BUDOWNICTWO, SEMESTR II
Lista 7
Całki podwójne
1. Obliczyć podane całki iterowane:
a)
ln 4
Z
0
dx
ln 3
Z
0
e
x+y
dy
b)
ln 3
Z
0
dy
ln 4
Z
0
e
x+y
dx
c)
3
Z
1
dx
x+3
Z
x
(3y + 2x)dy
d)
4
Z
0
dy
y
2
Z
√
y
(3 + y + x)dx
2. Obliczyć podane całki podwójne po prostokątach:
a)
Z Z
D
xy
2
dxdy, D = [0, 1] × [−1, 1];
b)
Z Z
D
sin(x + y)dxdy, D = [−
π
4
,
π
4
] × [0,
π
4
];
c)
Z Z
D
e
x−y
dxdy, D = [−1, 1] × [−1, 1].
3. Zamienić całkę podwójną
Z Z
D
f (x, y)dxdy na całki iterowane, jeśli obszar D jest ograniczony
liniami:
a) y = 2x, y = 3 − x, y = 0;
b) (x − 1)
2
+ (y + 7)
2
= 9;
c) x = 1, y = x, y
2
= 9x.
4. Obliczyć podane całki podwójne po wskazanych obszarach:
a)
Z Z
D
(x + y)dxdy, gdzie D ograniczony krzywymi y = 2x, y = 3 − x, y = 0;
b)
Z Z
D
(x
2
− y + 3)dxdy, gdzie D ograniczony krzywymi y = 0, y = x, y = 2x − 4.
5. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć całki podwójne po wskazanych obszarach:
a)
Z Z
D
e
−(x
2
+y
2
)
dxdy, gdzie D : x
2
+ y
2
¬ 2;
b)
Z Z
D
xydxdy, gdzie D : x 0, 1 ¬ x
2
+ y
2
¬ 2;
c)
Z Z
D
(x + y)dxdy, gdzie D : y 0, x
2
+ y
2
¬ x.
