1. Niezwykłe właściwości dwuwymiarowego materiału grafenu. Postaci 
krystaliczne węgla, sieć krystaliczna grafenu. 

 
Grafen: 
- jest niemal całkowicie przezroczysty  
- niezwykle wytrzymały i lekki, a dodatkowo elastyczny 
 
Sieć krystaliczna grafenu to płaska siatka atomów węgla połączonych ze 
sobą w sześciokątne oczka. Wiązania mają długość ok. 0,142 nm. 
 
Postaci krystaliczne węgla: 
- grafit – układ warstw grafenu, silne wiązania w warstwach, słabe między warstwami 
- diament – każdy z atomów ma 4 sąsiadów, wiązania mocne, kowalencyjne, twardy materiał 
- fulereny – wiele atomów węgla (np. 60), duże przestrzenne struktury (kula) 
- grafen 
- nanorurki – zwinięty grafen 
 
 

8. Fale materii: zależność dyspersyjna ω(k), prędkość fazowa i grupowa, 
porównanie z falami elektromagnetycznymi. 

 
Mamy prędkość fazową i grupową (cząstka opisana przez paczkę falową) cząstki: 
 

𝑉

𝑓

=  

𝜔

𝑘

=  

𝐸

𝑝

=  

𝑚𝑣

2

2𝑚𝑣

=  

𝑣
2

 

𝑉

𝑔

=  

𝑑𝜔

𝑑𝑘

 

 
Dyspersja to zależność prędkości fazowej fal od częstotliwości. 
Gdy dyspersja zachodzi to prędkość fazowa nie jest równa prędkości grupowej. 
Gdy dyspersja nie zachodzi to prędkości są równe. 
 
Zależność dyspersyjna: 
 

𝜔 =

ħ𝑘

2

2𝑚

 

 
Prędkość fazowa fal elektromagnetycznych jest zależna od cech ośrodka, zachodzi dyspersja. 
Zależność ta ma postać: 
 

𝑣 =

𝑐

𝑛

=  

𝑐

 ℇ𝜇

 

W mianowniku mamy względną przenikalność elektryczną i magnetyczną ośrodka. 
 
 
 
 

15. Rozdzielenie zmiennych przestrzennych i czasu, równ. Schrödingera 
niezależne od czasu, funkcje i wartości własne energii. 
 

Rozdzielenie zmiennych przestrzennych i czasu prowadzi do otrzymania równania 
Schrödingera niezależnego od czasu. 
 
Równanie zależne od czasu i położenia ma postać: 
 

−

ħ

2

2𝑚

∗

𝜕

2

𝛹(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑥

2

+ 𝑉 𝑥, 𝑡  ∗ Ψ 𝑥, 𝑡  =  𝑖ħ

𝜕𝛹(𝑥, 𝑡)

𝜕𝑡

 

 
Przyjmujemy, że Ψ(x,t) = Ψ(x)*ϕ(t), po podstawieniu do równania wyżej człon zależny od 
czasu się skraca i otrzymujemy równanie niezależne od czasu: 
 

−

ħ

2

2𝑚

∗

𝜕

2

𝛹(𝑥)

𝜕𝑥

2

+ 𝑉 𝑥  ∗ Ψ 𝑥  =  𝐸 ∗ Ψ 𝑥  

 
Ψ 𝑥  – funkcje własne, spełniające powyższe równanie 
E – wartości własne energii, które odpowiadają określonym funkcjom własnym 

Ψ 𝑥  

 
 

22. Równanie Schrödingera oscylatora harmonicznego, funkcja falowa 
stanu podstawowego, znajdowanie kolejnych funkcji 
własnych  metodą  rozwinięcia  w  szereg  -  wielomiany  Hermite’a,  poziomy 
energii. 
 

Równanie dla oscylatora ma postad: 
 
𝑑

2

𝛹

𝑑𝑥

2

= −

2𝑚

ħ

[𝐸 −

1
2

𝑚𝜔

0

2

𝑥

2

]Ψ 

 
W stanie podstawowym funkcja falowa ma postad: 
 

𝛹

0

 𝑥  =  𝐴 exp(−

𝛼𝑥

2

2

) 

Gdzie 𝛼 =

𝑚 𝜔

0

ħ

 

Poza  stanem podstawowym  funkcje  własne  nie  są  takie  proste  i  poszukiwane  są  w  postaci 
iloczynu funkcji w stanie podstawowym i nieznanej funkcji H(y). Argument y pojawia się dla 
ułatwienia poszukiwania tych funkcji, a nowe funkcje falowe mają postad: 
 

𝛹

𝑛

 𝑦  =   𝐴

𝑛

𝐻

𝑛

exp(−

𝑦

2

2

) 

y =  𝛼 ∗ 𝑥 
 
Równanie Schroedingera możemy zapisad w innej postaci, podstawiając: 
 

𝛽 =

2𝑚𝐸

ħ

 

Otrzymamy wówczas: 
 
𝑑

2

𝛹

𝑑𝑥

2

+  

𝛽
𝛼

− 𝑦

2

  Ψ = 0 

 

Podstawiając do tego równania 𝛹

𝑛

 𝑦  =   𝐴

𝑛

𝐻

𝑛

exp(−

𝑦

2

2

) otrzymamy nowe równanie, z 

funkcjami H(y): 
 
𝑑

2

𝐻(𝑦)

𝑑𝑦

2

− 2𝑦

𝑑𝐻(𝑦)

𝑑𝑦

+  

𝛽
𝛼

− 1  𝐻(𝑦) = 0 

 
Jest to równanie Hermite’a, a jego rozwiązaniami są wielomiany Hermite’a. Można je 
przedstawid w postaci szeregu: 
 
𝐻 𝑦  =  

𝑎

𝑖

𝑦

𝑖

∞

𝑖=0

= 𝑎

0

+ 𝑎

1

𝑦+... 

 

Musi byd spełniony warunek, żeby funkcja H(y) nie rosła szybciej od 𝑒

𝑦 2

2

, z czego wynika: 

 
𝛽
𝛼

= 2𝑛 + 1 ; 𝑛 = 0,1,2, … 

 
α zależy od energii, więc pojawia się ograniczenie na energię w postaci: 
 

𝐸

𝑛

= 𝑕𝜈(𝑛 +

1
2

) 

 
Energia oscylatora może przyjmowad różne poziomy, od poziomu zerowego zaczynając (dla 
n=0): 
 

𝐸

0

=

1
2

𝑕𝜈 

 
Ze wzrostem wartości n oscylator kwantowy zbliża się swoim zachowaniem do oscylatora 
klasycznego.