Analiza zespolona – grupy 2 - 5 – ćwiczenia nr 2
1
Zadanie 1 Obliczyć sumy:
a) sin x − sin 2x + . . . + (−1)
n−1
sin nx
b) cos x − cos 2x + . . . + (−1)
n−1
cos nx
c) sin x + sin 2x + . . . + sin nx
d) 2 + 2 cos x + 2 cos 2x + . . . + 2 cos nx
Zadanie 2 Wyprowadzić wzory na rzut sferyczny i rzut stereograficzny.
Zadanie 3 Wyznaczyć obrazy sferyczne:
a) punktów e
iα
, −1 + i, 3 − 4i
b) zbiorów |z| = 1, |z| > 1.
Zadanie 4 Wyprowadzić wzory na metrykę sferyczną na C.
Zadanie 5 Udowodnić, że ciąg {z
n
} ⊂ C jest zbieżny do punktu z
0
∈ C w metryce sferycznej
wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny do z
0
w metryce euklidesowej.
Zadanie 6 Udowodnić zupełność przestrzeni (C, | · |). Pokazać, że C z metryką sferyczną nie jest
zupełna.
Zadanie 7 Wykazać, że lim
n→∞
1 +
x + iy
n
n
= e
x
(cos y + i sin y).
Zadanie 8 Obliczyć granice ciągów:
a)
2n + 1
n + 1
+ (
√
n + 1 −
√
n)i b)
n
√
2
n
+ 4
n
+ in sin
1
n
c)
1
2
n
+ i
1
3
n
d)
1 +
iπ
n
n
e)
1
√
3
+ i
!
n
f)
n!
(ni)
n
g)
2
n
+ i
2
n
− i
h)
in + 1
n + i
i) 5 + n[1 + (−1)
n
]i
Odpowiedzi: 1. a)
sin
x
2
+ (−1)
n+1
sin
n +
1
2
x
2 cos
x
2
dla x 6= π + 2kπ, k ∈ Z , 0 dla x = π + 2kπ, k ∈ Z; b)
cos
x
2
+ (−1)
n+1
cos
n +
1
2
x
2 cos
x
2
dla x 6= π + 2kπ, k ∈ Z , −n dla x = π + 2kπ, k ∈ Z, c)
sin
n+1
2
x sin
n
2
x
sin
x
2
dla x 6= 2kπ, k ∈ Z , 0 dla x = 2kπ, k ∈ Z, d)
2 sin
n+1
2
x cos
n
2
x
sin
x
2
dla x 6= 2kπ, k ∈ Z, 2(n + 1)
dla x = 2kπ, k ∈ Z; 2. T : C → S\{N }, T (z) =
1
2
·
z + ¯
z
|z|
2
+ 1
,
1
2i
·
z − ¯
z
|z|
2
+ 1
,
|z|
2
|z|
2
+ 1
!
, T
−1
: S\{N } →
C, T
−1
(z
∗
) =
ξ
1 − ζ
,
η
1 − ζ
; 3. a) T (e
iα
) =
1
2
cos α,
1
2
sin α,
1
2
, T (−1 + i) =
−
1
3
,
1
3
,
2
3
, T (3 − 4i) =
3
26
, −
2
13
,
25
26
, b)
(
ξ
2
+ η
2
=
1
4
ζ =
1
2
,
ξ
2
+ η
2
+ ζ
2
= ζ
1
2
< ζ < 1
; 4. d(z
1
, z
2
) =
|z
1
− z
2
|
p
1 + |z
1
|
2
p
1 + |z
2
|
2
, d(z, ∞) =
