Egzamin z matematyki, I r. WBiI´

S, r. 2001/2002

Nazwisko i imi¸e ........................................................................................... Grupa ..........

I. Cz¸e´s´

c zadaniowa

1. Wyznaczy´c warto´sci parametr´ow a i b tak, aby funkcja

f (x) =



















arctg

µ

sin |x|

√

3x

¶

dla x < 0

π

2

(1 −

√

a

2

− 1)

dla x = 0

1

π e

x−1

x2

− b

dla x > 0

byÃla ci¸agÃla.

2. Wyznaczy´c ekstrema lokalne funkcji f (x) = x

2
3

e

−

x2

3

.

3. Obliczy´c caÃlki

a)

Z

1 + cos x

(cos x + sin x + 2) sin

2

x

dx

b)

2

Z

0

x ln

√

x + 2 dx

4. Obliczy´c pole obszaru pÃlaskiego ograniczonego krzywymi o r´ownaniach y = arctg x

i y = −x

3

oraz prost¸a y = 1. Wykona´c rysunek.

5. Dla jakich warto´sci parametru k ∈ R ukÃlad r´owna´

n



















x − 2y + 4z = 1

y + 2z = −1

x − 3y + 2z = k

2x − 4y + kz = 2

nie posiada rozwi¸aza´

n?

6. Narysowa´c na pÃlaszczy´znie zespolonej zbi´or punkt´ow speÃlniaj¸acych warunek

|1 + iz| ≤ Re





Ã

√

3

2

−

1
2

i

!

12





II. Cz¸e´s´

c teoretyczna

T.1 Poda´c definicj¸e pochodnej funkcji f w punkcie x

0

. SformuÃlowa´c warunek konieczny

istnienia pochodnej. Obliczy´c z definicji pochodn¸a funkcji f (x) =

√

1 − 2x w dowol-

nym punkcie x

0

.

T.2 SformuÃlowa´c twierdzenie podstawowe o funkcjach pierwotnych. Poda´c trzy przykÃlady

funkcji pierwotnych dla f (x) =

1

1+x

2

. SformuÃlowa´c twierdzenie o caÃlkowaniu przez

cz¸e´sci dla caÃlek nieoznaczonych.

T.3 Zdefiniowa´c poj¸ecie wyznacznika macierzy A stopnia n ≥ 3. Poda´c przynajmniej

cztery wÃlasno´sci wyznacznik´ow. Obliczy´c det(diag(2, 3, −1, 4, −2, 1)).