Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 29
29. Dyfrakcja
Zjawisko dyfrakcji (ugięcia) odkrył Grimaldi (XVII w). Polega ono na uginaniu się
promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny).
Wyjaśnienie dyfrakcji w oparciu o zasadę Huyghensa - Fresnel (przełom XVIII i XIX
w). (W jego czasach wierzono, że fale świetlne są falami mechanicznymi w przenikają-
cym wszechświat eterze. Dopiero Maxwell pokazał, że fale świetlne są falami elektro-
magnetycznymi, a Einstein odrzucił postulat konieczności istnienia eteru).
Rysunek (a) pokazuje ogólnie na czym polega dyfrakcja.
S
B
C
P
a)
Fala ze źródła S pada na szczelinę B i przechodzące przez otwór pada na ekran C. Natę-
żenie w punkcie P można obliczyć dodając do siebie wszystkie zaburzenia falowe (tj.
wektory E). Te zaburzenia falowe mają różne amplitudy i fazy ponieważ:
• elementarne źródła Huyghensa (punkty w szczelinie) są w różnych odległościach od
punktu P.
• światło opuszcza te punkty pod różnymi kątami.
Taka sytuacja gdy fale opuszczające otwór nie są płaskie (promienie nie są równoległe)
pojawia się gdy źródło fal S i ekran (C), na którym powstaje obraz znajdują się w skoń-
czonej odległości od ekranu ze szczeliną (B). Taki przypadek nosi nazwę
dyfrakcji
Fresnela
. Obliczenia natężeń światła są w tej sytuacji trudne.
Całość upraszcza się, gdy źródło S i ekran C odsuniemy na bardzo duże odległości od
otworu uginającego. Ten graniczny przypadek nazywamy
dyfrakcją Fraunhofera
. Czoła
fal padających jak i ugiętych są płaszczyznami (promienie są równoległe) tak jak to wi-
dać na rysunku (b).
do bardzo
odległego
ekranu
z bardzo
odległęgo
źródła
b)
θ
B
29-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Warunki do wystąpienia dyfrakcji Fraunhofera można zrealizować w laboratorium za
pomocą dwu soczewek (rysunek c).
S
f
f
B
C
P
θ
c)
Pierwsza soczewka zmienia falę rozbieżną w równoległa, a druga skupia w punkcie P
fale płaskie opuszczające otwór. Wszystkie promienie oświetlające punkt P opuszczają
otwór równolegle do linii przerywanej (przechodzącej przez środek soczewki). Warunki
dyfrakcji Fraunhofera były z założenia spełnione w doświadczeniu Younga.
W dalszej części wykładu będziemy zajmować się tylko dyfrakcją Fraunhofera.
29.1 Pojedyncza
szczelina
Rysunek pokazuje falę płaską padającą prostopadle na szczelinę o szerokości a.
Rozpatrzmy punkt środkowy P
0
ekranu. Równoległe promienie przebywają do tego
punktu te same drogi optyczne (różne geometryczne) tzn. promienie zawierają tę samą
ilość długości fal (soczewki cienkie). Ponieważ w szczelinie promienie są zgodne w fa-
zie to po przebyciu takich samych dróg optycznych nadal pozostają zgodne w fazie.
Dlatego w środkowym punkcie P
0
będzie maksimum.
P
0
f
B
a
C
Rozpatrzmy teraz inny punkt P
1
na ekranie (rysunek poniżej). Promienie docierające do
P
1
wychodzą ze szczeliny pod kątem
θ. Jeden promień ma początek u góry szczeliny, a
drugi w jej środku. (Promień xP
1
przechodzi przez środek soczewki więc nie jest odchy-
lany).
29-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
a
θ
θ
b
’
b
λ/2
x
P
1
P
0
Jeżeli wybierzemy punkt P
1
tak, żeby różnica dróg bb’ wynosiła
λ/2 to promienie zgod-
ne w fazie w szczelinie będą miały w punkcie P
1
fazy przeciwne i wygaszą się. Podob-
nie każdy inny promień wychodzący z górnej połowy szczeliny będzie się wygaszał z
odpowiednim promieniem z dolnej połówki leżącym w odległości a/2 poniżej. Punkt P
1
będzie miał natężenie zerowe (pierwsze minimum dyfrakcyjne). Warunek opisujący to
minimum ma następującą postać
λ
θ
2
1
sin
2
1
=
a
czyli
asin
θ = λ
Uwaga: Gdyby szerokość szczeliny była równa
λ wtedy pierwsze minimum pojawiłoby
się dla
θ = 90° czyli środkowe maksimum wypełniłoby cały ekran. W miarę rozszerza-
nia szczeliny środkowe maksimum staje się węższe. (Podobnie było dla interferencji
Younga w miarę zmiany odległości między szczelinami punktowymi). Podobne rozwa-
żania możemy powtórzyć dla wielu punktów szczeliny i otrzymamy ogólne wyrażenie
dla minimów obrazu dyfrakcyjnego w postaci
asin
θ = mλ, m = 1, 2, 3,...... (minimum)
(29.1)
Mniej więcej w połowie między każdą para sąsiednich minimów występują oczywiście
maksima natężenia.
29.2 Pojedyncza szczelina, rozważania jakościowe
Teraz chcemy znaleźć wyrażenie na rozkład natężenia w całym obszarze dyfrakcyj-
nym w funkcji kąta
θ. Teraz zrobimy to jakościowo.
Wyobraźmy sobie, że szczelinę o szerokości a dzielimy na N pasków o małej szeroko-
ści
∆x. Każdy pasek jest źródłem fal kulistych Huyghensa, które wytwarzają na ekranie
określone zaburzenie falowe.
29-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
a
θ
θ
∆x sinθ
B
C
P
P
0
Różnica dróg między sąsiednimi paskami wynosi
∆xsin
θ stąd różnica faz ∆ϕ pomiędzy
falami pochodzącymi z sąsiednich pasków wynosi
λ
θ
π
ϕ
sin
2
x
∆
=
∆
czyli
θ
λ
π
ϕ
sin
2
x
∆
=
∆
• Zakładamy, że paski są tak wąskie, że wszystkie punkty na danym pasku mają tę sa-
mą drogę optyczną do punktu P (całe światło ma tę samą fazę).
• Dla małych kątów
θ amplitudy ∆E
0
zaburzeń falowych w punkcie P pochodzące od
różnych pasków przyjmujemy za jednakowe.
Zatem w punkcie P dodaje się N wektorów (pól elektrycznych E) o tej samej amplitu-
dzie
∆E
0
, tej samej częstości i tej samej różnicy faz
∆
ϕ między kolejnymi wektorami.
Szukamy zatem zaburzenia wypadkowego dla różnych punktów P, tzn. dla różnych ką-
tów
θ, tzn. dla różnych ∆ϕ.
Poniżej na rysunkach przedstawione jest zaburzenie wypadkowe dla kilku różnych
miejsc na ekranie.
• Rysunek (a) przedstawia warunki dla maksimum środkowego (∆
ϕ=0°).
• Rysunek (b) przedstawia warunki dla kierunku nieco odmiennego od maksimum
środkowego (
∆
ϕ=5°).
• Rysunek (c) przedstawia warunki dla pierwszego minimum (∆
ϕ=30°).
• Rysunek (d) przedstawia warunki bliskie pierwszemu maksimum (poza środkowym)
(
∆
ϕ=42°).
29-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
E
θ
= E
M
E
θ
E
θ
E
θ
E
θ
= 0
a)
b)
c)
d)
Zwróćmy uwagę, że długość łuku jest zawsze równa E
M
ale amplituda E
θ
jest różna.
Wektory na rysunku odpowiadają amplitudom (a nie natężeniom). Żeby otrzymać natę-
żenia trzeba je podnieść do kwadratu. W przeciwieństwie do obrazu interferencyjnego
natężenia kolejnych maksimów nie są jednakowe
.
29.3 Pojedyncza szczelina, rozważania ilościowe
Na rysunku poniżej jest przedstawiona konstrukcja służąca do obliczenia natężenia
światła w przypadku dyfrakcji na jednej szczelinie. Sytuacja odpowiada tej pokazanej
na poprzednim rysunku (b).
R
R
E
m
E
m
E
θ
α
α
ϕ
ϕ
Jeżeli szczelinę podzielimy na nieskończenie wiele małych pasków o szerokości dx to
łuk strzałek będzie łukiem koła o promieniu R. Długość łuku wynosi E
m
czyli równa jest
amplitudzie w środku obrazu dyfrakcyjnego (linia prosta strzałek).
Kąt
ϕ w dolnej części rysunku przedstawia różnicę fazy między skrajnymi wektorami w
łuku tzn.
ϕ jest różnicą faz pomiędzy promieniami wychodzącymi z góry i dołu szczeli-
ny.
29-5
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Jak widać z rysunku
2
sin
2
ϕ
θ
=
R
E
czyli
2
sin
2
ϕ
θ
R
E
=
(29.2)
W mierze łukowej
R
E
m
=
ϕ
Stąd
ϕ
m
E
R
=
Podstawiając do równania (29.2) otrzymamy
2
sin
2
ϕ
ϕ
θ
m
E
E
=
czyli
α
α
θ
sin
m
E
E
=
(29.3)
gdzie
α = ϕ/2.
Przypomnijmy, że
ϕ jest różnicą faz dla promieni wychodzących z krańców szczeliny.
Ponieważ różnica dróg dla tych promieni wynosi asin
θ (a szerokość szczeliny) więc
możemy posłużyć się znanym związkiem
różnica faz/2
π = różnica dróg/λ
otrzymując
θ
λ
π
ϕ
sin
2 a
=
lub
θ
λ
π
ϕ
α
sin
2
a
=
=
(29.4)
Teraz możemy już obliczyć natężenie światła dla dyfrakcji na pojedynczej szczelinie.
Natężenie jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy. Otrzymujemy więc
29-6
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
2
sin
=
α
α
θ
m
I
I
(29.5)
Wyrażenie na natężenie przyjmuje wartość minimalną dla
α = mπ, m = 1, 2, 3,....
Podstawiając do równania (29.4) otrzymujemy
asin
θ = mλ, m = 1, 2, 3, ..... (minimum)
Jest to wynik zgodny z uzyskanym poprzednio (rozważania jakościowe).
Obliczmy teraz względne natężenia kolejnych maksimów dyfrakcyjnych.
Maksima leżą w środku pomiędzy minimami, a więc w punktach, dla których
α = (m+1/2)π, m = 1, 2, 3,.......
Podstawiając to do równania (29.5) na natężenie otrzymujemy
I
θ
/I
m
= 0.045, 0.016, 0.008 dla m = 1, 2, 3. Widać, że
natężenia kolejnych maksimów
bardzo szybko maleją
.
Na rysunku poniżej przedstawiono krzywe I
θ
dla różnych szerokości szczeliny (w sto-
sunku do długości fali
λ) w funkcji położenia na ekranie (kąta θ).
a=10
λ
a=5
λ
a=
λ
10
5
10
5
wzg
lę
dne nat
ęż
enie
θ
(deg)
29-7
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
29.4 Równoczesna interferencja i dyfrakcja na dwóch szczelinach
W doświadczeniu Younga szczeliny były wąskie ( a <<
λ) tak, że każda ze szczelin
oświetlała równomiernie ekran. Jeżeli takie fale (spójne) interferowały to otrzymywali-
śmy prążki o jednakowym natężeniu.
Dla realnych szczelin trudno jest zrealizować warunek a <<
λ. Oznacza to, że pojedyn-
cza szczelina będzie dawała obraz dyfrakcyjny i interferencja fal da teraz obraz, w któ-
rym natężenia prążków nie będą stałe (jak w doświadczeniu Younga) ale zależne od te-
go obrazu dyfrakcyjnego.
Odejście od założenia a <<
λ powoduje głównie zmianę natężenia prążków (ich poło-
żenia pozostają prawie nie zmienione).
Przypomnijmy, że obraz interferencyjny dla dwóch szczelin dany jest równaniem
β
θ
2
int
,
int
,
cos
m
I
I
=
gdzie
θ
λ
π
β
sin
d
=
przy czym d jest odległością między szczelinami.
Natomiast natężenie fali ugiętej na szczelinie jest dane równaniem
2
,
,
sin
=
α
α
θ
dyf
m
dyf
I
I
gdzie
θ
λ
π
α
sin
a
=
przy czym a jest szerokością szczeliny.
Teraz chcemy otrzymać łączny efekt. Dlatego w równaniu dla interferencji stałą ampli-
tudę (dla wąskich szczelin) zastępujemy realnym natężeniem dyfrakcyjnym. Otrzymu-
jemy
2
2
sin
)
(cos
=
α
α
β
θ
m
I
I
(29.6)
Ten wynik opisuje następujące fakty. W pewnym punkcie ekranu natężenie światła, z
każdej szczeliny osobno, jest dane przez obraz dyfrakcyjny tej szczeliny. Obrazy dy-
frakcyjne dwóch szczelin rozpatrywanych oddzielnie nakładają się (fale interferują).
Rysunek poniżej jest wykresem powyższego równania dla d = 50
λ i trzech wartości sto-
sunku a/
λ.
29-8
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
a =
λ
wz
gl
ędne nat
ęż
eni
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
a = 5
λ
wz
gl
ędne nat
ęż
eni
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
a = 10
λ
10
10
5
5
wz
gl
ędne nat
ęż
eni
e
θ
(deg)
29-9
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Obwiednie prążków interferencyjnych pokrywają się dokładnie z obrazem dyfrakcyj-
nym. Obraz jest więc
iloczynem czynnika interferencyjnego i dyfrakcyjnego
(rysunek
poniżej).
Czynnik interferencyjny (cos
2
β)
jest pokazany na górnym wykresie,
czynnik
dyfrakcyjny (sin
α/α)
2
na środkowym, a ich iloczyn na dolnym.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
wz
gl
ędne na
tęż
eni
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
wz
gl
ędne na
tęż
eni
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
10
10
5
5
θ
(deg)
a = 5
λ
wz
gl
ędne na
tęż
eni
e
29-10