K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
1
PiS15 W02: ZMIENNE LOSOWE I
1.
Zmienna losowa i jej rozkład
2.
Niezależne zmienne losowe
Przykład 1
Przykład 2
3.
Pomiary bezpośrednie i ich skale
4.
Dystrybuanty i ich własności
Przykład 3
5.
Zmienna losowa typu dyskretnego i jej rozkład
Przykład 4
6.
Zmienna losowa typu ciągłego i jej rozkład
Przykład 5
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
2
7.
Parametry rozkładu
8.
Funkcja kwantylowa i kwantyle
9.
Do samodzielnego rozwiązania
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
3
1. Zmienna losowa i jej rozkład
Niech dana będzie przestrzeń probabilistyczna (
Ω
, B, P).
Zmienną losową (ozn. zm. l.) o wartościach rzeczywistych
(ang.
real-valued random variable
) nazywamy funkcję X
określoną na zbiorze
Ω
i przyjmującą wartości rzeczywiste:
X:
Ω
→
R,
spełniającą dla każdego x
∈
R warunek {
ω∈Ω
: X(
ω
)
≤
x}
∈
B.
Ogólniej wektor X
=
(X
1
,…, X
n
) taki, że X:
Ω
→
R
n
, tj. dla
i
=
1, 2,…, n, X
i
:
Ω
→
R, nazywamy
wektorem losowym
lub
wielowymiarową zm. l.,
jeżeli
B
R
R
∈
≤
ω
≤
ω
∈
ω
∀
∀
∈
∈
}
)
(
,...,
)
(
:
{
...
1
1
1
n
n
x
x
x
X
x
X
n
Ω
Ω
Ω
Ω
.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
4
Współrzędne X
i
wektora l. nazywamy
zm. l. brzegowymi.
Jeżeli zbiór
Ω
jest skończony, to każda funkcja X:
Ω
→
R
jest zm. l.
Zbiór
wartości zm. l. X
X(
Ω
)
=
{x
∈
R
n
:
∃
ω∈Ω
x
=
X(
ω
)}
nazywamy jej obrazem.
Niech dana będzie przestrzeń probabilistyczna (
Ω
, B, P)
oraz określona na niej rzeczywista zm. l. X. Ponadto niech
B(R) będzie rodziną zbiorów borelowskich na prostej.
Funkcja P
X
określona w następujący sposób:
∀
A
∈
B(R)
P
X
(A)
=
P{
ω∈Ω
: X(
ω
)
∈
A}
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
5
spełnia aksjomaty prawdop. Kołmogorowa. Nazywamy ją
rozkładem prawd. rzeczywistej zm. l. X.
2. Niezależne zmienne losowe
Rzeczywiste zm. l. X
1
, X
2
,…, X
n
określone na tej samej
przestrzeni (
Ω
, B, P) nazywamy niezależnymi zm. l., gdy dla
każdego ciągu zbiorów borelowskich B
1
, B
2
,…B
n
∏
=
=
∈
ω
∈
ω
=
∈
ω
∈
ω
n
i
i
i
n
i
i
i
B
X
B
X
1
1
}
)
(
:
P{
)}
)
(
(
:
P{
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
I
.
Uwaga.
1.
Dla x, x
1
, x
2
∈
R (gdzie x
1
< x
2
) zdarz. jest również zbiór
{
ω∈Ω
: X(
ω
) < x}, który ozn. X < x oraz zbiór X
≥
x i in.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
6
Przykład 1. Określić zm. l. opisującą wynik badania jakości
pewnej partii wyrobów.
Rozwiązanie.
Jako zm. l. wystarczy obrać funkcję przyjmują-
cą dwie wartości, np. 1, jeżeli wylosowany wyrób
ω
okaże się
wadliwy oraz 0, jeżeli okaże się dobry. Funkcję tę można za-
pisać wzorem:
p.
p.
w
dobrego
wyrobu
dla
,
,
1
0
=
)
(
ω
X
, gdzie
ω∈Ω
.
Zm. l. X z przykładu 1 nazywa się zm. l. zero-jedynkową.
Tak określona zm. l. może być modelem dowolnego doświad-
czenia dychotomicznego, tj. takiego którego wynik zaliczyć
można jedynie do dwóch wykluczających się kategorii.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
7
Przykład 2. Określić dwie zm. l. Z
1
i Z
2
opisujące wynik zali-
czenia przedmiotu i zbadać ich niezależność.
Rozwiązanie.
Zm. l. Z
1
i Z
2
są funkcjami
Z
1
, Z
2
: {A, B, C, D, E, F}
→
R,
które określamy następująco:
Z
1
(A)
=
5;
Z
2
(
ω
)
=
0 dla
ω
∈
{F},
Z
1
(B)
=
4,5;
Z
2
(
ω
)
=
1 dla
ω
∈
Ω
\{F},
Z
1
(C)
=
4;
Z
1
(D)
=
3,5;
Z
1
(E)
=
3;
Z
1
(F)
=
2.
Zm. l. Z
1
jest określona zgodnie z systemem ocen w szkolnic-
twie wyższym, a Z
2
informuje o zaliczeniu przedmiotu.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
8
3. Pomiary bezpośrednie i ich skale
Pomiar bezpośredni
−−−−
doświadczenie polegające na przy-
porządkowaniu liczb przedmiotom (obiektom) lub wydarze-
niom zgodnie z pewnym zbiorem reguł określających jed-
nostki pomiaru, przyrządy pomiarowe, warunki pomiaru, itp.
Wynikiem pomiaru są dwa rodzaje wielkości, te które mówią
o liczebności zbioru obiektów, i te, które charakteryzują sto-
pień nasilenia zjawiska wyrażony w pewnej skali pomiarowej.
Skala pomiarowa
−−−−
zbiór W możliwych wyników pomiaru.
Zwykle skala jest podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych wy-
rażonych w pewnych jednostkach miary.
Wyróżniamy następujące
skale pomiarowe:
dychotomicz-
na, nominalna, porządkowa, przedziałowa i ilorazowa.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
9
4. Dystrybuanty i ich własności
Dystrybuantą
(ang.
cumulative distribution function
(CDF)) zm. l. X nazywamy funkcję rzeczywistą zmiennej rze-
czywistej F
X
: R
→
R, określoną wzorem:
F
X
(x)
=
P(X
≤
x)
=
P{
ω∈Ω
: X(
ω
)
≤
x}.
Uwaga.
Podana definicja dystrybuanty jest zgodna z nor-
mą PN-ISO 3534-1. W literaturze naukowej często dystrybu-
anta jest definiowana wzorem F
X
(x)
=
P(X < x).
Dla dwuwymiarowej zm. l. (X, Y) funkcję F
X,Y
, określoną
dla każdej pary liczb rzeczywistych (x, y), wzorem:
)
,
(
P
)
,
(
)
,
(
,
2
y
Y
x
X
y
x
F
y
x
Y
X
≤
≤
=
∋
a
R
nazywamy
dystrybuantą łączną
(the join CDF.)
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
10
Dystrybuantami
brzegowymi (marginal distribution func-
tion)
zm. l. X i Y nazywamy funkcje F
X
i F
Y
, gdzie
F
X
=
lim
y
→∞
F(x, y), F
Y
=
lim
x
→∞
F(x, y).
Twierdzenie o dystrybuancie
Funkcja F(x) jest dystrybuantą zm. l. o wartościach rzeczywi-
stych wtedy i tylko wtedy, gdy
1. jest funkcją niemalejącą, to znaczy spełnia formułę
∀
(x
1
, x
2
∈
R) (x
1
< x
2
⇒ F(x
1
)
≤
F(x
2
));
2. ma własności graniczne
0
=
)
(
lim
x
F
x
−∞
→
,
1
=
)
(
lim
x
F
x
+∞
→
,
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
11
3. jest funkcją co najmniej prawostronnie ciągłą
1
, tj.
∀
x
∈
R,
∀ε
>0,
)
(
)
(
lim
)
(
0
x
F
x
F
x
F
def
=
ε
+
=
+
→
ε
.
Rys. 1. Graficzne przedstawienie własności dystrybuanty
1
Przyjęta co najmniej prawostronna ciągłość jest zgodna z obowiązującą normą PN-ISO 3534-1:2002.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
12
Przykład 3. Niech rozkład ocen z zaliczenia przedmiotu bę-
dzie równomierny.
a) Określić dwie różne zm. l. opisujące to doświadczenie.
b) Wyznaczyć dystrybuanty F
1
i F
2
.
c) Czy zm. l. opisujące to doświadczenie są niezależne ?
Rozwiązanie.
a) Niech
Ω
=
{A, B, C, D, F}, gdzie zdarzenia
elementarne oznaczają otrzymaną ocenę przez losowo wybra-
nego studenta. Zm. l. Z
1
i Z
2
określamy jak w przykładzie 2.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
13
b) Dystrybuanty zm. l. Z
1
i Z
2
są określone wzorami:
≥
∈
∈
∈
∈
∈
<
=
.
5
),
5
;
5
,
4
[
),
5
,
4
;
4
[
),
4
;
5
,
3
[
),
5
,
3
;
3
[
),
3
;
2
[
,
2
dla
dla
dla
dla
dla
dla
dla
1
6
/
5
6
/
4
6
/
3
6
/
2
6
/
1
0
)
(
1
x
x
x
x
x
x
x
x
F
.
1
),
1
,
0
[
,
0
dla
dla
dla
1
6
/
1
0
)
(
2
≥
∈
<
=
y
y
y
y
F
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
14
c) Sprawdzamy niezależność Z
1
i Z
2
, np. czy
F
1
(3)F
2
(0)
=
F
1,2
(3, 0).
F
1
(3)
=
P(Z
1
≤
3)
=
P{E, F}
=
1/3,
F
2
(0)
=
P(Z
2
≤
0)
=
P{F}
=
1/6,
P(Z
1
≤
3, Z
2
≤
0)
=
P{F}
=
1/6, czyli F
1
(3) F
2
(0)
≠
F
(1, 2)
(3, 0).
Stąd wniosek, że zm. losowe Z
1
i Z
2
nie są niezależne.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
15
5. Zmienna losowa typu dyskretnego i jej rozkład
Zm. l. X określoną na (
Ω
, B, P) nazywamy
zm. l.
typu dys-
kretnego
(
discrete R.V.
), jeżeli jej obraz X(
Ω
) jest zbiorem co
najwyżej przeliczalnym.
Dystrybuanta F
X
rzeczywistej zm. l. X jest wówczas funk-
cją przedziałami stałą. Skoki ma tylko w punktach nieciągło-
ś
ci x
1
, x
2
,…, x
n
,….
Skoki w tych punktach mają wartości p
1
, p
2
,…, p
n
,…,
gdzie p
i
=
P(X
=
x
i
)
=
P{
ω∈Ω
: X(
ω
)
=
x
i
} oraz
Σ
p
i
=
1.
Zm. l. typu dyskretnego jest modelem pomiarów w sła-
bych skalach. Modele jakościowego odbioru partii produktów
oraz rzutu kostką są przykładami zm. l. tego typu.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
16
Funkcja prawdopodobieństwa
Niech X:
Ω
→ R będzie zm. l. typu dyskretnego.
Funkcją prawdopodobieństwa (probability mass function
PMF) nazywamy funkcję f
X
: R → [0, 1] określoną wzorem:
f
X
(x)
=
P(X
=
x)
=
P{
ω∈Ω
: X(
ω
)
=
x}.
Jeżeli obraz X(
Ω
)
=
{x
1
, x
2
, ... } oraz f
X
(x
k
)
=
p
k
, to PMF
jest podawana w postaci ciągu par {(x
k
, p
k
): k
=
1, 2,…}lub
dwuwierszowej tablicy
=
...
...
3
2
1
3
2
1
p
p
p
x
x
x
f
X
.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
17
Dla wektora l. (X, Y) z obrazami X(
Ω
) i Y(
Ω
), możemy
rozważać zdarzenia dla każdej pary ich wartości (x
i
, y
j
), gdzie
x
i
,
∈
X(
Ω
), y
j
∈
Y(
Ω
), tj.
{
ω∈Ω
: X(
ω
)
=
x
i
, Y(
ω
)
=
y
j
} (krótko {X
=
x
i
, Y
=
y
j
}).
Prawdop. P(X
=
x
i
, Y
=
y
j
) określa łączny rozkład pary (X, Y).
Funkcję f
X,Y
: R
2
→ [0, 1] określoną wzorem
f
X,Y
(x
i
, y
j
)
=
P(X
=
x
i
, Y
=
y
j
) ,
nazywamy
łączną funkcją prawd
. (the join PMF) dla pary X i
Y.
Brzegowe f. prawd. f
X
i f
Y
(“marginal” PMFs)
f
X
(x
i
)
=
P(X
=
x
i
)
=
p
i
•
, f
Y
(y
j
)
=
P(Y
=
y
j
)
=
p
•
j
,
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
18
otrzymujemy poprzez zsumowanie prawd. po wszystkich
wartościach pozostałej zm. l., tj.
f
X
(x
i
)
=
Σ
j
f
X,Y
(x
i
, y
j
), f
Y
(y
j
)
=
Σ
i
f
X,Y
(x
i
, y
j
).
Elementy p
ij
łącznej funkcji prawd. zwykle umieszczamy w
tablicy dwudzielczej.
Tablica 1.
Schemat tablicy dwudzielczej
X \ Y y
1
y
2
... y
m
f
X
x
1
p
11
p
12
... p
1m
p
1
•
x
2
p
21
p
22
... p
2m
p
2
•
...
... ... ... ... …
x
n
p
n1
p
n2
... p
nm
p
n
•
f
Y
p
•
1
p
•
2
... p
•
m
1
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
19
Twierdzenie
(o funkcji prawd. niezależnych zm. l.). Zm. l.
X
1
, X
2
,…, X
n
o rozkładach typu dyskretnego są niezależne
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu x
1
, x
2
,…, x
n
war-
tości zm. l.
P(X
1
=
x
1
, X
2
=
x
2
,…, X
n
=
x
n
)
=
Π
i
P(X
i
=
x
i
) .
Przykład 4. Uzyskanie promocji na następny semestr, przez
studenta pewnego kierunku studiów, jest związane z zalicze-
niem przez niego, w ustalonym terminie, co najmniej sześciu
przedmiotów spośród ośmiu. Zakładamy, że zaliczenie przez
studenta jednego przedmiotu nie zależy od wyników zalicze-
nia przez niego innych przedmiotów. Ponadto zakładamy, że
prawd. zaliczenia poszczególnych przedmiotów są równe i
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
20
wynoszą p. Rozważamy dwóch studentów A i B. Dla studenta
A niech p
=
0,9; natomiast dla studenta B niech p
=
0,7.
a)
Dla rozważanych studentów wyznaczyć funkcje prawd.
oraz dystrybuanty liczby zaliczonych przedmiotów.
b)
Podać najbardziej prawd. liczby zaliczonych przedmio-
tów przez studentów A i B.
c)
Obliczyć prawd. uzyskania promocji przez studentów A
i B.
Rozwiązanie.
Oznaczenia: X i Y oznaczają losowe liczby za-
liczonych przedmiotów odpowiednio przez studentów A i B.
Zm. l. X i Y przyjmują wartości ze zbioru {0, 1, 2,..., 8}.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
21
a) Zdarzenie X
=
x zajdzie, jeśli student A zaliczy x przedmio-
tów i pozostałe, tj. 8
−
x nie zaliczy. Może tego dokonać na „8
po x” sposobów, czyli prawd. zdarzenia X
=
x dla x
∈
{0, 1,…,
8} wyraża się wzorem:
x
x
p
p
x
x
X
−
−
=
=
8
)
1
(
8
)
(
P
Podobnie dla studenta B. Funkcje prawd. oraz dystrybuanty
zm. l. X i Y, tj. dla p
=
0,9 i p
=
0,7 są zestawione w tablicy.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
22
Tablica.
Funkcje prawd. i dystrybuanty
x P(X
=
x)
F
X
(x)
P(Y
=
x)
F
Y
(x)
0 1E-08
1E-08
0,00006561 0,00006561
1 7,2E-07 7,3E-07 0,00122472 0,00129033
2 2,27E-05 2,34E-05 0,01000188 0,01129221
3 0,000408 0,000432 0,04667544 0,05796765
4 0,004593 0,005024 0,1361367 0,19410435
5 0,033067 0,038092 0,25412184 0,44822619
6 0,148803 0,186895 0,29647548 0,74470167
7 0,382638 0,569533 0,19765032 0,94235199
8 0,430467 1
0,05764801 1
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
23
b) Najbardziej prawd. jest, że student A zaliczy 8 przedmio-
tów i prawdop. tego zdarzenia wynosi 0,430, natomiast dla
studenta B najbardziej prawd. jest, że zaliczy on 6 przedmio-
tów. Prawdop. tego zdarzenia wynosi 0,296.
c) Studenci A i B uzyskają promocje, jeżeli X
≥
6 i Y
≥
6.
Prawd. tych zdarzeń można obliczyć dwoma sposobami:
I: P(X
≥
6)
=
P(X
=
6)
+
P(X
=
7)
+
P(X
=
8);
II: P(X
≥
6)
=
1
−
P(X < 6)
=
1
−
P(X
≤
5)
=
1
−
F(5).
Podstawiając dane otrzymujemy P(X
≥
6)
=
0,961908, oraz
P(Y
≥
6)
=
0,55177381, czyli prawd. uzyskania promocji
przez studentów wynoszą odpowiednio 0,9619 i 0,5518.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
24
6. Zmienna losowa typu ciągłego i jej rozkład
Zm. l. X o wartościach rzeczywistych nazywamy
zm. l.
ty-
pu
ciągłego
(
continuous random variable
), jeśli jej dystrybu-
anta F jest funkcją absolutnie ciągłą, tj. istnieje taka funkcja f
≥
0, że dla każdego x
∈
R
∫
∞
−
=
x
du
u
f
x
F
)
(
)
(
.
Obraz X(
Ω
) zm. l. typu ciągłego jest zbiorem nieprzeli-
czalnym, a prawd., że przyjmie szczególną wartość x wynosi
zero, tj. P(X
=
x)
=
0.
Zm. l. typu ciągłego zwykle jest modelem pomiaru wielko-
ś
ci fizycznych, np.: temperatury lub gęstości materiału.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
25
Gęstością prawd.
(krótko gęstością, ang.
probability densi-
ty function
−
PDF) zm. l. X ciągłej, nazywamy funkcję f(x)
całkowalną w sensie Lebesque’a, która występuje pod zna-
kiem całki określającej jej dystrybuantę.
Krzywą gęstości
nazywamy wykres gęstości prawd. f(x).
Jeżeli gęstość jest różna od zera tylko w przedziale (a, b), to
mówimy, że rozkład jest skoncentrowany w tym przedziale.
Własności.
Funkcja f(x) jest gęstością pewnej ciągłej zm. l.
wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia dwa warunki:
1. f (x)
≥
0 dla x
∈
R
−
warunek nieujemności,
2.
1
)
(
=
∫
+∞
∞
−
dx
x
f
−
warunek unormowania.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
26
Graficzną interpretacją całki dla a, b
∈
R i a < b, jest pole ob-
szaru ograniczonego wykresem gęstości f(x), osią odciętych i
prostymi x
=
a, x
=
b.
Funkcje CDF, PDF i PMF charakteryzujące rozkład zm. l.
X nazywamy jej
charakterystykami funkcyjnymi
.
Przykład 5. Sprawdzić, czy funkcja
],
1
,
0
[
],
1
,
0
[
dla
dla
0
)
1
(
)
(
∉
∈
−
=
x
x
x
cx
x
f
gdzie c jest pewną stałą.
może być PDF np. stanu zasobów paliwa na stacji paliw, w
losowej chwili. Wyznaczyć jej dystrybuantę. Sporządzić wy-
kresy tych funkcji. Jakie zdarzenie może nas zainteresować ?
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
27
Jeżeli dana jest dystrybuanta F(x) zm. l. X typu ciągłego, to
gęstość:
dx
x
F
d
x
f
X
)
(
)
(
=
.
Charakterystyką funkcyjną
zm. l. X nazywamy każdą
funkcję w pełni charakteryzującą jej rozkład.
Wprowadzone funkcje CDF, PDF i PMF charakteryzujące
rozkład zm. l. X są jej
charakterystykami funkcyjnymi
.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
28
7. Parametry rozkładu
Parametrem rozkładu
zm. l. X nazywamy wielkość stałą od
której zależy jej rozkład. Najczęściej stosowane rozkłady za-
leżą od jednego lub dwóch parametrów. Zapis
α∈
J, gdzie
J
⊆
R oznacza, że parametr
α
jest dowolną stałą ze zbioru J.
Jeśli dystrybuanta F(x) i gęstość (lub funkcja prawdop.)
f(x) zm. l. X zależą od parametrów
α
i
β
, to stosowany jest za-
pis
F(x;
α
,
β
) i f (x;
α
,
β
),
z podaniem zakresów wartości parametrów. Zapis ten podkre-
ś
la, że funkcje CDF, PDF i PMF są rodzinami funkcji zależ-
nymi od parametrów. Ustalenie wartości parametrów jest za-
daniem statystyki matematycznej.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
29
8. Funkcja kwantylowa i kwantyle
Niech F będzie dystrybuantą zm. l. X. Funkcją kwantylową
(ICDF) nazywamy funkcję F
−
1
określoną wzorem
F
−
1
(p)
=
inf {x
∈
R: F(x)
≥
p} dla p
∈
(0, 1)
Jeżeli F jest funkcją ciągłą i rosnącą, to F
−
1
jest funkcją od-
wrotną w zwykłym sensie (inverse cumulative distribution
function) i wówczas
x
=
F
−
1
(p)
oznaczamy x
p
i nazywamy
kwantylem rzędu
p.
Kwantyle rzędów 0,25; 0,50 i 0,75 nazywamy
kwartylami
,
przy czym kwantyl x
0,5
nazywamy kwartylem środkowym lub
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
30
medianą
(ang. median), natomiast kwantyle x
0,25
i x
0,75
odpo-
wiednio
kwartylem dolnym i górnym
.
Zastosowanie:
Kwantyle rozkładów zm. l. mają zastosowanie
w statystyce m. in. do konstrukcji przedziałów ufności dla
nieznanych parametrów oraz do wyznaczania obszarów kry-
tycznych przy testowaniu hipotez statystycznych.
Do najczęściej stosowanych kwantyli należą kwantyle
rozkładów:
normalnego,
t-Studenta,
chi-kwadrat,
F-Snedecora.
Wartości tych kwantyli są stablicowane.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
31
9.
Do samodzielnego rozwiązania
1.
(Sprawdzanie elementów) Spośród 3 dobrych i 2 wadli-
wych elementów losujemy jednocześnie 3 elementy. Niech
X oznacza liczbę wylosowanych elementów wadliwych, a Y
liczbę wylosowanych elementów dobrych.
a)
Wyznaczyć PMF oraz CDF zm. l. X.
b)
Wyznaczyć PMF oraz CDF zm. l. Y.
c)
Wyznaczyć łączną PMF i sprawdzić czy zm. l. X i Y są
niezależne.
Odp.: a) PMF:
=
3
,
0
6
,
0
1
,
0
2
1
0
X
f
, CDF:
.
2
,
2
1
,
1
0
,
0
gdy
gdy
gdy
gdy
,
1
,
7
,
0
,
1
,
0
,
0
)
(
≥
<
≤
<
≤
<
=
x
x
x
x
x
F
X
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
32
2. (Dwie kostki) Doświadczenie polega na rzucie dwiema
prawidłowymi kostkami do gry. Zmienna losowa X jest równa
i) sumie ilości wyrzuconych oczek,
ii) iloczynowi ilości wyrzuconych oczek,
iii) maksimum ilości wyrzuconych oczek,
iv) minimum ilości wyrzuconych oczek,
a)
Wyznaczyć f. prawd. i sporządzić jej wykres.
b)
Wyznaczyć dystrybuantę i sporządzić jej wykres.
c)
Obliczyć prawd. zdarzeń: X
≤
10; X
≥
10.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
33
3. (O gęstości prawdopodobieństwa). Dana jest funkcja
i)
f x
x
x
x
b
x
b
( ) =
dla < 0
dla 0
0 dla
0
10
/
≤ ≤
>
,
ii)
f x
x
x
x
x
b
( ) =
dla 0
< 1
dla 1
<
poza tym
≤
−
≤
2
0
,
a) Dla jakiej wartości b dana funkcja jest gęstością pewnej
zm. l. X ? Naszkicować krzywą gęstości.
b) Wyznaczyć i naszkicować dystrybuantę.
c) Obliczyć prawd. zdarzenia X > 1,5.
d) Ustalić x tak, aby P(X
≤
x)
=
0,1; P(X
≥
x)
=
0,1 ?
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
34
4. (O dystrybuancie). Dobrać stałe a, b tak, aby podana
funkcja była dystrybuantą zm. l. X typu ciągłego a) Wyzna-
czyć PDF zm. l. X.
b) Które zdarzenie X < ½, czy X > ½ jest bardziej prawd. ?
.
1
,
1
1
,
1
gdy
gdy
gdy
,
1
,
)
1
(
,
1
)
(
2
>
≤
<
−
−
≤
+
+
=
x
x
x
x
b
a
x
F
Odp.: a
=
−
1; b
=
¼.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
35
5. (O zużyciu EE) Dzienne zużycie energii elektrycznej
(w setkach kWh) pewnej firmy jest zm. l. X o gęstości:
.
3
x
lub
0
,
3
0
gdy
gdy
,
0
),
2
3
(
9
1
)
(
2
≥
≤
<
<
−
+
=
x
x
x
x
x
f
Obliczyć prawd. zdarzenia,
a)
ż
e zużycie energii w ciągu losowo wybranego dnia bę-
dzie: i) większe niż 50 kWh; ii) między 100 a 200 kWh,
b)
ż
e w ciągu 30 losowo wybranych dni będzie 10 dni,
w których zużycie energii przekroczy 200 kWh.
K. J. Andrzejczak, PiS15 W02: Zmienne losowe I
36
6. Czas T eksploatacji (w jedn. czasu.) pewnych urządzeń jest
zm. l. typu ciągłego o rozkładzie zadanym funkcją
F t
t
t
t
b
t
b
( ) =
0
dla
1,
2(
/ )
dla 1 <
1
dla >
≤
−
≤
1 1
,
a) Wyznaczyć tak stałą b, aby funkcja była dystrybuantą.
b) Wyznaczyć gęstość czasu T eksploatacji urządzeń i spo-
rządzić krzywą gęstości.
c) Obliczyć prawd. zdarzeń:
−
1
≤
T
≤
3/2; T > (1
+
b)/2
i podać ich interpretację geometryczną.