Egzamin poprawkowy z rachunku prawdopodobieństwa, 13 września 2002

1. W dwóch sklepach: „Pszczółka” i „Żabka” stwierdza się średnio jedną kradzież dziennie. Co jest

bardziej prawdopodobne: równa czy różna liczba kradzieży w najbliższy wtorek? (10 pt.)

Wsk. Sformułować i krótko uzasadnić hipotezę co do rozkładu liczby wykrytych kradzieży, a następnie

posłużyć się nią.

2. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym N (0, 1). Wyznaczyć (jeśli istnieją) a)

gęstość zmiennej losowej

Y = e

X

; (4 pt.) b) EY ; (3 pt.) c) D

2

Y . (3 pt.) Jeśli którykolwiek z wymie-

nionych obiektów nie istnieje, uzasadnić dlaczego.

3. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie jednostajnym na

przedziale [0

, 1].

a) Obliczyć (jeśli istnieją) wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej

Z = X/Y . Znaleźć rozkład

Z. (4 pt.)

b) Obliczyć Cov(max(

X, Y ) − min(X, Y ), |X − Y |). (3 pt.)

c) Obliczyć

E(max(X, Y )| min(X, Y )). (3 pt.)

4. Pokazać, że jeśli X

1

, X

2

, . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, przy

czym

P (X

1

= 1) = 2

/3, P (X

1

=

−1) = 1/3, to

P

lim

n→∞

(

X

1

+ . . . +

X

n

) =

∞



= 1

.

(10 pt.)

5. Bliźnięta rodzą się średnio raz na 90 porodów. Oszacować prawdopodobieństwo
a) co najmniej 5 par bliźniąt na 900 porodów; (5 pt.)
b) dokładnie dwóch par bliźniąt na 180 porodów. (5 pt.)

Zadanie dodatkowe (20 pt.)
6*. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N (0, 1). Obliczyć

E (X|aX + bY ) , a

2

+

b

2

> 0.