

 + P

wk

.                    (7.46) 

 

  Zatem zgodnie z drugim prawem Newtona możemy dla dowolnego punktu 
rozważanego układu materialnego napisać dynamiczne równanie ruchu w postaci: 

 

(

n

,..

.,

2

,

1

k

t

d

d

m

wk

k

2

k

2

k

=

+

=

P

P

r

)

.            (7.47) 

 

Po założeniu, że masa m

k

 jest wielkością stałą, lewą stronę tego równania możemy 

przedstawić w postaci pochodnej względem czasu pędu m

k

v

k

 punktu: 

 

(

)

dt

m

d

dt

d

m

t

d

d

m

k

k

k

k

2

k

2

k

v

v

r

=

=

 . 

 

Równanie (7.47) można obecnie zapisać następująco: 

 

(

)

(

.

n

,..

.,

2

,

1

k

dt

m

d

wk

k

k

k

=

+

=

P

P

v

)

 

     (c) 

 

Jeżeli dodamy stronami n powyższych równań, to otrzymamy: 

(

)

∑

∑

∑

=

=

=

+

=

n

1

k

wk

n

1

k

k

n

1

k

k

k

dt

m

d

P

P

v

, 

 

a jeżeli zastąpimy sumę pochodnych pędów pochodną ich sumy, to 

∑

∑

∑

=

=

=

+

=

n

1

k

kz

n

1

k

k

n

1

k

k

m

dt

d

P

P

v

k

.               (d) 

 

Lewa strona równania (d) jest pochodną względem czasu pędu układu 
materialnego: 

 

dt

d

m

dt

d

n

1

k

k

p

v

k

=

∑

=

. 

 

Pierwsza suma po prawej stronie równania (d) jest wektorem głównym sił 
zewnętrznych: 

∑

=

=

n

1

k

k

P

W

, 

 

a druga sumą wszystkich sił wewnętrznych działających w całym układzie 
materialnym i zgodnie ze wzorem (3.3) jest równa zeru: 

 

.

0

n

1

k

n

k

l

1

l

kl

n

1

k

wk

∑∑

∑

=

≠

=

=

=

=

F

P

 

 

Ostatecznie równanie (d) można zapisać w postaci: 

 

W

p =

dt

d

.                     (7.48) 

 

  Równanie to przedstawia zasadę  pędu układu punktów materialnych, którą 
można wypowiedzieć następująco: 

 

 Pochodna 

względem czasu pędu układu punktów materialnych jest równa 

wektorowi głównemu sił zewnętrznych działających na ten układ. 

 

  W celu wyznaczenia zmiany pędu układu punktów materialnych w skończonym 
przedziale czasu, np. od 0 do t, wywołanej przez siły zewnętrzne działające na ten 
układ, scałkujmy równanie (7.48) w tym przedziale czasu. Otrzymamy  wtedy: 

 

( ) ( )

∫

=

−

t

0

dt

0

t

W

p

p

.                 (7.49) 

Równanie to nazywamy zasadą pędu i popędu lub prawem zmienności pędu. 

 

 Przyrost 

pędu układu materialnego w skończonym przedziale czasu jest równy 

popędowi wektora głównego sił zewnętrznych działających na ten układ. 
 Całkę z prawej strony równania (7.49) nazywamy popędem wektora głównego 
lub impulsem wektora głównego. Ta druga nazwa ma swoje uzasadnienie  
zwłaszcza w przypadku sił krótkotrwałych, np. sił zderzeniowych. Łatwo 
zauważyć, że gdy wektor główny układu sił zewnętrznych jest równy zeru:  

 

W = 0, 

 

popęd tego wektora jest również równy zeru, a z zasady pędu i popędu wynika, iż 
pęd końcowy jest równy początkowemu: 

 

( ) ( )

0

t

p

p

=

, 

 

czyli pęd układu materialnego jest stały: 

 

const

=

p

.                    (7.50) 

Jest to zasada zachowania pędu: 

 

 Jeżeli wektor główny układu sił zewnętrznych działających na układ materialny 
jest równy zeru, to pęd tego układu materialnego jest stały. 

 

 Gdy 

pęd układu materialnego przedstawimy w postaci iloczynu masy m 

i prędkości v

C

 środka masy, to z zasady zachowania pędu: 

 

const

m

C

=

v

 

 

wynika, że środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym. 

 

  Przykład 7.7. Klocek o masie m = 40 kg porusza się po równi pochyłej o kącie 
nachylenia 

 pod działaniem siły będącej funkcją czasu P = P(t) 

(rys. 7.14a). Miara tej siły zmienia się w czasie od 0 do P

α = 30

o

1

 = 250 N zgodnie z 

wykresem podanym na rys. 7.14b. Współczynnik tarcia między klockiem i równią 

. Obliczyć prędkość v



= 0 1

,

1

, jaką osiągnie ciało w chwili t

1

 = 3 s, jeżeli w chwili 

t = 0 prędkość początkowa v

m s

0

10

=

/ . 

 

t 

P

P

1

t

1

x 

P(t)

N 

T 

α 

G 

a) 

b)

0

 

 

Rys. 7.14. Wyznaczenie prędkości klocka 

  Rozwiązanie. Do rozwiązania zadania zastosujemy zasadę pędu i popędu (7.49). 
W myśl tej zasady przyrost pędu klocka w czasie od t = 0 do t = t

1

 będzie równy 

popędowi wektora głównego sił zewnętrznych działających na niego: 

 

( ) ( )

∫

=

−

1

t

0

1

dt

0

t

W

p

p

. 

 

Wektory z tego równania zrzutujemy na oś x równoległą do równi. Po 
uwzględnieniu zależności (7.44) mamy: 

∫

=

−

1

t

0

x

0

1

dt

W

mv

mv

.                   (a) 

Zgodnie z rysunkiem suma rzutów wszystkich sił działających na klocek na oś x  

 

α

−

α

−

=

−

α

−

=

cos

mg

µ

sin

mg

(t)

P

T

sin

mg

(t)

P

W

x

,       (b) 

 

gdzie 

α

=

=

cos

mg

µ

N

µ

T

. Po podstawieniu (b) do równania (a) mamy: 

 

(

)

(

)

.

t

µcos

sin

mg

(t)dt

P

dt

µcos

sin

mg

(t)dt

P

mv

mv

1

t

0

t

0

t

0

0

1

1

1

1

α

+

α

−

=

=

α

+

α

−

=

−

∫

∫

∫

     

 (c) 

 

Całka występująca w powyższym wzorze jest równa polu wykresu 
przedstawionego na rys. 7.14b, czyli 

1

1

t

0

t

P

2

1

(t)dt

P

1

=

∫

. 

 

Po podstawieniu tej równości do (c) otrzymujemy wzór na prędkość v

1

: 

(

)

1

1

1

0

1

t

µcos

sin

g

m

2

t

P

v

v

α

+

α

−

+

=

. 

 

Po podstawieniu danych liczbowych otrzymujemy: 
 

(

)

s

m

1

,

2

3

30

cos

1

,

0

sin30

81

,

9

40

2

3

250

10

v

o

o

1

/

=

+

−

⋅

⋅

+

=

. 

 

7.2.3. Twierdzenie o ruchu środka masy 

 
  Pęd  p w wyprowadzonym w poprzednim punkcie równaniu (7.48), 
wyrażającym zasadę  pędu, możemy przedstawić za pomocą iloczynu całkowitej 
masy m układu materialnego i prędkości  v

C

  środka jego masy C. Otrzymamy 

wówczas: 

 

(

)

W

v

v

p

=

=

=

dt

d

m

dt

m

d

dt

d

C

C

. 

 

      

 

 

(e) 

 

Występująca w tym równaniu pochodna prędkości  środka masy względem czasu 
jest przyśpieszeniem środka masy. Mamy  więc: 

W

a

=

C

m

.                     (7.51) 

 

Po zapisaniu wektorów a

C

 i W w układzie współrzędnych x, y, z: 

 

⎭

⎬

⎫

+

+

=

+

=

k

j

i

W

k

j

i

a

y

y

x

Cz

Cy

Cx

C

W

W

W

,

a

a

+

a

 

         

 

 

(f) 

 

wektorowe równanie (7.51) możemy przedstawić w postaci trzech równań 
skalarnych: 

z

Cz

y

Cy

x

Cx

W

ma

,

W

ma

,

W

ma

=

=

=

. 

 

    (7.52) 

 

  Wektorowe równania (7.51) i równoważne mu trzy równania skalarne (7.52) są 
dynamicznymi równaniami ruchu środka masy. Pozwalają one na wyznaczenie 
ruchu środka masy pod wpływem znanych sił zewnętrznych. Otrzymane równania 
(7.51) lub (7.52) pozwalają na sformułowanie twierdzenia, znanego pod nazwą 
twierdzenia o ruchu środka masy. 

 

  Środek masy układu materialnego porusza się tak  jak punkt materialny o masie 
równej całkowitej masie układu, na który działa siła równa wektorowi głównemu 
sił zewnętrznych działających na ten układ. 
 Twierdzenie 

o 

ruchu 

środka masy wynika również z pierwszej całki zasady 

pędu, czyli z zasady pędu i popędu przedstawionej w postaci: 

 

( )

( )

∫

=

−

t

0

C

C

dt

0

m

t

m

W

v

v

.              (7.53) 

 

  Twierdzenie to jest ważnym narzędziem badania ruchu środka masy, ale nie 
pozwala na wyciągnięcie żadnych wniosków co do ruchu punktów należących do 
układu względem środka masy. 

  Z twierdzenia o ruchu środka masy wynika, że siły wewnętrzne nie mogą 
zmienić ruchu środka masy ani jego położenia. 
  Twierdzenie to odnosi się nie tylko do układu punktów materialnych, ale 
również do ciała sztywnego i bryły. Nałożywszy bowiem na układ punktów 
materialnych warunek, aby odległość dowolnych punktów układu była niezmienna, 
otrzymujemy model ciała sztywnego. 

 

7.2.4. Ruch układu o zmiennej masie 

 
 

Do tej pory w rozważaniach dotyczących pędu układu materialnego 

zakładaliśmy, że całkowita masa układu nie ulega zmianie w czasie ruchu. Obecnie 
zajmiemy się ruchem układu materialnego, którego masa będzie się zmieniać z 
upływem czasu poprzez odłączanie lub dołączanie elementów masy. Taka zmiana 
masy układu będzie miała wpływ na jego ruch. 
 Typowym 

przykładem ruchu układu o zmiennej masie są rakiety, z których 

w czasie pracy silnika następuje wypływ gazów spalinowych, a tym samym 
zmniejsza się masa rakiety. Innym przykładem mogą być urządzenia do transportu 
ciągłego ze zmieniającą się w czasie ilością przenoszonego materiału. 
 W 

dalszych 

rozważaniach ze zrozumiałych względów ograniczymy się 

jedynie do wyprowadzenia równania ruchu ciała o zmiennej masie. Do ułożenia 
równania ruchu wykorzystamy zasadę pędu (7.48) zapisaną w postaci: 

 

(

)

W

v

=

dt

m

d

C

.  

 

 

 

 

 

 

 

 

   (g) 

 

 Przyjmijmy, 

ze 

środek układu materialnego o masie m porusza się 

względem układu odniesienia z prędkością  v

C

 i w pewnej chwili masa układu 

zaczyna się zmieniać w sposób ciągły. Zakładając,  że w czasie dt od układu 
odrywa się (lub przyłącza do niego) masa elementarna dm z prędkością 
bezwzględną v

b

, określimy elementarną zmianę pędu. W chwili początkowej t pęd 

układu wynosi 

C

m v

,   

 

 

 

 

 

 

 

 

 (h) 

 

a w chwili t + dt 

(

)(

)

b

C

dm

d

dm

m

v

v

v

+

−

−

.    

 

 

 

 

 

 (i) 

 

Elementarną zmianę pędu otrzymamy przez odjęcie zależności (i) od (h). 

 

(

)

(

)(

)

[

]

(

)

.

d

dm

dm

md

dm

d

dm

dm

md

m

m

dm

d

dm

m

m

m

d

C

b

b

C

C

C

b

C

C

C

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

v

−

−

−

=

=

−

−

+

+

−

=

=

+

−

−

−

=

 

Po pominięciu iloczynu różniczek dmdv jako małej wartości drugiego rzędu 
elementarna zmiana pędu  

 

(

)

w

C

dm

md

m

d

v

v

v

−

=

,  

 

 

 

 

 

 

   

(j) 

gdzie  

 

v

w

 = v

b

 – v

C 

 

i jest prędkością masy dm względem masy m, czyli prędkością względną. Po 
uwzględnieniu wyrażenia (h) w równaniu (e) otrzymamy równanie ruchu układu 
o zmiennej masie nazywane równaniem Mieszczerskiego: 

 

W

v

v

+

=

dt

dm

dt

d

m

w

C

 

lub w postaci 

W

R

v

+

=

dt

d

m

C

,  

 

 

 

 

 

 

 

 (7.54) 

gdzie 

dt

dm

w

v

R

=

    

 

 

 

 

 

 

 

 (7.55) 

i jest reakcją cząstki elementarnej. 
 Jeżeli występująca we wzorze (7.55) pochodna 

> 0, czyli masa 

układu wzrasta z upływem czasu, to wektor R ma zwrot prędkości względnej v

dt

dm /

w

 i 

jest siłą hamującą. Gdy masa układu materialnego będzie maleć z upływem czasu, 
czyli  dm/dt < 0, to wektor R będzie miał zwrot przeciwny do prędkości względnej 
v

w

, 

a więc będzie siłą napędową. 
 Jeżeli równanie (7.54) zastosujemy do badania ruchu rakiety i założymy, 
że wektor prędkości względnej v

w

  wypływających z rakiety gazów jest styczny do 

trajektorii lotu, to wektor R będzie siłą ciągu rakiety (rys. 7.15). 
 

R

v

C

v

w

W

 

 

Rys. 7.15. Ruch układu o zmiennej masie 

 

 

Przykład 7.8. Rakieta o masie początkowej m

0

 porusza się w przestrzeni 

międzyplanetarnej z prędkością początkową  v

C0

. Po włączeniu silnika prędkość 

względna v

w

  wypływających z rakiety produktów spalania paliwa jest stała, a jej 

wektor jest 

styczny do trajektorii lotu. Wyznaczyć prędkość rakiety po 

zmniejszeniu się jej masy do m oraz równanie jej ruchu s = s(t). 

 

 Rozwiązanie. Ponieważ rakieta porusza się w przestrzeni 
międzyplanetarnej, siły zewnętrzne na nią działające można pominąć, zatem W = 
0, a dynamiczne równanie ruchu rakiety na podstawie (7.54) po uwzględnieniu 
(7.55) można zapisać w postaci: 

dt

dm

dt

d

m

w

C

v

v =

lub

m

dm

d

w

C

=

v

v

,  lub 

m

dm

d

w

C

v

v

=

. 

 

  (a) 

 

Po scałkowaniu tego równania w granicach wyznaczonych przez warunki 
początkowe, czyli dla t = 0  v

C

(0) = v

C0

  i m(0) = m

0

, otrzymujemy: 

 

∫

∫

=

m

m

w

v

v

C

o

co

m

dm

d

v

v

, 

a po obliczeniu całek 

0

0

C

C

m

m

ln

w

v

v

v

+

=

.  

 

 

 

 

 

 

 (b) 

 

 Ponieważ wektory prędkości v

C

 i v

w

 działają wzdłuż jednej prostej i mają 

zwroty przeciwne (rys. 7.13), wektorowy wzór (b) można zapisać jednym wzorem 
skalarnym: 

v

v

v

C

C

w

=

−

0

ln

m

m

0

.    

 

 

 

 

 

 

 (c) 

 

 Powyższy wzór został po raz pierwszy wyprowadzony przez rosyjskiego 
uczonego polskiego pochodzenia K. Ciołkowskiego. 
 

Wektorowy wzór (b) lub równoważny mu (c) przedstawia prawo zmiany 

prędkości rakiety. Ze wzorów tych wynika, że prędkość rakiety zależy od stosunku 
masy końcowej rakiety m do jej masy początkowej m

0

. 

Teraz wyznaczymy równanie drogi rakiety w funkcji czasu. Podstawiwszy do 

wzoru (c)  

dt

ds

v

C

=

, 

 

otrzymujemy równanie różniczkowe o postaci: 

 

dt

m

m

ln

v

dt

v

ds

0

w

0

C

−

=

. 

 

Po scałkowaniu tego równania w granicach od s

0

 do s i od 0 do t otrzymujemy 

równanie ruchu rakiety: 

dt

m

m

ln

v

t

v

s

s

t

0

C

w

0

C

0

∫

−

+

=

.  

 

 

 

 

 

 

  (d) 

 

 Aby 

obliczyć występującą w tym równaniu całkę, należy znać funkcję 

zmiany masy w czasie. Załóżmy, że w czasie pracy silnika rakiety jej masa maleje 
wykładniczo według wzoru: 

t

0

e

m

m

α

−

=

, 

 

gdzie D jest stałym współczynnikiem. W tym przypadku 

 

2

t

0

t

0

t

–

t

0

0

t

2

1

tdt

lne

dt

m

m

ln

α

−

=

−

=

=

∫

∫

∫

α

. 

 

Po podstawieniu otrzymanego wyniku do wzoru (d) otrzymujemy równanie ruchu 
rakiety w funkcji czasu: 

2

w

0

C

0

t

v

2

1

t

v

s

s

α

+

+

=

. 

 

 

 

 

 

 

  (e) 

 

7.3.1. Definicja krętu i kręt układu materialnego 

 
 Krętem  k

O

 punktu materialnego o masie  m względem punktu O nazywamy 

moment pędu 

v

p m

=

 tego punktu materialnego względem punktu O: 

v

r

p

r

k

m

O

×

=

×

=

.                   (7.56) 

 

 Z 

powyższej definicji wynika, że kręt 

− zdefiniowany podobnie jak moment siły 

względem punktu 

− jest wektorem 

prostopadłym do płaszczyzny 
wyznaczonej przez punkt O i wektor 
prędkości v (rys. 7.16).  
 Kręt punktu będzie równy zeru, 
poza przypadkami trywialnymi  (r = 0 i 
v = 0), gdy wektory r i v  będą 
współliniowe. 
 Jeżeli będziemy mieli układ n 
punktów materialnych o masach m

k

 

opisanych wektorami wodzącymi r

k

 i 

poruszających się z prędkością v

k

 (rys. 7.17), to kręt tego układu materialnego 

względem nieruchomego punktu O będzie równy sumie krętów (sumie momentów 
pędów) nieruchomego punktu O będzie równy sumie krętów (sumie momentów 
pędów) 
 

k

o

m

mv

O

r

 

 

Rys. 7.16. Kręt (moment pędu) punktu 

materialnego 

∑

∑

=

=

×

=

×

=

n

1

k

k

k

k

n

1

k

k

k

O

m v

r

p

r

k

.           (7.57) 

 

7.3.2. Redukcja krętu do środka masy 

 
  Wzór (7.57) opisuje kręt układu materialnego obliczony względem dowolnego 
nieruchomego punktu O. Zadajmy sobie pytanie, jaki będzie kręt tego samego 
układu materialnego względem środka masy C. W tym celu przyjmijmy w środku 
masy C początek ruchomego układu współrzędnych o osiach 

 

równoległych do odpowiednich osi nieruchomego układu współrzędnych x, y, z  
(rys. 7.17). W tej sytuacji układ 

′ ′ ′

x , y , z

′ ′ ′

x , y , z   będzie się poruszał ruchem postępowym 

względem układu nieruchomego x, y, z z prędkością środka masy  v

C

. 

 

v

1

 

v

2

r

C

r

Ck

m

k

z 

x

′ 

z

′

y

′

y

x 

r

k

 

C 

O 

m

1

 

v

k

m

2

m

n

v

n

v

C

v

C

v

Ck

 

 

 

Rys. 7.17. Rozkład prędkości układu punktów materialnych 

 

 Przy 

takim 

założeniu prędkość bezwzględna  v

k

 każdego punktu materialnego 

względem układu nieruchomego x, y, z będzie sumą prędkości unoszenia równej 
prędkości środka masy v

C

 i prędkości względnej v

Ck

 wzgędem układu ruchomego 

, nazywanej dalej prędkością względem środka masy: 

′ ′ ′

x , y , z

 

Ck

C

k

v

v

v

+

=

.                     (a) 

Kręt rozpatrywanego układu punktów materialnych względem środka masy wyrazi 
wzór: 

∑

=

×

=

n

1

k

k

Ck

C

m

k

v

r

k

,                 (7.58) 

 

gdzie  r

Ck

 jest promieniem wodzącym punkt materialny o masie m

k

 w układzie 

. Z rysunku 7.17 wynika, że promień wodzący  r

′ ′ ′

x , y , z

k

 jest równy sumie 

promienia wodzącego środka masy r

C

 i promienia r

Ck

: 

 

Ck

C

k

r

r

r

+

=

. 

Po wyznaczeniu z tej zależności 

C

k

Ck

r

r

r

−

=

 

 

i podstawieniu do wzoru (7.58) otrzymamy: 

 

(

)

∑

∑

∑

=

=

=

×

−

×

=

×

−

=

n

1

k

n

1

k

k

C

n

1

k

k

k

C

C

m

m

m

k

k

k

k

k

v

r

v

r

v

r

r

k

. 

   (b) 

  Pierwsza suma po prawej stronie tego wzoru, zgodnie ze wzorem (7.57), jest 
krętem k

O

 względem nieruchomego punktu O, druga zaś jest pędem omawianego 

układu materialnego. Na podstawie  wzoru (7.42) możemy zapisać: 

 

C

n

1

k

k

m

m

v

v

p

k

=

=

∑

=

, 

 

gdzie m jest masą całego układu. Zatem równanie (b) przyjmie postać: 

 

C

C

O

C

mv

r

k

k

×

−

=

 

lub 

C

C

C

O

mv

r

k

k

×

+

=

.                   (7.59) 

 

 Kręt  k

O

 układu punktów materialnych względem dowolnego nieruchomego 

punktu O jest równy krętowi  k

C

 tego układu  względem  środka masy 

powiększonemu o kręt 

 masy całkowitej skupionej w środku masy. 

C

C

mv

r

×

  Wzór (7.58) przedstawia kręt układu materialnego względem  środka masy 
obliczony dla ruchu bezwzględnego, ponieważ występująca w tym wzorze 
prędkość  v

k

 jest prędkością względem nieruchomego układu odniesienia. 

Zastanówmy się, czemu będzie równy kręt tego układu materialnego względem 
środka masy wyznaczony dla ruchu względnego. W tym celu podstawmy do wzoru 
(7.58) zależność (a). 

 

(

)

.

m

m

m

m

m

m

m

m

n

1

k

Ck

k

Ck

n

1

k

k

Ck

C

n

1

k

Ck

k

Ck

C

n

1

k

k

Ck

n

1

k

n

1

k

Ck

k

Ck

C

k

Ck

n

1

k

Ck

C

k

Ck

n

1

k

k

k

Ck

C

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

=

=

×

+

×

−

=

×

+

×

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

=

×

+

×

=

+

×

=

×

=

v

r

r

v

v

r

v

r

v

r

v

r

v

v

r

v

r

k

 

Ale suma 

∑

=

=

n

1

k

k

Ck

0

m

r

, 

 

ponieważ moment statyczny układu względem  środka  masy  jest  równy  zeru.        
Ostatecznie mamy: 

∑

∑

=

=

×

=

×

=

n

1

k

Ck

k

Ck

n

1

k

k

k

Ck

C

m

m

v

r

v

r

k

. 

 

    (7.60) 

 

Z otrzymanej zależności wynika stwierdzenie: 
 Kręt układu punktów materialnych względem  środka masy wyznaczony dla 
ruchu bezwzględnego jest równy krętowi względem  środka masy wyznaczonemu 
dla ruchu względnego. 

 

7.3.3. Kręt bryły 

 

Wyznaczmy kręt bryły o masie m poruszającej się ruchem dowolnym, a więc 

bryły swobodnej. Podobnie jak w kinematyce bryły (p. 5.3.2) przyjmiemy dwa 
układy współrzędnych 

− jeden nieruchomy o początku w nieruchomym punkcie 

O i osiach x, y, z, a drugi ruchomy, sztywno związany z bryłą o osiach 

 

(rys. 7.18) i początku nie w dowolnym punkcie 

′ ′ ′

x , y , z

′

O , lecz w środku masy C. W 

bryle wydzielmy myślowo element masy dm o wektorze wodzącym 

 

r

r

r

′

+

=

C

,                      (c) 

gdzie 

.

z

y

x

,

z

y

x

C

C

C

C

k

j

i

r

k

j

i

r

′

′

+

′

′

+

′

′

=

′

+

+

=

 

 

 Znając prędkość  v

C

  środka masy C i prędkość  kątową 

ω, możemy obliczyć 

prędkość  v  dowolnego punktu bryły (wzór 5.32). Zatem prędkość elementarnej 
masy dm  

 

r

ω

v

v

′

×

+

=

C

.                     (d) 

 

Zgodnie z definicją kręt elementu 
masy dm względem nieruchomego 
punktu O 

 

d

dm

O

k

r v

= ×

∫

×

=

m

O

dm

v

r

k

. 

 

Kręt bryły będzie równy całce z 
powyższej zależności rozciągniętej 
na całą masę m bryły: 

 

. 

 

Po podstawieniu do tego wzoru 
zależności (c) i (d) otrzymamy: 
 

(

) (

)

(

)

(

)

.

dm

dm

dm

dm

dm

m

C

m

C

m

m

C

C

C

C

∫

∫

∫

∫

′

×

ω

×

′

+

×

′

+

′

×

ω

×

+

×

=

′

×

ω

+

×

′

+

=

r

r

v

r

r

r

v

r

r

v

r

r

m

O

∫

+

k

 

 

v 

x 

z

x

′

z

′

y

′ 

y 

r

C

r

′ 

r 

dm

 

C

O 

 

 

Rys. 7.18. Opis położenia dowolnego elementu 

bryły sztywnej 

 

Występujące pod całkami wielkości  r

C

,  v

C

 i 

ω nie podlegają całkowaniu i mogą 

być wyciągnięte przed znaki całek: 

 

(

)

.

dm

dm

dm

dm

m

m

C

m

C

m

C

C

O

∫

∫

∫

∫

′

×

×

′

+

′

×

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

′

×

×

+

×

=

r

ω

r

r

v

r

ω

r

v

r

k

 

 

Dwie  środkowe całki są momentami statycznymi bryły względem  środka masy, 
a więc są równe zeru: 

,

0

dm

m

∫

=

′

r

 

 

a pierwsza całka jest masą całkowitą bryły: 

 

.

∫

=

m

dm

m

 

 

Ostatecznie kręt bryły możemy zapisać w postaci: 

 

(

)

C

C

m

O

m

dm

v

r

r

ω

r

k

×

+

′

×

×

′

=

∫

.             (7.61) 

 

Całka występująca w tym wzorze jest krętem 

 bryły w jej ruchu względem 

środka masy C z prędkością kątową 

ω. 

k

C

 

(

)

∫

′

×

×

′

=

m

C

dm

r

ω

r

k

.                 (7.62) 

 

Zatem wzór (7.61) możemy zapisać w postaci: 

 

C

C

C

O

m v

r

k

k

×

+

=

.                   (7.63) 

 

 Kręt k

O

 bryły względem dowolnego nieruchomego punktu O jest równy krętowi 

k

C

 bryły względem  środka masy C (w jej ruchu względem  środka masy z 

prędkością  kątową 

ω)  powiększonemu o kręt  r

v

C

m

C

×

 masy m bryły 

poruszającej się z prędkością v

C

 środka masy. 

  Obecnie obliczymy współrzędne wektora k

C

 w ruchomym układzie 

współrzędnych 

 o początku w środku masy C (rys. 7.18). W tym układzie 

współrzędnych wektory występujące we wzorze (7.62) mają następujące 
współrzędne: 

′ ′ ′

x , y , z

 

,

z

y

x

,

k

k

k

z

C

y

C

x

C

C

k

j

i

r

k

j

i

k

′

′

+

′

′

+

′

′

=

′

′

+

′

+

′

=

′

′

′

 

=

ω

.

z

y

x

k

j

i

′

ω

+

′

ω

+

′

ω

′

′

′

 

 

Po rozpisaniu podwójnego iloczynu wektorowego ze wzoru (7.62), zgodnie ze 
wzorem (2.34) otrzymamy: 

 

(

)

( )

(

)

.

dm

dm

r

dm

dm

m

2

m

m

C

∫

∫

∫

∫

′

⋅′

−

′

=

⋅′

′

−

′

⋅′

=

m

r

ω

r

ω

ω

r

r

r

r

ω

k

 

 

Pierwsza całka występująca po prawej stronie powyższego równania jest 
biegunowym momentem bezwładności względem środka masy C: 

 

( )

∫

′

=

m

2

C

dm

r

I

, 

a więc 

 

(

)

dm

I

m

C

C

∫

′

⋅′

−

=

r

ω

r

ω

k

.                 (7.64) 

 

Współrzędne krętu k

C

 otrzymamy po zrzutowaniu tego wektora na osie 

: 

′ ′ ′

x , y , z

 

−

ω

=

′

⋅

=

′

′

C

x

C

x

C

I

k

i

k

(

)

,

dm

x

m

∫

′

⋅′ ω

r

 

−

ω

=

′

⋅

=

′

′

C

y

C

y

C

I

k

j

k

(

)

,

dm

y

m

∫

′

⋅′ ω

r

 

−

ω

=

′

⋅

=

′

′

C

z

C

z

C

I

k

k

k

(

)

.

dm

z

m

∫

′

⋅′ ω

r

 

 

Po podstawieniu do tych wzorów iloczynu skalarnego: 

 

=

⋅′ω

r

z

y

x

z

y

x

′

′

′

ω

′

+

ω

′

+

ω

′

 

 

oraz wyłączeniu przed całki współrzędnych prędkości kątowej otrzymujemy: 

( )

( )

( )

.

dm

z

dm

z

y

dm

x

z

I

k

,

dm

z

y

dm

y

dm

y

x

I

k

,

dm

x

z

dm

y

x

dm

x

I

k

2

z

m

y

m

x

C

z

z

C

m

z

m

2

y

m

x

C

y

y

C

m

z

m

y

m

2

x

C

x

x

C

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

′

ω

−

′

′

ω

−

′

′

ω

−

ω

=

′

′

ω

−

′

ω

−

′

′

ω

−

ω

=

′

′

ω

−

′

′

ω

−

′

ω

−

ω

=

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

 

 

 Całki występujące w powyższych wzorach są zdefiniowanymi w p. 6.1.2 
momentami bezwładności bryły względem odpowiednich płaszczyzn i momentami 
dewiacyjnymi. Po wykorzystaniu zależności (6.7) i (6.9) między momentami 

bezwładności względem bieguna, płaszczyzn i osi oraz odpowiednim 
uporządkowaniu wyrazów współrzędne krętu k

C

 bryły opisują wzory: 

 

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

ω

+

ω

−

ω

−

=

ω

−

ω

+

ω

−

=

ω

−

ω

−

ω

=

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

′

.

I

D

D

k

,

D

I

D

k

,

D

D

I

k

z

z

z

y

y

x

z

x

z

C

z

y

z

y

y

y

x

x

y

C

x

z

z

y

x

y

x

x

x

C

              (7.65) 

 

 Z 

powyższych wzorów wynika, że do obliczenia krętu  k

C

 bryły swobodnej 

względem środka masy C musimy znać wszystkie osiowe momenty bezwładności 
i wszyskie momenty dewiacyjne, czyli tensor bezwładności. Wzory (7.65) znacznie 
się upraszczają, gdy osie 

′ ′ ′

x , y , z   są głównymi centralnymi osiami bezwładności. 

W tym przypadku, jak wiadomo z p. 6.5, wszystkie momenty dewiacyjne są równe 
zeru i kręt  

 

k

j

i

k

′

ω

+

′

ω

+

′

ω

=

′

′

′

′

′

′

z

z

y

y

x

x

C

I

I

I

.               (7.66) 

 

Jeżeli założymy, że osią obrotu bryły jest np. oś 

z′ , to prędkość kątowa 

ω  pokryje 

się z osią obrotu: 

ω =

k

k

′

ω

=

′

ω

′

z

. 

 

Wówczas kręt wyznaczony ze wzorów (7.65) ma postać: 

 

k

j

i

k

′

ω

+

′

ω

−

′

ω

−

=

′

′

′

′

′

z

z

y

x

z

C

I

D

D

, 

     (7.67) 

 

a na podstawie wzoru (7.66) 

 

k

k

′

ω

=

′

z

z

C

I

.                    (7.68) 

  Z porównania wzorów (7.67) i (7.68) wynika, że jeżeli oś obrotu jest główną 
centralną osią bezwładności, to wektor krętu leży na tej osi; gdy tak nie jest, 
kierunek wektora krętu nie pokrywa się z osią obrotu. 

 

  Przykład 7.9. Korba OA o masie  m

m

1

=

 obraca się z prędkością kątową 

ω

0

 

wokół osi z przechodzącej przez punkt O i prostopadłej do płaszczyzny rys. 7.19. 

Na końcu A korby jest osadzona cienka 
jednorodna tarcza o masie 

 i 

promieniu r, która toczy się bez poślizgu 
po nieruchomym kole o promieniu R. 
Wyznaczyć kręt układu względem osi z. 
Korbę OA uważać za pręt jednorodny. 

m

2

2

=

 

ω

2

 

O 

A

r

ω

0

 

R 

C 

v

A

 

 

Rys. 7.19. Wyznaczenie krętu układu 

m

 
   
 

Rozwiązanie

. Kręt układu względem osi z składa się z krętu 

 korby OA 

poruszającej się ruchem obrotowym wokół osi z oraz krętu 

 tarczy poruszającej 

się ruchem postępowym środka ciężkości A tarczy z prędkością 

 oraz ruchem 

obrotowym z prędkością 

 względem osi 

k

1z

k

z

2

v

A

ω

2

′

z  równoległej do osi z i 

przechodzącej przez środek tarczy: 

 

z

2

z

1

z

k

k

k

+

=

.                     (a) 

 

Kręt korby OA względem osi z  

 

0

z

z

1

I

k

ω

=

.                      (b) 

 

Kręt tarczy względem tej samej osi na podstawie wzoru (7.63) możemy wyrazić 
zależnością: 

(

)

A

2

2

z

z

2

v

m

r

R

I

k

+

+

ω

=

′

.                   (c) 

 

We wzorach (b) i (c) 

I i

  są odpowiednio momentami bezwładności korby 

względem osi z przechodzącej przez punkt O i tarczy względem osi 
przechodzącej przez jej środek A. Zgodnie ze wzorami (f) i (a) z przykładu 6.2: 

I

z

z

′

′

z  

 

(

)

(

)

2

2

2

z

2

2

1

z

r

m

r

m

2

1

I

,

r

R

m

3

1

r

R

m

3

1

I

=

=

+

=

+

=

′

.      (d) 

 

Prędkość środka tarczy  

 

(

)

0

A

r

R

v

ω

+

=

.                       (e) 

Ponieważ punkt C (rys. 7.19) styku tarczy z nieruchomym kołem jest chwilowym 
środkiem obrotu tarczy, mamy również: 

,

r

v

2

A

ω

=

stąd 

(

)

0

A

2

r

r

R

r

v

ω

+

=

=

ω

. 

 

    (f) 

 

Po uwzględnieniu w związkach (b) i (c) wzorów (d), (e) i (f) oraz po ich 
podstawieniu do równania (a) otrzymujemy kręt  układu względem osi z. 

 

(

)

(

)

(

)(

)

(

)(

)

.

r

10

R

7

r

R

m

3

1

r

R

r

R

m

2

r

r

R

r

m

r

R

m

3

1

k

0

0

0

2

0

2

z

ω

+

+

=

=

ω

+

+

+

ω

+

+

ω

+

=

 

 

7.3.4. Zasada krętu i pokrętu. Zasada zachowania krętu 

 
 Załóżmy, że mamy układ materialny składający się z n punktów materialnych 
o masach m

k

 poruszających się z prędkością v

k

 (rys. 7.17). Na każdy punkt niech 

działa siła zewnętrzna  P

k

 oraz siły wewnętrzne  F

kl

. Zgodnie z drugim prawem 

Newtona możemy dla dowolnego punktu rozważanego układu materialnego 
napisać dynamiczne równanie ruchu: 

 

wk

P

P

r

+

=

k

2

k

2

k

dt

d

m

 

lub 

(

)

n

,

2

,

1

k

t

d

d

m

k

k

k

,

.

.

.

P

P

v

wk

=

+

=

 

 

W powyższym równaniu zgodnie ze wzorem (7.45) P

wk

 jest wypadkową sił 

wewnętrznych działających na punkt o masie m

k

. Pomnóżmy wektorowo każde z n 

równań obustronnie przez wektor wodzący  r

k

 i dodajmy wszystkie równania 

stronami. Otrzymamy: 

 

(

)

∑

∑

∑

∑

=

=

=

×

+

×

=

+

×

=

×

n

1

k

wk

k

k

n

1

=

k

k

n

1

k

n

1

k

wk

k

k

k

k

k

t

d

d

m

P

r

P

r

P

P

r

v

r

.      (e) 

 

Druga suma po prawej stronie tego równania jest sumą momentów sił 
wewnętrznych względem punktu O i jak wykazano w p. 7.1.4 (wzór 7.13), jest 
równa zeru. Z kolei suma momentów sił zewnętrznych względem punktu O jest 
równa momentowi głównemu (3.26): 

k

n

1

=

k

k

o

P

r

M

×

=

∑

. 

 

Sumę występującą po lewej stronie równania (e) możemy przekształcić: 

 

(

)

(

)

.

dt

d

m

dt

d

m

dt

d

dt

d

m

dt

d

m

dt

d

m

O

n

1

k

n

1

k

k

k

k

k

k

k

k

k

n

1

k

k

n

1

k

n

1

=

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

v

r

v

r

v

r

v

r

v

v

v

r

=

×

=

×

=

=

×

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

×

+

×

=

×

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

  

 

Wynika z tego, że lewa strona równania (e) jest pochodną krętu całego układu 
materialnego względem nieruchomego punktu O. Ostatecznie otrzymujemy: 

 

O

O

dt

d

M

k =

.                       (7.69) 

 

Otrzymana zależność różniczkowa jest zasadą krętu. 

 

 Pochodna 

względem czasu krętu układu punktów materialnych względem 

dowolnego nieruchomego punktu jest równa momentowi głównemu wszystkich sił 
zewnętrznych względem tego samego punktu. 

 

Po obustronnym scałkowaniu równania (7.69) w granicach od 0 do t 

otrzymamy: 

 

( )

( )

∫

=

−

t

0

O

O

O

dt

0

t

M

k

k

.                (7.70) 

 

Całka występująca w tym równaniu nosi nazwę  pokrętu momentu głównego, a 
samo równanie jest zasadą krętu i pokrętu. 
 Przyrost 

krętu układu materialnego względem dowolnego nieruchomego punktu 

jest równy pokrętowi momentu głównego sił zewnętrznych względem tego samego 
punktu. 

  Równania (7.69) i (7.70) są słuszne nie tylko dla układu punktów materialnych, 
ale i dla bryły. 
 Często się zdarza, że moment główny układu sił zewnętrznych względem 
obranego nieruchomego bieguna redukcji O jest stale równy zeru bądź jest 
pomijalnie mały, 

. Wtedy całka po prawej stronie równania (7.70) jest 

równa zeru i zasada krętu i pokrętu przechodzi w zasadę zachowania krętu: 

0

O

≡

M

( )

( )

( )

( )

const

0

t

czyli

0

0

t

O

O

O

O

=

=

=

−

k

k

,

k

k

 

lub 

const

to

0

li

jeże

O

O

=

=

k

,

M

.           (7.71) 

 

Otrzymaną zasadę zachowania krętu można wyrazić słownie: 

 

 Jeżeli moment główny sił zewnętrznych względem nieruchomego punktu 
redukcji O jest równy zeru, to kręt układu materialnego (bryły) względem tego 
punktu jest wielkością stałą. 

 
 

7.3.5. Redukcja zasady krętu i pokrętu do środka masy 

 
 Zastanówmy 

się, jaką postać przyjmie zasada krętu i pokrętu (7.70), jeżeli za 

biegun redukcji przyjmiemy nie dowolny punkt O, lecz środek masy układu 
materialnego C. W celu udzielenia odpowiedzi na postawione pytanie podstawmy 
do równania (7.69) wzór (7.59): 

C

C

C

O

mv

r

k

k

×

+

=

  

 

oraz twierdzenie o momencie głównym (3.29): 

 

W

r

M

M

×

+

=

C

C

O

 

 

i dokonajmy różniczkowania: 

(

)

W

r

M

v

r

k

×

+

=

×

+

C

C

C

C

C

dt

m

d

dt

d

, 

(

)

W

r

M

v

r

v

r

k

×

+

=

×

+

×

+

C

C

C

C

C

C

C

dt

m

d

m

dt

d

dt

d

. 

    (f) 

 

Drugi wyraz po lewej stronie powyższego równania jest równy zeru, ponieważ jest 
to iloczyn wektorowy wektorów równoległych: 

0

m

m

dt

d

C

C

C

C

=

×

=

×

v

v

v

r

, 

 

a pochodna występująca w trzecim wyrazie jest pochodną względem czasu pędu 
układu materialnego, równą wektorowi głównemu układu sił zewnętrznych (7.48): 

 

(

)

W

p

v

=

=

dt

d

dt

m

d

C

. 

 

Po uwzględnieniu powyższych zależności w równaniu (f) i uproszczeniu 
otrzymamy zasadę krętu przy redukcji do środka masy: 

C

C

dt

d

M

k

=

.                     (7.72) 

 

  Z kolei po scałkowaniu tego równania od zera do t otrzymamy zasadę krętu 
i pokrętu zredukowaną do środka masy układu: 

 

( )

( )

∫

=

−

t

0

C

C

C

dt

0

t

M

k

k

.                (7.73) 

 

 Widzimy, 

że formalna postać otrzymanych równań (7.72) i (7.73) jest taka 

sama jak równań (7.69) i (7.70), ale równania (7.72) i (7.73) nie opisują ruchu 
środka masy C. Do opisu ruchu środka masy C należałoby zastosować zasadę pędu 
(7.48). 
 Jeżeli założymy teraz, że moment sił zewnętrznych względem  środka masy C 
układu materialnego będzie stale równy zeru, 

M

C

≡ 0 , to zasada krętu i pokrętu 

(7.73) zredukowana do środka masy przejdzie w zasadę zachowania krętu 
względem środka masy, co można zapisać w następujący sposób: 

 

const

to

0

li

jeże

C

C

=

=

k

,

M

              (7.74) 

 

lub ująć słownie: 

 

 Jeżeli moment główny sił zewnętrznych względem  środka masy układu 
materialnego jest równy zeru, to kręt tego układu materialnego względem środka 
masy jest wielkością stałą. 
 
  Przykład 7.10. Punkt materialny A o masie m

1

 zaczął się poruszać wzdłuż 

cięciwy BC (rys. 7.20a) poziomej jednorodnej tarczy kołowej o promieniu R i 
masie m według równania: 

 

sinkt

b

x

=

, 

gdzie x oznacza współrzędną odmierzoną jak na rys. 7.20, k pewną stałą, a 

2b BC

≤

. Tarcza może się obracać bez tarcia wokół osi pionowej z przechodzącej 

przez  środek tarczy O. Wyznaczyć prędkość  kątową 

ω tarczy w funkcji czasu t, 

jeżeli odległość cięciwy od środka tarczy wynosi b, a tarcza w chwili początkowej 

  była nieruchoma. 

t

= 0

 

O 

A

R 

O

A

R

v

w

r

ω 

b 

A

0

α

x

x 

b

v

u

 

A

0

a)

b)

α

B

C

 

 

Rys. 7.20. Wyznaczenie prędkości kątowej tarczy 

 

  Rozwiązanie. Na układ działają siły zewnętrzne ciężkości tarczy i punktu 
materialnego oraz reakcje w łożyskach osi obrotu tarczy. Siły ciężkości są 
równoległe do osi obrotu, więc ich momenty względem osi obrotu są zawsze