(Microsoft Word - Banachowicz A_Banachowicz G_Fuzja

Logistyka 6/2013

Logistyka - nauka

Andrzej Banachowicz

, Grzegorz Banachowicz

Wstęp

We współczesnym świecie pojęcie fuzji danych

nabiera  nowego  znaczenia.  Wieloźródłowość  danych,
bądź  niewystarczająca  liczba  danych    sprawiają,  że
opis  interesującego  nas  wycinka  rzeczywistości  na
satysfakcjonującym odbiorcę poziomie stał się o wiele
trudniejszy.

W odniesieniu do końca dwudziestego wieku

i początku  obecnego,  mamy  do  czynienia  z  dynamicz-
nym procesem integracji informacji nawigacyjnej oraz
szeroko pojętej globalizacji danych i ich źródeł .  Roz-
powszechnienie  globalnego  systemu  nawigacji,  który
znalazł  zastosowanie  w  nawigacji  morskiej,  lotniczej
(również  kosmicznej)  i  lądowej,  okazał  się  na  tyle
uniwersalny,  że  jego  praktyczne  wykorzystanie  jest
niemal  nieograniczone.  Wystarczy  nadmienić,  iż
w geodezji,  geologii  czy  leśnictwie  i  budownictwie
określenie  dokładnej  pozycji  jest  pierwszorzędne.
Wszystko  to  nie  byłoby  możliwe  bez  odpowiedniego
poziomu  technologicznego  współczesnych  systemów
nawigacyjnych i informatycznych. Wysoka dokładność
określania  pozycji  za  pomocą  systemów  satelitarnych
ora  automatyzacja  systemów  nawigacji  zliczeniowej
(ang.  DR  –  dead  reckoning)  stawia  duże  wymagania
w stosunku do przetwarzania danych nawigacyjnych.

Często przyjmuje się, że obróbka danych pomia-

rowych  ma  na  celu  wyłącznie ich  optymalne  przetwo-
rzenie z punktu widzenia eliminacji zakłóceń (minima-
lizacji błędów określanych wielkości). Z tego względu
najczęściej  wykorzystywana  jest  estymacja  danych
nawigacyjnych,  względnie  parametrów  rozkładów
zakłóceń

tych

danych.

Błędy

nadmiarowe

i systematyczne  staramy  się  eliminować  na  etapie  ob-
róbki  pierwotnej.  Jednakże,  rzeczywistość  nie  zawsze
sprzyja  takim  założeniom,  co  dawniej  uwidaczniane
było  podczas  tzw.  testów  pomiarów,  a obecnie  jako
sprawdzenie  wiarygodności  (integrity)  urządzenia  lub
systemu nawigacyjnego.

dr hab. inż. Andrzej Banachowicz, Zachodniopomorski Uniwersytet

Technologiczny w Szczecinie

mgr inż. Grzegorz Banachowicz, Policealna Szkoła Morska w Szczeci-

nie, Towarzystwo Krzewienia Wiedzy o Morzu

W artykule przedstawiono zagadnienia budowy

różnych modeli nawigacji zintegrowanej drogą doboru
odpowiedniej struktury filtru Kalmana – modelu stanu
i modelu pomiarów.

Filtr Kalmana

Metody filtracji Kalmanowskiej można stosować

na  różnych  poziomach  obróbki  informacji  nawigacyj-
nej.  Poczynając  od  obróbki  pierwotnej  –  estymacji
błędów  pomiarów  nawigacyjnych  (na  poziomie
pomiaru  wielkości  fizycznych  takich  jak:  faza,  czas,
amplituda itd.), a kończąc na estymacji współrzędnych
pozycji  oraz  innych  parametrów  nawigacyjnych
(wielkości  geometrycznych).  W każdym  z  tych
przypadków

posługujemy

się

takim

samym

algorytmem  obliczeniowym.  Ze  względu  na  to,  że
współcześnie  posługujemy  się  cyfrowymi  układami
pomiarowo-obliczeniowymi,  to  istotę  tego  algorytmu
przedstawimy  na  przykładzie  dyskretnego  losowego
układu  dynamicznego.  Opisują  go  dwa  poniższe
równania [Anderson, 1979], [Balakrishnan, 1984]:

• równanie stanu (model strukturalny)

(1)

• równanie pomiarów (model pomiarowy)

(2)

gdzie:
- n-wymiarowy wektor stanu,

- r-wymiarowy wektor zakłóceń stanu,

- m-wymiarowy wektor pomiarów,

- p-wymiarowy wektor zakłóceń pomiarów

(szum pomiarowy),

- n×n-wymiarowa macierz przejścia,

- m×n-wymiarowa macierz pomiarów,

r ≤ n, p ≤ m.

Fuzja pomiarów nawigacyjnych GPS/I S/DR

Logistyka - nauka

Logistyka 6/2013

Ponadto dla wektorów zakłóceń w i v zakła-

damy, że są to szumy gaussowskie (o rozkładzie nor-
malnym), o zerowym wektorze średnim i są wzajemnie
nieskorelowane.

Równanie stanu opisuje zmiany (trend) intere-

sującego nas wektora, a model pomiarów podaje zależ-
ność funkcyjną pomiarów od tego wektora. Rozwiąza-
niem układu równań (1), (2), przy uwzględnieniu ogra-
niczeń nałożonych na wektory zakłóceń, jest filtr Kal-
mana. Estymację wektora stanu w filtrze możemy
przedstawić za pomocą poniższego schematu:

• prognoza wektora stanu

(3)

gdzie wartość prognozowana wektora stanu,

wartość estymowana wektora stanu,

• macierz kowariancji prognozowanego wektora sta-

(4)

gdzie Q macierz kowariancji zakłóceń stanu (wekto-

ra w),

• proces innowacji

(5)

• macierz kowariancji procesu innowacji

(6)

gdzie R macierz kowariancji zakłóceń pomiarów

(wektora v),

• macierz wzmocnienia filtru

(7)

• ocena (estymata) wektora stanu z filtracji po wyko-

naniu pomiaru

(8)

• macierz kowariancji estymowanego wektora stanu

(9)

Jak już wcześniej wspomniano algorytm

obliczeniowy  pozostaje  ten  sam,  ale  w  konkretnych
zastosowaniach  będziemy  mieli  różne  postacie
i wymiary  poszczególnych  wektorów  oraz  macierzy.
Poniżej przedstawiamy warianty rozwiązania nawigacji
zintegrowanej  oparte  o  różne  modele  strukturalne
i pomiarowe.

Przyjmując konkretny model nawigacji zinte-

growanej musimy określić dwa równania: model struk-
turalny  oraz  model  pomiarowy.  Model  strukturalny
zdeterminowany  jest  przyjętym  przez  nas  modelem
procesu  nawigacyjnego.  Proces  ten  jest  określony  po-
przez składowe wektora stanu oraz jego ewolucję (ma-
cierz  A).  Wektor  stanu  dobieramy  w zależności  od
tego, jakie parametry chcemy estymować, tj. końcowe
parametry  nawigacyjne  lub  też  ich  błędy  (składowe
systematyczne  w  postaci  poprawek).  Ponadto  musimy
już  z  góry  uwzględnić  to,  czy  dysponujemy  możliwo-
ścią  wykonywania  pomiarów  wielkości  fizycznych
pozostających  w związku  funkcyjnym  z  estymowany-
mi parametrami. Wynika z tego, że przy projektowaniu
modelu strukturalnego musimy mieć co najmniej przy-
bliżony obraz modelu pomiarowego. I w praktyce kon-
struowania  zintegrowanych  systemów  nawigacyjnych
tak  postępujemy.  Przyjmujemy  wstępną  koncepcję
określającą  jakie  wielkości  chcemy  estymować
i sprawdzamy,  czy  istnieją  odpowiednie  możliwości
pomiarowe.

Model

pomiarowy

(równanie

opisuje

zależność pomiarów od wektora stanu. W przypadku
deterministycznego obliczania współrzędnych pozycji
(bez

uwzględniania

zakłóceń

losowych

stanu

i pomiarów)    lub  estymacji  metodą  najmniejszych
kwadratów  zależność  tą  ujmujemy  za  pomocą
macierzy Jacobiego (macierzy gradientów powierzchni
pozycyjnych)  [Banachowicz,  1991].  Powyższe  rozwa-
żania  zilustrujmy  na  przykładzie  dwóch  modeli
nawigacji.  W  pierwszym  wykorzystujemy  pomiary
nawigacji  zliczeniowej  (DR),  satelitarnego  systemu
nawigacyjnego

oraz

naziemnego

systemu

radionawigacyjnego.  W  drugim  modelu  zastosowano
tylko  jeden  system  pozycyjny  (GPS  lub  DGPS)  oraz
dwa  układy  nawigacji  zliczeniowej  –  log-żyrokompas
i nawigację  inercjalną  (ang.  INS  –  inertial  navigation
system) [Banachowicz, 2001].

Fuzja pomiarów DR/GPS

W tym przypadku dysponujemy pomiarami sate-

litarnego  systemu  nawigacyjnego  (GPS,  GLONASS,
DGPS,  DGLONASS),  naziemnego  systemu  radiona-
wigacyjnego  (LORAN  lub  radionawigacyjny  system
bliskiego zasięgu) oraz pomiarami z logu i żyrokompa-
su. W nawigacji morskiej jako elementy wektora stanu
przyjmujemy  przede  wszystkim  współrzędne  pozycji
(

oraz ich pochodne, np. składowe wektora pręd-

kości, wektora przyspieszeń itd. Załóżmy, że wielko-

Logistyka 6/2013

Logistyka - nauka

ściami estymowanymi będą następujące parametry:
współrzędne pozycji (

), rzuty wektora prędkości

względem dna na południk i równoleżnik (

), błąd

systematyczny kąta drogi względem dna –

)

(ang. COG – Course Over Ground) oraz błąd systema-
tyczny szybkości względem dna – (

) (ang. SOG

– Speed Over Ground). Przy tych założeniach wektor
stanu będzie miał postać:

(10)

Jak  pamiętamy  model  strukturalny  tworzy  równanie
stanu  (wzór  1).  Dlatego  musimy  określić  także
strukturę  macierzy  przejścia  A.  Przyjmijmy  ją
w następującej postaci:

(11)

gdzie:

(12)

(13)

– szerokość geograficzna,

– długość geograficzna,

a – duża półoś elipsoidy ziemskiej,
e – pierwszy mimośród elipsoidy ziemskiej,

– współczynniki zamiany miary kątowej na

liniową na elipsoidzie odniesienia, odpowiednio na
południku i równoleżniku.

Składowe prędkości średniej

mogą być

obliczane jako prędkość wypadkowa z ciągu pozycji

systemu radionawigacyjnego. Dla pomiarów synchro-
nicznych zazwyczaj przyjmujemy w uproszczeniu, że

= 1 sekunda – jest to zazwyczaj stosowane w przy-

padku pomiarów synchronicznych, taktowanych z od-
biornika GPS.

Elementem uzupełniającym model strukturalny

jest macierz kowariancji wektora zakłóceń stanu Q.
Poszczególne elementy tej macierzy określają rozkłady
apriori

zakłóceń

estymowanych

wielkości.

Interpretacja  tej  macierzy  z  punktu  widzenia  praktyki
nawigacyjnej  jest  następująca  –    elementy  jej
wyznaczają  przedziały  ufności,  w  których  mogą
znajdować się estymowane parametry nawigacyjne. Na
przykład elementy (1,1) i (2,2) macierzy Q wyznaczają
przedział

myszkowania

statku,

ściślej

mówiąc

określają zakłócenia ruchu po szerokości i długości
geograficznej. Dla wektora stanu zdefiniowanego
wzorem (10) macierz Q może przyjąć postać:

(14)

gdzie:

– zakłócenie ruchu statku po szerokości geogra-

ficznej,

– zakłócenie ruchu statku po długości geograficznej,

(15)

(16)

(17)

COG – Course Over Ground,

SOG – Speed Over Ground,

Logistyka - nauka

Logistyka 6/2013

– błąd pomiaru COG,

– błąd pomiaru SOG,

– błąd określenia poprawki

Równania (10) – (17) określają model

strukturalny  procesu  nawigacji,  gdy  estymowanymi
wielkościami  są  współrzędne  pozycji,  składowe
wektora prędkości względem dna oraz poprawki – kąta
drogi względem dna, prędkości względem dna.

Jako wielkości mierzone w modelu pomiaro-

wym przyjmijmy następujące parametry: współrzędne
pozycji systemu DGPS

, naziemnego

systemu radionawigacyjnego

, kąt drogi

względem dna (COG) i szybkość względem dna
(SOG). Elementy wektora pomiarów będą więc nastę-
pujące:

(18)

Macierz pomiarów będzie macierzą Jacobiego,

która po obliczeniu poszczególnych pochodnych cząst-
kowych i odpowiednim uporządkowaniu otrzyma
następującą postać:

(19)

Uzupełnieniem modelu pomiarowego jest ma-

cierz kowariancji zakłóceń pomiarów (wektora pomia-
rów).

Ponieważ niektóre wielkości mierzone nie są ze

sobą skorelowane – np. pomiary DGPS i radionawiga-
cyjny system naziemny, to macierz ta uprości się. Jeśli
przyjmiemy konkretne wartości poszczególnych wa-
riancji i kowariancji występujących w tej macierzy, to
otrzymamy:

, (20)

Model ten został zastosowany w nawigacyjnym

systemie stabilizacji pozycji okrętu ratowniczego.
W algorytmie

oprogramowaniu

przyjęliśmy

następujące parametry błędów pomiarów:

• system DGPS:

m, współ-

rzędne są nieskorelowane; badania przeprowadzo-
no na Zalewie Szczecińskim i Zatoce Pomorskiej;

• radionawigacyjny

system

naziemny

AD-2:

(kowa-

riancja); badania przeprowadzono na Zatoce Gdań-
skiej;

• kąt drogi względem dna:

;

• prędkość względem dna:

węzła.

Narastanie błędów zliczenia (ich przyrostowy

charakter) ilustruje poniższy rysunek (rys. 1).

Logistyka 6/2013

Logistyka - nauka

Jak widzimy, wyraźnie dokładność pozycji zli-

czonej  „rozmywa”  się,  co  oznacza  wzrost  elementów
macierzy  kowariancji pozycji  zliczonej  (widmo  nisko-
częstotliwościowe zakłóceń pomiarów). Fakt ten zmu-
sza  do  stosowania  korekcji  zewnętrznej  pozycji,  tj.
wykorzystania  systemów  pozycyjnych,  o  innym  wid-
mie błędów (wysokoczęstotliwościowym).

Fuzja pomiarów I S/DR/GPS

Innym

rozwiązaniem

jest

sytuacja,

gdy

wielkościami

estymowanymi

będą:

współrzędne

pozycji (

), rzuty wektora prędkości względem dna

na południk i równoleżnik (

), rzuty wektora

przyspieszenia

względem

dna

południk

i równoleżnik (

) oraz rzuty pochodnych wektora

przyspieszenia

względem

dna

południk

i równoleżnik (a’ , a’

). W przypadku tym wektor

stanu będzie posiadał następujące elementy:

, (21)

Zaś macierz przejścia A będzie określona następująco:

(22)

– macierz jednostkowa,

– macierz zerowa,

W tym przypadku ewolucja stanu jest określona

przez  pochodne  wyższych  rzędów  poszczególnych
estymowanych  parametrów  nawigacyjnych.  Macierz
kowariancji  zakłóceń  stanu  również  otrzyma  postać
dostosowaną  do  elementów  nowego  wektora  stanu.
Tak więc będziemy mieli (macierz diagonalną):

(23)

Macierze kowariancji zakłóceń stanu (14) i (23)

różnią się tylko tymi elementami, które odpowiadają
różnym elementom odpowiadającym im wektorom
stanu.

W tym modelu za wielkości mierzone przyjmij-

my:

współrzędne

pozycji

systemu

DGPS

), składowe prędkości względem połu-

dnika i równoleżnika z nawigacji zliczeniowej (V , V

składowe przyspieszenia względem południka i równo-
leżnika z przetwornika inercjalnego (a , a

). Przy tych

założeniach wektor pomiarów będzie wyglądał nastę-
pująco:

Rys.  1.  Przyrostowy  charakter  dokładności  pozycji
zliczonej:  a)  trajektoria  obiektu  nawigacji  na  płasz-
czyźnie,  b)  wizualizacja  przestrzenna  rozkładu  nor-
malnego pozycji obiektu.
Źródło: opracowanie własne.

Logistyka - nauka

Logistyka 6/2013

(24)

Macierz pomiarów, podobnie jak i wyżej, będzie

macierzą Jacobiego. Obliczmy poszczególne pochodne
cząstkowe i uporządkujemy. Otrzymamy wówczas
następującą bardzo prostą postać macierzy C:

(25)

Otrzymaliśmy macierz blokową, co znacznie

upraszcza obliczenia i w dużym stopniu zmniejsza
błędy numeryczne.

Macierz kowariancji zakłóceń pomiarów (wekto-

ra pomiarów), po uwzględnieniu braku korelacji oraz
dokładności poszczególnych pomiarów, będzie wyglą-
dała następująco:

(26)

W tym przypadku przyjęliśmy następujące war-

tości wariancji i kowariancji poszczególnych pomia-
rów:

• system DGPS:

m, współ-

rzędne są nieskorelowane; badania przeprowadzo-
no na Zalewie Szczecińskim i Zatoce Pomorskiej;

• radionawigacyjny

system

naziemny

AD-2:

(kowa-

riancja); badania przeprowadzono na Zatoce
Gdańskiej;

• składowych prędkości:

;

• składowych przyspieszeń:

m/s

Ze względu na lepsze uwzględnienie dynamiki

statku,  model  ten  ma  istotną  przewagę  nad  modelem
pierwszym. Okazuje się, że dla prędkości bliskich zeru
oraz pracujących sterach aktywnych, log Dopplerowski
charakteryzuje  się  dużymi  błędami  pomiarowymi.
Wtedy  koniecznością,  pomimo  dość  wysokiej  ceny
przetwornika  inercjalnego,  jest  stosowanie  modelu
INS/GPS [Banachowicz, Bober, 1999].

Wykorzystując powyższy model nawigacji zin-

tegrowanej  oraz  zebrane  podczas  prób  morskich  dane
z urządzeń nawigacyjnych posłużyły do implementacji
w  algorytmie  obróbki  informacji  nawigacyjnej.  Prze-
prowadzono  również  badania  symulacyjne.  Poniższy
rysunek  (rys.  2)  ukazuje  przebieg  błędów  średnich
kołowych  poszczególnych  pozycji:  DR  –  nawigacji
zliczeniowej,  FK  –  pozycji  zintegrowanej  po  fuzji  da-
nych, Hiperbola – pozycja obserwowana z naziemnego
systemu fazowego Jemiołuszka (hiperbolicznego) oraz
DGPS – pozycja satelitarna.

Symulacje wykonano w przedziale jednej minu-

ty.  Ze  względu  na  błąd  systematyczny  występujący
w pomiarach logu elektromagnetycznego, błąd pozycji
zliczonej wyraźnie narasta wraz z czasem. Po tym cza-
sie  wzrasta  o  7  metrów  (w  stosunku  do  pozycji  po-
przedniej).  W  tym  czasie  błędy  rzeczywiste  systemów
pozycyjnych  (Jemiołuszka  i  DGPS)  są  porównywalne
i wahają  się  w  przedziale  od  kilkudziesięciu  centyme-
trów  do  2  –  3  metrów (są niezależne od  czasu  prowa-
dzenia nawigacji). Natomiast średni błąd kołowy pozy-
cji  zintegrowanej  (FK)  jest  2  –  3  razy  mniejszy  niż
poszczególnych systemów składowych.

Wnioski

Przedstawione powyżej modele procesu nawiga-

cyjnego  nie  wyczerpują  wszystkich  możliwych  roz-
wiązań.  W  zasadzie  można  podać  przykładów  prawie
tyle samo, ile będzie stawianych wymagań w stosunku
do  zbioru  estymowanych  parametrów  nawigacyjnych
oraz  możliwości  pomiarowych.  Należy  wyraźnie  pod-
kreślić, że postać tych modeli decyduje w dużym stop-

Rys. 2. Błędy rzeczywiste współrzędnych pozycji w
funkcji czasu.
Źródło: opracowanie własne.

Logistyka 6/2013

Logistyka - nauka

niu  o  sukcesie  lub  porażce  opracowywanego  filtru.
Dotyczy  to  przede  wszystkim  poprawnego,  adekwat-
nego do rzeczywistości określenia elementów poszcze-
gólnych  macierzy  –  przejścia  A,  pomiarów  C  oraz
macierzy  kowariancji  Q  i  R.  W  przypadku  macierzy
kowariancji    najistotniejszy  jest  stosunek  odpowied-
nich  elementów  względem  siebie.  Przyjęte  zbyt  duże
błędy  zakłóceń  stanu  powodują,  że  filtr  staje  się
„sztywny”  i  za  mocno  nadąża  za  pomiarami  [Bana-
chowicz,  1995].  Efektem  tego  jest  to,  że  nie  są  odfil-
trowywane  błędy  pomiarów.  Gdy  z  kolei  przyjmiemy
zbyt  małe wartości zakłóceń stanu, wtedy filtr zacznie
odrzucać pomiary zbyt mocno różniące się od ich pro-
gnoz. Szczególnie ważne jest to w rzeczywistych sytu-
acjach  pomiarowych,  gdy  występuje  niezgodność  po-
między  pomiarami  z  różnych  urządzeń  i  systemów
nawigacyjnych  oraz  przy  niskiej  wiarygodności  mier-
ników oraz wyników pomiarów [Banachowicz, Bober,
1997],  [Banachowicz,  Bober,  1999].  Nie  można  rów-
nież zapominać  o problemie  synchronizacji skal czasu
poszczególnych  mierników,  długości  cykli  pomiaro-
wych  oraz  przedziałach  dyskretyzacji.  Ponieważ  pre-
cyzja  pomiarów  obecnie jest  bardzo  duża,  a  prędkości
nawigujących  obiektów  też,  to  założenie  o  jednocze-
sności pomiarów często jest fikcją. Może więc zdarzyć
się, że wartość pomiaru będzie dużo różniła się od jego
prognozy.  Jest  to  błąd  systematyczny  skali  czasu,  po
prostu następuje równoległe przesunięcie ciągu pomia-
rów  względem  ciągu  prognoz.  Innym  zagadnieniem
jest  stabilność  numeryczna  obliczeń.  Zapis  macierzo-
wo-wektorowy jest bardzo wygodny i dobrze interpre-
towalny.  Gotowe  biblioteki  procedur  i  podprogramów
również  znakomicie  ułatwiają  tworzenie  aplikacji.
Jednakże  powoduje  to  rozbudowywanie  się  algoryt-
mów,  co  pociąga  za  sobą  kumulowanie  się  błędów
numerycznych  i  spowolnienie  wykonywanych  obli-
czeń.

Rozszerzeniem techniki filtracji Kalmanowskiej

są filtry cząsteczkowe [Ristic, 2004], w których wyko-
rzystywana  jest  symulacja  Monte  Carlo.  Filtry  te  są
suboptymalne,  ale  szczególnie  przydatne  w  przypad-
kach  szybko  manewrujących  obiektów  (silnie  nieli-
niowych równań stanu i pomiarów).

Streszczenie

W artykule przedstawiono fuzję danych nawiga-

cyjnych uzyskanych z różnych sensorów. Zastosowano
rozszerzony filtr Kalmana budując odpowiednie mode-
le stanu i pomiarów procesu nawigacji. Ogólny algo-

rytm  filtru  Kalmana  umożliwia  budowanie  różnych
modeli  fuzji  danych  w   nawigacji  zintegrowanej.  Po-
stać  konkretnego  modelu  jest  zdeterminowana  możli-
wościami  pomiarowymi  parametrów  nawigacyjnych
oraz założoną postacią wektora stanu.

Abstract

GPS/I S/DR

avigational

Data

Fusion

The  article  presents  multi-sensor  navigational  data
fusion.  Extended  Kalman’s  filter  was  used  to  build
proper models of navigational process (both states and
measurements).
The  general  Kalman’s  filter  algorithm  allows  to  build
different  data  model  fusions  in  integrated  navigation.
The  given  model  form  depends  on  navigational  meas-
urements parameters possibilities and established state
vector form.

Literatura

1. Anderson B.D.O., Moore J.B., Optimal filtering,

Prentice-Hall, 1979 New Jersey.

2. Balakrishnan A.V., Kalman Filtering Theory, Op-

timization Software, 1984 New York.

3. Banachowicz A., Geometria liniowego modelu

nawigacji parametrycznej, „Zeszyty Naukowe
AMW”, 1991, 109A. (monografia)

4. Banachowicz A., Wykorzystanie filtru Kalmana w

pomiarach skalarnych parametrów nawigacyjnych,
„Prace Wydziału Nawigacyjnego WSM w Gdyni”,
1995, Zeszyt 1, 116 – 125.

5. Banachowicz A., Bober R., Metodyka obróbki sy-

gnałów z urządzeń nawigacyjnych dla potrzeb sys-
tem nawigacji zintegrowanej, WSM, 1997 Szcze-
cin. (raport naukowy)

6. Banachowicz A., Bober R., System zintegrowanej

nawigacji na okręty ORP „Piast” i ORP „Lech”,
WSM, 1999 Szczecin. (raport naukowy)

7. Banachowicz A., Variants of Structural and Meas-

urement Models of an Integrated avigational Sys-
tem, „Annual of Navigation”, 2001, No 3, 5 – 18.

8. Ristic B., Arulampalm S., Gordon N., Beyond the

Kalman Filter. Participle Filters for Tracking Ap-
plications, Artech House, 2004 Boston.