Ekonometria – ćwiczenia nr 2 z 22-10-2000 r.
1
Ekonometria – ćwiczenia nr 2 z dnia 22-10-2000 r.
Estymacja parametrów strukturalnych modeli liniowych z wieloma niewiadomymi.
Zadanie 1
Proszę oszacować za pomocą klasycznej metody najmniejszych kwadratów parametry strukturalne
liniowego modelu ekonometrycznego opisującego kształtowanie się sprzedaży energii elektrycznej
w mln MWh w pewnym zakładzie energetycznym w zależności od długości linii przesyłowych w
10 tys. km (X
1
) i ilości odbiorców energii w 100 tys. (X
2
). Zaobserwowane wielkości zmiennych
Y, X
1
, X
2
w latach 1987-1996 przedstawia poniższa tabela:
Lata Y
X
1
X
2
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
1,2
1,3
1,3
1,4
1,4
1,5
1,5
1,6
1,6
1,7
3,6
3,7
3,8
3,8
3,9
3,9
4,0
4,0
4,1
4,2
2
2
1
1
0
2
2
1
1
0
X
a
X
a
a
Y
X
X
Y
+
+
=
+
+
+
=
∧
ε
α
α
α
(
)
y
X
X
X
a
T
T
1
−
=
=
0
,
4
9
,
3
8
.
3
7
,
3
6
,
3
6
,
3
5
,
3
4
,
3
3
,
3
2
,
3
y
=
2
,
4
1
,
4
0
,
4
0
,
4
9
,
3
9
,
3
8
,
3
8
,
3
7
,
3
6
,
3
7
,
1
6
,
1
6
,
1
5
,
1
5
,
1
4
,
1
4
,
1
3
,
1
3
,
1
2
,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
X
Ekonometria – ćwiczenia nr 2 z 22-10-2000 r.
2
=
2
,
4
7
,
1
1
1
,
4
6
,
1
1
0
,
4
6
,
1
1
0
,
4
5
,
1
1
9
,
3
5
,
1
1
9
,
3
4
,
1
1
8
,
3
4
,
1
1
8
,
3
3
,
1
1
7
,
3
3
,
1
1
6
,
3
2
,
1
1
T
X
=
=
=
4
,
152
8
,
56
39
8
,
56
25
,
21
5
,
14
39
5
,
14
10
2
,
4
1
,
4
0
,
4
0
,
4
9
,
3
9
,
3
8
,
3
8
,
3
7
,
3
6
,
3
7
,
1
6
,
1
6
,
1
5
,
1
5
,
1
4
,
1
4
,
1
3
,
1
3
,
1
2
,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
*
2
,
4
7
,
1
1
1
,
4
6
,
1
1
0
,
4
6
,
1
1
0
,
4
5
,
1
1
9
,
3
5
,
1
1
9
,
3
4
,
1
1
8
,
3
4
,
1
1
8
,
3
3
,
1
1
7
,
3
3
,
1
1
6
,
3
2
,
1
1
X
X
T
Z twierdzenia Laplase’a wyliczamy :
05
,
0
5
,
152
*
5
,
14
10
*
8
,
56
25
,
21
*
39
2
*
)
39
*
8
,
56
*
5
,
14
(
5
,
152
*
25
,
21
*
10
det
2
2
2
=
−
−
−
+
=
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
25
,
2
5
,
2
15
,
5
5
,
2
0
,
3
4
,
5
15
,
5
4
,
5
26
,
12
25
,
21
5
,
14
5
,
14
10
8
,
56
5
,
14
39
10
8
,
56
25
,
21
39
5
,
14
8
,
56
39
5
,
14
10
4
,
152
39
39
10
4
,
152
8
,
56
39
5
,
14
8
,
56
39
25
,
21
5
,
14
4
,
152
39
8
,
56
5
,
14
4
,
152
8
,
56
8
,
56
25
,
21
)
(
D
T
X
X
−
−
−
−
=
−
−
−
−
=
−
45
50
103
50
60
108
103
108
2
,
245
25
,
2
5
,
2
15
,
5
5
,
2
0
,
3
4
,
5
15
,
5
4
,
5
26
,
12
05
,
0
1
)
(
1
X
X
T
Ekonometria – ćwiczenia nr 2 z 22-10-2000 r.
3
=
=
82
,
140
56
,
52
36
0
,
4
9
,
3
8
,
3
7
,
3
6
,
3
6
,
3
5
,
3
4
,
3
3
,
3
2
,
3
*
2
,
4
7
,
1
1
1
,
4
6
,
1
1
0
,
4
6
,
1
1
0
,
4
5
,
1
1
9
,
3
5
,
1
1
9
,
3
4
,
1
1
8
,
3
4
,
1
1
8
,
3
3
,
1
1
7
,
3
3
,
1
1
6
,
3
2
,
1
1
y
X
T
−
=
−
−
−
−
=
=
−
90
,
0
60
,
0
78
,
0
82
,
140
86
,
52
36
*
45
50
103
50
60
108
103
108
2
,
245
)
(
1
y
X
X
X
a
T
T
a
0
=-0,78 a
1
= 0,6
a
2
= 0,9
2
1
9
,
0
6
,
0
078
X
X
Y
+
+
−
=
∧
Interpretacja:
W latach 1987-1996 wzrost długości linii przesyłowych o 10 tys. km (X
1
) powodował wzrost
sprzedaży energii elektrycznej o 0,6 mln MWh przy założeniu, że nie uległa zmianie liczba od-
biorców energii (X
2
).
W latach 1987-1996 wzrost liczby odbiorców o 100 tys. powodował wzrost sprzedaży energii o
0,9 mln MWh przy założeniu, że nie zmieniła się długość linii przesyłowych.
Zadanie 2
Zbudowano jednorównaniowy model liniowy opisujący zależność wielkości produkcji od 12 róż-
nych czynników oddziaływujących na tą produkcję. Następnie zebrano roczne dane statystyczne z
lat 1990-1998, dotyczące kształtowania się zmiennej objaśnianej i zmiennych objaśniających. Czy
można oszacować parametry strukturalne tego modelu za pomocą klasycznej metody najmniej-
szych kwadratów.
rz ( X ) = k + 1
≤
n
n = 9 k = 12
13
≤
9
Za pomocą klasycznej metody najmniejszych kwadratów modelu nie można oszacować, dlatego że
nie jest spełnione jedno z założeń tej metody mówiące o tym, że liczba szacowanych parametrów
musi być mniejsza, a może być co najwyżej równa liczbie obserwacji.
Ekonometria – ćwiczenia nr 2 z 22-10-2000 r.
4
Zadanie 3
W latach 1990-1998 zakład produkował średniorocznie 20
=
−
Y
tys. rowerów. Średnioroczne za-
trudnienie w tym czasie wynosiło 200
1
=
−
X
osób, średnioroczne zużycie materiałów wynosiło
5
2
=
−
X
mln zł. Czy jest możliwe aby oszacowany klasyczną metodą najmniejszych kwadratów
liniowy model opisujący zależność pomiędzy wielkością produkcji, a zatrudnieniem i zużyciem
materiałów miał postać:
2
1
2
1
,
0
5
X
X
Y
+
+
=
∧
−
−
−
=
=
=
5
200
20
2
1
X
X
Y
35
20
10
20
5
20
5
*
2
200
*
1
,
0
5
≠
+
+
=
+
+
=
−
Y
Nie jest możliwe żeby przedstawiony model opisywał przedstawiony proces gospodarczy.
Zadanie domowe
Sprzedawca znanej marki samochodów osobowych zebrał dane dotyczące ilości sprzedanych sa-
mochodów ( w tys. sztuk) oraz łącznych rocznych dochodów mieszkańców ( w mld zł) jednego z
regionów Polski w latach 1994-1999, które kształtowały się następująco:
Lata S
t
D
t
1994
1995
1996
1997
1998
1999
1
1
2
1
2
3
1
2
2
3
4
4
S
t
– ilość sprzedanych samochodów
D
t
– dochody mieszkańców
Proszę oszacować parametry strukturalne modelu liniowego opisującego zależność ilości sprzeda-
nych samochodów w roku bieżącym, od dochodów w roku bieżącym, oraz ilość sprzedanych sa-
mochodów w roku poprzednim. Proszę zinterpretować wartości oszacowanych parametrów struk-
turalnych.
ε
α
α
α
+
+
+
=
−
1
2
1
0
t
t
t
S
D
S