mgr Grzegorz Stolarczyk
1
Ekonometria 1
BLOK 3
Szacowanie parametrów modeli liniowych i nieliniowych klasyczn
ą
metod
ą
najmniejszych
kwadratów
Szacowanie parametrów modeli liniowych
Przykład 1.
Prosz
ę
na podstawie danych oszacowa
ć
parametry ekonometrycznego modelu liniowego
opisuj
ą
cego wydatki na
Ŝ
ywno
ść
gospodarstwa domowego w zł na 1 osob
ę
(Y) w zale
Ŝ
no
ś
ci
od dochodów na 1 osob
ę
(X
1
).
Y
X
1
100
750
125
790
130
820
140
860
152
890
160
900
180
925
190
960
210
980
220
1000
Rozwi
ą
zanie:
Szacujemy parametry modelu o postaci:
ε
β
α
+
+
=
1
x
y
Oceny a i b parametrów
α
i
β
wyznaczamy ze wzorów:
(
)( )
( )
∑
∑
=
=
−
−
−
=
n
i
i
n
i
i
i
x
x
x
x
y
y
a
1
2
1
1
x
a
y
b
−
=
mgr Grzegorz Stolarczyk
2
Ekonometria 1
Tabela 1. Obliczenia pomocnicze
i
y
i
x
y
y
i
−
x
x
i
−
(
)( )
x
x
y
y
i
i
−
−
( )
2
x
x
i
−
100
750
-60,7
-137,5
8346,25
18906,25
125
790
-35,7
-97,5
3480,75
9506,25
130
820
-30,7
-67,5
2072,25
4556,25
140
860
-20,7
-27,5
569,25
756,25
152
890
-8,7
2,5
-21,75
6,25
160
900
-0,7
12,5
-8,75
156,25
180
925
19,3
37,5
723,75
1406,25
190
960
29,3
72,5
2124,25
5256,25
210
980
49,3
92,5
4560,25
8556,25
220
1000
59,3
112,5
6671,25
12656,25
ś
rednia
160,7
887,5
-----
------
---------------
----------
suma
------
-------
-----
------
28517,5
61762,5
462
,
0
5
,
61762
5
,
28517
≈
=
a
1
,
249
5
,
887
462
,
0
7
,
160
−
≈
⋅
−
=
b
Oszacowany model:
1
,
249
462
,
0
1
^
−
⋅
=
x
y
Interpretacja modelu:
Wzrost dochodu w gospodarstwie domowym o 1 zł na osob
ę
powoduje wzrost wydatków
na
Ŝ
ywno
ść
o 0,462 zł na 1 osob
ę
.
Te same oceny parametrów wyznaczymy ze wzoru:
Y
X
X
X
a
T
T
1
)
(
−
=
mgr Grzegorz Stolarczyk
3
Ekonometria 1
Wektor Y obserwacji zmiennej obja
ś
nianej oraz macierz X obserwacji zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych
wygl
ą
daj
ą
nast
ę
puj
ą
co:
100
125
130
Y=
140
152
160
180
190
210
220
750
1
790
1
820
1
860
1
X=
890
1
900
1
925
1
960
1
980
1
1000
1
Obliczenia:
750
790
820
860
890
900
925
960
980
1000
X
T
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
7938325
8875
X
T
X
8875
10
0,0000162
-0,0143696
(X
T
X)
-1
-0,0143696
12,8529852
1454730
X
T
Y
1607
a
0,462
(X
T
X)
-1
X
T
Y=
b
-249,1
mgr Grzegorz Stolarczyk
4
Ekonometria 1
Jak wida
ć
warto
ś
ci ocen parametrów szacowane za pomoc
ą
dwóch wzorów s
ą
takie same.
Kolejnym krokiem jest wyliczenie z modelu warto
ś
ci teoretycznych zmiennej obja
ś
nianej
y
:
1
,
249
750
462
,
0
^
1
−
⋅
=
y
1
,
249
790
462
,
0
^
2
−
⋅
=
y
1
,
249
820
462
,
0
^
3
−
⋅
=
y
1
,
249
860
462
,
0
^
4
−
⋅
=
y
1
,
249
890
462
,
0
^
5
−
⋅
=
y
1
,
249
900
462
,
0
^
6
−
⋅
=
y
1
,
249
925
462
,
0
^
7
−
⋅
=
y
1
,
249
960
462
,
0
^
8
−
⋅
=
y
1
,
249
980
462
,
0
^
9
−
⋅
=
y
1
,
249
1000
462
,
0
^
10
−
⋅
=
y
^
y
97,21235
115,6815
129,5333
148,0025
161,8543
166,4716
178,0148
194,1753
203,4099
212,6444
mgr Grzegorz Stolarczyk
5
Ekonometria 1
Na podstawie danych empirycznych oraz warto
ś
ci teoretycznych zmiennej
y
sporz
ą
dzamy wykres:
Punkty empiryczne i prosta wyznaczona metod
ą
najmniejszych kwadratów
0
50
100
150
200
250
0
200
400
600
800
1000
1200
Dochód
W
y
d
a
tk
i
Punkty
empiryczne
Warto
ś
ci
teoretyczne
Liniowy
Szacowanie parametrów modeli nieliniowych
Jednorównaniowe modele nieliniowe dzielimy na:
1. sprowadzalne do postaci liniowej:
a) modele liniowe wzgl
ę
dem parametrów, lecz nieliniowe wzgl
ę
dem zmiennej obja
ś
niaj
ą
cej
b) modele nieliniowe wzgl
ę
dem parametrów oraz nieliniowe wzgl
ę
dem zmiennej
obja
ś
niaj
ą
cej.
2. niesprowadzalne do postaci liniowej
Przykłady modeli liniowych wzgl
ę
dem parametrów, lecz nieliniowych wzgl
ę
dem zmiennej
obja
ś
niaj
ą
cej:
a) model logarytmiczny
x
y
ln
1
0
α
α
+
=
b) model wielomianowy
2
1
2
1
1
0
x
x
y
α
α
α
+
+
=
c) model hiperboliczny
1
1
0
1
x
y
α
α
+
=
mgr Grzegorz Stolarczyk
6
Ekonometria 1
Przykłady modeli nieliniowych wzgl
ę
dem parametrów oraz nieliniowych wzgl
ę
dem zmiennej
obja
ś
niaj
ą
cej:
a) model pot
ę
gowy
1
1
0
α
α
x
y
⋅
=
b) model wykładniczy
x
a
e
y
1
0
α
=
Wybór postaci analitycznej modeli nieliniowych ustala si
ę
w oparciu o wiedz
ę
dotycz
ą
c
ą
kształtowania si
ę
badanych zjawisk oraz analiz
ę
rozrzutu punktów empirycznych na wykresie
Sposoby linearyzacji (sprowadzenia do postaci liniowej) modeli nieliniowych
1. Poprzez
podstawienie
–
w
przypadku
modelu
logarytmicznego
wielomianowego,
hiperbolicznego,
2. Poprzez logarytmowanie stronami – w przypadku modelu pot
ę
gowego, wykładniczego.
Estymacja parametrów modeli liniowych wzgl
ę
dem parametrów, lecz nieliniowych wzgl
ę
dem
zmiennej obja
ś
niaj
ą
cej.
Przykład 1:
Zbuduj model zale
Ŝ
no
ś
ci wydatków na
Ŝ
ywno
ść
w tys. zł (Y) od dochodu na osob
ę
w tys. zł.(X).
Macierz obserwacji zmiennych oraz wykres rozrzutu punktów empirycznych:
Wykres rozrzutu punktów em pirycznych
0
1
2
3
4
5
6
0
2
4
6
8
10
12
14
Y
Rozwi
ą
zanie:
Analiza rozrzutu punktów empirycznych na wykresie wskazuje na mo
Ŝ
liw
ą
posta
ć
modelu
logarytmicznego
x
y
ln
1
0
α
α
+
=
poprzez podstawianie budujemy posta
ć
zlinearyzowan
ą
:
z
y
1
0
α
α
+
=
gdzie: z=lnx,
Y
X
1,8
2,2
2,1
2,5
2,3
3
2,8
3,4
2,8
4
3,4
4,6
3,2
5,3
3,6
6,1
3,5
6,9
3,7
7,9
3,8
9
4,2
9,5
4,8
12,3
mgr Grzegorz Stolarczyk
7
Ekonometria 1
Macierz obserwacji zmiennych dla modelu zlinearyzowanego:
y
z=ln(x)
1,8
0,8
2,1
0,9
2,3
1,1
2,8
1,2
2,8
1,4
3,4
1,5
3,2
1,7
3,6
1,8
3,5
1,9
3,7
2,1
3,8
2,2
4,2
2,3
4,8
2,5
Nast
ę
pnie korzystaj
ą
c z KMNK definiowanej nast
ę
puj
ą
co:
a
i
= (Z
T
Z)
-1
Z
T
y
szacujemy parametry a
0
, a
1
,
Macierz:
Z
Z=ln(x)
z
0
0,8
1,0
0,9
1,0
1,1
1,0
1,2
1,0
1,4
1,0
1,5
1,0
1,7
1,0
1,8
1,0
1,9
1,0
2,1
1,0
2,2
1,0
2,3
1,0
2,5
1,0
Z
T
z=ln(x)
0,8
0,9
1,1
1,2
1,4
1,5
1,7
1,8
1,9
2,1
2,2
2,3
2,5
z
0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
Z
T
Z
39
21
21
13
mgr Grzegorz Stolarczyk
8
Ekonometria 1
(Z
T
Z)
-1
0,3
-0,5
-0,5
0,8
(Z
T
Z)
-1
Z
T
y=a
i
A zatem oszacowano model zlinearyzowany postaci:
yˆ
=1,5z+0,7
Na podstawie postaci pierwotnej wyznaczono warto
ś
ci teoretyczne zmiennej obja
ś
nianej Y:
1,9
2,1
2,4
2,6
2,8
3
3,3
3,5
3,7
3,9
4,1
4,2
4,6
które naniesiono na wykres w postaci linii trendu (kolor ró
Ŝ
owy):
0
1
2
3
4
5
6
0
2
4
6
8
10
12
14
Y
Yteor.
1,5
=a
1
0,7
=a
0
mgr Grzegorz Stolarczyk
9
Ekonometria 1
Przykład 2:
Zbuduj model zale
Ŝ
no
ś
ci jednostkowych stałych kosztów produkcji w tys. zł, ceny stałe (Y)
od wielko
ś
ci produkcji w tys. sztuk (X). Macierz obserwacji zmiennych oraz wykres rozrzutu punktów
empirycznych:
Wykres rozrzutu punktów empirycznych
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Y
Rozwi
ą
zanie:
Analiza rozrzutu punktów empirycznych na wykresie wskazuje na mo
Ŝ
liw
ą
posta
ć
modelu
hiperbolicznego:
1
1
0
1
x
y
α
α
+
=
poprzez podstawianie budujemy posta
ć
zlinearyzowan
ą
:
z
y
1
0
α
α
+
=
gdzie:
x
z
1
=
,
Y
X
66
100
64,2
104
61,9
121
60,8
126
59,7
132
58,3
150
57,5
152
58,3
147
60,1
130
60
131
60,2
122
63,4
110
65
100
64,7
105
62,4
120
mgr Grzegorz Stolarczyk
10
Ekonometria 1
Macierz obserwacji zmiennych dla modelu zlinearyzowanego:
y
z
=
x
1
66
0,010
64,2
0,010
61,9
0,008
60,8
0,008
59,7
0,008
58,3
0,007
57,5
0,007
58,3
0,007
60,1
0,008
60
0,008
60,2
0,008
63,4
0,009
65
0,010
Nast
ę
pnie korzystaj
ą
c z KMNK szacujemy parametry
α
0
,
α
1
.
Oszacowano model zlinearyzowany o postaci:
yˆ
=2269z+43
Posta
ć
pierwotna:
yˆ
=2269
x
1
+43;
Na podstawie postaci pierwotnej wyznaczono warto
ś
ci teoretyczne zmiennej obja
ś
nianej y:
65,4
64,6
61,5
60,8
59,9
57,9
57,7
58,2
60,2
60,1
61,4
63,4
65,4
które naniesiono na wykres w postaci linii trendu (kolor ró
Ŝ
owy):
mgr Grzegorz Stolarczyk
11
Ekonometria 1
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Y
Yteor.
Przykład 3:
Zbuduj model zale
Ŝ
no
ś
ci wydajno
ś
ci pracy robotników (Y) od ich wieku (X). Macierz obserwacji
zmiennych oraz wykres rozrzutu punktów empirycznych:
Wykres rozrzutu punktów empirycznych
98
100
102
104
106
108
110
112
114
116
118
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Y
Rozwi
ą
zanie:
Analiza rozrzutu punktów empirycznych na wykresie wskazuje na mo
Ŝ
liw
ą
posta
ć
modelu
wielomianowego stopnia drugiego:
2
2
1
0
x
x
y
α
α
α
+
+
=
poprzez podstawianie budujemy posta
ć
zlinearyzowan
ą
:
z
x
y
2
1
0
α
α
α
+
+
=
gdzie: z=x
2
Y
X
99
0
107
1
115
2
113
3
116
4
117
5
109
6
107
7
101
8
mgr Grzegorz Stolarczyk
12
Ekonometria 1
Macierz obserwacji zmiennych dla modelu zlinearyzowanego:
y
x
z=x
2
99
0
0
107
1
1
115
2
4
113
3
9
116
4
16
117
5
25
109
6
36
107
7
49
101
8
64
Nast
ę
pnie korzystaj
ą
c z KMNK szacujemy parametry
α
0
,
α
1
,
α
2.
Oszacowano model zlinearyzowany o postaci:
yˆ
=-z+8x+100
Posta
ć
pierwotna:
yˆ
=-x
2
+8x+100;
Na podstawie postaci pierwotnej wyznaczono warto
ś
ci teoretyczne zmiennej obja
ś
nianej Y:
100
107
112
115
116
115
112
107
100
które naniesiono na wykres w postaci linii trendu (kolor ró
Ŝ
owy):
98
100
102
104
106
108
110
112
114
116
118
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Y
Yteor.
mgr Grzegorz Stolarczyk
13
Ekonometria 1
Estymacja parametrów modeli nieliniowych wzgl
ę
dem parametrów oraz nieliniowych wzgl
ę
dem
zmiennej obja
ś
niaj
ą
cej.
Przykład 4:
Zbuduj model zale
Ŝ
no
ś
ci pomi
ę
dzy wydatkami na luksusowe samochody (Y), a dochodami (X).
Macierz obserwacji zmiennych oraz wykres rozrzutu punktów empirycznych:
Wykres rozrzutu punktów empirycznych
0
2
4
6
8
10
12
14
0
1
2
3
4
5
6
Y
Rozwi
ą
zanie:
Analiza rozrzutu punktów empirycznych na wykresie wskazuje na mo
Ŝ
liw
ą
posta
ć
modelu
pot
ę
gowego
1
0
α
α
x
y
⋅
=
logarytmujemy obustronnie:
ln(y)=ln(
α
0
)+
α
1
⋅
⋅
ln(x)
poprzez podstawianie budujemy posta
ć
zlinearyzowan
ą
:
v=
β
0
+
α
1
⋅
z
gdzie :
v=lny,
z=lnx,
β
0
=ln
α
0
,
Y
X
2,2
1,8
2,5
2,1
3
2,3
3,4
2,8
4
2,8
4,6
3,4
5,3
3,2
6,1
3,6
6,9
3,5
7,9
3,7
9
3,8
9,5
4,2
12,3
4,8
mgr Grzegorz Stolarczyk
14
Ekonometria 1
Macierz obserwacji zmiennych dla modelu zlinearyzowanego:
v=ln(y)
z=ln(x)
0,8
0,6
0,9
0,7
1,1
0,8
1,2
1,0
1,4
1,0
1,5
1,2
1,7
1,2
1,8
1,3
1,9
1,3
2,1
1,3
2,2
1,3
2,3
1,4
2,5
1,6
Nast
ę
pnie korzystaj
ą
c z KMNK szacujemy parametry
β
0
,
α
1.
Oszacowano model zlinearyzowany o postaci:
yˆ
=1,9z+(-0,5)
α
0
=e
β
0
⇒α
0
=0,6269
Posta
ć
pierwotna:
yˆ
=0,6x
1,9
Na podstawie postaci pierwotnej wyznaczono warto
ś
ci teoretyczne zmiennej obja
ś
nianej Y:
1,9
2,5
2,9
4,2
4,2
6,1
5,4
6,8
6,4
7,1
7,5
9,0
11,5
mgr Grzegorz Stolarczyk
15
Ekonometria 1
które naniesiono na wykres w postaci linii trendu (kolor ró
Ŝ
owy):
0
2
4
6
8
10
12
14
0
1
2
3
4
5
6
Y
yteor.
Przykład 5:
Zbuduj model zale
Ŝ
no
ś
ci pomi
ę
dzy jednostkowymi kosztami produkcji (Y) a wielko
ś
ci
ą
produkcji
(X). Macierz obserwacji zmiennych oraz wykres rozrzutu punktów empirycznych:
Wykres rozrzutu punktów empirycznych
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Y
Y
X
6,7
14,2
8,7
22,4
11,2
30,2
13,3
35,5
17
48,2
26,7
61,8
39,3
74,2
mgr Grzegorz Stolarczyk
16
Ekonometria 1
Rozwi
ą
zanie:
Analiza rozrzutu punktów empirycznych na wykresie wskazuje na mo
Ŝ
liw
ą
posta
ć
modelu
wykładniczego:
x
e
y
1
0
α
α
=
logarytmujemy obustronnie:
ln(y)=ln(
α
0
)+
α
1
x
poprzez podstawianie budujemy posta
ć
zlinearyzowan
ą
:
v=
β
0
+
α
1
⋅
z
gdzie:
v=lny,
z=x,
β
0
=ln
α
0
,
Macierz obserwacji zmiennych dla modelu zlinearyzowanego:
v=ln(y)
x
1,9
14,2
2,2
22,4
2,4
30,2
2,6
35,5
2,8
48,2
3,3
61,8
3,7
74,2
Nast
ę
pnie korzystaj
ą
c z KMNK szacujemy parametry
β
0
,
α
1.
Oszacowano model zlinearyzowany o postaci:
vˆ
=0,03
⋅
Z+1,52
α
0
=e
β
0
⇒α
0
=4,5616
Posta
ć
pierwotna:
yˆ
=0,03
⋅
e
4,6X
Na podstawie postaci pierwotnej wyznaczono warto
ś
ci teoretyczne zmiennej obja
ś
nianej Y:
6,9
8,7
10,9
12,7
18,2
26,9
38,5
mgr Grzegorz Stolarczyk
17
Ekonometria 1
które naniesiono na wykres w postaci linii trendu (kolor ró
Ŝ
owy):
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Y
Yteor.
Estymacja parametrów struktury stochastycznej
Przykład 1
Prosz
ę
na podstawie danych z danych z przykładu 1 z etapu szacowania parametrów modeli
linowych dokona
ć
estymacji parametrów struktury stochastycznej.
Rozwi
ą
zanie:
Do estymacji parametrów struktury stochastycznej niezb
ę
dne jest wyznaczenie reszt modelu e jako
ró
Ŝ
nicy pomi
ę
dzy Y rzeczywistym a Y teoretycznym wyznaczonym z modelu:
e
2,79
9,32
0,47
-8,00
-9,85
-6,47
1,99
-4,18
6,59
7,36
Nast
ę
pnie wyznaczamy ocen
ę
wariancji składnika losowego ze wzoru:
m
n
e
e
m
n
e
Se
T
n
i
−
=
−
=
∑
=
1
2
2
mgr Grzegorz Stolarczyk
18
Ekonometria 1
gdzie:
n – liczba obserwacji
m – liczba parametrów w modelu
e
2
7,77
86,83
0,22
64,04
97,11
41,88
3,94
17,43
43,43
54,10
416,76
suma
10
,
52
2
10
76
,
416
2
=
−
=
Se
Macierz wariancji i kowariancji ocen parametrów szacujemy na podstawie wzoru:
1
2
2
)
(
)
(
−
⋅
=
X
X
Se
a
D
T
0,0008
-0,7486
)
(
2
a
D
=
-0,7486
669,5771
W tej macierzy na głównej przek
ą
tnej wyznaczone s
ą
oceny wariancji szacunku parametrów V(a
j
).
Obliczone wielko
ś
ci
)
(
)
(
j
j
a
V
a
S
=
s
ą
to standardowe bł
ę
dy szacunku parametrów i wynosz
ą
kolejno:
S(a) =
=
0008
,
0
0,029
S(b) =
=
5771
,
669
25,876
Jak wyszło z oblicze
ń
warto
ść
oceny a ró
Ŝ
ni si
ę
o 0,029 od rzeczywistej warto
ś
ci parametru,
a ocena b o 25,876.
mgr Grzegorz Stolarczyk
19
Ekonometria 1
Przykład 2.
Prosz
ę
oszacowa
ć
parametry modelu liniowego opisuj
ą
cego zespołow
ą
wydajno
ść
pracy
na podstawie danych z przykładu 1 przedstawionego w etapie doboru zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych
do modelu.
Rozwi
ą
zanie:
Do modelu weszły zmienne obja
ś
niaj
ą
ce X
2
i X
3
dobrane z wykorzystaniem metody wska
ź
ników
pojemno
ś
ci informacji.
Model ma posta
ć
:
0
3
2
2
1
^
α
α
α
+
+
=
x
x
y
Parametry b
ę
dziemy szacowa
ć
wg wzoru:
Y
X
X
X
a
T
T
1
)
(
−
=
Wektor Y obserwacji zmiennej obja
ś
nianej oraz macierz X obserwacji zmiennych obja
ś
niaj
ą
cych
wygl
ą
daj
ą
nast
ę
puj
ą
co:
14
17
14,5
Y=
20
21,6
23
24,5
28
26,4
29
0,4
15
1
0,6
13
1
0,4
15
1
0,7
11
1
X=
1
10
1
1,2
10
1
1
7
1
1,5
6
1
1,5
8
1
1,7
5
1
mgr Grzegorz Stolarczyk
20
Ekonometria 1
Obliczenia:
0,4
0,6
0,4
0,7
1
1,2
1
1,5
1,5
1,7
X
T
15
13
15
11
10
10
7
6
8
5
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
12
86
10
86
1114
100
X
T
X
10
100
10
3,5625
0,4375
-7,9375
0,4375
0,0625
-1,0625
(X
T
X)
-1
-7,9375
-1,0625
18,6625
240,2
2010,2
X
T
Y
218
a1
4,8
a2
-0,9
(X
T
X)
-1
X
T
Y=
a0
26
Zatem oszacowany model ma posta
ć
:
26
9
,
0
8
,
4
3
2
^
+
⋅
−
⋅
=
x
x
y
W naszym przykładzie mo
Ŝ
na interpretowa
ć
parametry nast
ę
puj
ą
co:
Wzrost technicznego uzbrojenia pracy (x2) o 1 tys. zł na 1 zatrudnionego spowoduje wzrost
zespołowej wydajno
ś
ci pracy o 4,8 tys. zł na 1 zatrudnionego, przy zało
Ŝ
eniu,
Ŝ
e pozostałe zmienne
nie ulegn
ą
zmianie. Je
Ŝ
eli wzro
ś
nie zatrudnienie (x3) o tysi
ą
c osób, to wydajno
ść
pracy powinna si
ę
zmniejszy
ć
o 900 zł na 1 zatrudnionego, przy zało
Ŝ
eniu,
Ŝ
e pozostałe zmienne nie ulegn
ą
zmianie.
Wyliczamy z modelu warto
ś
ci teoretyczne zmiennej obja
ś
nianej
y
:
26
15
9
,
0
4
,
0
8
,
4
^
1
+
⋅
−
⋅
=
y
26
13
9
,
0
6
,
0
8
,
4
^
1
+
⋅
−
⋅
=
y
26
15
9
,
0
4
,
0
8
,
4
^
1
+
⋅
−
⋅
=
y
26
11
9
,
0
7
,
0
8
,
4
^
1
+
⋅
−
⋅
=
y
26
10
9
,
0
1
8
,
4
^
1
+
⋅
−
⋅
=
y
mgr Grzegorz Stolarczyk
21
Ekonometria 1
26
10
9
,
0
2
,
1
8
,
4
^
1
+
⋅
−
⋅
=
y
26
7
9
,
0
1
8
,
4
^
1
+
⋅
−
⋅
=
y
26
6
9
,
0
5
,
1
8
,
4
^
1
+
⋅
−
⋅
=
y
26
8
9
,
0
5
,
1
8
,
4
^
1
+
⋅
−
⋅
=
y
26
5
9
,
0
7
,
1
8
,
4
^
1
+
⋅
−
⋅
=
y
^
y
14,42
17,18
14,42
19,46
21,8
22,76
24,5
27,8
26
29,66
Dokonujemy estymacji parametrów struktury stochastycznej.
Szacujemy reszty modelu i wariancj
ę
składnika losowego:
e
-0,42
-0,18
0,08
0,54
-0,2
0,24
-0,00000000000034
0,2
0,4
-0,66
mgr Grzegorz Stolarczyk
22
Ekonometria 1
e
2
0,1764
0,0324
0,0064
0,2916
0,04
0,0576
1,16E-25
0,04
0,16
0,4356
1,24
suma
177
,
0
3
10
24
,
1
2
=
−
=
Se
Macierz wariancji i kowariancji ocen parametrów:
0,631
0,077
-1,406
0,077
0,011
-0,188
)
(
2
a
D
=
-1,406
-0,188
3,306
Standardowe bł
ę
dy szacunku parametrów wynosz
ą
:
S(a
1
) =
=
631
,
0
0,794
S(a
2
) =
=
011
,
0
0,105
S(a
0
) =
=
306
,
3
1,818
Warto
ść
oceny a
1
ró
Ŝ
ni si
ę
o 0,794 od rzeczywistej warto
ś
ci parametru, warto
ść
oceny a
2
o 0,105,
a warto
ść
oceny a
0
o 1,818.
Zadanie 1.
Wyznaczy
ć
standardowe bł
ę
dy szacunku parametrów modelu
3
2
2
1
0
^
x
x
y
α
α
α
+
+
=
na podstawie
danych:
589
,
0
2
=
Se
(X
T
X)
-1
=
3
2
4
2
1
5
4
5
4
mgr Grzegorz Stolarczyk
23
Ekonometria 1
Zadanie 2.
W tabeli przedstawiono miesi
ę
czne dane z pewnego przedsi
ę
biorstwa dotycz
ą
ce wielko
ś
ci
przychodów ze sprzeda
Ŝ
y w tys. zł. z okresu stycze
ń
2005r – marzec 2006r.
Y
T
34,7
1
37
2
58
3
62
4
67,8
5
75,3
6
79,9
7
85,6
8
90,4
9
99
10
105,6 11
111
12
119,3 13
127,8 14
135
15
Prosz
ę
oszacowa
ć
parametry modelu liniowego opisuj
ą
cego kształtowanie si
ę
wielko
ś
ci sprzeda
Ŝ
y
w czasie t i wyznaczy
ć
warto
ś
ci wektora reszt.
Zadanie 3.
Oszacowa
ć
parametry modelu liniowego
3
2
2
1
0
^
x
x
y
α
α
α
+
+
=
na podstawie danych:
=
160
2068
1704
Y
X
T
−
−
=
71
,
1
04
,
0
21
,
0
?
04
,
0
05
,
0
?
?
08
,
0
)
(
2
a
D
266
,
0
2
=
Se
mgr Grzegorz Stolarczyk
24
Ekonometria 1
Zadanie 4.
Na podstawie danych empirycznych okre
ś
l posta
ć
analityczn
ą
modelu nieliniowego i oszacuj
parametry modelu:
a) Zale
Ŝ
no
ść
pomi
ę
dzy wydatkami na markowe ubrania (Y) a dochodami (X)
Y
X
24
46
25
48
25
49
26
52
27
52
27
54
28
57
29
59
31
59
33
60
35
61
b) Zale
Ŝ
no
ść
pomi
ę
dzy jednostkowymi kosztami produkcji (Y) a wielko
ś
ci
ą
produkcji (X)
Y
X
2,19
2,62
6,97
10
10
11
8,18
12
10,5
14
11,75
16
12,75
19
15
21
18
21,93
22,8
24
36,93
26,64
c) Zale
Ŝ
no
ść
pomi
ę
dzy warto
ś
ci
ą
maj
ą
tku trwałego (Y), a warto
ś
ci
ą
pracy (X) w przedsi
ę
biorstwie
Y
X
3,4
35
3,4
33
3,5
31
3,7
29
3,8
28
3,8
27
3,9
27
4
26
4,3
25
4,5
25
4,8
24
mgr Grzegorz Stolarczyk
25
Ekonometria 1
d) Zale
Ŝ
no
ść
pomi
ę
dzy wydajno
ś
ci
ą
pracy (Y), a sta
Ŝ
em pracy (X)
Y
X
2
2,6
7
10
10
11
8
12
10,5
14
11,75
16
12,75
19
15
21
18
22
23
24
37
26,5
e) Zu
Ŝ
ycie paliwa w silnikach spalinowych (Y) w zale
Ŝ
no
ś
ci od wysoko
ś
ci obrotów silnika (X)
Y
X
7,6
1,7
5
2,4
3,9
2,8
4
3,2
5
3,4
5
3,4
6
3,6
7
4,2
9
4,8
11
5,3
15,6
5,7