1
Ć
wiczenie 8
Badanie odkształceń belki zginanej metodą tensometrii oporowej
Opracował: dr inż. Henryk Olszewski
1. Wstęp
Tensometria zajmuje się metodami pomiaru odkształceń ciał stałych w granicach
proporcjonalności. Odkształcenia dostarczają informacje dotyczące szeregu właściwości
badanych ciał, takich jak: współczynnik rozszerzalności cieplnej, granice sprężystości,
proporcjonalności i plastyczności, zjawiska pełzania i histerezy. Odkształcenia pozwalają
również na dokonanie pomiarów wielkości fizycznych związanych z odkształceniami: sił,
naprężeń, momentów itp. W badaniach laboratoryjnych pomiary odkształceń polegają
najczęściej na mierzeniu wydłużeń na powierzchni ciała. Pomiary na powierzchni badanego
ciała wynikają z zasady działania przyrządów pomiarowych oraz z faktu, że ekstremalne
wartości odkształceń występują w większości przypadków na powierzchni ciała. Pomiary
odkształceń wewnątrz ciała są kłopotliwe i z tego względu są rzadko.
W celu pomiaru tensometrycznego odkształceń liniowych na powierzchni badanego
elementu konstrukcyjnego ustala się odcinek pomiarowy o długości l nazywany bazą
pomiarową.
Odkształcenie
jednostkowe
odcinka
pomiarowego
w
przypadku
jednokierunkowego stanu naprężenia wynosi:
l
l
ś
r
∆
=
ε
(1)
gdzie: l
∆
- wydłużenie odcinka pomiarowego.
W innych przypadkach odkształceń wartość odkształcenia uśrednia się na długości bazy
pomiarowej. Im mniejsza jest długość bazy pomiarowej l zaś stan odkształceń bliższy
jednorodnemu, tym uśredniona wartość odkształceń jednostkowych
ś
r
ε
jest bliższa
rzeczywistej wartości odkształceń
ε
badanego elementu.
Tensometry ze względu na zasadę działania dzielimy na dwie grupy:
tensometry elektryczne
o
rezystancyjne zwane elektrooporowymi lub oporowymi,
o
indukcyjne,
o
pojemnościowe,
o
elektrodynamiczne,
o
piezoelektryczne,
o
magnetyczne,
tensometry mechaniczne:
o
optyczno-mechaniczne,
o
strunowe.
Zasada działania tensometrów indukcyjnych oparta jest na zjawisku zmiany indukcyjności
własnej lub zespołu cewka indukcyjna – magnetyczny rdzeń wywołanej odkształceniem
badanego elementu konstrukcyjnego.
W przypadku kondensatorów pojemnościowych odkształcenia konstrukcji powodują
zmianę odległości pomiędzy płytkami kondensatora, stanowiącego główny elementu
czujnika. Zmiana odległości pomiędzy płytkami kondensatora wywołuje z kolei zmianę
pojemności elektrycznej, która jest mierzoną wielkością fizyczną.
2
Zasada działania tensometrów piezoelektrycznych opiera się na zjawisku
piezoelektrycznym, czyli na pojawianiu się ładunków elektrycznych na ściankach kryształu,
który ulega odkształceniu w granicach plastyczności.
Głównymi elementami tensometrów mechanicznych, za pomocą których wykonuje się
pomiary przemieszczeń, są części mechaniczne: dźwignie, pręty, przekładnie. Bazę
pomiarową l tensometrów mechanicznych jest zazwyczaj odległość pomiędzy dwoma
ostrzami pryzmatycznymi dociskanymi do powierzchni badanego elementu za pomocą
zacisków. Odkształcenia elementu konstrukcyjnego wywołują zmianę odległości pomiędzy
ostrzami, która jest odczytywana przy pomocy tensometru mechanicznego.
2. Budowa tensometrów oporowych
W chwili obecnej najszersze zastosowanie mają tensometry oporowe. Tensometria
oporowa wykorzystuje zjawisko zmiany oporu elektrycznego drutu metalowego podczas
zmiany jego długości. Tensometria oporowa stosowana jest do:
wyznaczania właściwości mechanicznych metali,
określania stanu odkształceń i naprężeń w wybranych punktach elementów
konstrukcyjnych obciążonych statycznie lub dynamicznie.
pomiarów naprężeń własnych,
pomiarów odkształceń w wysokich i niskich temperaturach.
Ze względu na budowę wyróżniamy dwa podstawowe typy tensometrów oporowych:
drucikowe:
o
wężykowe (rys. 1a),
o
kratowe (rys. 1b),
o
zygzakowe,
o
choinkowe,
o
spiralne;
foliowe (rys. 2).
a)
b)
Rys. 1. Tensometry drucikowe: a) wężykowy, b) kratowy
1 – drucik oporowy, 2 – podkładka nośna, 3 – naklejka, 4 – przewody, 5 – taśma miedziana
Tensometr wężykowy (rys. 1a) składa się z drucika oporowego o średnicy 0.02
÷
0.05 mm
ukształtowany w postaci wielokrotnego wężyka. Wężyk naklejony jest na podkładce nośnej
wykonanej z bibułki, folii taśmy celuloidowej lub cienkiego papieru. Dopływ prądu odbywa
się za pomocą dwóch grubszych przewodów. Są one przylutowane do końca drucika
oporowego. Drucik oporowy jest chroniony z wierzchu przed uszkodzeniami mechanicznymi
oraz przed wpływem wilgoci oraz nagłych zmian temperatury za pomocą paska papieru lub
3
filcu zwanego nakładką. Tak przygotowany tensometr nakleja się na powierzchnię badanego
elementu konstrukcyjnego przy zastosowaniu specjalnego kleju.
Rys. 2. Tensometr foliowy
1 – drucik oporowy, 2 – podkładka nośna, 3 – naklejka, 4 – przewody
Tensometr kratowy (rys. 1b) charakteryzuje się brakiem czułości na odkształcenia w kierunku
prostopadłym do kierunku nałożenia drutu oporowego na podkładkę nośną. Tensometr ten
składa się z zestawu równolegle ułożonych drucików i połączonych nalutowanymi lub
napawanymi grubszymi odcinkami taśmy miedzianej. Poprzecina taśma miedziana wraz
z drucikami oporowymi tworzy obwód elektryczny. Odcinki taśmy miedzianej stanowią
ograniczenie bazy pomiarowej tensometru. Podobnie, jak w przypadku tensometru
wężykowego dopływ prądu elektrycznego odbywa się za pomocą dwóch grubszych
przewodów przylutowanych do drucika pomiarowego. Odcinki drucika oporowego oraz
taśmy miedzianej tworzą siatkę oporową, która naklejona jest na podkładkę nośną i chroniona
z wierzchu przez nakładkę.
Tensometry foliowe (rys. 2) aktualnie są coraz częściej stosowane. Składają się one
z wężykowatej siatki oporowej wykonanej z cienkiej folii metalowej naklejonej na podkładkę
nośną. Część pomiarowa siatki pokryta jest nakładką ochronną wykonaną podobnie, jak
podkładka nośna z folii z tworzywa sztucznego. Do zakończeń siatki oporowej dołączone są
grubsze przewody elektryczne. Siatkę oporową wykonuje się podobnie, jak obwody
drukowane, metodą fotochemiczną po naklejeniu folii na podkładkę nośną. Tensometry
foliowe przyklejane są do powierzchni badanego elementu konstrukcyjnego za pomocą
specjalnych klejów podobnie, jak w przypadku tensometrów drucikowych.
Na właściwą pracę tensometru oporowego, obok jego budowy, wpływa odpowiednie
przymocowanie jego do powierzchni badanego elementu konstrukcyjnego. Tensometry
należy przyklejać ze szczególną dokładnością i przy zachowaniu wyjątkowej czystości.
Powierzchnię, na którą nakleja się czujnik, należy przetrzeć papierem ściernym w celu
usunięcia nierówności, a następnie odtłuścić acetonem lub innym odtłuszczającym środkiem
chemicznym. Następnie na powierzchnię nakładamy dwie warstwy kleju i łączymy tensometr
z badanym przedmiotem lekko go dociskając. Pomiary rozpoczynamy po całkowitym
wyschnięciu kleju. Kleje tensometryczne stosowane do nakładania tensometrów na
powierzchnie badanych elementów konstrukcyjnych oraz do wyrobu czujników powinny
spełniać szereg wymagań:
brak pełzania i histerezy,
brak wpływu wilgotności,
brak wpływu zmian temperatury,
dobra przyczepność do kleju,
wystarczająca wytrzymałość mechaniczna,
wystarczająca izolacja elektryczna.
4
Aktualnie stosowane są wieloskładnikowe kleje kompozytowe oraz kleje szybkoschnące
umożliwiające wykonanie pomiarów w kilka minut po naklejeniu tensometru oporowego.
2.1. Zasada działania tensometrów oporowych
Opór elektryczny tensometru oporowego określa wzór
S
l
R
⋅
=
ρ
,
(2)
gdzie:
ρ
- opór właściwy, l - baza pomiarowa, będą długością czynną tensometru, S - pole
przekroju poprzecznego drucika oporowego.
Zakładamy, że tensometr oporowy jest rozciągany lub ściskany w kierunku równoległym do
osi drucika oporowego o przekroju kołowym o średnicy d. Wówczas pole przekroju
poprzecznego drucika wynosi:
4
2
d
S
⋅
=
π
.
(3)
W warunkach opisanych powyżej w dowolnym miejscu drucika oporowego występuje
jednokierunkowy stan naprężenia o stałej wartości naprężeń normalnych
σ
. Odkształcenia
jednostkowe w kierunku równoległym do osi drucika są określone prawem Hooke’a:
E
σ
ε
=
,
(4)
gdzie: E- moduł Young’a materiału drucika oporowego.
Odkształcenia jednostkowe w dowolnym kierunku poprzecznym wynoszą:
ε
ν
ε
⋅
−
=
1
,
(5)
gdzie:
ν
- liczba Poisson’a materiału drucika oporowego.
Logarytmując obustronnie prawo Ohma (2) otrzymujemy:
S
l
R
ln
ln
ln
ln
−
+
=
ρ
.
(6)
Różniczkując obydwie strony powyższego równania uzyskujemy:
S
dS
l
dl
d
R
dR
−
+
=
ρ
ρ
.
(7)
Dla różnic skończonych równanie (7) przyjmuje postać:
S
S
l
l
R
R
∆
−
∆
+
∆
=
∆
ρ
ρ
.
(8)
Logarytmując obustronnie wzór na pole przekroju poprzecznego S drucika oporowego (3)
otrzymujemy:
4
ln
ln
2
ln
ln
−
+
=
d
S
π
.
(9)
Różniczkując obydwie strony powyższego równania uzyskujemy:
d
d
S
S
d
2
d
=
.
(10)
Dla różnic skończonych powyższe równanie (10) przyjmuje formę:
d
d
S
S
∆
=
∆
2
.
(11)
5
Ś
rednica drucika d jest wymiarem prostopadłym do osi drutu, stąd odkształcenie jednostkowe
w kierunku porzecznym wynosi:
d
d
∆
=
1
ε
.
(12)
Równania (4) przyjmuje wówczas postać:
ε
ν
⋅
−
=
∆
d
d
.
(13)
Z zależności (11) i (13) otrzymujemy:
ε
ν
⋅
−
=
∆
2
S
S
.
(14)
Podstawiając powyższe wyrażenie do równania (8) oraz uwzględniając
l
l
∆
=
ε
otrzymujemy:
ε
ν
ε
ρ
ρ
⋅
+
+
∆
=
∆
2
R
R
stąd:
ε
ν
ε
ρ
ρ
⋅
+
+
∆
=
∆
2
1
1
R
R
.
(15)
Stosunek względnego przyrostu oporu do odkształcenia jednostkowego dla pewnych wartości
ε
jest wielkością stałą i nazywany jest współczynnikiem odkształcenia tensometru lub krótko
stałą tensometru k:
ν
ε
ρ
ρ
ε
2
1
1
+
+
∆
=
∆
=
R
R
k
.
(16)
Graniczne wartości odkształcenia jednostkowego
ε
, dla których k nie zmienia się
nazywamy zakresem pomiarowym tensometru oporowego. Związek pomiędzy względnym
przyrostem oporu a odkształceniem jednostkowym przyjmuje więc postać:
ε
⋅
=
∆
k
R
R
.
(17)
Stanowi on podstawową zależność tensometrii oporowej.
Wartość stałej tensometru k zależy od szeregu czynników, wśród których można wyróżnić:
materiał, z którego wykonany jest drucik oporowy, np. tensometry wykonane z
konstantanu posiadają stałą tensometru k= 2.1
÷
2.4;
sposób ułożenia drucika oporowego,
rodzaj kleju,
rodzaj materiału podkładki.
Wartość stałej tensometru wyznacza się doświadczalnie. Stała tensometru k, długość bazy
pomiarowej l oraz oporność R drucika oporowego stanowią parametry charakteryzujące
tensometr oporowy. Parametry charakteryzujące tensometr podawane przez producenta na
6
opakowaniu czujników, np. RL 20/150 oznacza tensometr oporowy o bazie pomiarowej
l = 20 mm i oporności R = 150
Ω
.
2.2. Zalety i wady tensometrów oporowych
Tensometry oporowe w porównaniu z innymi typami tensometrów charakteryzują się
następującymi zaletami:
wysoka czułość pomiaru, co pozwala na przeprowadzenie pomiarów bardzo małych
odkształceń,
tensometry
pozwalają
na
pomiar
odkształcenia
jednostkowego
z dokładnością do
6
10
1
−
⋅
=
ε
, co dla stali odpowiada naprężeniom
1
=
σ
N/mm
2
;
wysoka dokładność pomiarów, która wynika z liniowej charakterystyki tensometru oraz
wiąże się z możliwością stosowania wzmacniaczy;
niewielkie wymiary, co pozwala na stosowanie tensometrów przy pomiarach w miejscach
trudno dostępnych oraz do badania zjawiska spiętrzenia naprężeń;
mała masa, dzięki której można nimi badań zjawiska dynamiczne;
niewrażliwość na drgania i wstrząsy – mogą być naklejane na elementy konstrukcyjne
znajdujące się w ruchu;
możliwość pracy w wysokich temperaturach i ciśnieniach;
możliwość umieszczenia na zakrzywionych powierzchniach;
możliwość budowania złożonych układów pomiarowych, w których pomiar dokonywany
jest w jednym miejscu operacyjnym dla wielu oddalonych od siebie punktów
pomiarowych;
możliwość rejestracji wyników pomiarów;
łatwa i bezpieczna obsługa,
brak błędów i niedokładności przekładni, luzów, poślizgów, bezwładności występujących
w tensometrach mechanicznych dzięki bezpośredniemu przekazywaniu odkształceń na
drucik oporowy;
możliwość pomiaru naprężeń głównych przy pomocy tensometrów rozetowych
umożliwiających pomiar odkształceń w trzech kierunkach.
Tensometry oporowe posiadają również pewne wady, do których można zaliczyć:
skomplikowany proces naklejania tensometru na badany element konstrukcyjny,
jednorazowe użycie, po zdjęciu tensometru z punktu pomiarowego prawie zawsze ulega
on uszkodzeniu,
wrażliwość na zmiany temperatury i wilgotność,
występowanie histerezy właściwości elektrycznych tensometru, przez co należy
kilkakrotnie obciążyć go wstępnie w pierwszych pomiarach po naklejeniu na badany
element konstrukcyjny.
3. Układy pomiarowe
Układy pomiarowe stosowane podczas pomiarów tensometrycznych składają się z czterech
podstawowych części (rys. 3):
7
1) element zasilający: generator lub inne źródło prądu,
2) tensometr oporowy z kompensacją lub mostek elektryczny z tensometrem czynnym,
3) wzmacniacz zwiększający amplitudę impulsu z czujnika (bez zniekształceń),
4) urządzenie rejestrujące zmiany mierzonej wielkości fizycznej.
Ź
ródło
pr
ą
du
Mostek
tensometryczny
Wzmacniacz
Rejestrator
Rys. 3. Układ pomiarowy
Jedną z wad tensometrii oporowej jest jej wrażliwość na temperaturę. Zmiana temperatury
otoczenia o t
∆
powoduje zmianę:
oporności właściwej drucika oporowego,
odkształcenia materiału badanego elementu konstrukcyjnego,
odkształcenia drucika oporowego,
oporności przewodów układu pomiarowego poza tensometrem.
Wzrost temperatury tensometru wywołane przepływem przez niego prądu elektrycznego
powoduje dalszą zmianę temperatury drucika oporowego i dalszą zmianę jego oporności
właściwej.
Względny przyrost oporu drucika oporowego tensometru wywołany zmianą
temperatury otoczenia określa następująca zależność:
(
)
t
k
R
R
∆
⋅
⋅
−
=
∆
β
α
0
1
,
(18)
gdzie:
1
R
∆
- przyrost oporu drucika oporowego tensometru,
0
R - początkowy opór drucika
oporowego tensometru,
α
- cieplny współczynnik rozszerzalności liniowej materiału
badanego elementu konstrukcyjnego,
β
-cieplny współczynnik rozszerzalności liniowej
drucika oporowego tensometru, t
∆
- przyrost temperatury otoczenia.
Względny przyrost oporu drucika oporowego wywołany ogrzaniem drucika oporowego o t
∆
wynosi:
t
R
R
∆
⋅
=
∆
1
0
2
γ
,
(19)
gdzie:
1
γ
- współczynnik termicznych zmian oporu materiału drucika oporowego.
Przyrost temperatury drucika oporowego zależy od wartości prądu przepływającego przez
drucik oraz od warunków chłodzenia tensometru i różni się do zmiany temperatury otoczenia,
stąd względny przyrost oporu uwzględniający różnicę pomiędzy zmianą temperatury drucika
a zmianą temperatury otoczenia jest określony zależnością:
(
)
d
t
k
R
R
∆
⋅
⋅
−
=
∆
β
γ
1
0
3
,
(20)
gdzie:
d
t
∆
- różnica pomiędzy przyrostem temperatury drucika oporowego i przyrostem
temperatury otoczenia.
8
Całkowity względny przyrost oporu drucika oporowego wynosi:
(
)
[
]
(
)
d
t
k
t
k
R
R
R
R
R
R
R
R
∆
⋅
⋅
−
+
∆
⋅
+
⋅
−
=
∆
+
∆
+
∆
=
∆
β
γ
γ
β
α
1
1
0
3
0
2
0
1
0
.
(21)
Wpływ temperatury na działanie tensometru oporowego można skompensować za pomocą:
kompensacji wewnętrznej,
tensometru kompensacyjnego połączonego z tensometrem czynnym (pomiarowym) w
układzie mostka Wheatstone’a (rys. 4).
Kompensacja wewnętrzna polega na szeregowym połączeniu tensometru z opornikiem
kompensacyjnym o oporze
k
R . Opór
k
R tak się dobiera, by wypadkowa zmiana oporu układu
tensometr + opornik kompensacyjny była równa zeru:
0
=
∆
+
∆
k
R
R
,
(22)
gdzie:
k
R
∆
- przyrost oporu opornika kompensacyjnego:
t
R
R
k
k
k
∆
⋅
⋅
=
∆
γ
,
(23)
zaś
k
γ
jest współczynnikiem termicznych zmian oporu opornika kompensacyjnego.
Podstawiając równania (21) i (23) do (22) otrzymujemy:
(
)
[
]
(
)
{
}
0
0
1
1
=
⋅
∆
⋅
⋅
−
+
∆
⋅
+
⋅
−
+
∆
⋅
⋅
R
t
k
t
k
t
R
d
k
k
β
γ
γ
β
α
γ
.
(24)
W celu zapewnienia kompensacji zupełnej, niezależnej od zmian temperatury otoczenia i od
zmian temperatury nagrzania drucika oporowego musza być spełnione następujące równania:
⋅
⋅
=
⋅
−
⋅
=
0
1
R
k
R
k
k
k
α
γ
β
γ
.
(25)
Cieplny
współczynnik
rozszerzalności
liniowej
materiału
badanego
elementu
konstrukcyjnego w większości przypadków jest dodatni. Wówczas współczynnik termicznych
zmian oporu powinien zgodnie z równaniem (25) przyjąć ujemną wartość, stąd opornik
kompensacyjny o oporze
k
R łączy się z tensometrem w przyległej gałęzi mostka
Wheatstone’a. Dodatnie zmiany oporu opornika kompensacyjnego działają wtedy jak ujemne
zmiany oporu w połączeniu szeregowym opornika z tensometrem.
Drugi sposób kompensacji polega na połączeniu tensometru czynnego (pomiarowego)
z tensometrem kompensacyjnym w układzie mostka Wheatstone’a w przyległej jego gałęzi.
Mostek Wheastone’a składa się wówczas z czterech gałęzi, w których umieszczone są
(rys. 4):
tensometr czynny o oporze R
1
,
tensometr kompensacyjny o oporze R
2
,
opornik o oporze R
3
,
opornik o oporze R
4
.
9
Rys. 4. Mostek Wheatstone’a
Tensometr kompensacyjny kompensuje wpływ czynników ubocznych, w tym temperatury
i wilgoci. Tensometr ten naklejony jest na ten sam element konstrukcyjny co tensometr
czynny lub na inny element konstrukcyjny wykonany z tego samego materiału co badana
konstrukcja i znajduje się w tych samych warunkach temperaturowych i wilgotnościowych.
Tensometr kompensacyjny jest nieobciążony lub doznaje tych samych odkształceń co do
wartości lecz przeciwnych co do znaku jak tensometr czynny.
3.1. Badanie płaskiego stanu naprężeń
W przypadku, gdy nie są znane kierunki główne, nie jest możliwe zbadanie płaskiego stanu
naprężenia przy pomocy pojedynczego tensometru oporowego. Stąd w praktyce stosowane są
układy tensometrów naklejonych w danym punkcie pomiarowym lub blisko siebie zwane
rozetami tensometrycznymi.
Tensometry rozety tensometrycznej są tak rozmieszczone, by zminimalizować błąd
wywołany ich skończonymi wymiarami. Kąty, pod którymi rozmieszczone są tensometry w
rozetach przyjmuję pewne ustalone wartości: 45
°
, 60
°
, 90
°
, 120
°
.
a)
b)
Rys. 5. Rozety 2-tensometrowe: a) tensometry przylegające do siebie, b) tensometry skrzyżowane
10
Najprostszymi rozetami tensometrycznymi są rozety prostokątne utworzone przez dwa
tensometry przylegające do siebie (rys. 5a) lub skrzyżowane (rys. 5b). Wśród rozet
składających się z trzech tensometrów można wyróżnić:
rozety prostokątne złożone (rys. 6a),
rozety prostokątne skrzyżowane (gwiazdowe) o zwartej budowie, identyczne pod
względem obliczeniowym z rozetami prostokątnymi złożonymi (rys.6b),
rozety typu „delta” (rys. 6c).
a)
b)
c)
Rys. 6. Rozety 3-tensometrowe: a) prostokątne złożone, b) prostokątne skrzyżowane (gwiazdowe),
c) typu „delta”
Podczas badania płaskiego stanu naprężeń najczęściej stosowane są rozety składające się z
czterech tensometrów, w których czwarty tensometr pełni rolę kontrolną lub pomocniczą.
Przykładem takiej rozety jest rozeta T – „delta” (rys. 7).
Rys. 7. Rozeta T – „delta”
4. Przykłady zastosowań tensometrów oporowych
W szeregu zastosowaniach pomiary przy pomocy tensometrów oporowych mają
charakter pomiarów pośrednich, kiedy przy pomocy pomiarów odkształceń wyznacza się
wielkości fizyczne związane z odkształceniami.
4.1. Pomiar sił w prętach
W przypadku wyznaczania sił w prętach rozciąganych lub ściskanych metodą
tensometryczną przyjmuje się, że w pręcie występuje jednorodny, jednokierunkowy stan
naprężenia o zadanym kierunku głównym. Wówczas siła normalna w pręcie wynosi:
A
N
⋅
=
σ
,
(26)
11
gdzie: A - pole przekroju poprzecznego pręta,
σ
- naprężenia normalne.
Uwzględniając prawo Hooke’a siłę normalną w pręcie wyznaczamy z zależności:
A
E
N
⋅
⋅
=
ε
,
(27)
gdzie:
ε
- odkształcenie jednostkowe mierzone przy pomocy tensometru oporowego,
E
– moduł Younga.
4.2. Pomiar momentu gnącego i siły poprzecznej w belkach
W przypadku pomiarów momentu gnącego i siły poprzecznej metodą tensometryczną
zakładamy, że element belkowy o wymiarach przekroju poprzecznego
h
b
×
odkształca się w
stanie prostego zginania. Przy takim założeniu do pomiaru momentu gnącego i siły
poprzecznej wystarczy jeden tensometr naklejony w danej odległości z od osi obojętnej belki,
tak by druciki oporowe przejmujące odkształcenie były równoległe do osi belki (rys. 8).
Zwykle tensometr montuje się w punkcie pomiarowym znajdującym się na powierzchni
włókien położonych w największej odległości od osi obojętnej. Wówczas moment gnący
q
M
względem osi obojętnej y wynosi:
W
E
z
I
M
g
⋅
⋅
=
⋅
=
ε
σ
,
(28)
gdzie: I - moment bezwładności względem osi obojętnej y, W - wskaźnik przekroju na
ginanie względem osi obojętnej y.
Rys. 8. Pomiar momentu gnącego i siły tnącej
Wartość siły poprzecznej T wyznaczamy z pomiaru momentu gnącego w zadanych punktach
belki. Z warunków równowagi odcinka belki o długości dx wynika, że pochodna momentu
gnącego jest równa sile tnącej:
dx
dM
T
g
=
.
(29)
Rozważmy belkę obciążoną siła skupioną, dla której moment gnący jest liniową funkcją
położenia, zaś siła tnąca jest funkcją przedziałami stałą. Naklejając dwa tensometry w
odległości L od siebie (zgodnie z rys. ) i mierząc momenty gnące w punktach pomiarowych
wartość siły poprzecznej T można wyznaczyć z równania:
L
M
M
T
g
g
1
2
−
=
,
(30)
gdzie:
2
1
,
g
g
M
M
- momenty gnące zmierzone w punktach pomiarowych 1 i 2, L -odległość
pomiędzy punktami pomiarowymi 1 i 2.
12
4.3. Pomiar momentu skręcającego
Pomiar momentu skręcającego metodą tensometryczną pozwala określić wartość momentu
skręcającego
s
M obracającego się wałka o średnicy D. Maksymalne naprężenia skręcające
τ
w pręcie o przekroju kołowym skręcanym momentem
s
M wynoszą:
0
W
M
s
=
τ
,
(31)
gdzie:
0
W
- wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie, który jest równy ilorazowi
biegunowego momentu bezwładności
0
I
względem środka przekroju przez odległość
najdalszego włókna
max
ρ
od środka przekroju:
max
0
0
ρ
I
W
=
,
(32)
Dla przekroju kołowego wskaźnik wytrzymałości przekroju na skręcanie wynosi:
16
3
0
D
W
π
=
,
(33)
stąd moment skręcający przekrój kołowy wynosi:
τ
π
τ
16
3
0
D
W
M
s
=
⋅
=
.
(34)
Naprężenie styczne
τ
działa stycznie do obwiedni przekroju poprzecznego wałka i wywołuje
stan czystego ścinania. Kierunki główne naprężeń są obrócone o kąt 45
°
w stosunku do
kierunku wyznaczonego przez styczną do przekroju poprzecznego i leżą w płaszczyźnie
stycznej do obwiedni wałka. Naprężania w kierunkach głównych stanu naprężenia podobnie,
jak i odkształcenia mają takie same wartości, ale są przeciwnych znaków:
2
1
2
1
ε
ε
σ
σ
−
=
−
=
.
(35)
Stąd tensometry mierzące odkształcenia jednostkowe
1
ε
i
2
ε
przykleja są do powierzchni
bocznej wałka pod kątem 45
°
względem osi symetrii wałka w sposób pokazany na rys. 9. Ze
wzoru (35) wynika, że do pomiaru momentu skręcającego wystarczy jeden tensometr.
Zastosowanie dwóch tensometrów pozwala na uśrednienie wyników pomiarów
1
ε
i
2
ε
.
Prawo Hooke’a w przypadku skręcania ma postać:
G
τ
γ
=
,
(36)
gdzie:
γ
- kąt odkształcenia postaciowego równy:
2
1
2
2
ε
ε
γ
=
=
,
(37)
zaś G jest modułem sprężystości postaciowej (modułem Kirchhoffa):
(
)
ν
+
=
1
2
E
G
.
(38)
13
Rys. 9. Pomiar momentu skręcającego
Podstawiając równanie (37) opisujące kąt odkształcenia postaciowego do prawa Hooke’a (36)
otrzymujemy:
1
2
ε
γ
τ
⋅
=
⋅
=
G
G
.
(39)
Ostatecznie moment skręcający wyznaczany jest ze wzoru:
1
3
3
8
16
ε
π
τ
π
⋅
⋅
=
⋅
=
G
D
D
M
s
.
(40)
5. Wykonanie ćwiczenia
5.1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z pomiarem odkształceń metodą tensometrii
oporowej i doświadczalne wyznaczenie rozkładu naprężeń normalnych w belce zginanej.
5.2. Stanowisko pomiarowe
Stanowisko pomiarowe składa się badanej belki dwuteownikowej wykonanej ze stali
podpartej na dwóch wałeczkach, maszyny wytrzymałościowej wywierającej wymagane
obciążenie na badaną belkę oraz układu pomiarowego. Na półce belki naklejony jest
tensometr oporowy w odległości z od osi obojętnej belki. Na rys. 10 przedstawiono schemat
stanowiska pomiarowego.
Rys. 10. Stanowisko pomiarowe:
1- bela, 2 – mostek, 3 – obciążenie belki, 4 - podpory
14
5.3. Przebieg pomiarów
W trakcie ćwiczenia należy:
zapoznać się z instrukcją obsługi mostka tensometrycznego,
skompensować i wykalibrować mostek tensometryczny,
obciążać belkę kolejnym obciążeniami
i
P przy pomocy maszyny wytrzymałościowej
i odczytywać wskazania mostka tensometrycznego,
wyniki pomiarów zanotować w tabeli pomiarowej.
5.4. Opracowanie wyników pomiarów
W ramach ćwiczenia należy wykonań opracowanie wyników pomiarów obejmujące:
opis celu i zakresu ćwiczenia,
schemat stanowiska pomiarowego,
tabelę pomiarową,
wykresy strzałki ugięcia belki
pom
f
i
obl
f
w połowie jej długości w funkcji siły P
obciążającej belkę,
porównanie ugięcia belki wyznaczonego doświadczalnie i teoretycznie.
wnioski dotyczące wyznaczonego doświadczalnie przebiegu strzałki ugięcia w funkcji siły
obciążającej belkę.
Tabela pomiarowa. Zestawienie wyników pomiarów i obliczeń belki zginanej
Ugięcie belki
Lp.
P
[kN]
g
M
[Nm]
obl
g
σ
[MPa]
Odczyt
na mostku
k
R
R 1
∆
[‰]
Odkształcenie
jednostkowe
ε
[-]
pom
g
σ
[MPa]
pom
f
[mm]
obl
f
[mm]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
15
gdzie: P - siła skupiona obciążająca belkę przyłożona w środku belki,
g
M
- moment gnący w punkcie pomiarowym znajdującym w połowie długości
badanej belki:
4
L
P
M
g
⋅
=
,
L - długość belki, przyjmujemy że jest ona równa odległości pomiędzy
podporami: L = 1000 mm,
obl
g
σ
- naprężenia gnące w punkcie pomiarowym wyznaczone ze wzoru:
g
g
g
W
M
=
σ
,
g
W - wskaźnik wytrzymałości na zginanie:
g
W = 34.2 cm
3
,
ε
- odkształcenie jednostkowe wyznaczane zależności:
R
R
k
∆
=
1
ε
,
k - stała tensometru oporowego: k = 2.15,
pom
g
σ
- naprężenia gnące w punkcie pomiarowym wyznaczone na podstawie
pomiarów tensometrycznych odkształcenia jednostkowego:
E
pom
g
⋅
=
ε
σ
,
E - moduł Young’a:
5
10
2
⋅
=
E
MPa,
obl
f
- strzałka ugięcia belki w punkcie pomiarowym wyznaczona z zależności:
I
E
L
P
f
obl
⋅
⋅
⋅
=
48
3
,
I - moment bezwładności przekroju poprzecznego belki względem osi
obojętnej: I = 105 cm
4
,
pom
f
- strzałka ugięcia belki w punkcie pomiarowym wyznaczona z pomiarów.
Bibliografia
1. Bachmacz W.: Wytrzymałość materiałów. Badania doświadczalne. Skrypt Politechniki
Częstochowskiej, Częstochowa 1973.
2. Banasik M.: Ćwiczenia laboratoryjne z wytrzymałości materiałów. PWN, Warszawa
1977.
3. Boruszak A., Sykulski R., Wrześniowski K.: Wytrzymałość materiałów. Doświadczalne
metody badań. Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 1977.
4. Katarzyński S., Kocańda S., Zakrzewski M.: Badania właściwości mechanicznych metali.
WNT, Warszawa 1967.
5. Mazurkiewicz S.: Laboratorium z wytrzymałości materiałów. Wydawnictwo Politechniki
Krakowskiej, Kraków 1978.
6. Orłoś Z.: Doświadczalna analiza odkształceń i naprężeń. PWN, Warszawa 1977.