1 

Integralność konstrukcji 

 

Wykład Nr 2 

Inżynierska i rzeczywista krzywa rozciągania 

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki 
Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji  
 

 

2 

2.1  NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA INŻYNIERSKIE   

Oparte są na początkowych nie zdeformowanych wymiarach próbek  

Oznaczenia: 



, 



  

 

R   , początek 

 

        szyjki

 

(

 



 

f

 

,

 



 

f

 

)

 

R  , płynięcie

 

(b)

 

(a)

 

(a)

 

(b)

 



 



 

(c)

 

(d)

 

(c)

 

(d)

 

0

 



 u 

m

 

e

 

  

Rys.2.1 Schemat inżynierskiej krzywej rozciągania typowego materiału ciągliwego  

(cechy charakterystyczne: płynięcie, zazwyczaj szyjka). 

3 

2.1  NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA INŻYNIERSKIE   

Oparte są na początkowych nie zdeformowanych wymiarach próbek  

Oznaczenia: 



, 



  

o

e

e

A

P

R



o

m

A

P

R

max



o

f

f

A

P





o

o

f

f

L

L

L







Stałe materiałowe o charakterze inżynierskim:                                                                             



wytrzymałość doraźna:  



inżynierskie naprężenie niszczące:  



inżynierskie odkształcenie niszczące:  

gdzie: A

o 

- początkowa powierzchnia przekroju  

L

o 

(L

f

)- długość pomiarowa początkowa (końcowa) 



granica plastyczności:  

4 

2.1  NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA INŻYNIERSKIE   

R

eg













(a)

(b)

(c)





p

A

B

E

p



p

=?

E

t



pl

0.002

0

0

0

R

e 0.2

R

ed

R

e 0.2

R

e 0.2

=

Rys.2.2 Kształt początkowej części krzywej rozciągania: a) większość metali    i stopów;  b) 

z górną i dolną granicą plastyczności (np. stal miękka);  c) bez zakresu liniowego 

5 

2.1  NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA INŻYNIERSKIE   



E - moduł Younga:                            - tylko przypadek a) i b)  

 


 granica proporcjonalności: 



P

 -  tylko przypadek a) i b)  



umowna granica plastyczności: R

e0,2

  

 

jest najdogodniejszym parametrem do zidentyfikowania początku 

 

odkształceń plastycznych (przy 



= R

e02

; 



pl

= 0,002) 



górna i dolna granica plastyczności: R

eg

 i R

ed

  

 

(R

eg

 - duży  rozrzut, R

ed 



 R

e 0,2

). 

A

B

A

B

E















6 

2.1  NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA INŻYNIERSKIE   

Ciągliwość: zdolność materiału do akomodacji odkształceń plastycznych 
bez zniszczenia 
  
Materiały ciągliwe: zniszczenie poprzedzone znacznymi odkształceniami 
plastycznymi, duża energia potrzebna do zniszczenia  
(energia - pole pod wykresem 



 - 



), często R

m

 > 



f

  

  
Materiały kruche: zniszczenie bez makroskopowych odkształceń 
plastycznych, mała energia potrzebna do zniszczenia, R

m

 =



f

  

7 

2.1  NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA INŻYNIERSKIE   

o

f

o

A

A

A



100

(b)

(a)

(a)

(b)

R





m

Miary ciągliwości: 


wydłużenie procentowe: 100



f

, 

(materiał kruchy: 



f

 



 5 % ; materiał ciągliwy: 



f

 > 5 % ) 

 


przewężenie procentowe:  

gdzie: 
A

f

 - końcowa powierzchnia przekroju. 

Posługiwanie  się  naprężeniami  i  odkształceniami  inżynierskimi  jest 

korzystne,  gdy  zmiany  wymiarów  próbki  są  niewielkie.  Przy  dużych 

odkształceniach  plastycznych  właściwsze  jest  używanie  naprężeń  i 

odkształceń rzeczywistych. 

Rys.2.3.  Krzywa  rozciągania  materiału 

kruchego 

Oznaczenia: 
 
Naprężenia rzeczywiste 
gdzie: A - bieżąca powierzchnia przekroju 
 
 
Odkształcenie rzeczywiste: 
 
 
gdzie:  zmiana długości mierzona jest w małych przyrostach 



l

1

, 



l

2

, 



l

3

 itd., 

a aktualna długość pomiarowa l

1

, l

2

, l

3

, itd. jest użyta do obliczenia 

odkształcenia dla każdego przyrostu 
 
Gdy 



l

j

 są bardzo małe: 

 
 
gdzie: l = l

o

 + 



l - długość końcowa,  l

o

 - długość początkowa. 

 

8 

2.2  NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA RZECZYWISTE 

~



~



A

P





~

j

j

l

l









~

(2.2) 

(2.1) 







l

l

o

o

l

l

l

dl

ln

~



(2.3) 

Ponieważ odkształcenia inżynierskie: 
 
to na podstawie (2.3) i (2.4) otrzymujemy: 
 
 
 
 
Ponieważ przy dużych odkształceniach  
plastycznych objętość pozostaje niezmienna, tzn.: 
 
to na podstawie (2.3) i (2.6): 

9 

2.2  NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA RZECZYWISTE 

(2.5) 

(2.4) 

(2.6) 

o

l

l













l

l

o

o

l

l

l

dl

ln

~



(2.3) 

































1

ln

1

ln

ln

~

o

o

o

l

l

l

l

l

0









ldA

Adl

const

l

A

d

d

A

A

A

A

A

dA

A

A

0

0

0

ln

2

ln

~

         

          

ln

~

0

















(2.7) 

Z definicji    i    : 
 
 
a uwzględniając (2.6): 
 
 
 
otrzymamy: 
 
 

10 

2.2  NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA RZECZYWISTE 

(2.9) 

(2.8) 



~



A

A

o









~

0









ldA

Adl

const

l

A





























1

~

o

o

o

l

l

l

l

l

11 

2.2  NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA RZECZYWISTE 





























1

~

o

o

o

l

l

l

l

l

Rys. 2.4   Porównanie rzeczywistej i inżynierskiej krzywej 

rozciągania dla stali miękkiej 

Wnioski: 
    zawsze większe niż 



  

  = 



 

do utworzenia się szyjki 

 

potem    >>



  

  

~



~



~



12 

2.2  NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA RZECZYWISTE 



rzeczywiste naprężenia niszczące       (J): 

 
gdzie: 



f 

- współrzędna 



 punktu 



 na krzywej inżynierskiej, 

 

A

o

 , A

f

 - przekrój odpowiednio początkowy i po zniszczeniu  

 


 rzeczywiste odkształcenie niszczące (por. rów. 2.7): 

Własności materiału o charakterze 

rzeczywistym: 

(współrzędne     i     punktu) 

 



~



~

f

o

f

f

f

f

A

A

A

P









~

(2.10) 

f

o

f

A

A

ln

~





(2.11) 

f



~

13 

2.2  NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA RZECZYWISTE 

Zakres ważności różnych wzorów z próby rozciągania 

Równania (2.5) i (2.9): 

można stosować tylko do utworzenia się 

szyjki, bo potem wydłużenie nie jest 

równomierne na długości pomiarowej 

 

Po utworzeniu się szyjki: 

tylko równania (2.1) i (2.7) 

 

Równanie (2.9): 

może być stosowane przy dość 

znacznych odkształceniach plastycznych 

bo oparte jest na założeniu stałej 

objętości materiału (2.6). 

14 

2.3.  MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ ROZCIĄGANIA DLA 

METALI  

n

p

e

H

E

1

~

~

~

~

~































    ,       - odpowiednio sprężysta i plastyczna 

składowa odkształcenia, 

n - wykładnik umocnienia 
H - współczynnik wytrzymałości 

~



e

~



p

Stałe  materiałowe  H  i  n  wyznacza  się  przedstawiając  otrzymane  doświadczalnie  punkty  
             we współrzędnych podwójnie logarytmicznych 

 





~

 ,

~

(2.12) 

Rys. 2.5 Rzeczywista krzywa odkształcenia we współrzędnych: a) liniowych; b) podwójnie logarytmicznych 

15 

2.3.  MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ ROZCIĄGANIA DLA 

METALI  

Rys. 2.5 Rzeczywista krzywa odkształcenia we współrzędnych: a) liniowych; b) podwójnie logarytmicznych 

Uwaga! We współrzędnych podwójnie logarytmicznych: 


wykres            jest linią prostą o współczynniku kierunkowym 1:  
 
 



wykres            jest linią prostą o współczynniku kierunkowym n:   
 

 

e





~

~



e

E





~

log

log

~

log





p





~

~



log~ log

log~









H n

p

Uwaga! We współrzędnych podwójnie logarytmicznych: 


wykres            jest linią prostą o współczynniku kierunkowym 1:  
 



wykres            jest linią prostą o współczynniku kierunkowym n:   
 

 

16 

2.3.  MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ ROZCIĄGANIA DLA 

METALI  

Rys. 2.5 Rzeczywista krzywa odkształcenia we współrzędnych: a) liniowych; b) podwójnie logarytmicznych 

e





~

~



e

E





~

log

log

~

log





p





~

~



log~ log

log~









H n

p

Stąd: 

E – wartość    przy         , ; H - wartość     przy           
Zakres małych odkształceń: wykres wypadkowy bliski wykresowi            
Zakres dużych odkształceń: wykres wypadkowy bliski wykresowi            
 
Uwaga: zależność                           jest ważna od            aż do zniszczenia 
 



~

1

~



e





~

1

~



p



e





~

~



p





~

~



n

p

H





~

~



0

~



p



(C)* Ponieważ w chwili tworzenia się szyjki             można przyjąć: 

17 

2.3.  MATEMATYCZNY OPIS KRZYWEJ ROZCIĄGANIA DLA 

METALI  

Wyznaczenie wykładnika umocnienia „n” w równaniu                         na podstawie 
inżynierskiej krzywej

 

n

p

H

)

~

(

~













A

P







~





~

~

Ad

dA

dP







(2.13) 

(A)* W chwili utworzenia się szyjki dP=0 

Na podstawie (2.13) i (A)*: 

A

dA

d









~

~

(2.14) 

(B)* Przy odkształceniach plastycznych V=A



l=const, tzn. dV=0 

(B)* 



 Adl+ldA=0 



 

A

dA

l

dl





(2.15) 

gdzie: 



~

d

l

dl

df



stąd, uwzględniając (2.14) i (2.15) 

w chwili tworzenie sią szyjki: 







~

~

~

d

d



lub 







~

~

~

d

d



(2.16) 







~

p





~

~



Równanie  

n

p

H

)

~

(

~







uwzględniając (C*) oraz (2.15) ma postać: 

1

~

)

~

(





n

p

n

p

Hn

H





(2.17) 

stąd: 

p

n



~



18 

2.4.  EFEKT BAUSCHINGERA (1880)  

Jeżeli  przy  obciążaniu  materiału  wykazującego  efekt  umocnienia  naprężenie  przekroczyło 

granicę  plastyczności  przy  monotonicznym  rozciąganiu  (R

er

)

 

,  to  przy  zmianie  kierunku 

obciążenia  (odciążaniu)  uplastycznianie  występuje  przy  naprężeniu 



K

  powyżej  poziomu 

granicy plastyczności przy monotonicznym ściskaniu (R

ec

) 

 

Dla  metali  można  z  dobrym  przybliżeniem  przyjąć,  że  gdy  materiał  został  obciążony  do 

poziomu 



 >R

e

 , to zmiana naprężeń potrzebna do spowodowania płynięcia przy odciążeniu 

wynosi: 



 = 2R

e

  







monotoniczne

  rozciąganie

monotoniczne

   ściskanie

K







= f(



)

er

R

ec

R

Rys. 2.6 Ilustracja efektu Bauschingera 

pojawienie się odkształceń plastycznych przy odciążaniu 

(początek tzw. odwróconego płynięcia - „reversed yielding”) 

19 

2.5.  Modele materiałów 

idealnie  

sprężysty 





sztywno –  

idealnie  

plastyczny 





sprężysto –  

idealnie  

plastyczny 





sprężysto –   
plastyczny 
z umocnieniem liniowym 





odkszt. plastyczne 



~



~

sprężysto –   
plastyczny 
z umocnieniem nieliniowym 

odkszt. plastyczne