Dr inż. Janusz Dębiński
Mechanika teoretyczna
−
ćwiczenia projektowe
3. Projekt numer 3
−
przykład 1
3.1.Temat projektu
Na rysunku 3.1 przedstawiono belkę złożoną obciążoną siłami czynnymi wykorzystywaną w projekcie
numer 3 z mechaniki teoretycznej.
[m]
19,6 kN∙m
16,3 kN/m
12,3
O
A
B
C
D
E
F
G
26,3 kN/m
17,4 kN
36,3
kN
15,8
O
1,8
1,8
3,6
2,7
3,6
1,8
Rys. 3.1. Belka złożona
3.2. Analiza kinematyczna belki złożonej
Na rysunku 3.2 przedstawiono belkę złożoną traktowaną jako płaski układ tarcz sztywnych. Warunek
konieczny geometrycznej niezmienności ma postać
3⋅3=5⋅12⋅2 .
Tarcza sztywna numer I jest połączona z tarczą podporową za pomocą trzech prętów podporowych numer 1,
2 oraz 3. Kierunki ich nie przecinają się w jednym punkcie. Wobec czego jest ona geometrycznie niezmien-
na i stanowi tarczę podporową dla tarcz sztywnych numer II i III. Tarcza sztywna numer II jest połączona
z tarczą podporową za pomocą przegubu C i pręta podporowego numer 4. Przegub C nie leży na kierunku
pręta podporowego numer 4. Czyli tarcza sztywna numer II jest także geometrycznie niezmienna i stanowi
tarczę podporową dla tarczy sztywnej numer III. Tarcza sztywna numer III jest połączona z tarczą podporo-
wą za pomocą przegubu E i pręta podporowego numer 5. Przegub E nie leży na kierunku pręta podporowego
numer 5. Tarcza ta jest więc także geometrycznie niezmienna. Ostatecznie belka złożona jest geometrycznie
niezmienna i statycznie wyznaczalna.
1
4
C
A
2
3
E
5
II
I
III
C
D
E
F
G
Rys. 3.2. Belka złożona traktowana jako płaski układ tarcz sztywnych
Dr inż. Janusz Dębiński
BS-I
Mechanika teoretyczna
−
ćwiczenia projektowe
−
Projekt numer 3
−
przykład 1
2
3.3. Analiza statyczna belki złożonej
Na rysunku 3.3a przedstawiono podporę przegubowo-przesuwną F. Składowe reakcji na tej podporze
R
FX
=
R
F
⋅
sin
12,3
O
=
0,2130⋅R
F
,
R
FY
=
R
F
⋅
cos
12,3
O
=
0,9770⋅R
F
.
Siły te są przyłożone w punkcie F. Na rysunku 3.3b przedstawiono siłę 36,3 kN. Składowe tej siły
P
X
=
36,3⋅cos
15,8
O
=
34,93 kN ,
P
Y
=
36,3⋅sin
15,8
O
=
9,884 kN .
R
F
0,9770∙R
F
0,2130∙R
F
a)
b)
36,3
kN
12,3
O
F
D
15,8
O
34,93 kN
9,884 kN
Rys. 3.3. Składowe sił ukośnych. a) składowe reakcji R
F
, b) składowe siły 36,3 kN
Na rysunku 3.4 przedstawiono założone zwroty wszystkich reakcji podporowych w belce złożonej. Pio-
nową reakcję w przegubie E wyznaczono z równania równowagi
Σ M
F
EF
=
V
E
⋅
3,617,4⋅1,8−
1
2
⋅
26,3⋅3,6⋅
2
3
⋅
3,6=0
V
E
=
22,86 kN .
Reakcję na podporze przegubowo-przesuwnej F wyznaczono z równania równowagi
Σ M
E
EF
=−
0,9770⋅R
F
⋅
3,617,4⋅5,4
1
2
⋅
26,3⋅3,6⋅
1
3
⋅
3,6=0
R
F
=
42,87 kN .
Równanie sprawdzające ma postać
Σ Y
EF
=
V
E
0,9770⋅R
F
−
17,4−
1
2
⋅
26,3⋅3,6=22,860,9770⋅42,87−17,4−
1
2
⋅
26,3⋅3,6=0,00399 kN≈0.
Składowe reakcji na podporze przegubowo-przesuwnej F
R
FX
=
0,2130⋅42,87=9,131 kN ,
R
FX
=
0,9770⋅42,87=41,88 kN .
Poziomą reakcję w przegubie E wyznaczono z równania równowagi
Σ X
EF
=
H
E
0,2130⋅R
F
=
0
H
E
0,2130⋅42,87=0
H
E
=−
9,131 kN .
Poziomą reakcję w przegubie C wyznaczono z równania równowagi
Σ X
CE
=
H
C
−
34,93−H
E
=
0
H
C
−
34,93−
−
9,131
=
0
H
C
=
25,80 kN .
Dr inż. Janusz Dębiński
BS-I
Mechanika teoretyczna
−
ćwiczenia projektowe
−
Projekt numer 3
−
przykład 1
3
16,3 kN/m
C
D
E
[m]
19,6 kN∙m
16,3 kN/m
A
B
C
1,8
1,8
3,6
2,7
3,6
1,8
E
F
G
26,3 kN/m
17,4 kN
34,93 kN
9,884 kN
0,9770∙R
F
0
,2
1
30
∙R
F
V
E
V
E
H
E
H
E
V
D
V
C
H
C
V
C
H
C
H
A
V
A
M
A
X
Y
Rys. 3.4. Założone zwroty wszystkich reakcji podporowych w belce złożonej
Pionową reakcję w przegubie C wyznaczono z równania równowagi
Σ M
D
CE
=
V
C
⋅
3,6V
E
⋅
2,7−16,3⋅3,6⋅
3,6
2
=
0
V
C
⋅
3,622,86⋅2,7−16,3⋅3,6⋅
3,6
2
=
0
V
C
=
12,20 kN .
Pionową reakcję na podporze przegubowo-przesuwnej D wyznaczono z równania równowagi
Σ M
C
CE
=−
V
D
⋅
3,6V
E
⋅
6,39,884⋅3,616,3⋅3,6⋅
3,6
2
=
0
−
V
D
⋅
3,622,86⋅6,39,884⋅3,616,3⋅3,6⋅
3,6
2
=
0
V
D
=
79,23 kN .
Sprawdzające równanie równowagi ma postać
Σ Y
CE
=
V
C
V
D
−
V
E
−
9,884−16,3⋅3,6=12,2079,23−22,86−9,884−16,3⋅3,6=0,006 kN≈0.
Moment w utwierdzeniu A wyznaczono z równania równowagi
Σ M
A
AC
=
M
A
V
C
⋅
3,619,616,3⋅1,8⋅
1,8
1,8
2
=
0
M
A
12,20⋅3,619,616,3⋅1,8⋅
1,8
1,8
2
=
0
M
A
=−
142,7 kN⋅m .
Pionową reakcję w utwierdzeniu A wyznaczono z równania równowagi
Σ M
C
AC
=
V
A
⋅
3,6M
A
19,6−16,3⋅1,8⋅
1,8
2
=
0
V
A
⋅
3,6−142,719,6−16,3⋅1,8⋅
1,8
2
=
0
V
A
=
41,53 kN .
Dr inż. Janusz Dębiński
BS-I
Mechanika teoretyczna
−
ćwiczenia projektowe
−
Projekt numer 3
−
przykład 1
4
Sprawdzające równanie równowagi ma postać
Σ Y
AC
=
V
A
−
V
C
−
16,3⋅1,8=41,53−12,20−16,3⋅1,8=−0,01kN≈0 .
Poziomą reakcję w utwierdzeniu A wyznaczono z równania równowagi
Σ X
CE
=
H
A
−
H
C
=
0
H
A
−
25,80=0
H
A
=
25,80 kN .
Na rysunku 3.5 przedstawiono prawidłowe wartości i zwroty wszystkich reakcji podporowych w belce zło-
żonej.
16,3 kN/m
C
D
E
[m]
19,6 kN∙m
16,3 kN/m
A
B
C
1,8
1,8
3,6
2,7
3,6
1,8
E
F
G
26,3 kN/m
17,4 kN
34,93 kN
9,884 kN
22,86 kN
22,86 kN
41,88 kN
9,131
kN
9,131 kN
9,131 kN
25,80 kN
25,80 kN
12,20 kN
12,20 kN
79,23 kN
142,7 kN∙m
41,53 kN
25,80 kN
Rys. 3.5. Prawidłowe wartości i zwroty wszystkich reakcji podporowych w belce złożonej
3.4. Siły przekrojowe w przedziale AB
Na rysunku 3.6 przedstawiono siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału AB. Zmien-
na x zmienia się od zera do 1,8 m. Funkcja siły normalnej
N
x
=−
25,80 kN .
Funkcja siły poprzecznej
T
x
=
41,53 kN .
Funkcja momentu zginającego
M
x
=
41,53⋅x−142,7 .
Drugie różniczkowe równanie równowagi ma postać
dM
x
dx
=
41,53 kN=T
x
.
Wartości funkcji momentu zginającego konieczne do jej jednoznacznego wyznaczenia
Dr inż. Janusz Dębiński
BS-I
Mechanika teoretyczna
−
ćwiczenia projektowe
−
Projekt numer 3
−
przykład 1
5
A
x
142,7 kN∙m
41,53 kN
25,80 kN
N(x)
T(x)
M(x)
X
Rys. 3.6. Siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału AB
M
0,0
=
41,53⋅0,0−142,7=−142,7 kN⋅m ,
M
1,80
=
41,53⋅1,80−142,7=−67,95 kN⋅m .
3.5. Siły przekrojowe w przedziale BC
Na rysunku 3.7 przedstawiono siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału BC. Zmienna
x zmienia się od zera do 1,8 m. Funkcja obciążenia ciągłego
q=16,3
kN
m
.
Funkcja siły normalnej
N
x
=−
25,80 kN .
Funkcja siły poprzecznej
T
x
=
12,2016,30⋅x .
Pierwsze różniczkowe równanie równowagi ma postać
dT
x
dx
=
16,30
kN
m
=
q
x
.
Wartości funkcji siły poprzecznej konieczne do jej jednoznacznego wyznaczenia
T
0,0
=
12,2016,30⋅0,0=12,20 kN ,
T
1,80
=
12,2016,30⋅1,80=41,54 kN .
Funkcja momentu zginającego
M
x
=−
12,20⋅x−16,30⋅x⋅
x
2
=−
8,150⋅x
2
−
12,20⋅x .
Drugie różniczkowe równanie równowagi ma postać
dM
x
dx
=−
2⋅8,150⋅x−12,20=−16,30⋅x−12,20=−T
x
.
Wartości funkcji momentu zginającego konieczne do jej jednoznacznego wyznaczenia
M
0,0
=−
8,150⋅0,0
2
−
12,20⋅0,0=0,0 kN⋅m ,
M
0,90
=−
8,150⋅0,90
2
−
12,20⋅0,90=−17,58 kN⋅m ,
M
1,80
=−
8,150⋅1,80
2
−
12,20⋅1,80=−48,37 kN⋅m .
Dr inż. Janusz Dębiński
BS-I
Mechanika teoretyczna
−
ćwiczenia projektowe
−
Projekt numer 3
−
przykład 1
6
16,3 kN/m
C
x
25,80 kN
12,20 kN
N(x)
T(x)
M(x)
X
Rys. 3.7. Siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału BC
3.6. Siły przekrojowe w przedziale CD
Na rysunku 3.8 przedstawiono siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału CD. Zmien-
na x zmienia się od zera do 3,6 m. Funkcja obciążenia ciągłego
q=16,3
kN
m
.
Funkcja siły normalnej
N
x
=−
25,80 kN .
Funkcja siły poprzecznej
T
x
=
12,20−16,30⋅x .
Pierwsze różniczkowe równanie równowagi ma postać
dT
x
dx
=−
16,30
kN
m
=−
q
x
.
Wartości funkcji siły poprzecznej konieczne do jej jednoznacznego wyznaczenia
T
0,0
=
12,20−16,30⋅0,0=12,20 kN ,
T
3,60
=
12,20−16,30⋅3,60=−46,48 kN .
Miejsce zerowe funkcji siły poprzecznej
12,20−16,30⋅x
0
=
0
x
0
=
0,7485 m .
Funkcja momentu zginającego
M
x
=
12,20⋅x−16,30⋅x⋅
x
2
=−
8,150⋅x
2
12,20⋅x .
Drugie różniczkowe równanie równowagi ma postać
dM
x
dx
=−
2⋅8,150⋅x12,20=−16,30⋅x12,20=T
x
.
Wartości funkcji momentu zginającego konieczne do jej jednoznacznego wyznaczenia
M
0,0
=−
8,150⋅0,0
2
12,20⋅0,0=0,0 kN⋅m ,
M
0,7485
=−
8,150⋅0,7485
2
12,20⋅0,7485=4,566 kN⋅m ,
M
3,60
=−
8,150⋅3,60
2
12,20⋅3,60=−61,70 kN⋅m .
Dr inż. Janusz Dębiński
BS-I
Mechanika teoretyczna
−
ćwiczenia projektowe
−
Projekt numer 3
−
przykład 1
7
16,3 kN/m
C
x
25,80 kN
12,20 kN
N(x)
T(x)
M(x)
X
Rys. 3.8. Siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału CD
3.7. Siły przekrojowe w przedziale DE
Na rysunku 3.9 przedstawiono siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału DE. Zmienna
x zmienia się od zera do 2,7 m. Funkcja siły normalnej
N
x
=
9,131 kN .
Funkcja siły poprzecznej
T
x
=
22,86 kN .
Funkcja momentu zginającego
M
x
=−
22,86⋅x .
Drugie różniczkowe równanie równowagi ma postać
dM
x
dx
=−
22,86 kN=−T
x
.
Wartości funkcji momentu zginającego konieczne do jej jednoznacznego wyznaczenia
M
0,0
=−
22,86⋅0,0=0,0 kN⋅m ,
M
2,70
=−
22,86⋅2,70=−61,72 kN⋅m .
E
x
22,86 kN
9,131 kN
N(x)
T(x)
M(x)
X
Rys. 3.9. Siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału DE
3.8. Siły przekrojowe w przedziale EF
Na rysunku 3.10 przedstawiono siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału EF. Zmien-
na x zmienia się od zera do 3,6 m. Funkcja obciążenia ciągłego
q
x
=
26,30
3,60
⋅
x=7,306⋅x .
Funkcja siły normalnej
N
x
=
9,131 kN .
Funkcja siły poprzecznej
Dr inż. Janusz Dębiński
BS-I
Mechanika teoretyczna
−
ćwiczenia projektowe
−
Projekt numer 3
−
przykład 1
8
[m]
x
1,8
F
G
17,4 kN
41,88 kN
9,131
kN
7,306∙x
N(x)
T(x)
M(x)
X
Rys. 3.10. Siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału EF
T
x
=
17,40−41,88
1
2
⋅
7,306⋅x⋅x=3,653⋅x
2
−
24,48 .
Pierwsze różniczkowe równanie równowagi ma postać
dT
x
dx
=
2⋅3,653⋅x=7,306⋅x=q
x
.
Wartości funkcji siły poprzecznej konieczne do jej jednoznacznego wyznaczenia
T
0,0
=
3,653⋅0,0
2
−
24,48=−24,48 kN ,
T
3,60
=
3,653⋅3,60
2
−
24,48=22,86 kN .
Miejsce zerowe funkcji siły poprzecznej
3,653⋅x
0
2
−
24,48=0
x
0
=
2,589 m .
Funkcja momentu zginającego
M
x
=−
17,40⋅
x1,8
41,88⋅x−
1
2
⋅
7,306⋅x⋅x⋅
1
3
⋅
x=−1,218⋅x
3
24,48⋅x−31,32 .
Drugie różniczkowe równanie równowagi ma postać
dM
x
dx
=−
3⋅1,218⋅x
2
24,48=−3,654⋅x
2
24,48=−T
x
.
Wartości funkcji momentu zginającego konieczne do jej jednoznacznego wyznaczenia
M
0,0
=−
1,218⋅0,0
3
24,48⋅0,0−31,32=−31,32 kN⋅m ,
M
1,00
=−
1,218⋅1,00
3
24,48⋅1,00−31,32=−8,058 kN⋅m ,
M
2,589
=−
1,218⋅2,589
3
24,48⋅2,589−31,32=10,92 kN⋅m ,
M
3,60
=−
1,218⋅3,60
3
24,48⋅3,60−31,32=−0,01901 kN⋅m=0,0 kN⋅m .
3.9. Siły przekrojowe w przedziale FG
Na rysunku 3.11 przedstawiono siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału FG. Zmien-
na x zmienia się od zera do 1,8 m. Funkcja siły normalnej
N
x
=
0,0 kN .
Funkcja siły poprzecznej
T
x
=
17,40 kN .
Dr inż. Janusz Dębiński
BS-I
Mechanika teoretyczna
−
ćwiczenia projektowe
−
Projekt numer 3
−
przykład 1
9
x
G
17,4 kN
N(x)
T(x)
M(x)
X
Rys. 3.11. Siły przekrojowe działające w dowolnym punkcie przedziału FG
Funkcja momentu zginającego
M
x
=−
17,40⋅x .
Drugie różniczkowe równanie równowagi ma postać
dM
x
dx
=−
17,40 kN=−T
x
.
Wartości funkcji momentu zginającego konieczne do jej jednoznacznego wyznaczenia
M
0,0
=−
17,40⋅0,0=0,0 kN⋅m ,
M
1,80
=−
17,40⋅1,80=−31,32 kN⋅m .
3.10. Wykresy sił przekrojowych w belce złożonej
Na rysunku 3.121 przedstawiono wykresy sił normalnej i poprzecznej oraz momentu zginającego w belce
złożonej.
N(x)
[kN]
T(x)
[kN]
M(x)
[kN∙m]
[m]
19,6 kN∙m
16,3 kN/m
12,3
O
A
B
C
D
E
F
G
26,3 kN/m
17,4 kN
36,3
kN
15,8
O
1,8
1,8
3,6
2,7
3,6
1,8
79,23 kN
142,7 kN∙m
41,53 kN
25,80 kN
42
,8
7
kN
25,80
25,80
25,80
9,131
9,131
0,0
41,53
12
,2
0
46
,4
8
22,86
2
4,
4
8
17,40
2,589
1,011
0,7485
2,852
2,589
1,011
0,7485
2,852
0,90
0,90
1
42
,7
67
,9
5
48
,3
7
1
7,
5
8
0,
0
4
,5
6
6
61,72
0,
0
10
,9
2
1,00
2,60
8,
05
8
3
1,
3
2
0,
0
Rys. 3.12. Wykresy sił przekrojowych w belce złożonej
Dr inż. Janusz Dębiński
BS-I